Soal dan Pembahasan “Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis” By; Galih Dika Pranata

1. Tiga batang tipis identik, masing-masing panjang L dan massa m,

dilas tegak lurus satu sama lain seperti yang ditunjukkan pada

Gambar P10.23. Perakitan diputar sekitar suatu sumbu yang

melewati ujung satu tongkat dan sejajar lain. Tentukan momen

inersia struktur ini.

Solusi:

Kita asumsikan batang yang tipis, dengan radius kurang dari L.

anggap persimpangan batang asal koordinat, dan sumbu rotasi

sumbu z.

Untuk batang sepanjang sumbu-y, 𝐼 =1

3𝑀𝐿2 dari meja.

Untuk batang paralel pada sumbu z, teorema sumbu sejajar memberikan

𝐼 =1

12𝑀𝐿2 + 𝑀

𝐿

2

2

≅1

4𝑀𝐿2

Dalam batang sepanjang sumbu x, sedikit bahan antara x dan x + dx memiliki massa 𝑀

𝐿 𝑑𝑥 dan

memiliki jarak 𝑟 = 𝑥2 + 𝐿

2

2 dari sumbu rotasi. Total inersia rotasi adalah:

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

3𝑀𝐿2 +

1

4𝑀𝐿2 + 𝑥2 +

𝐿2

4

𝑀

𝐿 𝑑𝑥

𝐿2

−𝐿2

=7

12𝑀𝐿2 +

𝑀𝐿2

12+𝑀𝐿2

4=𝟏𝟏

𝟏𝟐𝑴𝑳𝟐

2. Dua bola dengan massa M dan m dihubungkan dengan

kaku batang dengan panjang L dan massa diabaikan

seperti pada Gambar P10.22. Untuk sumbu tegak lurus

terhadap batang, menunjukkan bahwa sistem memiliki

momen inersia minimum ketika sumbu melalui pusat

massa. Tunjukkan bahwa momen inersia adalah 𝐼 =

𝜇𝐿2 ,dimana 𝜇 = 𝑚𝑀/(𝑚 + 𝑀)

Solusi:

𝐼 = 𝑀𝑥2 + 𝑚(𝐿 − 𝑥)2

𝑑𝐼

𝑑𝑥= 2𝑀𝑥 − 2𝑚 𝐿 − 𝑥 = 0 (untuk yang ekstrem)

∴ x =mL

M + m

karena itu I adalah minimum ketika sumbu rotasi melewati x =mL

M+m yang juga pusat massa dari

sistem. Momen inersia suatu sumbu melewati x adalah

ICM = M mL

M + m + m 1 −

m

M + m L2 =

Mm

M + mL2 = μL2

Dimana μ =Mm

M+m

3. Sebuah pintu padat seragam tipis memiliki tinggi 2,20 m, lebar 0,870 m, dan massa 23,0 kg. Cari

momen inersia untuk rotasi pada engselnya. Adakah bagian dari data yang tidak perlu?

Solusi: Setiap partikel di pintu dapat meluncur lurus ke bawah ke batang kepadatan tinggi di bagian bawah nya, tanpa mengubah jarak partikel dari sumbu rotasi pintu. Dengan demikian, panjang batang 0,870 m dengan massa 23,0 kg, berputar tentang salah satu ujung, memiliki inersia rotasi sama seperti pintu:

I =1

3ML2 =

1

3 23,0 0,870 = 𝟓,𝟖𝟎 𝐤𝐠.𝐦𝟐

Data tinggi pintu tidak perlu. 4. Perhatian! Tentang wajah! Hitung perkiraan besarnya untuk momen inersia dari tubuh Anda

saat Anda berdiri tinggi dan gilirannya sekitar sumbu vertikal melalui bagian atas Anda kepala dan titik pertengahan antara pergelangan kaki Anda. dalam solusi kuantitas Anda ukur atau perkirakan nilai mereka.

Solusi: Model tubuh Anda sebagai silinder massa 60,0 kg dan 75,0 cm lingkar. Kemudian jari-jari adalah

0,75

2π= 0,120m

Dan momen Inersianya adalah

I =1

2MR2 =

1

2 60,0 (0,120)2 = 0,432 kg. m2 ~ 𝟏 𝐤𝐠.𝐦𝟐

5. Sebuah motor listrik ternyata roda gila melalui sabuk

drive yang bergabung katrol pada motor dan katrol yang kaku melekat pada roda gila, seperti yang ditunjukkan pada Gambar P10.39. para roda gila disk solid dengan massa 80,0 kg dan diameter dari 1,25 m. Ternyata pada poros gesekan. Katrol yang telah jauh lebih kecil massa dan radius 0,230 m. Jika tegangan di segmen (tegang) atas sabuk adalah 135 N dan roda gila memiliki percepatan sudut searah jarum jam dari 1,67 rad/s2, temukan ketegangan di segmen (kendur) lebih rendah sabuk.

Solusi:

τ = Iα =1

2MR2α

−135N 0,230m + T 0,230m =1

2 80kg

1,25m

2

2

(−1,67 rad/s2)

𝐓 = 𝟐𝟏,𝟓 𝐍