ANALISIS VEKTOR dan SISTEM

KORDINAT

OLEH :

Rizal Akbar Fauzany

1404405010

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS UDAYANA

2015

1. Pendahuluan

2. Skalar dan Vektor 2.1 Skalar

Skalar merupakan Besaran yang cukup dinyatakan oleh sebuah bilangan dengan satuannya yang sesuai. Contoh dari skalar adalah masssa, panjang, waktu, suhu, intensitas cahaya, energi, muatan listrik dsb.2.2 Vektor

Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh dari vektor adalah kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya. Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

Tanda panah pada menyatakan arah vektornya.

3. Komponen VektorA = A1 i + A2 j + A3 k

A1 i = komponen vektor A dalam arah sumbu -x

A2 j = komponen vektor A dalam arah sumbu –y

A3 k = komponen vektor A dalam arah sumbu –z

4. Vektor Unit Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan

mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling tegaklurus.

Vektor A dapat ditulis:

Atau

5. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajarangenjang atau aturan segi banyak (poligon).

c = a +b

6. Pengurangan VektorPengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari

vektor yang mengurangi.

A − B = A + (− B)

7. Perkalian dan pembagian vektor7.1 Pembagian Vektor 𝑎 , 𝑏, dan 𝑝 berturut-turut adalah

vektor posisi dari titik A, B, dan P.

Titik P membagi garis AB dengan perbandingan m : n.

7.2 Perkalian VektorPekalian antar vektor dibagi menjadi dua yaitu :a. Hasil Skalar (Dot product / Scalar Product)

Perkalian skalar atau perkalian titik dua vektor A dan B , didefinisikan sebagai perkalian dari besar A dan besar B, kosinus sudut antara kedua vektor A dan B (sudut yang kecil). Dengan rumus :

A⋅B=|A||B|cosθ AB

mengikuti hukum komutatif :A⋅B=B⋅A

b. Perkalian Silang (cross)Perkalian silang atau perkalian vektor antara vektor A dan B, (A x B) adalah besar A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B.Dengan rumus :

A×B=aN|A||B|sin θ AB

Perkalian silang tidak komutatif, B x A = - (A x B)

8. Perkalian dot dua vektor

Contoh :

9. Perkalian silang cross

Contoh :

10. Sistem koordinat kartesianKoordinat kartesian 3 dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu

objek baik 1 dimensi, 2 diensi maupun 3 dimensi. Koordinat kartesian 3 dimensi mempunyai 3 sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, z.

Contoh :Carilah vektor satuan dari :

Penyelesaian :

¿√¿¿ = 1Contoh :

11. Sistem Koordinat TabungTidak semua benda mempunyai bentuk siku-siku seperti balok, kubus,

bujur sangkar, dan bentuk-bentuk siku lainnya. Benda-benda seperti tabung, botol, pipa, tempat sampah, kerucut memiliki bentuk lingkaran dengan simetri yang khas.Bentuk-bentuk seperti ini akan susah untuk digambarkan pada koordinat kartesiuskarena simetri lingkaran sulit untuk digambarkan. Atas dasar inilah muncullah ide untuk mengembangkan system koordinat untuk benda-benda seperti ini yaitu dengan membuat koordinat silinder. Koordinat silinder terdiri dari 3 sumbu koordinat yaitu koordinat r, f, dan z.

Dengan operasi sebagai berikut :

Konversi dari koordinat silinder ke koordinat kartesius adalah sbb :

Konversi dari koordinat koordinat kartesius ke silinder adalah sbb :

12. Sistem Koordinat BolaKoordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai

bentuk simetri bola. Sebagai contoh adalah bumi yang kita tempati. Posisi atau kedudukan objek-objek yang berada dibumi akan sulit dijelaskan dengan koordinat kartesius maupun tabung karena bentuk bumi yang bundar. Oleh karenaitu digunakan system koordinat bola agar mudah dibayangkan. Untuk menyatakanbesaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, Ө, dan .

Vektor dalam bola dapat dinyatakan dengan :

Konversi koordinat bola ke kartesian :

Konversi koordinat kartesian ke koordinat bola

Daftar Pustaka

Kustija, Jaja. (2009). Medan Elektromagnetik. Jurusan Pendidikan Teknik Elektro, Universitas Pendidikan Indonesia

Ali, Muhammad. (2010). Modul Medan Elektromagnetik. Universitas Negeri Yogyakarta.

Stroud, K.A. (2001). Engineering Mathematics. New York : Industrial Press, Inc.