TUGAS BESAR KOMPUTASI STATISTIK KELAS B 2009 UJI HIPOTESIS (2 SAMPEL) Oleh: Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani(1309100113) Dosen: Dr. rer. pol. Heri Kuswanto, S. JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 2 BAB IX UJI HIPOTESIS ( 2 SAMPEL ) Pengujianhipotesissampel-gandaadalahuntukmenggunakandatadaridua sampel yang diperoleh dari dua populasi dan mengetahui apakah ada perbedaan yang secarastatistikcukupberarti(significant)antaraparameter-parameterdarikedua populasi tersebut. Untukmemperolehhasilyangberguna,ujihipotesissampel-gandaharus memenuhi asumsi sebagai berikut: Data di kedua populasi yang diambil sebagai sampel harus berdistribusi normal. Sumberdatapadapopulasipertamaharusindependenterhadapsumberdatadi populasi kedua (independent sample). (Harinaldi, 2005) Langkah-langkah pengujian hipotesis a.Menyatakan Hipotesis Awal (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1) b.Menetapkan Tingkat Signifikan () c.Memilih Uji Statistik d.Menentukan Nilai Kritis e.Menghitung Nilai Hitung dari Uji Statistik f.Membuat keputusan (Dixon & Massey, 1991) 9.1Uji Hipotesis Beda Dua Variansi dengan Sampel-Ganda Padaujivariansiini,varianssampel(s2)digunakanuntukmengambil kesimpulanmengenaivarianspopulasi(o2).Jadidalamujiinidiambilsampelacak dariduapopulasi,dihitungvariansdatadarimasing-masingsampel,danhasilnya digunakan sebagai dasar untuk membandingkan varians populasi. Dalam uji dua varians hipotesis awalnya adalah tidak ada perbedaan variabilitas padakeduapopulasi.Sedangkanhipotesisalternatifnyaadalahterdapatperbedaan berarti antara varians-varians kedua populasi. Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 3

atau

Nilai hitung dari uji statistik F dapat dihitung menggunakan rumus

Dengan nilai-nilai dari uji statistik F dalam bentuk

, yang ditentukan dengan mengetahui tiga hal berikut: Tingkat Signifikan, DerajatKebebasan(degreeoffreedom)untuksampelyangdigunakan sebagai pembilang dalam statistik uji (

DerajatKebebasan(degreeoffreedom)untuksampelyangdigunakan sebagai penyebut dalam statistik uji (

Daerah kritis pada pengujian hipotesis beda dua varians sampel-ganda, yaitu Untuk uji dua arah Tolak hipotesis awal jika

atau

. Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika

9.1.1Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Varians Berikutiniakandiuraikanalgoritmapadaprosedurujihipotesisbedadua varians. Gambar 9.1 Algoritma Prosedur Uji Hipotesis Beda Dua Varians pada Software R Mulai Menginputkan variabel x1 dan x2 (data asal) Mendefinisikan panjang data Menyatakan H0 dan H1 menetapkan nilai alfa Menghitung nilai hitung dari uji statistik F Menghitung P value Menentukan daerah kritis Membuat keputusan Selesai Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 4 9.1.2 Function Prosedur Uji Hipotesis Dua Varians Berikutiniakandiuraikanfunctionujihipotesisduavarians.Functionditulis dalam notepad yang kemudian dipanggil menggunakan perintah source. DalamkasusujihipotesisbedaduavariansjugaterdapatpackagejadidiR, yaitu dengan langsung mengetikkan pada command window perintah berikut. var.test(x,y,ratio=1,alternative=c("two.sided", "less", "greater"),conf.level = 0.95, ...) x, ynumericvectorsofdatavalues,orfittedlinearmodelobjects (inheriting from class "lm"). ratiothe hypothesized ratio of the population variances of x and y. alternativeacharacterstringspecifyingthealternativehypothesis,mustbe Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 5 oneof "two.sided" (default), "greater" or "less".Youcanspecify just the initial letter. conf.levelconfidence level for the returned confidence interval. 9.1.3 Study Kasus untuk Uji Hipotesis Beda Dua VariansMisalkanterdapatdatapembeliandagingdansayurdisupermarketkawasan Keputih, Kecamatan Sukolilo adalah sebagai beikut: Tabel 9.1 Data Pembelian Meat dan Vegetable (masing-masing) MeatVegetable 10.3216.4716.611.49114.1422.8621.1515.470.47 1.461.489.033.7911.73.6112.715.624.516.59 8.0212.40.7613.322.9712.518.1827.788.626.5 4.030.1317.3716.21.6721.733.588.446.0919.7 2.114.153.6514.163.2821.468.841.933.851.31 0.434.333.074.240.713.494.093.5420.8413.28 4.468.225.24.114.783.7216.981.863.579.18 14.8613.848.11711.627.5614.4721.1719.5417.88 2.738.12.815.946.9610.1916.29.439.390.15 4.650.582.30.812.781.547.743.764.615.49 1.531.750.251.32.7820.4410.714.94.579.02 9.722.437.937.149.0413.110.318.222.0711.28 0.089.048.6115.214.860.976.7525.52.716.71 8.530.228.6710.446.7216.0712.8318.291.315.21 9.261.055.098.2111.88.322.470.384.6417.94 0.4916.1313.7215.2918.920.3813.816.4612.824.46 12.6613.9417.45.2814.8111.895.4213.6612.643.84 13.7812.8912.713.332.056.1911.86.49.8315.77 13.3318.5410.253.35.977.161.4518.0613.695.93 18.1413.979.949.973.156.858.5620.0612.6415.57 9.791.7214.755.280.087.268.96.5919.54.19 0.882.52.482.063.3513.4713.661.1115.4113.47 2.490.440.624.334.0215.83.070.086.251.57 11.3219.3813.938.794.468.7211.5412.964.998.65 2.782.173.891.164.5219.666.514.352.715.72 1.471.551.413.243.5412.1512.467.8717.597.32 1.965.521.293.733.368.721.831.373.2821.03 Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 6 0.96.460.91.411.332.6620.542.5425.8515.99 16.487.3315.812.235.2219.7415.8524.024.387.05 1.6812.533.496.210.257.476.220.5422.437.85 Kemudianingindilakukanujibedaduavariabilitas,apakahvariabilitaspembelian daginglebihrendahdaripadavariabilitaspembeliansayur,sampeldiambilsecara randomdari150pembelidisupermarketyangberbeda.Pengujianhipotesis menggunakantarafsignifikansisebesar5%atau0,05.Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: 1. Buka program R 2.Pindahkandatakenotepaddalam2kolom,yaitukolommeatdanvegetable, kemudian simpan di drive d dengan nama data.txt 3. Panggil data dari notepad ke dalam program R dengan cara: Misal diberi nama data = > data = read.table(d://data.txt,header=TRUE) 4.MenulisFunctionsepertidiatasdalamnotepaddansimpandidriveddengan nama varians.txt 5.Definisikanvariabelx1danx2denganmengetikkanperintahberikutpada command window: > x1 = data$meat > x2 = data$vegetable 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(d://varians.txt) > ujiF(data,0,0.05,less) Maka akan muncul seperti di bawah ini: ==========================Uji dua variansHo: sigma1^2 - sigma2^2 =0H1: sigma1^2 - sigma2^2 x1 = data$tv > x2 = data$radio 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(d://proporsi.txt) > ujiprop(data,two.side,0.05,7) Keterangan: pada alt hanya dapat di isi dengan two side untuk uji dua arah, less untuk uji satu arah (). Sedangkan a merupakan proporsilamawaktu.Karenadalamcontohujiproporsilamawaktupenggunaan lebih dari 7 jam maka a diisi 7. Maka akan muncul seperti berikut ==========================Uji Proporsi dua sampel==========================Ho: p1-p2 = 0H1: p1-p2 =! 0 Z hitung =4.59518 , P-value =4.323754e-06daerah kritik: Z hitung >1.959964 atau Z hitung x1 = data$sebelum > x2 = data$sesudah 5. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(d://paired.txt) > ujiprop(data,0.1,greater) Keterangan: pada alt hanya dapat di isi dengan two side untuk uji dua arah, less untuk uji satu arah (). Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 17 Maka akan didapat hasil sebagai berikut ==========================Uji paired testHo: miu.d = 0H1: miu.d > 0t hitung =4.750411 , Pval =0.0005217954daerah kritik: T hitung >-1.383029dengan menggunakan alpha =0.1Tolak H0========================== Atau dengan mengetikkan perintah berikut dalam command window yang kemudian juga langsung didapat hasilnya: > t.test(x2,x1,"greater",mu = 0, paired = TRUE, conf.level = 0.99) Paired t-test data:x2 and x1t = 4.7504, df = 9, p-value = 0.0005218 alternative hypothesis: true difference in means is greater than 099 percent confidence interval: 1.908503Infsample estimates: mean of the differences4.7Nilai T hitung lebih besar dari T tabel = -1.383029. Dengan demikian Tolak H0 yangmenyatakanperbedaanproduktivitaspekerjaperharisesudahdansebelum pelatihansamadengannol.DengankatalainH1diterima,yaitubahwaperbedaan produktivitas pekerja per hari sesudah dengan sebelum pelatihan lebih besar dari nol. 9.3.2 Independent Sample Digunakanuntukmembandingkanduakelompokmeandariduasampelyang berbeda(independent).Prinsipnyainginmengetahuiapakahadaperbedaanmean antaraduapopulasidenganmembandingkanduameansampelnya.Independent sample t-test dapat dibedakan lagi menjadi 3, yaitu Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 18 9.3.2.1Uji Z untuk Populasi yang Independen SuatuujiZdigunakanapabilasampeldiambildariduapopulasiyang independendanterdistribusinormalsertanilai-nilaistandardeviasipopulasio1dan o2 telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 (n >= 30). Dalam uji hipotesis ini hipotesis awal dan hipotesis alternatifnya adalah

dan

Nilai hitung dari uji statistik uji Z dapat dihitung menggunakan rumus.

Jika simpangan baku populasi tidak diketahui, tetapi ukuran kedua sampel lebih dari30,kesalahanbakurata-ratadapatdidekatidengansimpanganbakusampel, dengan rumus

Daerahkritispadapengujianhipotesisini,yaituuntukujiduaarahTolak hipotesis awal jika

atau Z

. Sedangkan untuk uji satu arah Tolak Hipotesis awal jika

. 9.3.2.2Uji t Sampel Ukuran Kecil Jika

Uji ini digunakan apabila Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal. Nilai-nilai standar deviasi populasi o1 dan o2 tidak diketahui Ukuran sampel n1 dan n2 kecil (n x1 = data$meat > x2 = data$fish 6. Panggil fungsi dari notepad ke dalam program R dengan cara: > source(d://mean.txt) > ujimean(data,0,two.side,0.05) Maka akan muncul hasil sebagai berikut: ==========================Uji varians populasi identik atau tidakHo: sigma1^2 = sigma2^2H1: sigma1^2 =! sigma2^2==========================Tolak H0, artinya sigma1^2 =! sigma2^2==========================Uji independent testHo: Miu1-Miu2 =0H1: Miu1-Miu2 =!0daerah kritik: T hitung >2.068638 atau T hitung t.test(x1,x2,"two.sided",mu = 0, paired = FALSE, var.equal =FALSE, conf.level = 0.95) Welch Two Sample t-test data:x1 and x2t = 3.5443, df = 23.004, p-value = 0.001730 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval: 1.930785 7.344215sample estimates: mean of x mean of y 7.02902.3915 Banyak data kurang dari 30 jadi menggunakan independen t-test, tetapi sebelum melakukanujihipotesisbedaduamean,perludilakukanujihipotesisduavarians untukmengetahuiapakah

.Dariperhitungandiatasdiketahuibahwa

makamenggunakanujihipotesisbedaduameanpada9.3.2.2.Daerah penolakan (daerah kritik) terjadi jika T hitung > 2.068638 atau T hitung < -2.068638. NilaidariThitungdanP-valueitusendirimasing-masing3.544262dan 0.001730327. Karena T hitung berada di daerah kritik dan nilai P-value < 0.05 maka dapatditarikkesimpulanTolakH0yangberartiterdapatperbedaanantararata-rata pembelian daging dan rata-rata pembelian ikan di beberapa supermarket. 9.3.3 Diagram Alir Prosedur Pengujian Mean Berikutadalahdiagramalirtentangprosedurpengujianmeandengansampel ganda. Uji Hipotesis (2 Sampel) Deni Dwi Wijayanto (1309100079) Farisca Susiani (1309100113)Page 26 9.4Referensi Walpole,Ronald.E.1997.PengantarStatistikaedisike-3.Jakarta:Gramedia Pustaka Utama. Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Erlangga. Dixon, Wilfrid. J & Massey, Frank. J. 1991. Pengantar Analisis Statistik edisi ke-4. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press. Anonim. 2009. One and Two Sample Hypothesis Testing.www.google.com, 10.06, 07 April 2011. Verzani, John. 2002. SimpleR-Using R for Introductory Statistics. http://www.math.csi.cuny.edu/Statistics/R/simpleR, 10.08, 07 April 2011. Gambar 9.5Prosedur Uji Mean dengan Sampel-Ganda Gunakan distribusi Z (9.3.2.1) Mulai Kedua sampel independen? Gunakan paired t-test (9.3.1) Stop T o1 dan o2 diketahui? Y T Kedua sampel n>30 TGunakan uji F untuk menguji

H0 diterima? Gunakan distribusi t (9.3.2.3) Gunakan distribusi t (9.3.2.2) Stop T Gunakan s1 dan s2 sebagai pengganti o1 dan o2 Y Y Y Stop