Definisi Umum

Secara umum tensor campuran pada range atau orde (m+n )

T j1 j2 … jn

i1i2 … im

Tensor di atas adalah kontravarian pada orde m dank ovarian pada orde n jika tensor tersebut

memnuhi hokum transformasi

T j1 j2 … jn

i1i2 … im =[J ( xx )]

W

Tb1 b2 … bn

a1 a2 … am ∂ x i1

∂ xa1

∂ x i2

∂ xa2

…∂ x im

∂ xam

.∂ xb1

∂ xj1

∂ xb2

∂ xj2

…∂ xbn

∂ xjn

dimana

J ( xx )=|∂ x

∂ x|=∂ ( x1 , x2 ,…, xN )∂ ( x1 , x2 ,…, xN )

Merupakan transformasi jakobian. Ketika W =0 tensor disebut tensor absolute.

Operasi menggunakan Tensor

Operasi di bawah ini merupakan beberapa operasi tensor penting ya g digunakan untuk

memperoleh persamaan khusus dan untuk membuktikan macam-macam identitas.

Penjumlahan dan Pengurangan

Tensor pada tipe yang sama dapat ditambahkan atau dikurangi. Dua tensor campuran orde tiga

ketika dijumlahkan, menghasilkan tensor orde tiga yang lain. A jki dan B jk

i merupakan dua tensor

campuran orde tiga. Penjumlahannya dinayatakan :

C jki =A jk

i +B jki

Dengan hipotesis A jki dan B jk

i adalah dua tensor campuran orde tiga, oleh karena itu harus

memenuhi hokum transformasi.

A jki =Anp

m ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

B jki =Bnp

m ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

C jki =A jk

i +B jki menunjukkan penjumlahan dalam koordinat transformasi. Kemudian penjumlahan

persamaan transformasi di aras menghasilkan :

C jki =( A jk

i +B jki )

C jki =Anp

m ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk +Bnpm ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

C jki =( Anp

m +Bnpm ) ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

C jki =Cnp

m ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

Hasil di atas menunjukkan bahwa penjumlahan transformasi menghasilkan campuran tensor

berorde tiga.

Perkalian (Outer Produk)

Produk dua tensor juga merupakan tensor. Range atau orde pada tensor yang dihasilkan

merupakan penjumlahan range dari tensor yang ada dalam perkalian. Misalnya A jki merupakan

tensor berorde tiga campuran dan Bml merupakan tensor berorde dua campuran. Outer produk

pada dua tensor ini adalah tensor berorde lima, sebagai berikut :

C jki =A jk

i Bml ,i , j , k ,l ,m=1,2 , …, N

Semua indeks merupakan indeks bebas karena i , j , k , l , m berada pada nilai integer 1,2 , …, N .

A jki dan Bm

l menunjukkan komponen dari tensor yang diberikan dalam system koordinat bar. Kita

mendefinisikan C jkmil sebagai outer produk dari komponen ini. Dengan hipotesis A jk

i dan Bml

adalah tensor, kita dapat membuktikan C jkmil adalah tensor dan memenuhi hokum transformasi.

Sebagai berikut :

Aβγα =A jk

i ∂ xα

∂ x i

∂ x j

∂ x β

∂ xk

∂ xγ

Beδ=Bm

l ∂ xδ

∂ x l

∂ xm

∂ xe

Outer produk dari komponen menghasilkan :

Cβγeαδ =A βγ

α Beδ

Cβγeαδ =A jk

i Bml ∂ xα

∂ x i

∂ x j

∂ xβ

∂ xk

∂ xγ

∂ xδ

∂ x l

∂ xm

∂ xe

Cβγeαδ =C jkm

il ∂ xα

∂ x i

∂ x j

∂ x β

∂ xk

∂ xγ

∂ xδ

∂ x l

∂ xm

∂ xe

Persamaan di atas membuktikan bahwa transformasi C jkmil merupakan tensor absolute berorde

lima campuran. Outer produk yang lain dinalisa dengan cara sama.

Kontraksi

Operasi kontraksi pada tensor campuran apa saja dengan range m dinyatakan ketika

indeks atas sama dengan indeks bawah dan aturan penjumlahan terlibat. Ketika sumasi

dinayatakan di atas indeks yang berulang besaran yang diperoleh juga merupakan tensor pada

range atau orde (m−2 ). Misalnya A jki i , j , k=1,2 ,…,N merupakan tensor campuran dan

menyatakan kontraksi dengan mengatur j sama dengan i. maka kita peroleh :

Aiki =A1k

1 + A2k2 +…+ ANk

N

Aiki =Ak

Dimana k adalah indeks bebas. Untuk menunjukan bahwa Ak merupakan tensor, maka Aiki =Ak

yang merupakan kontraksi pada komponen transformasi A jki . Dengan hipotesis A jk

i merupakan

tensor campuran dan oleh karena komponennya harus memenuhi hokum transformasi.

A jki =Anp

m ∂ x i

∂ xm

∂ xn

∂ x j

∂ x p

∂ xk

Dengan mengtur j sama dengan I dan menyatakan sumasi di atas pengulangan indeks. Kita

peroleh :

Aiki =Ak

Aiki =Anp

m ∂ xi

∂ xm

∂ xn

∂ x i

∂ xp

∂ xk

Aiki =Anp

m ∂ xn

∂ xm

∂ x p

∂ xk

Aiki =Anp

m δmn ∂ x p

∂ xk

Aiki =Anp

n ∂ xp

∂ xk

Aiki =A p

∂ xp

∂ xk

Perkalian (Inner Product)

Inner produk 2 tensor diperoleh dengan :

(i) Pengambilan pertama outer produk pada tensor yang diberikan, dan

(ii) Menyatakan kontraksi pada dua indeks.

Example 1.2-5 (Inner Product)

Ai dan B j merupakan komponen dua tensor berorde satu (vector).

Outer produk dari tensor ini adalah :

C ji=A i A j ,i , j=1,2 , …, N

Inner produk dari tensor ini adalah scalar :

C=Ai B i

C=A1 B1+ A2 B2+…+ AN BN

Dalam beberapa keadaan inner produk dinayatakan hanya dengan indeks bawah. Misalnya, innr

produk di atas kadang-kadang dinyatakan :

C=Ai B i

C=A1 B1+ A2 B2+… A N BN

Quotient law

Asumsikan bahwa Brqs danC p

s merupakan tensor absolut arbitrary. Sejauh ini kita telah

mengasumsikan besaran tensor campuran orde tiga A jki . Dengan menunjukkan bahwa persamaan

Aqpr B r

qs=C ps

terpenuhi, maka Aqpr harus menjadi tensor. Ini merupakan suatu contoh hukum hasil bagi. Untuk

membuktikan pernyataan di atas kita akan menunjukkan dari persamaan di atas bahwa A jki

adalah tensor. x i dan x i merupakan system koordinat bar dan unbar yang dihubungkan dengan

transformasi pada bentuk yang didefinisikan oleh persamaan (1.2.30). pada system bar, kita

mengsumsikan bahwa :

Aqpr Br

qs=C ps

Dimana dengan hipotesis Bkij dan Cm

l merupakan tensor absolute sembarang dan makadari itu

harus memenuhi persamaan transformasi :

Brqs=Bk

ij ∂ xq

∂ x i

∂ x s

∂ x j

∂ xk

∂ xr

C ps =Cm

l ∂ xs

∂ xl

∂ xm

∂ x p

Mensubstitusikan Brqs danC p

s , maka diperoleh

Aqpr Br

qs=C ps

Aqpr (Bk

ij ∂ xq

∂ x i

∂ xs

∂ x j

∂ xk

∂ xr )=Cml ∂ xs

∂ x l

∂ xm

∂ x p

Aqpr (Bk

ij ∂ xq

∂ x i

∂ xs

∂ x j

∂ xk

∂ xr )=Aqmr Br

ql ∂ xs

∂ xl

∂ xm

∂ x p

Karena sumasi indeks merupakan dummy indeks mereka dapat diganti dengan symbol yang lain.

Dengan mengubahl dengan j , qdengan i dan r dengank, maka persamaan di atas dapat ditulis :

Aqpr (Bk

ij ∂ xq

∂ x i

∂ xs

∂ x j

∂ xk

∂ xr )=Aℑk Bk

ij ∂ xs

∂ x j

∂ xm

∂ x p

Aqpr Bk

ij ∂ xq

∂ xi

∂ xs

∂ x j

∂ xk

∂ xr −Aℑk Bk

ij ∂ x s

∂ x j

∂ xm

∂ x p =0

∂ xs

∂ x j (Aqpr ∂ xq

∂ x i

∂ xk

∂ xr −Aℑk ∂ xm

∂ x p )Bkij=0

Menggunakan perkalian inner dengan ∂ xn

∂ xs dan menyederhanakan persamaan ini dalam bentuk ;

δ jn(Aqp

r ∂ xq

∂ xi

∂ xk

∂ xr −Aℑk ∂ xm

∂ x p )Bkij=0

Atau

(Aqpr ∂ xq

∂ x i

∂ xk

∂ xr −Aℑk ∂ xm

∂ x p )Bk¿=0

Karena Bk¿adalah tensor sembarang, besaran di dalam tanda kurung bernilai nol dan maka dari itu

Aqpr ∂ xq

∂ xi

∂ xk

∂ xr −Aℑk ∂ xm

∂ x p =0

Persamaan ini disederhanakanoleh perkalian inner dengan ∂ x i

∂ x j

∂ x l

∂ xk untuk memperoleh :

δ jq δr

l Aqpr −Aℑ

k ∂ xm

∂ x p

∂ x i

∂ x j

∂ x l

∂ x p =0

Atau

A jpl =A ℑ

k ∂ xm

∂ x p

∂ xi

∂ x j

∂ x l

∂ xk