PROPERTY DAN PERDAGANGAN SEBAGAISEKTOR DOMINAN PADA DATA BURSA SAHAM

DENGAN Principal Component Analysis (PCA)

Oleh : 

Hanna A Parhusip, Deva Widyananto1 dan Bernadeta Desinova Kr2a a a us p, e a dya a to da e adeta es o a

Program Studi Statistika Matematika

Fakultas Sains dan Matematika (FSM)

Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www uksw edu)Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu)1mahasiswa S1, matematika – FSM – UKSW 2mahasiswa S1, matematika – FSM – UKSW

MasalahMasalahData dengan variabel banyak dapat membingungkan dalam formulasi masalahpada suatu model matematikapada suatu model matematika Oleh karena itu diperlukan cara memilih variabel yang dominan untuk mereduksi banyaknya variabel.

Pada makalah ini dibahas tentang cara memilih sektor ‐

METODE : PCA (Principal Component Analysis)

Pada makalah ini dibahas tentang cara memilih sektor ‐sektor saham domina yang ada di Indonesia. Data diambil dari Bursa Efek Jakarta ( BEJ ) dan menggunakan data pada b l dbulan Januari 2008 sampai dengan Januari 2010.

Principal Component Analysis

Secara aljabar PCA merupakan suatu kombinasi linear j pkhusus untuk p variabel random X1, . . . , Xp.  Secara geometri, kombinasi linear menyatakan pemilihan sistem koordinat baru yang diperoleh dari merotasisistem koordinat baru yang diperoleh dari merotasi sistem mula‐mula X1, . . . , Xp sebagai sumbu‐sumbu koordinat. Sumbu koordinat yang baru  sangat 

d k k ( ktergantung dari matriks kovariansi. (atau matrik korelasi). Matriks kovariansi pada makalah ini disimbolkan       dan haruslah positif tegas (positive p g (pdefinite). Istilah ini dijelaskan pada Definisi 1. 

Definisi 1: (Peressini 1988)Definisi 1: (Peressini,1988)Misalkan sebuah matriks simetri ijaMisalkan    sebuah matriks simetri 

maka matriks  positif tegas (definite positive) jika dan hanya jika semua nilai

ija

nn ija

positive)  jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif . Untuk negatif tegas didefinisikan secara analogdidefinisikan secara analog. 

Teorema 1.(halaman 358, Johnson and Wichern, 2007) 

Sebutlah matriks X = [X Xp] adalah matriksSebutlah matriks X = [X1, . . . , Xp] adalah matriks yang vektor‐vektor kolomnya adalah vektor random (dianggap berdistribusi normal) yang mempunyai matriks kovariansi (simetris dan positif tegas (positive definite)) dengan nilai eigen  dan sebutlah vektor eigen yang bersesuaian untuk setiap

0 vektor eigen yang bersesuaian untuk setiap  adalah  yang saling ortogonal. Komponen 

prinsip ke‐i adalah

0...21 p0...21 p

pee ,...,1 p, ,1

,...22111 ppiiT

ii XeXeXeXeY

i= 1,2,...,p (1.a)

Dengan pemilihan ini g p

V i 1 2 (1 b)T eeY

)(Var , i =1,2,...,p (1.b)iiii eeY )(

Cov =  ,  .     (1.c) ki YY , 0 kTi ee

0 kTi ee

Bukti : (halaman 358, Johnson and Wichern, 2002) .

METODE PENELITIANMETODE PENELITIAN• Data : data saham Januari 2008 – 2010. Data setiap vektor-

vektor kolom dianggap sebagai variabel random yangvektor kolom dianggap sebagai variabel random yang berdistribusi normal.

• Menyusun matriks kovariansi M hit il i i d kt i V kt i• Menghitung nilai eigen dan vektor eigen Vektor eigen sebagai penyusun koefisien pada komponen prinsip.

• Menyatakan variabel prinsip sebagai kombinasi linear dari variabel mula-mula

• Menentukan koefisisen korelasi antara komponen prinsip dan variabel mula mula dengan persamaandan variabel mula mula dengan persamaan

ppiiT

ii XeXeXeXeY ...22111

Tabel 4. Matriks kovariansi (S)4. ANALISA DANPEMBAHASANTabel 4. Matriks kovariansi (S)

1S 2S 3S 4S 5S 8S6S 7S

PEMBAHASAN

1S 2S 3 4S 5S 8S6S 7S

0.0251 0.0292 0.0285 0.0229 0.0250 0.0287 0.0010 0.0227

0.0292 0.0471 0.0445 0.0420 0.0402 0.0354 0.0011 0.0268

0 0285 0 0445 0 0644 0 0397 0 0382 0 0346 0 0047 0 02800.0285 0.0445 0.0644 0.0397 0.0382 0.0346 0.0047 0.0280

0.0229 0.0420 0.0397 0.0398 0.0363 0.0286 0.0034 0.0213

0.0250 0.0402 0.0382 0.0363 0.0356 0.0303 0.0024 0.0232

0.0287 0.0354 0.0346 0.0286 0.0303 0.0346 0.0031 0.0256

0.0010 0.0011 0.0047 0.0034 0.0024 0.0031 0.0357 0.0008

0.0227 0.0268 0.0280 0.0213 0.0232 0.0256 0.0008 0.0238

Tampak bahwa matriks kovariansi S adalah matriks simetris. Kita dapat mencari nilai eigen sebagaimana ditunjukkan pada Bab 2 dan dengan menggunakan bantuan MATLAB maka nilai eigen adalahbantuan MATLAB maka nilai eigen adalah 

87654321

Sedangkan vektor eigen untuk tiap nilai eigen

diperoleh berturut‐turut ditunjukkan tiap kolom pada 

0003.00006.00008.00029.00154.00191.00358.02312.0

87654321

p j p pTabel 5 dan dapat ditunjukkan bahwa vektor eigen tersebut saling ortonormal.

Tabel 5. Nilai Vektor eigen untuk data Tabel 3Tabel 5. Nilai Vektor eigen untuk data Tabel 3

1u 2u 3u 4u 5u 6u 7u 8u

0.4043 0.6699 0.1841 ‐0.1714 ‐0.2206 0.4298 ‐0.0566 0.2965

‐0.6881 0.3835 ‐0.2473 ‐0.0466 0.3426 ‐0.0002 ‐0.0703 0.4402

1u 2u 3u 4 5u 6 7 8u

0.6881 0.3835 0.2473 0.0466 0.3426 0.0002 0.0703 0.4402

0.0070 0.0086 0.0249 ‐0.0667 ‐0.5731 ‐0.6643 0.0763 0.4683

0.5947 ‐0.0871 ‐0.3955 0.1113 0.5286 ‐0.2029 0.0152 0.3861

‐0.0354 ‐0.2525 0.8242 0.0760 0.3240 0.0055 ‐0.0212 0.3800

‐0.0487 ‐0.5485 ‐0.2184 ‐0.5459 ‐0.1750 0.4399 ‐0.0096 0.3562

0 0402 0 0456 0 0044 0 0324 0 0360 0 1035 0 9910 0 0336‐0.0402 0.0456 0.0044 0.0324 0.0360 0.1035 0.9910 0.0336

‐0.0635 ‐0.1726 ‐0.1445 0.8043 ‐0.2987 0.3585 ‐0.0563 0.2785

Oleh karena itu komponen prinsip adalahp p p

876543211 0635.00402.00487.00354.05947.00070.06881.04043.0 XXXXXXXXY

876543212 1726.00456.05485.02525.00871.00086.03835.06699.0 XXXXXXXXY

876543213 1445.00044.02184.08242.03955.00249.02473.01841.0 XXXXXXXXY

876543214 8043.00324.05459.00760.01113.00667.00466.01714.0 XXXXXXXXY 876543214 8043.00324.05459.00760.01113.00667.00466.01714.0 XXXXXXXXY

876543215 2987.00360.01750.03240.05286.05731.03426.02206.0 XXXXXXXXY

876543216 3585.01035.04399.00055.02029.06643.00002.04298.0 XXXXXXXXY

876543217 0563.09910.00096.00212.00152.00763.00703.00566.0 XXXXXXXXY

876543218 2785.00336.03562.03800.03861.04683.04402.02965.0 XXXXXXXXY

Dapat ditunjukkan bahwa    dan     saling bebas linear , 

i,j=1,..,8. Oleh karena itu sebagaimana disebutkan pada Bab 2 diperoleh bahwa Cov( ) = 0

iY jY

YYdiperoleh bahwa Cov(      ,      ) = 0. jYiY

Untuk selanjutnya korelasi antara  antara komponen prinsip t d i b l l l b t t t t d l hpertama dan variabel mula‐mula berturut‐turut adalah

= 0.0442; = 0.0419; = 0.0027

11

111, 11 s

eXY

22

121, 21 s

eXY

33

131, 31 s

eXY

= 0.0301; = 0.2132; = 0.326644

141, 41 s

eXY

55

151, 51 s

eXY

66

121, 61 s

eXY

= 0.9931; = 0.868277

121, 71 s

eXY

88

121, 81 s

eXY

Karena nilai korelasi variabel       ( properti ) dan

( perdagangan ) dekat dengan 1, maka variabel       dan       sebagai variabel yang paling berpengaruh terhadap nilai saham

7X 8X

8X7Xvariabel yang paling berpengaruh terhadap nilai saham.

Kesimpulan dan SaranKesimpulan dan Saran

Pada makalah ini ini telah ditunjukkan analisavariabel dengan menggunakan Principal ComponentAnalysis untuk 8 variabel mengenai sektor – sektor yangmemiliki nilai sahan cukup tinggi Variabel tersebutmemiliki nilai sahan cukup tinggi. Variabel tersebutadalah pertanian, industri dasar, aneka industri, barangkonsumsi, keuangan, pertambangan, properti, danperdagangan. Seluruh variabel diuji untuk mendapatkanvariabel yang dominan. Diperoleh bahwa properti danperdagangan adalah variabel yang dominan yangperdagangan adalah variabel yang dominan yangditunjukkan dengan variansi terbesar melalui PrincipalComponent Analysis.