program studi teknik elektro fakultas teknik...

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO



PRINSIP SUPERPOSISI



HOMOGEN LINEAR ODE : SOLUSI SUPERPOSISI

Tentukan solusi dari persamaan berikut ini:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

Solusi dari persamaan tersebut adalah

𝑦 = cos 𝑥 dan 𝑦 = sin 𝑥

𝑦′′ + 𝑦 = cos 𝑥 ′′ + cos 𝑥 = −cos 𝑥 + cos 𝑥 = 0

Bukti

𝑦 = cos 𝑥

𝑦 = sin 𝑥 𝑦′′ + 𝑦 = sin 𝑥 ′′ + sin 𝑥 = −sin 𝑥 + sin 𝑥 = 0



HOMOGEN LINEAR ODE : SOLUSI SUPERPOSISI

Solusi lebih lanjut ...

Kontanta 𝑐1 = 4.7 dan 𝑐2 = −2

Dengan menggunakan prinsip superposisi bertujuan untuk mendapatkan solusi

lebih lanjut dengan cara menambahkan atau mengalikan dengan konstanta

𝑦′′ + 𝑦 = 0

Sehingga dapat di simpulkan solusi untuk 𝑦 adalah

𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2

Dimana 𝑦1 = cos 𝑥 dan 𝑦2 = sin 𝑥

Teknik tersebut diatas adalah teknik kombinasi linear antara 𝑦1 dan 𝑦2



INITIAL VALUE PROBLEM (IVP)

𝑦′′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 3 , 𝑦′ 0 = −0.5

Fungsi cos 𝑥 dan sin 𝑥 adalah solusi dari persamaan tersebut

𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥

Langkah 1 :

Langkah 2 : Menentukan nilai 𝑐1 dan 𝑐2

𝑦 0 = 33 = 𝑐1 cos 0 + 𝑐2 sin 0

𝑐1 cos 0 = 3𝑐1 = 3

𝑦′ 0 = −0.5 𝑦′ = −𝑐1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝑥−0.5 = 𝑐2 cos 0

𝑐2 = −0.5

𝑦 = 3 cos 𝑥 − 0.5 sin 𝑥



PLOT GRAFIK



PEMODELAN DENGAN SECOND ORDER ODE



MODEL PEGAS

𝐹1 = −𝑘𝑦

Dimana :

𝐹 = gaya pegas

𝑘 = konstanta pegas (k >0)

𝑦 = panjang tarikan pegas

Dimana gaya kebawah (berlawanan dgn arah

gaya pegas) di wakili oleh :

𝐹 = 𝑚 . 𝑎

𝐹 = gaya yang ditimbulkan oleh beban

𝑚 = massa beban (Newton)

𝑎 = percepatan gravitasi

𝐹 = 𝑚 . 𝑎 = 𝑚. 𝑦′′



DAMPING

❑ Overdamped

❑ System kembali ke titik keseimbangan secara eksponensial

menurun tanpa berosilasi.

❑ Critically damped

❑ System kembali ke titik keseimbangan dengan relatif cepat

tanpa berosilasi

❑ Underdamped

❑ Sistem berosilasi dengan amplutudo yang secara bertahap

menurun menuju 0.

❑ Undamped

❑ Sistem berosilasi tanpa mengalami penurunan amplitudo.

Damping adalah pengaruh terhadap sebuah sistem yang berosilasi yang berefek pada penurunan,

pembatasan dan pencegahan benda untuk melakukan osilasi.



PERSAMAAN PEMODELAN

𝑚 𝑦′′ + 𝑘𝑦 = 0

Persamaan tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan 𝑦′′ + 𝑦 = 0

Sehingga mempunyai solusi

Dengan mengacu dari permaslahan pemodelan maka didapatkan hasil :

𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥

𝑦 𝑥 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥

Karena pegas memiliki GETARAN HARMONIK sebesar

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑥 + 𝑐2 sin𝜔0𝑥

𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝑐2 sin𝜔0𝑡

Atau dalam bentuk yang lebih familiar adalah



SIMULASI (UNDAMPED - MASS SPRING SYSTEM)

𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝑐2 sin𝜔0𝑡

Jika sebuah pegas dengan nilai konstanta k = 8 dan memiliki massa yang menggantung sebesar 2 kg.

Pegas tersebut ditarik kebawah sepanjang 3cm agar memantul. Tentukan formula pemodelan dari sistem

pegas tersebut !

𝜔0 =𝑘

𝑚=

8

2= 2

Dimana 𝑐1 = 𝑐2 = 3 𝑐𝑚 maka didapatkan hasil akhir :

𝑦 𝑡 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3 sin 2𝑡

𝑦 𝑡 = 3(𝑐𝑜𝑠2𝑡 + sin 2𝑡)



PLOT GRAFIK

program studi teknik elektro fakultas teknik...

Documents