P R O B A B I L I T A S

Dr. Teguh Hadi Priyono

Pengertian Probabiltas

Probabilitas (peluang/kemungkinan) adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

Kunci pokok dalam probabilitas, yaitu; eksperimen, hasil (outcome), dan peristiwa atau kejadian (event). Contoh, eksperimen pelemparan sebuah koin. Hasil (outcome) dari pelemparan koin tersebut adalah “angka” dan “gambar”. Sedangkan kumpulan dari beberapa hasil disebut kejadian (event).

Probabilitas dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal atau bilangan pecahan, misal; 0,25, 0,50 atau 5/30, 25/100.

Pendekatan Perhitungan Probabiltas

Pendekatan menghitung probabilitas:1. Pendekatan Obyektif

Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif

2. Pendekatan Subyektif

Pendekatan KlasikPerhitungan pendekatan klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama, dan harus mengetahui seluruh kejadian yang akan muncul.

Suatu kejadian A dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara, dimana n jumlah barang dan x barang rusak. Probabilitas barang terambil rusak, dimana pengambilan barang secara acak (random), adalah:

P(A) = x/n, P(A) ≥ 0, sebab x ≥ 0 dan n > 0P(Ā) = (n – x) / n = 1 – (x/n)atauP(Ā) = 1 – P(A)

Pendekatan Frekuensi RelatifPerhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif. Misal x nilai ujian matematika, P(X) = 8 adalah probabilitas bahwa seorang mahasiswa mendapat nilai 8.

X ƒ ƒr

X1 ƒ1

X2 ƒ2

.

.

Xk ƒk

Jumlah ∑fi = n ∑ = 1

P(Xi) = limit fi/n

Artinya probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut yang secara teoritis berlaku untuk nilai n yang besar sekali (tak terhingga), misal untuk eksperimen dengan sampel besar.

n → ∞

Penelitian terhadap 65 karyawan perusahaan dengan gaji/upah sebagai berikut;

X 55 65 75 85 95 105 115

f 8 10 16 14 10 5 2

X adalah gaji/upah dalam ribu Rupiah.Apabila kita bertemu salah seorang karyawan tersebut, berapa besar probabilitas karyawan dengan upah 65 ribu? 105 ribu?

P(X = 65)= f2/n = 10/65 (15 persen)

P(X = 105)= f2/n = 5/65 (5 persen)

Apa yang dimaksud dengan p(Xi) = lim fi/n ?

Contoh eksperimen pelemparan koin, akan menghasilkan 2 kemungkinan yaitu gambar dan angka. Kejadian tersebut merupakan kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusice event), pelemparan dilakukan sebanyak n kali. Jika probabilitas X1 merupakan kejadian keluar gambar, maka akan didapat kemungkinan sbb:

f fr f fr f fr f fr f fr

X1 8 0,8 60 0,6 450 0,45 5.490 0,549 52.490 0,5249

X2 2 0,2 40 0,4 550 0,55 4.510 0,451 47.510 0,4751

n 10 1,0 100 1,0 1000 1,00 10.000 1,0 100.000 1,00

Untuk n = 10 P(X1) = 0,8 log 10 = 1Untuk n = 100 P(X1) = 0,6 log 100 = 2Untuk n = 1000 P(X1) = 0,45 log 1000 = 3Untuk n = 10.000 P(X1) = 0,549 log 10.000 = 4Untuk n = 100.000 P(X1) = 0,5249 log 100.000 = 5

n → ∞

Dari tabel tersebut menyatakan bahwa semakin besar n, maka probabilitas keluar gambar makin mendekati angka setengah (0,5). Maka P(X1) = 0,5 untuk n mendekati tak terhingga (n → ∞), artinya 0,5 merupakan nilai limit.

Kejadian/Peristiwa

Suatu eksperimen dilakukan pelemparan uang logam sebanyak 2 kali; kemungkinan hasilnya (ruang sampel);

BB B Ḇ BḆ ḆḆ

Ruang sampel adalah himpunan hasil eksperimen. Suatu himpunan (set) merupakan kumpulan yang lengkap atas elemen-elemen sejenis, tetapi dapat dibedakan satu sama lain berdasarkan karakteristiknya. Dalam statistik, himpunan (set) disebut populasi, dan himpunan bagian (subset) disebut sampel.

Pelemparan uang logam sebanyak 3 kali, maka ruang sampel (S = BBB, BB , B B, BB, B, Ḇ Ḇ Ḇ ḆḆB , B , . Bila X = jumlah gambar yg muncul (B), dimana X = (0, 1, 2, 3) maka distribusi Ḇ Ḇ ḆḆ ḆḆḆ

probabilitas;

1 2 3 4

X ƒ ƒr = P(X)

0 1 1/8 (= 0,125)

1 3 3/8 (= 0,375)

2 3 3/8 (= 0,375)

3 1 1/8 (= 0,125)0 1 2 3 X

P(X)

1/8

3/8

Grafik Distribusi ProbabilitasTabel Frekuensi dan Distribusi Probabilitas

Himpunan

Apabila S adalah himpunan, maka obyek yang terkandung didalamnya dinamakan anggota atau elemen.

Diskrit: S =(x : x = 0, 1, 2, 3) (nilai berupa kumpulan beberapa titik)

Kontinu: S = (x: 0 ≤ x ≤ 1) (nilai berupa garis, seluruh titik)

Komplemen suatu kejadian, misal S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil eksperimen), A adalah himpunan bagian dari S, dan Ā adalah komplemen dari A atau semua anggota S yang bukan anggota A.

Interseksi dua kejadian, misal A dan B (A ∩ B) adalah terdiri dari elemen anggota S yang selain mempunyai sifat atau ciri A juga B atau selain anggota A juga anggota B.

Union dua kejadian, misal A atau B (A U B) atau A + B merupakan himpunan bagian S yang terdiri dari elemen-elemen anggota S yang menjadi anggota A saja, B saja, atau menjadi anggota A dan B sekaligus.

Aturan Dasar Probabilitas

Aturan Penjumlahan Kejadian saling meniadakan/saling lepas (aturan penjumlahan khusus), kejadian dimana jika

sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua tidak akan terjadi (mutually exclusive event). Jika A telah terjadi maka kejadian B tidak akan terjadi. Misal, pelemparan sebuah dadu.

P(A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B) atau (A ∩ B) = ϕ

Kejadian tidak saling meniadakan, seringkali suatu eksperimen bersifat tidak saling meniadakan artinya kejadian bisa terjadi pada kedua kondisi.

P(A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B) - (A ∩ B)

Kejadian saling meniadakan/saling lepasSebuah mesin otomatis pengisi campuran sayuran pada sebuah paket kantong plastik. Meskipun demikian, terdapat variasi berat yg disebabkan oleh variasi ukuran sayuran. Ada paket yang lebih ringan, sedang, dan lebih berat. Dilakukan pengecekan thd 4000 paket, dengan hasil sbg berikut:

Berat Kejadian Jml Paket ProbabilitasLebih ringan A 100 0,025Standar B 3600 0,900Lebih berat C 300 0,075Jumlah 4000 1,000

Hitunglah probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat?

P(A atau C) = P(A U C) = P(A) + P(C) = 0,025 + 0,075 = 0,10

Kejadian tidak saling meniadakanDinas Pariwisata Kabupaten Jember melakukan survey pengunjung wisata di wilayah Kecamatan Ambulu. Maka dipilih 200 pengunjung, dengan rincian 120 berkunjung ke Watu Ulo saja, 100 berkunjung ke Pantai Papuma saja, dan 60 berkunjung di kedua tempat tersebut. Hitung probabilitas seorang wisatawan terpilih telah mengunjungi Watu Ulo atau Pantai Papuma.

P(W Ulo atau P Papuma) = P(W Ulo) + P(P Papuma) – P(W Ulo dan P Papuma) = 120/200 + 100/200 – 60/200

= 0,80

Aturan Perkalian Kejadian tak bebas (dependent event), merupakan probabilitas bersyarat yaitu probabilitas terjadinya

kejadian A dgn syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi (conditional probability) atau P(A/B).

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)

P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Kejadian bebas (independent event), merupakan kejadian terjadi dimana kejadian tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, apabila kejadian A tidak mempengaruhi B, dan sebaliknya.

P(A ∩ B) = P(A).P(B) = P(B).P(A)

Probabilitas Marginal, suatu kejadian terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama.

P(R) = P(S1).P(R/S1) + P(S2).P(R/S2)

Kejadian tak bebas (dependent event)Pengambilan scr acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set kartu bridge. Berapa probabilitas pengambilan kartu pertama berupa kartu As dan kedua juga kartu As. Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi (without replacement), dan hasil pengambilan kedua dipengaruhi hasil pengambilan pertama.

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = 4/52 . 3/51 = 0,0045

Kejadian bebas (independent event)Pengambilan 2 lembar kartu berturut-turut scr acak dr set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil pengambilan pertama dikembalikan (with replacement), shg hasil pengambilan pertama tidak mempengaruhi hasil pengambilan kedua. Probabilitas pengambilan kartu pertama kartu As dan kedua juga kartu As.

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 4/52 . 4/52 = 0,0059

Terdapat 3 pabrik baterai, dengan produksi mingguan pabrik pertama (S1) 500, pabrik kedua (S2) 2000, dan pabrik ketiga (S3) 1500. Diketahui probabilitas baterai rusak pada pabrik pertama P(R/S1) = 0,020, pabrik kedua P(R/S2) = 0,015, dan pabrik ketiga P(R/S3) = 0,030. Probabilitas baterai yg dipilih scr acak rusak.

P(R) = P(S1) P(R/S1) + P(S2) P(R/S2) + P(S3) P(R/S3) = (500/4000). 0,020 + (2000/4000). 0,015 + (1500/4000) . 0,030

= 0,0213

Rumus Bayes

Thomas Bayes mengembangkan teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab terjadinya suatu kejadian berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi (Bayesian decision theory), yaitu teori keputusan berdasarkan perumusan Bayes yang bertujuan untuk memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making under uncertainty).

P(Ai/A) = [P(Ai).P(A/Ai)] / Σ (PAi).P(A/Ai)

= P(Ai) P(A/Ai) / P(A)

Terdapat 3 pabrik baterai, dengan produksi mingguan pabrik pertama (S1) 500, pabrik kedua (S2) 2000, dan pabrik ketiga (S3) 1500. Diketahui probabilitas baterai rusak pada pabrik pertama P(R/S1) = 0,020, pabrik kedua P(R/S2) = 0,015, dan pabrik ketiga P(R/S3) = 0,030. Probabilitas baterai yg dipilih scr acak rusak dr pabrik pertama, dr parik kedua, dan dr pabrik ketiga.

P(S1/R) = [P(S1) . P(R/S1)] / P(R) P(S2/R) = [P(S2) . P(R/S2)] / P(R) = [(500/4000) . 0,020] / 0,0213 = [(2000/4000) . 0,015] / 0,0213 = 0,117 (baterai rusak dr pabrik pertama) = 0,352

(baterai rusak dr pabrik kedua)

P(S3/R) = [P(S3) . P(R/S3)] / P(R) = [(1500/4000) . 0,030] / 0,0213

= 0,528 (baterai rusak dr pabrik ketiga)

k

i=1