print sejamat matematika bangsa mesir

5/14/2018 Print Sejamat Matematika Bangsa Mesir - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/print-sejamat-matematika-bangsa-mesir 1/19

TUGAS

SEJARAH MATEMATIKA

TENTANGSEJARAH MATEMATIKA BANGSA MESIR

Dosen Pembimbing :

Dra.Akmil Fuadi Rahman

Oleh Kelompok II:

1. Milda Yanti ( A1C107247 )

2. Citra Risa Septiani ( A1C107248 )

3. Usmiyatun ( A1C107249 )4. Rahayu Lestari ( A1C107251 )

5. Budi Santoso ( A1C1072 )

6. Wiwin Irnanti ( A1C107284 )

7. M.Refqi Maulidi ( A1C109036 )

8. Julianti ( A1C110029 )

9. Arief Angky Suseno ( A1C110043 )

10. Heriadi Al Hifni ( A1C110044 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

BANJARMASIN

2010



Sistem Bilangan Mesir

Orang Mesir memiliki sistem penulisan yang didasarkan pada hieroglif dari

sekitar 3000 SM. Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata. Sangat mudah

untuk melihat bagaimana mereka akan menunjukkan kata “burung” oleh gambar burung

kecil tetapi tanpa pengembangan lebih lanjut, sistem tulisan ini tidak bisa mewakili

banyak kata. Masalah ini diadopsi oleh orang Mesir kuno adalah dengan berbicara

menggunakan kata-kata. Misalnya, untuk menggambarkan dengan kalimat “Aku

mendengar anjing menggonggong” mungkin diwakili oleh

:”Mata”, “telinga”, “kulit pohon” + “kepala mahkota”, “anjing”.

Simbol yang sama mungkin berarti sesuatu yang berbeda dalam konteks yang berbeda,

jadi “mata” mungkin berarti “melihat” sementara “telinga” mungkin berarti “suara”.

Orang Mesir memiliki sistem bilangan basis 10 hieroglif. Dengan ini berarti

bahwa mereka memiliki simbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluh

ribuan, ratus ribuan, dan jutaan.

I.Angka hieroglif

http://ilmumahasiswa.com/share/hieroglif/

http://ilmumahasiswa.com/share/hieroglif/



Misalnya untuk membuat bilangan 276, ada lima belas simbol yang diperlukan:

dua simbol “ratusan”, tujuh simbol “puluhan”, dan enam simbol “satuan”. Bilangan

tersebut diperlihatkan sebagai berikut :276 dalam hieroglyphs

Contoh tulisan bilangan 276 dalam hieroglif terlihat pada batu ukiran dari Karnak,

berasal dari sekitar 1500 SM, dan sekarang berada dipamerkan di Louvre, Paris.

Dapat dilihat bahwa menambahkan angka hieroglif itu mudah. Salah satunya

adalah menggantikan sepuluh simbol oleh simbol tunggal yang nilainya lebih tinggi

diatasnya. Bangsa Mesir Kuno juga sudah mengenal bilangan pecahan ,tetapi umumnya

pecahan satuan (unit fraction) yaitu pecahan pembilangnya satu menempatkan simbol

yang mewakili sebuah “mulut”, yang berarti “bagian”, kecuali pecahan 2/3 memiliki

simbol tersendiri. .

Pecahan yang bukan pecahan satuan (unit fraction) dapat dinyatakan sebagai

penjumlahan pecahan satuan,misalnya

2 1 1

7 4 28 4 28

2 1 1

99 66 198 66 198

2 1 1

97 56 679 56 776



Berikut adalah beberapa contoh:

Perhatikan bahwa ketika bilangan yang mengandung terlalu banyak simbol

“bagian”, ditempatkan di atas bilangan bulat, seperti dalam 1/249 , maka simbol

“bagian” ditempatkan di atas “bagian pertama” bilangan. (simbol diletakkan di atas

bagian pertama karena bilangan ini dibaca dari kanan ke kiri).

Dalam menuliskan bilangan, susunan desimal terbesar ditulis lebih dahulu.

Bilangan ditulis dari kanan ke kiri:

Misal untuk kasus penulisan bilangan 46.206

= 46.206

Kita harus menunjukkan bahwa hieroglif tidak tetap sama sepanjang dua ribu

tahun atau lebih dari peradaban Mesir kuno. Peradaban ini dipecah menjadi tiga periode

berbeda:

II.Kerajaan tua – sekitar 2700 SM sampai 2200 SM

Bukti dari penggunaan matematika di Kerajaan tua adalah langka, tapi dapat

disimpulkan dari contoh catatan pada satu tembok dekat mastaba di Meidum yang

memberikan petunjuk untuk kemiringan lereng dari mastaba. Garis pada diagram diberi

jarak satu cubit dan memperlihatkan penggunaan dari unit dari pengukuran.

http://ilmumahasiswa.com/category/matematika/

http://ilmumahasiswa.com/category/matematika/



III.Kerajaan Tengah – sekitar 2100 SM sampai 1700 SM

Dokumen matematis paling awal yang benar tertanggal antara dinasti ke-12.

Papirus Matematis Rhind yang tertanggal pada Periode Perantara (ca 1650 BC)

berdasarkan satu teks matematis tua dari dinasti ke-12. Papyrus Matematis Moscow dan

papyrus Matematis Rhind adalah teks masalah matematis. Terdiri dari satu koleksi

masalah dengan solusi. Teks ini mungkin telah ditulis oleh seorang guru atau satu murid

yang terlibat dalam pemecahan masalah matematika.

IV.Kerajaan Baru – sekitar 1600 SM sampai 1000 SM

Selama Kerajaan Baru masalah matematis disebutkan pada Papyrus Anastasi 1,

dan Wilbour Papyrus dari waktu Ramesses III mencatat pengukuran lahan. Angka

hieroglif agak berbeda dalam periode yang berbeda, namun secara umum mempunyai

style serupa. Sistem bilangan lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan

di papirus, terdiri dari angka hieratic.

Angka ini memungkinkan bilangan ditulis dalam bentuk yang jauh lebih rapi

dari sebelumnya saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih banyak simbol

yang harus dihafal. Ada simbol terpisah untuk ;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900,

1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000



Berikut adalah versi dari angka hieratic.

Sistem bilangan ini dapat dibentuk dari beberapa simbol. Angka 9999 hanya

memiliki 4 simbol hieratic sebagai pengganti 36 hieroglif. Salah satu perbedaan utama

antara angka keramat dan sistem bilangan kita adalah angka keramat tidak membentuk

sistem posisi sehingga angka tertentu dapat ditulis dalam urutan apapun. Berikut ini

adalah salah satu cara orang Mesir menulis 2765 dalam angka hieratic.

Berikut ini adalah cara kedua menulis 2765 dalam angka hieratic dengan

urutan terbalik



Seperti hieroglif, simbol hieratic berubah dari waktu ke waktu tetapi mereka

mengalami perubahan lagi dengan enam periode yang berbeda. Awalnya simbol-simbol

yang digunakan cukup dekat hubungannya dengan tulisan hieroglip namun bentuknya

menyimpang dari waktu ke waktu. Versi yang diperlihatkan dari angka hieratic dari

sekitar 1800 SM. Kedua sistem berjalan secara paralel selama sekitar 2000 tahun

dengan simbol hieratic yang digunakan dalam menulis di papirus, seperti misalnya

dalam papirus Rhind dan papirus Moskow, sementara hieroglif terus digunakan ketika

dipahat pada batu.

V.Penjumlahan pada sistem bilangan mesir

VI.Perkalian pada sistem bilangan Mesir

Perkalian dalam sistem bilangan mesir dikerjakan dari pengulangan

pelipatgandaan bilangan dengan unsur pengalinya kemudian menjumlahkannya.

Misalnya untuk kasus 30 x 23

1 23

2* 46*

4* 92*

8* 184*

16* 368*

2 + 4 + 8 + 16 = 30 Sedangkan 46 + 92 + 184 + 368 =690 jadi 30 x 23 = 690

http://ilmumahasiswa.com/share/sistem-bilangan-mesir/





VII.Pembagian pada sistem bilangan Mesir

Misalnya untuk kasus 98 ÷ 7

Untuk kasus ini, akan difikirkan 7 kali suatu bilangan akan menghasilkan 98

1 7

2 * 14*

4 * 28*

8 * 56*

Pasangan bilangan di kolom sebelah kiri dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi.

Jadi, jawabannya adalah 14.

98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7*14

VIII.Penggunaan Persamaan Linear Satu Variabel Dalam Pemnecahan Masalahbangsa Mesir

Bentuk persamaan linear dengan satu variabel secara umum ditulis :

()

( )

Jika nilai diperkirakan sama dengan p1 sehingga ap1 + b 0

misalnya ap1 + b = k1 ..........(3) Selanjutnya diambil lagi perkiraan kedua,yakni x = p2,sehingga ap2 + b

misalnya ap2 + b = k2 ..........(4)

Dari persamaan (3) dan (4) didapat

dari persamaan

didapatkan :

.........(5)



Contoh soal :

Seorang raja memerintahkan kepada 30 orang untuk menanam pohon dalam rangka

penghijauan.Jika mereka dapat menanam 1.000 pohon selama 9 hari, berapa hari

penanaman 4.400 pohon yang dilakukan oleeh 36 orang dengan kemampuan kerja yang

sama ?

Jawab :

Sebagai bahan perbandingan, maka problem di atas lebih dahulu diselesaikan dengan

persamaan linear biasa.Selama 9 hari , 30 orang pekerja dapat menanam 1.000

pohon,maka kemampuan tiap pekerja dapat menanam pohon :

pohon

Misalkan 36 pekerja menanam 4400 pohon selama x hari, maka:

x.36.

= 4400, maka didapatkan x = 33 hari

Jadi 36 orang pekerja menanam 4400 pohon selama 33 hari.Apabila problem

tersebut diselesaikan dengan perkiraan (kedudukan palsu) diambil 4 buah bentuk seperti

berikut:

1. Perkiraan I : p1 = 30 hari, maka didapatkan

Jadi k 1 = 4400 – 4000 = 400

2. Perkiraan II : p2 = 32 hari, maka didapatkan .

Jadi, k 2 = 4400 –

3. Perkiraan III : p3 = 35 hari, maka didapatkan 35.36.

Jadi, k 3 = 4400 -

4. Perkiraan IV : p4 = 34 hari, maka didapatkan 34.36.

Jadi k4 =4400



Pada tahap berikutnya akan dipasangkan perkiraan sebagai satu bentuk phenomena,

yakni:

a.

Pasangan p1=30, k 1=400 dan p2=32, k 2= 400/3

Jadi x =

=

()

()

= 33 hari

b. Pasangan p1=30, k 1=400 dan p3=35, k 3= -800/3

Jadi, x =

=

()

()

33 hari

Jadi, diselesaikan selama 33 hari.

c. Pasangan p1=30, k 1=400 dan p4=34, k 4= -400/3

Jadi x =

=

()

()

33 hari


d. Pasangan p2=32, k 2=400/3 dan p3=34, k 3=-800/3

Jadi x =

=

()

()

33 hari


e. Pasangan p2=32, k 2=400 dan p4=34, k 4= -400/3

Jadi x =

=

()

33 hari


f. Pasangan p3=35, k 3=-800/3 dan p4=34, k 4=-400/3

Jadi x =

=

()

()

=33 hari

Dari keenam penomena yang dikemukakan tersebut dengan menggunakan

rumus ( 5 ) mendapatkan nilai x yang benar.

IX.Bujur Sangkar Ajaib

Ada aritmatika peninggalan Cina yang menarik yaitu bujur sangkar ajaib ( 2200SM).

Bujur sangkar ajaib yang terbentuk n buah baris dan n buah kolom dimana n bilangan

ganjil sehingga terdapat n2

bujur sangkar kecil yang akan diisi dengan bilangan asli

yang berurutan dimana jumlah bilangan pada baris, kolom dan diagonal sama, yakni

n(n2+1)/2.



Susunan kotak 3 x 3

Contoh : n=3 maka hasil yang di cari()

=15

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Susunan kotak 4 x 4

Kita akan membuat kotak 4x4, yang jika dijumlahkan :

-Secara Vertikal

-Secara horizontal

-Secara diagonal

-4 angka di masing-masing pojok

-4 angka di tengah

Akan menghasilkan angka yang sama.

Berikut 2 buah rumus yang dapat digunakan.:

http://1.bp.blogspot.com/_OrNDs4qOgQQ/Sg6gdVeLmeI/AAAAAAAAA5w/lRd-sQN-Qes/s1600-h/joesandy.JPG



Dan berikut contohnya, dengan angka 49 sebagai patokan (apabila dijumlahkan dengan

metode di atas, semua menghasilkan 49)

Rumus II.

KET :

A = Jumlah – 21

B = A + 1

C = B + 1

D = C + 1

8 11 B 1

A 2 7 12

3 D 9 6

10 5 4 C

http://2.bp.blogspot.com/_OrNDs4qOgQQ/Sg6gdV5Ip-I/AAAAAAAAA5o/b5K9aBqNmvM/s1600-h/Copy+of+joesandy.JPG



X.Perkembangan Geometri

Dua puluh enam problem dari 110 problem pada papyrus Moscow dan Rhind adalah

tentang geometri. Problema geometri yaitu tentang pengukuran luas dan volume.

Misalnya luas lingkaran digunakan formula sama dengan kuadrat dari

diameternya

dan volume silinder tegak sama dengan perkalian luas alas dan tingginya, perhitungan

cotangent antara alas dan permukaan suatu piramida. Untuk menghitung luas segiempat

secara umum menggunakan rumus :

K=( a + c )( b + d )/4

Dimana a,b,c dan d sebagai sisi dari segiempat walaupun selanjutnya diketahui rumus

ini salah.



Soal-soal

1. Hitunglah perkalian 22 dengan 26 dengan prinsip duplikasi!

Penyelesaian:

Karena 22 = 16 + 4 + 2

1 2

2* 52*

4* 104*

8 208

16* 416*

22=2+4+16 572=52+104+416,

Sehingga didapat bahwa 22 x 26=572

2. Hitunglah perkalian 25 dengan 15 dengan prinsip duplikasi!

1* 15*

2 30

4 60

8* 120*

16* 240*

25=1+8+16 375=15+120+240,

Sehingga didapat bahwa 25 x 15=375



3. Hitunglah 650 dibagi 16 dengan duplikasi terhadap bilangan 4.

Penyelesaian:

1 4

3* 12*

9* 36*

27* 108*

39 = (3 + 9 + 29) = 156

Berdasarkan data di atas maka didapat hasil baginya adalah 39 (3 + 9 + 27 = 39)

Karena dibagi 16 dan 16 adalah perkalian 4 dengan 4 maka 156 juga harus dikali

dengan 4, yaitu:

156 x 4 = 624

Selain itu pembagian 650 dibagi 16 juga mempunyai sisa, yaitu 26 (650 – 624 = 26)

Kesimpulan:

650 dibagi 16 mempunyai hasil 39 dengan sisa 26.

4. Jelaskan perbedaan Matematika bangsa Mesir dengan Matematika bangsa Babilonia?

Jawab :

Matematika pada bangsa Mesir khususnya pada lembaran Rhind (LambaranArmes)

berisi instruksi pelajaran Aritmaatika dan Geometri. Selain memberikan rumus-rumus

luas dan cara-cara perkalian, pembagian dan pengerjaan pecahan. Lembaran itu juga

menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya termasuk bilangan komposit dan

prima, rata-rata aritmatika, geometri serta cara menyelesaikan persamaan linear orde

satu juga barisan aritmatika dan geometri.

Sedangkan matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal

(baris 60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60

menit untuk 1 jam dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga

penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan derajat.



5. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan

satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula pertama.

, dimana

Dengan : p = 2 r =

q = 3

z = 1

6. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan

satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula kedua.

, dimana x dan y sebagai factor daripqdan

Penyelesaian:

Misal : p = 4

q = 5

x = 2

y = 5



7 . Carilah nilai dengan penyelesaian secara “kedudukan palsu”dari persamaan :

.

Penyelesaian:

Misal nilai

Karena 48 = 16 x 3,sehingga 15 x 3 = 45,

Jadi nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah 45.

8 . Carilah nilai dan dengan penyelesaian secara “kedudukan palsu”dari persamaan :

.

Penyelesaian :

Misal nilai ,maka:

Karena 15 = 5 x 3 sehingga nilai yang benar adalah:

Jadi nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut secara berurutan adalah 6

dan 9.



9. Buatlah bujur sangkar ajaib yang di bentuk oleh n = 3 Sebanyak 5 buah.

Jawab:

6 1 8

7 5 3

2 9 4

6 7 2

1 5 38 9 4

4 9 2

3 5 7

8 1 6

10 .Buatlah bujur sangkar ajaib dengan n=4.Jika setiap angka yang terdapat pada kotak

dijumlahkan secara vertikal,horizontal dan diagonal adalah 25.

Penyelesaian :

Gunakan ketentuan berikut

8 11 B 1

A 2 7 12

3 D 9 6

10 5 4 C

A=Hasil-21

B=A+1

C=B+1

D=C+1

8 1 6

3 5 7

4 9 2

2 9 4

7 5 36 1 8



Dengan demikian didapat bentuk puzzle/bujur sangkar sebagai berikut:

8 11 5 1

4 2 7 123 7 9 6

10 5 4 6

Pertanyaan dari audience : Bagaimana Simbol yang ditulis bangsa mesir kuno

untuk menulis pecahan yang bukan pecahan satuan (unit fraction)?

Jawaban:

Penulisan pecahan yang bukan pecahan satuan (unit fraction) dapat dinyatakansebagai penjumlahan dua buah pecahan satuan yang berbeda,misal :

2 1 1

7 4 28 4 28

2 1 1

99 66 198 66 198

2 1 1

97 56 679 56 776

print sejamat matematika bangsa mesir

Documents