Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari gerak titik partikel secara geometris, yaitu meninjau gerak partikel tanpa meninjau penyebab geraknya. Kinematika adalah cabang dari ilmu mekanika, yaitu ilmu yang mempelajari gerak benda.

Gerak lurus adalah gerak suatu obyek yang lintasannya berupa garis lurus. Dapat pula jenis gerak ini disebut sebagai suatu translasi beraturan. Pada rentang waktu yang sama terjadi perpindahan yang besarnya sama.

1.

Kedudukan PartikelVektor SatuanVektor Satuan adalah vektor yang memiliki nilai satu satuan dengan arah tertentu .Arah vektor satuan searh dengan sumbu positif maka nilainya sama dengan +1 dan vektor satuan yang searah dengan sumbu negatif sama dengan -1 .Dari gambar disamping merupakan vektor satuan dalam koordinat kartesius. adalah vektor satuan dalam arah sumbu x adalah vektor satuan dalam arah sumbu y K adalah vektor satuan dalam arah

Vektor Posisi ( r ) dalam bidangVektor Posisi adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik yna berada pada suatu bidang atau ruang.y P ( x,y ) j r Gambar disamping melukiskan vektor posisi titik P ( X, Y ) terhadap pusat koordinat O yang didefinisikan sebagai vektor OP atau vektor r dan dapat ditulis ; OP = r = x + y Besar vektor dengan x Iri= Arah vektor posisi terhadap sumbu x tg = posisi dinyatakan

i

Perubahan vektor posisi ( r )Perubahan vektor posisi adalahOP = r1 = x1 OQ = r2 = x2 y1 y2

+ +

OQ = OP + PQ maka vektr PQ PQ = OQ OP r = r2 - r1 r = (x2 + y2 ) (x1 + y1 ) r = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) Atau r = x + y Besar perubahan vektor posisi r dinyatakan dengan ; I r I =

Perhatikan Gambar dibawah ini ! yty I r I x O Arah perpindahan terhadap sumbu x adalah ; tg =

Contoh SoalSoal Sebuah partikel berada pada posisi P ( 3, 4 ) a. Tentukan persamaan posisi ! b. Gambar posisi titik P dalam koordinat Cartesius ! c. Hitunglah Besar dan Arah dari vektor tersebut ! Penyelesaian : a.r = x + y r=3+4

b.

Y 4 f p

x o 3 c. Besar vektor posisi IrI= IrI= Jadi besar vektor itu 5 Arah Vektor : tg = = = 53 0

Jadi, arah vektor terhadap sumbu x adalah 53 0

Vektor Posisi ( r ) dalam RuangVektor Posisi adalah suatu vektor yang menyatakan posisi dari suatu titik . Pada gambar dibawah ini titik A mempunyai koordinat ( x, y, z ). Vektor posisi titik A relatif terhadap pusat koordinat didefinisikan sebagai vektoe OA yang dapat ditulis ; r = OA = x + y j + zk Besar Vektor adalah ; R=

Dari gambar kita peroleh OB = OA + AB sehingga : r AB = AB = OB OA = rB rA = ( xB xA ) + ( y B YA ) + ( ZB + Z A) CATATAN Posisi sebuah partikel biasanya dinotasikan dengan huruf X,y,r atau s Notasi vektor satuan biasanya ditulis atau

2. KecepatanKecepatan merupakan ukuran yang menyatakan besar perubahan posisi benda terhadap waktu.Kecepatan sebagaimana perubahan posisi ( perpindahan ) mempunyai arah tertentu sehingga keduanya adalah besaran vektor.

Kecepatan Rata rataAdalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu. Gambar di bawah ini menunjukan bahwa sebuah titik bergerak dari A ke B selama selang waktu t detik. Perpindahan yang dialami adalah AB = r. Jika vektor posisi saat di A adalah r1 dan ketika sampai di B mempunyai vektor posisi r2 bagaimana hubungan antara r,r1,r2dengan

menggunakan aturan polygon vektor dapat ditulis seperty berikut :

AB = r OA = r1 OB = r2

Jika r1 dinyatakan dengan x1 + y1 dan r2 dinyatakan dengan x2 + y2 maka ;

r = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) = x + y

Besar Kecepatan rata rata ( laju rata rata )

Vr = Kecepatan rata rata ( Vr ) di definisikan sebagai Arah kecepatan rata rata perpindahan persatuan waktu, sama secara matematis ditulis : dengan arah perubahan posisi Vr = atau Vr =

Vr =

Vr = Vx

+

Vy

tg =

Kecepatan SesaatMerupakan lemit kecepatan rata rata suatu partikel untuk perubaha waktu yang sangat kecil atau mendekati nol. Vy = = tg =

Kecepatan sesaat akan diperoleh ketika t mendekati nol. Titik A dan B hampir berhimpit sehingga y juga mendekati nol dan busur AB berhimpit dengan garis Vx, Vx merupakan garis singgung grafik r = r ( t ) . v= = Maka kecepatan sesaat v : v=

Artinya, Kecepatan sesaat merupakan differentsial ( turunan ) dari fungsi posisi. Maka persamaanya : v=

Atau v = Vx + Vy Kelajuan sesaat atau besar kecepatan sesaat adalah ; IVI= Arah kecepatan sesaat terhadap sumbu x adalah ; tg =

Sebuah partikel bergerak menurut garis lurus dengan persamaan posisi x = -2t2 + 24t + 8 , x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah :a.Kecepatan b.Kecepatan c.Kecepatan d.Kapan e.Jarak

= -4t + 24 untuk t = 0 maka V0 = 24 ms-1b.

V=

= x1 = -2(2)2 + 24(2)+8 = 48 m x0 = -2(0)2 + 24(0) + 8 =8m = 20 ms-1

awal partikel .

Untuk t1 = 2s Untuk t0= 0s Maka V =

rata rata selama 2 sekon pertama saat t = 4 sekon partikel berhenti

Terjauh Jadi kecepatan rata rata partikel selama 2 secon adalah 20 ms -1c.

Penyelesaian Diket : persamaan x = -2t2 + 24t + 8a.Kecepatan

V=

= = -4t + 24

(-2t2 + 24t + 8 )

Awal adalah kecepatan = (-2t2 + V4 = -4 (4) + 24 = 18ms-1

t=0 Maka, v = 24t + 8 )

d. Parikel Berhenti ketika V = V = -4t + 24 0 = -4t + 24 4t = 24 t = 6 sekon

=0

Jadi, partikel berhenti saat t = 6 sekon e. Jarak terjauh yaitu jarak ketika V = 0 ,dimana t = 6 sekon Xt = -2t2 + 24 t + 8 X6 = -2 ( 6 )2 + 24(6) +8 = -72+144+8 = 80 meter Jadi jarak terjauh yang dicapai partikel adalah 80 meter

Menentukan posisi dari Fungsi Kecepatan Terhadap WaktuUntuk menentukan posisi dari fungsi kecepatan dapat dilakukadengan kebalikan differensial yang dikenal dengan intergral ( ) Maka , V = dr = vdt dr= Vdt r = Vdt r1 r0 = Vdt r1 = r0 + Vdt

Keterangan ; r1 = Posisi Saat t Sekon r0 = Posisi mula mula ( saat t = nol ) V = Kecepatan sesaat sebagai fungsi waktu

Titik A memiliki kecepatan yang dinyatakan dalam vektor : VA = ( 8t j 2 t2 j ) m/s .Jika posisi awal benda ( 2i + 3j ) m/s ,Tentukanlah vektor posisi saat t = 2s! Penyelesaian : Diket : VA = ( 8t j 2 t2 j ) m/s ro = ( 2i + 3j ) m/s t = 2s Dit : r.........? Jawab : r = r0 + VAdt

r = ( 2i + 3j ) + ( 4 t2 i -

t3 j )

Saat t = 2s maka r = ( 2i + 3j ) + ( 4(2)2 i (2)3 j ) r = ( 8i j ) m/s

Jadi vektor posisi saat t = 2 adalah ( 8i j ) m/s

r = ( 2i + 3j ) + ( 8t j 2 t2 j ) dt

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi waktu yang ditunjukkan oleh persamaan: a.V = 4t2 -2t b.V =t2 4t1/2 Hitung posisi partikel sebagai fungsi waktu . Jawab : a. r = V dt = (4t2 -2t ) dt r= t3 t2 b. r = t3 3/2

3. Percepatan Diturunkan Dari Fungsi Kecepatan

Percepatan Rata RataAdalah sebagai hasil bagi perubahan kecepatan terhadap selang waktu . Gambar dibawah ini memperlihatkan grafik hubungan kecepatan terhadap waktu . Ketika benda di titik A pada selang waktu t memiliki kecepatan V1 kemudian benda bergerak ke titik B pada selang waktu t2, dengan kecepatan v2 maka percepatan rata- rata benda dari A ke B :

= Dengan : a = Percepatan rata- rata ( m/s2) t = Selang Waktu ( s ) v = Perubahan Kecepatan ( m/s)

Apabila gerak partikel tersebut terletak pada bidang yang dibentuk oleh sumbu x dan sumbu y maka persamaanya dapat di ubah : ar = Arah percepatan rata terhadap sumbu x adalah : tg = rata

Besar Percepatan I ar I = Dengan : I ar I = Percepatan rata rata ( m/s2 ) ax = Komponen percepatan arah sumbu x (m/s2 ) ay = Komponen percepatan arah sumbu Y (m/s2 )

Siti menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 tj ) m/s .Tentukan : a.Vektor percepatan rata rata dari t = 1s hingga t= 3s b. Komponen sumbu X percepatan rata rata dari t = 1 s hingga t = 3 s c.Komponen sumbu Y percepatan rata rata dari t = 1 s hingga t = 3 s d.Besar percepatan rata rata dari t = 1s hinggga t= 3s e.Arah percepatan rata rata dari t = 1s hinggga t= 3s Penyelesaian : a.a = =

= a = 8 i + 8 j m/s b. ax = 8 m/s2 c. ay = 8 m/s2 d. a = =8 e. tg =

m/s2 maka = 45 0

Percepatan SesaatSebagai perubahan kecepatan sesaat terhadap waktu dapat ditentukan dengan analogi seperti kecepatan sesaat.Namun secara teoris ,percepatan sesaat dapat didenifisikan sebagai harga limit percepatan rata-rata dengan mengambil t yang mendekati nol. a= a= Komponen komponen percepatan sesaat terhadap sumbu x dan sumbu y: ax = dan ay = Sehingga vektor percepatan sesaat diperole : a = ax i + ay j Besar Percepatan Sesaat : atau ax = dan ay = IaI= =

Arah percepatan sesaat terhadap sumbu x : tg a = Percepatan sesaat merupakan turunan kedua dari fungsi posisi karena V = maka, a= a= = Kesimpulannya :

Menentukan Fungsi Kecepatan dari Fungsi Percepatan terhadap Waktumenentukan kecepatan suatu partikel ketika percepatan partikel pada setiap waktu kecepatan awal dan waktu mula mula partikel bergerak dengan 2 cara yaitu : 1. Metode Intergral Anggapan sebuah partikel bergerak dari t = t0 ke t =ta dengan percepatan : a = ax i + ay j + az k Jika mula mula partikelberada pada kecepatan Vo , maka kecepatan akhir partikel V1, dapat dihitung dengan rumus berikut : a= dv = a dt

dv = Vt V 0 =

a dt a dt

Vt = V0 + adt Dengan menuliskan vektor vektor pada persamaan di atas dalam komponen komponennya ( Vt = Vxt i + Vyt j + V2t k dan V0 = Vxo i + Vyo j + V20 k ) kita peroleh ; Vxt =Vxo + axdt Vyt = Vyo + aydt Vzt = Vz0 + azdt Jika hanya besar percepatan saja yang diketahui ( arahnya tidak diberi tahu ) maka rumus besar kecepatan setiap saat dapat ditulis; Vt = Vo + a dt

Dengan V1 dan Vo menyatakan kecepatan pada waktu t dan kecepatan mula mula

2.

Metode Grafik Dalam metode grafik , intergral pada persamaan Vxt =Vxo + ax dt ,

Vyt = Vyo + ay dt , Vzt = Vz0 + az dt dan Vt = Vo + a dt dihitung secara grafik, yaitu dengan menghitung luas daerah di ax (t) bawah kurva ax, ay (t), ay (t) az(t ) seperti ditunjukkan pada dan daerahyang diarsir dalam gambar dibawah ini.Luas = ax dtto 0 ta

Luas = ax dtt 0

to ta t

Catatan : Luas daerah yang diarsir dibawah kurva ax, ay (t), dan az(t ) merupakan besar pertambahann kecepatan partikel dalama arah sumbu x, y, dan z dari

SoalSebuah partikel mendapat dua macam percepatan, percepatan arah sumbu x : ax = 2t 3t2 dan percepatan arah sumbu y : ay 6-4t. Jika mula mula

Vxt = Vx0 + Vx dt =0+2

( 2t-3t2)dt3

0 1

= ( 2. t2-3.1/3 t3 ) = ( 1 1 )- 0 = 0 m/s

partikel diam , Hitung kecepatan partikel setelah 1 detik ( semua satuan dalam Vyt = Vyo + Vydt rumus percepatan di atas dinyatakan = 0 + ( 6-4t ) dt dalam SI ( Sistem Internasional )) . = ( 6t 4.1/2 t2 )

0 1

Penyelesaian : Diketahui : Vyo = 0 Vxo = 0 to = 0 Ditanya ta = 1 s

= ( 6.1 2.12 ) 0 = 4 m/s Kecepatan patikel adalah resultan dari kedua kecepatan ini yaitu : V= =

ax = 2t 3t2 ay = 6 4t : Vt.....?

2. Memadu Geraka. Pengertian Memadu GerakApabila sebuah benda secara serentak dipengaruhi dua gerak lurus yang arahnya berlainan, hingga menhasilkan paduan gerak. Besar dan arah paduan ini menjadi berbeda dengan besar dan arah paduan ini menjadi berbeda dengan besar dan arah kedua gerak yang dipadukan.

b. Paduan Duan Gerak Lurus Beraturany vy v

0 vx

Perhatikan gambar diatas merupakan persamaan kedudukan dari gerak perahu dan gerak arus sungai setelah selang waktu detik adalah sesuai dengan persamaan gerak lurus beraturan yaitu : Sx = V x . t Sy = Vy .t Hasil perpaduan kedua kedudukan tersebut adalah : S = Sx + S y S = Vx .t + Vy .t S = ( Vx + Vy ) .t

Sedangkan hasil perpaduan kecepatan Vx dan Vy adalah V . V = Vx + V y Substitusi nilai v dari persamaan V = Vx + Vy ke persamaan S = ( Vx + Vy ) .t maka akan diperoleh : S = ( Vx + Vy ) .t S = V.t

Sebuah pesawat terbang bergerak dari kota A ke barat dengan laju 120 km/jam. Setengah jam kemudian ternyata pesawat berada di atas sebuah desa yang terletak 75 km di barat dan 20 km di selatan kota A. Selama terbang, pesawat ditiup angin dengan kecepatan... Pembahasan...Vp = 120 km/jam A

Va 20 km 75 km Va

c. Paduan Gerak lurus beraturan dengan geak lurus berubah beraturanbenda yang dipengaruhi gerak lurus beraturan ke arah sumbu x dan gerak lurus berubah beraturan dengan percepatan a ke arah sumbu y tanpa y kecepatan awak V0 = 0 .Persamaan kedudukan untuk peduan gerak ini adalah sebagai berikut : a x

v

Gerak searah sumbu x : x = Vx . t ( dengan v tetap ) t=

Gerak searah sumbu y : y = Vo . t + at2 y = a.t2 Substitusikan nilai t dari persamaan t = akan diperoleh : y = a.t2 = a. =a Harga merupakan bilangan tetap ( c = konstan ) maka persamaan dapat ditulis : Y = c. X2 Selanjutnya untuk menentukan harga kecepatan setelah t detik , kembali kita menggunakan persamaan paduan dua vektor yaitu : V=2

ke persamaan y = a.t2 maka

Y=

. X2

KET : : Sudut yang dibentuk V dengan , dengan arah tg = sumbu x : tetap : Vo + at karena Vo = 0 maka Vy = a.t

d. Gerak Parabola ( Gerak parabola )

Gerak Searah Sumbu XGerak searah sumbu x berupa gerak lurus beraturan sehingga berlaku persamaan : Vox = Vo .cos Vtx = Vo . Cos Xt Xt = Vtx . t = Vo. Cos .t ( tetap ) KET : Vo= Kecepatan awal peluru ditembakkan Vox = Komponen kecepatan peluru searah sumbu x saat t = 0 ( awal pengamatan ) Vtx = Komponen kecepatan peluru searah sumbu x setelah t detik Xt = Perpindahan searah sumbu x setelah t detik = Sudut Elevasi

Gerak Searah Sumbu yGerak searah sumbu y adalah gerak lurus berubah beraturan , karena mendapat percepatan gravitasi bumi yang arahnya ke bawah ( a = - g ) Maka berlaku persamaan : Voy = Vo sin Vty = Voy + a t = Voy g .t Vty = Vo sin g.t yt = Voy . t + a.t2 yt = Voy . t - a.t2 KET : yt = Vo sin .t g.t2Voy = Komponen kecepatan peluru searah sumbu y pada saat t = 0 ( awal pengamatan ) Vty = Komponen kecepatan peluru searah sumbu y setelah t detik yt = Perpindahan searah sumbu y setelah t detik

Kecepatan Resultan Setelah t detikKecepatan resultan setelah t detik : Vt = dan Arahnya : tg = Dengan ; = sudut arah kecepatan setelah t detik

Titik TertinggiTitik tertinggi yang dicapai peluru. Pada titik ini, harga Vty = 0 ( tidak naik lagi ) . Bila harga ini distubstitusikan pada persamaan Vty = Vo sin g.t dengan t = t ym = waktu yang diperluakn untuk mencapai titik tertinggi ( tinggi maksimum ) maka diperoleh : Vty = Vo sin g t 0 tym

ym ym

= Vo sin g t =

Titik tertinggi ( ym ) yang dicapai peluru, persamaannya dapat diperoleh dari persamaan yt = Vo sin .t g.t2 dengan t = t ym ym

= Vo . Sin .tym g.t2 ym

ym =

Titik Terjauh ( Jarak Tembakan )Titik q merupakan kedudukan terjauh yang dicapai peluru. P ada titik ini yt = 0 . Bila harga ini disubsitusikan pada persamaan yt = Vo sin .t g.t2 dengan t = txm = waktu yang diperlukan untuk mencapai titik terjauh , maka diperoleh : 0 = Vo sin . txm g t2 xm 0=txm

( Vo sin g txm )

0 = Vo sin g txm g txm = Vo sin txm = 2 Titik terjauh ( Xm ) yang dicapai peluru , persamaanya dapat diperoleh dari persamaan Xt = Vo. Cos .t dengan t = txm Xm = Vo.cos . txm = Vo.cos . 2 = sin 2

Hubungan x dan y pada Gerak ParabolaTelah diketahui bahwa persamaan lintasan dalam arah sumbu x memenuhi persamaan : x = V0 cos .t t= Persamaan waktu ( t ) diatas disubsitusikan ke dalam persamaan lintasan dalam arah vertikal atau arah sumbu y : y = Vo sin .t g t2 = Vo sin = y = tan x -g2

5. Gerak RotasiGerak rotasi adalah gerak benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar ( atau sumbu rotasi ) Berdasarkan gambar dibawah ini benda berupa titik P . Bergerak melingkar beraturan dengan pusat lintasan di O dan jari jari llintasan di R. Kecepatan linier V, disebut juga kecepatan singgung dan mempunyai harga atau laju yang tetap. Laju ini menyatakan lintasan ( busur lingkaran ) yang ditempuh tiap satuan waktu. V o R p V= KET : =2 fR

T = Periode, yaitu waktu untuk 1 kali bergerak melingkar dengan satuan detik (s) F = Frekuensi, banyaknya putaran yang ditempuh selama 1 detik

Selama dari 0 sampai t detik, benda P menempuh lintasan sepanjang s. s2 = v . T

Kalau kita perhatikan garis OP ,selama P bergerak melingkar,garis OP menyapu sudut. Sudut yang disapu atau yang dibentuk selama satu satuan waktu merupakan besar kecepatan sudut ( = W ) W= =2 .f

KET : W = Kecetan sudut,dalam rad s-1 T = periode dalam s f = Frekuwensi dalam s-1

Arah Kecepatan SudutArah kecepatan sudut dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan mengepal. Arah melingkarnya jari jari menunjukkan arah putaran benda. Arah ibu jari menunjukkan arah kecepatan sudut. a. Posisi Sudut. Selama P bergerak dari O sampai t detik,maka OP menyapu atau membentuk sudut sebesar . = w .t = Sudut yang dibentuk selama t detik dalam radian (rad) W = Kecepatan sudut,dalam rad s -1 t = Waktu yang diperlukan ,dalam s

Berdasarkan pengertian di atas, posisi benda titik P yang bergerak melingkar dapat dinytakan dengan : ( r1 (t))

r = R = jari jari lintasannya yang berharga tetap (t) = sudut yang dibentuk jari jari OP terhadap posisi awal selama t detik .

Gerak Melingkar BeraturanDalam gerak melingkar beraturan , (t) = w.t, dengan w tetap . Apabila pada saat t = 0 sudah mempunyai posisi sudut awal 0 , maka : (t) = 0 + wt

merupakan fungsi linier dari t

Gerak Melingkar UmumnyaPosisi titik P adalah (r, (t) ), r = R = tetap Posisi titik P adalah ( r, (0 + t)) r = R = tetap

Pengertian RadianDalam perhitungan fisika sudut diukur dalam radian atau disingkat dengan rad. Hubungan antara rad dan derajat adalah : 1 rad = = 57,296o

Definisi radian dapat diturunkan dengan bantuan Gambar disamping.Pada gambar tampak bahwa Panjang tali busur yang berhadapan dengan sudut adalah . Hubunan s,r, dan secara geometri dapat ditulis : = =

Jika dinyatakan dalam radian maka : = = =

Jika r = s sudut = 1 radian.Dari sini dapat didefinisikan bahwa 1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh suatu juring lingkaran yang panjang tali busurnyasama dengan jari jari lingkaran ( r = s )r=s

= 1 radian

Dalam gerak rotasi posisi sudut suatu partikel senantiasa berubah dengan kata lain posisi sudut merupakan fungsi waktu , = (t)

b. Kecepatan Sudut Setiap benda yang berputar memiliki kecepatan sudut.Pada gerak linier, kecepatan diturunkan dari persamaan lintasan atau posisi, sedangkan pada gerak rotasi pada diperoleh dari persamaan posisi sudut yang ditempuh selama gerak rotasi.Anda bedakan pengertian , antara kecepatan sudut rata rata dan kecepatan sudut sesaat.

Kecepatan Sudut Rata rataSebuah partikel bergerak dan melakukan perpindahan dari posisi menuju posisi Q . Perpindahan yang dilakukan partikel tersebut disebut perpindahan sudut . Besarnya adalah = 2 1 dan dalam selang waktu t. Kecepatan sudut rata rata dapat didenifisikan sebagai : Kecepatan sudut rata rata = = Dengan : = Kecepatan sudut rata rata (rad/s ) = Selisih posisi sudut (rad) t = Selang waktu (sekon )

Kecepatan Sudut SesaatAdapun kecepatan sudut sesaat, yaitu sebagai perpindahan sudut dalam selang waktu yang sangat singkat (t 0 ) . Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut ; = atau =

Kecepatan sesaat sebagai kemiringan ( gradien ) garfik = f(t)Persamaan = menunjukan bahwa kecepatan sudut suatu titik yang bergerak rotasi adalah turunan pertama dari persamaan posisi sudut tersebut. Secara matematis ini berarti bahwa kecepatan sudut sesaat dapat ditentukan dari kemiringan grafik fungsi sudut terhadap waktu sebagai berikut :

= tan

Dengan : = kecepatan sudut sesaat ( rad/s) = Sudut garis singgung kurva terhadap sumbu t pada suatu saat. t = t1 t = t2 t = t3 = tan 1 = tan 2 = tan 3= 0

Mentukan Posisi Sudut dari fungsi KecepatanBerdasarkan perumusan diatas dapat disimpulakan bahwa kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut tiap satuan waktu.Sebaliknya jika pada gerak melingkar, fungsi kecepatan sudut diketahui maka fungsi posisinya juga dapat dicari : = .dt = d d = .dt d = 0 = .dt .dt .dt

= 0 + Dengan :

= Posisi sudut pada saat t 0 = Posisi sudut pada saat t = 0

c. Percepatan Sudut

Percepatan sudut rata rataa rata-rata = a rata-rata =

Percepatan sudut sesaatMisalnya percepatan sudut pada saat t =t1 didapat dari kecepatan rata-rata, dengan mengambul t2 t1 atau t 0 diperoleh : = = =

Percepatan sudut merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan, terhadap waktu sudut

Kalau kita kaitkan dengan kecepatan sudut yang telah dibicarakan diatas, yaitu = maka : = = =

Percepatan sudut merupakan turunan kedua dari fungsi posisi sudut terhadap waktu

Percepatan sesaat sebagai kemiringan (gradien) grafik w =(t)Karena percepatan sudut merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu, maka percepatan sudut sama dengan gradien kemiringan grafik =f(t). = tan Dengan adalah sudut garis singgung kurva terhadap sumbu t pada suatu saat. Percepatan sudut pada saat t = t1 adalah = tan 1 Percepatan sudut pada saat t=t2 adalah = tan 2

Menentukan Kecepatan Sudut Dari Fungsi Percepatan SudutKecepatan sudut (anguler) dapat ditentukan dari fungsi percepatan sudut. Secara sistematis, kecepatan sudut diperoleh denagn metode integrasi dari fungsi percepatan sudut, persamaannya : = .dt = d d = .dt d = 0 = = 0 + .dt .dt .dt

Untuk gerak melingkar berubah beraturan perecepatan sudutnya tetap , yaitu .Dari ketentuan ini dapat dihitung kecepatan sudutnya : = 0 + .dt = 0 + .t = 0 + .t Dengan : = Kecepatan sudut pada suatu saat o= Kecepatan sudut awal yang berharga tetap = Percepatn sudut

Dari percepatan sudut ini, dapat dihitung pula posisi sudutnya. = 0 + = 0 + .dt (o + t )dt

= 0 + (ot + 1/2 .t2 ) = 0 + ot + 1/2 .t2 = 0 + ot + 1/2 .t2 Posisi sudut GRBB

Dengan : = Posisi sudut pada saat t 0 = Posisi sudut pada saat t = 0 Tabel Analogi gerak translasi dan rotasi Gerak lurus berubah beraturan ( a = konstan V = V0 +at S = So +Vot +1/2at2 V2 = Vo2+ 2a(s-so) Gerak rotasi berubah beraturan ( a = konstant ) = o+ at = o + ot+1/2at2 2 = o2 + 2a( 0)

4. Hubungan antara besaran besaran tangensial dengan besaran besaran sudut pada gerak rotasi .Benda titik yang bergerak melingkar berybah berturan , benda mengalami 2 macam percepatan yaitu percepatan sentripetal dan percepatan tangensial. Percepatan sentripetal ( s) . Arahnya selalu menuju ke titik pusat lintasannya dan besarnya tergantung besar kelajuan saat itu. Percepatan tangensial (t) besarnya tetap searah garis singgung dan berfungsi memberi perubahan pada kelajuan.

Jika Sa = 0 Maka, St = V0.t + a.t2

Jadi persamaan gerak benda titik yang bergerak melingkar berubah beraturan dengan posisi awal 0 adalah : Vt = Vo + at. t St = Vo.t+ at.t Percepatan pada gerak melingkar berubah beraturan merupakan resultan dari percepatan sentripetal dan percepatan tangensial. a =at +as IaI=a= a= Pada gerak melingkar, lintasannya berupa busur lingkaran.jadi, lintasan gerak melingkar dapat dinyatakan dengan sudut pusatnya : Dengan : S = lintasan yang ditempuh S = .R = sudut yang ditempuh dalam satuan radian R = jari jari lingkaran

Demikian juga kecepatan linier dapat dinyatakan dengan kecepatan sudutnya. s = .R v= = =R v = .R Dengan : V = Kecepatan linier = Kecepatan sudut dalam rad/s R = jari jari lingkaran ( .R )

Percepatan tangensial atau percepatan singgung juga dapat dinyatakan dengan percepatan sudutnya. V = .R at = = =R = R . at = R . at = Percepatan tangensial = percepatan sudut dalam rad.s2 R = jari jari lintasan ( .R )