MATEMATIKA – 2

Punya orang

Trayektori Orthogonal

Suatu system lengkungan (kurva) satu parameter F (x,y) = C, jika differensialkan akan menjadi Fx dx + fy dy = 0, maka turunan pertama dari

Dari persamaan 1, bahwa persamaan berikut adalah kemiringan tiap lengkung sistem F(x,y) = C. Jika menginginkan lengkungan lain yang tiap anggotanya memotong sistem lengkungan diatas dengan sudut yang sama maka sistem yang diinginkan tersebut disebut Trayektori.

Persamaan 1.

Pengertian Trayektori Ortogonal

Trayektori Orthogonal adalah suatu Trayektori yang setiap anggotanya memotong tegak lurus system kurva F(x,y) = C.

Adapun persamaan trayektori orthogonal tersebut adalah

F ( x, y, c) = 0 , dimana c adalah konstanta variable.

Prosedur menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x,y,c)=0 langkah 1 : Turunkan persamaan garis/ kurva,

sehingga didapatkan persamaan differensial orde-1 untuk keluarga kurva, yaitu F’(x,y,c) = 0

langkah 2 : Substitusikan c = F (x,y) pada F’(x.y,c) = 0 untuk memperoleh persamaan differensial implisit bagi F(x,y) = 0 berbentuk

langkah 3 : Buat persamaan differensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal menjadi bentuk berikut :

langkah 4 : Selesaikan persamaan differensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektori orthogonal.

Contoh 1.

Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva ( Families of curves orthogonal) berikut ini :

y=cx2

Penyelesaian : langkah 1 : persamaan differensial untuk keluarga

kurva y=cx2 yaitu

langkah 2 : Disubstitusikan untuk memperoleh persamaan differensial implisit :

Contoh 1

langkah 3 : Persamaan differensial untuk keluarga ortogonal yaitu :

langkah 4 : Selesaikan persamaan differensial baru,

jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx2 adalah

GRAFIK UNTUK CONTOH SOAL 1 Y=CX2

Contoh 2

Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x2 + 2y2 = C, C Real.

Persamaan differensial dari persamaan x2 + 2y2 = C adalah d(x2 ) + d( 2y2 ) = d(C) 2x dx + 4y dy = 0 2x + 4y = 0

Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dengan

sehingga 2x + 4y = 0.

Contoh 2

SOLUSI EKSISTENSI DAN KEUNIKAN

(EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTIONS)

Diberikan persamaan diferensial Dimana :

1. Fungsi f adalah fungsi yang kontinu dari x dan y di beberapa domain D pada bidang xy

2. Turunan juga fungsi kontinu di domain D dan misalkan adalah dititik D

Maka solusi unik dari persamaan diferensialyaitu yang didefenisikan pada beberapa interval

dengan h cukup kecil yang memenuhi kriteria

dxyxfdx

dy,

y

f

hxx 0

00 yx

0,0 yx

Jika kontinu untuk nilai pada bidang segi empat , dimana

Maka : untuk semua berada didalam R.

Atau boleh dikatakan : mendekati nilai atau berada dalam R.

Eksistensi yxf , yx,

kyxf , yx,

yxf ,

ba,

ba,

Jika diberikan persamaan dimana terdefenisi dialam dengan

dan yang mana kontinu juga terhadapbidang persegi R maka : akan mendekati

nilai atau berada didalam nilai R.

Keunikan

y

f yx

,

ba.

Apakah masalah nilai awal

mempunyai solusi yang tunggal?

61,32 yxyxdx

dy