INTEGRAL MK. Kalkulus Lanjut

MKMAT3315

©Aswad2016 1

Fungsi dua variabel atau lebih diturunkan

secara parsial terhadap satu variabel dengan

memandang variabel lain sebagai suatu

konstan

Integral dari fungsi dua variabel atau lebih

juga menerapkan aturan yang sama.

©Aswad2016

2

Misalkan f fungsi dua variabel yang kontinu

pada R = [a, b] x [c, d].

©Aswad2016

3

𝑓 𝑥, 𝑦𝑑

𝑐𝑑𝑦

x tetap dan f(x, y) suatu

integran yg tergantung pada

y dengan batas y = c ke y = d.

Prosedur ini disebut dengan

integral parsial terhadap y

©Aswad2016

4

𝑓 𝑥, 𝑦𝑑

𝑐𝑑𝑦

Misalkan A = 𝑓 𝑥, 𝑦𝑑

𝑐𝑑𝑦

Apabila A diintegralkan

terhadap x dari x = a dan x

= b, maka:

Iterated Integral

©Aswad2016

5

Perhatikan bahwa:

©Aswad2016

6

Contoh 1

Selesaikanlan iterated integral beirkut:

©Aswad2016

7

Penyelesaian

E.o.E.2

a. Pandang x sebagai konstan, maka

Selanjutnya:

©Aswad2016

8

E.o.E.1

b. Dengan cara yang sama diperoleh:

©Aswad2016

9

Theorema Fubini Misalkan f kontinu pada R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},

maka

©Aswad2016

10

Contoh 2

Periksalah integral

Dengan R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}

©Aswad2016

11

Penyelesaian

©Aswad2016

12

E.o.E.2

©Aswad2016

13

Misalkan f(x, y) = g(x)h(y), maka

©Aswad2016

14

Contoh 3

Latihan

©Aswad2016

15

1. Tentukan integral 𝑓 𝑥, 𝑦3

0𝑑𝑥 dan 𝑓 𝑥, 𝑦

4

0𝑑𝑦

dari fungsi berikut:

a. f(x, y) = 2x + 3x2y

b. f(x, y) = y/(x + 2)

2. Hitunglah iterated integral berikut

©Aswad2016

16

3. Hitunglah double integral berikut:

a.

b.

4. Tentukan volume benda padat yang terletak di

balwah permukaan 3x + 2y + z = 12 dengan R = {(x,

y)|0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}

©Aswad2016

17

Selesai

©Aswad2016

18