potensial dan medan elektrostatik pada dipole

Potensial dan Medan Elektrostatik pada Dipole

Salah satu metode khusus dalam penghitungan potensial listrik ialah metode ekspansi multipole, yakni suatu muatan non-titik pada jarak yang sangat jauh sehinggap bisa dianggap titik. Pada sebaran muatan itu terdapat kaitan-kaitan monopole (tunggal), dipole (ganda), quadrupole (kuartet), octopole (oktet), dan seterusnya, Jadi sebelum memahami muatan sebaran yang rumit (terdiri dari banyak muatan titik), perlu dipahami terlebih dahulu sistem dipole atau quadrupole. Untuk dipole, berikut gambarannya:

potensial listrik, V

dengan aturan cosinus, r+:

dengan cara yang sama, r-:

http://4.bp.blogspot.com/-dJhRXWG65WM/TbucCnAS6PI/AAAAAAAAAZM/UpQZNSe8Fd4/s1600/dipole.jpg

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%7D%5Cleft%20%28%5Cfrac%7BQ%7D%7Br_@plus;%7D-%5Cfrac%7BQ%7D%7Br_-%7D%20%5Cright%20%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=r_@plus;%5E2=z%5E2%20@plus;%20d%5E2-2zd%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=r_@plus;%5E2=z%5E2%5Cleft%20%28%201@plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bz%7D%20%5Cright%20%29%5E2%20-%20%5Cfrac%7B2d%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D%5Cright%20%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bz%7D%7Br_@plus;%7D=%5Cleft%20%28%201@plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bz%7D%20%5Cright%20%29%5E2%20-%20%5Cfrac%7B2d%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D%5Cright%20%29%5E%7B-1/2%7D

dengan menggunakan ekspansi binomial;

didapatkan (sampai suku ke-3):

abaikan d2/z2 pada suku ke-3, karena nilainya sangat kecil

dengan cara yang sama

sehingga potensial listrik di titik P

jika dimasukkan θ = 90° (cos 90° = 0), maka V = 0.

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=r_-%5E2=z%5E2%20@plus;%20d%5E2-2zd%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%28180%5E%7B%5Ccirc%7D-%5Ctheta%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=r_-%5E2=z%5E2%5Cleft%20%28%201@plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bz%7D%20%5Cright%20%29%5E2%20@plus;%20%5Cfrac%7B2d%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D%5Cright%20%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bz%7D%7Br_-%7D=%5Cleft%20%28%201@plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bz%7D%20%5Cright%20%29%5E2%20@plus;%20%5Cfrac%7B2d%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D%5Cright%20%29%5E%7B-1/2%7D

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%28a@plus;b%29%5En=a%5En@plus;na%5E%7Bn-1%7Db@plus;%5Cfrac%7Bn%28n-1%29%7D%7B2%21%7Da%5E%7Bn-2%7Db%5E2@plus;%5Cfrac%7Bn%28n-1%29%28n-2%29%7D%7B3%21%7Da%5E%7Bn-3%7Db%5E3@plus;...

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bz%7D%7Br_@plus;%7D%5Capprox%201@plus;%5Cfrac%7Bd%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D@plus;%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B2z%5E2%7D%283%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5E2%5C,%20%5Ctheta-1%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bz%7D%7Br_-%7D%5Capprox%201-%5Cfrac%7Bd%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%7Bz%7D@plus;%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B2z%5E2%7D%283%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5E2%5C,%20%5Ctheta-1%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V%28r,%5Ctheta%29=%5Cfrac%7BQ%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%7D%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7Br_@plus;%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Br_-%7D%20%5Cright%20%29

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V%28r,%5Ctheta%29=%5Cfrac%7B2Qd%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%20z%5E2%7D%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta

Adapun medan listrik (electrostatic field), E dengan mengganti z = r (ke koordinat bola) diperoleh:

sehingga:

Kalau mau, perhatikan gambar di bawah (kalau nggak mau ya nggak usah), garis hijau menunjukkan potensial listrik dan garis ungu medan listrik.

Jadi pada dipole, potensialnya akan berubah berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya dan medan listriknya berubah berbanding terbalik dengan pangkat tiga jaraknya. Bandingkan

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V%28r,%5Ctheta%29=%5Cfrac%7B2Qd%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%20r%5E2%7D%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E_r=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20r%7D=%5Cfrac%7BQd%7D%7B%5Cpi%20%5Cepsilon_0%20r%5E3%7D%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E_%5Ctheta=-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D=%5Cfrac%7B2Qd%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%20r%5E3%7D%5C:%20%5Ctextup%7Bsin%7D%5C,%20%5Ctheta

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E_%5Cphi=-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5C:%20%5Ctextup%7Bsin%7D%5C,%20%5Ctheta%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20%5Cphi%7D=0

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cmathbf%7BE%7D%28r,%5Ctheta%29=%5Cfrac%7B2Qd%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon_0%20r%5E3%7D%282%5C:%20%5Ctextup%7Bcos%7D%5C,%20%5Ctheta%5C:%20%5Chat%7Br%7D@plus;%5Ctextup%7Bsin%7D%5C,%20%5Ctheta%20%5C:%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%29

http://2.bp.blogspot.com/-_CBEDrNCaaA/Tbug1H7JZtI/AAAAAAAAAZQ/ckTu1Ft-_Mg/s1600/dipole+graph1.jpg

dengan bentuk umum hukum Coloumb, kenapa bisa berbeda? Untuk menjawabnya, cobalah Anda buktikan bahwa:

untuk z >> d.

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28z@plus;d%29%5E2%7D%5Capprox%5Cfrac%7B2%7D%7Bz%5E3%7D

potensial dan medan elektrostatik pada dipole

Documents