potensi newton arti

8/17/2019 Potensi Newton Arti

1/10

Potensi Newton

Newton skema yang berbasis pada serangkaian asumsi,

begitu sedikit dan begitu sederhana, dikembangkan melalui

begitu jelas dan begitu menarik garis matematika bahwakonservatif hampir tidak bisa menemukan jantung dan keberanian

untuk melawannya.

(Isaac Asimov

Pesawat tetap karena tidak memiliki waktu untuk jatuh.

(!rville "right

#ab$bab sebelumnya ditinjau persamaan diferensial %aplacesdan implikasi untuk bidang konservatif dan skalar potensi secara

umum. &alam #ab ini, kita menjadi lebih spesi'k dan fokus pada

yang paling penting aplikasi %aplaces persamaan, gaya gravitasi.

eperti sebelumnya, banyak diskusi di sini sangat bergantung

pada perkembangan yang disajikan oleh )ellogg *+, -amsey /0

dan 1ac1illan *2.

/.* daya tarik gravitasi dan potensi

Pada tahun *32, Newton menerbitkan Philosophiae

Naturalis Principia masternya, yang, antara lain profundities,

menyatakan hukum Newton gravitasi attraction4 besarnya gaya

gravitasi antara dua massa sebanding dengan setiap massa dan

berbanding terbalik dengan alun$alun perpisahan mereka. &alam

koordinat cartesian (gambar /.*, kekuatan bersama antara

partikel m massa yang berpusat di titik 5 (6, y, 7 dan partikel

massa mo di P (6, y, 7 diberikan olehwhere

mmo

43


2/10

8ambar /.*. 1assa m dan mo pengalaman gaya gravitasi

saling yang sebanding dengan ra, rao dan r 9 . &engan)onvensi, unit vektor r diarahkan dari gravitasi sumber titik

pengamatan, yang dalam kasus ini yang terletak di mo massa

tes.

dan di mana 2 Newton gravitasi konstan dibahas kemudian.

:ika kita membiarkan massa mo menjadi partikel tes dengan unit

besarnya, kemudian membagi gaya gravitasi oleh mo

menyediakan gravitasi daya tarik yang diproduksioleh massa m di

lokasi partikel tes4

rumus (/.*

dimana f adalah vektor satuan yang diarahkan dari m massa

untuk pengamatan titik P, yaitu dalam koordinat ;artesian

r = - [(x - x')\ +{y- y')l + (z - ^)kj .


3/10

!leh karena itu, dari


4/10

Newton gravitasi konstan 2 adalah .2 6 *C 9 n m/$kg*$

sec losmen D6clusive,


5/10

mana integrasi adalah B, volume sebenarnya diduduki oleh

massa. eperti biasa, P adalah titik pengamatan, 5 adalah titik

integrasi, dan r adalah jarak antara P dan p t. kepadatan memiliki

unit kilogram$meter/ dalam unit I dan gram$centimeter/ dalam

sistem cgs. )onversi antara dua sistem adalah * kg$m 9 /*C 9 /g$cm/.

Pertama$tama mempertimbangkan titik$titik observasi yang

terletak di luar distribusi massa (8ambar /.. :ika kepadatan

berperilaku baik, integral /.0 menyatu untuk P luar massa

()ellogg *+, dan diferensiasi sehubungan dengan 6, y dan 7

dapat dipindahkan di dalam integral. ebagai contoh, turunan

parsial u sehubungan dengan 6 adalah

dU(P) __

dx

/. potensi distribusi massa

8ambar /.. 8ravitasi attraction di titik P karena kepadatan

distribusi p.

1engulangi diferensiasi persamaan /.0, sekali terhadap y

dan sekali sehubungan dengan 7, dan menambahkan

threecomponents akan memberikan daya tarik di luar setiap

distribusi massa4

-umus /.

?rutan kedua derivatif dapat diturunkan dalam cara yang

samaH sebagai contoh, komponen 6 adalah

d 2u _ f :

v

dx2 7 / r 3

Pengulangan untuk komponen y dan 7 dan menambahkan

tiga hasil hasil


6/10

d 2U d 2U d 2U

dx2

= 0,

dy2 dz 2 rumus (3.7)

dan potensi gravitasi harmoni sea!i poin di !uar massa.

"pa tentang potensi da!am distri#usi massa$ %ia P ada!ah massa insidethe,

&ntegran da!am persamaan 3.' singu!ar dan integra! tida tepat. amun demiian,

integra! dapat ditampi!an untu #erumpu!. Pada enataanna, *e!!ogg +4

menun-uan #ahwa integra!

umus

onvergen untu P di da!am V dan terusmenerus sepan-ang V -ia n 3, V

di#atasi, dan p pieewise terusmenerus. 1!eh arena itu, (P) dan g(P) ada dan

terusmenerus di manamana, #ai di da!am maupun di !uar massa se!amaepadatan #erperi!au #ai. *e!!ogg +4 -uga menun-uan #ahwa g(P) V(P)

untu P da!am massa. iti terahir ini tida -e!as arena derivati5 tida dapat

dipindahan di da!am integra! pantas.

eorema 6e!mho!t (8agian 2.2.2) mem#eritahu ita #ahwa -ia g

memenuhi g V dan !enap uat di ta terhingga, emudian

9/ = J- / ^—? dv . (3.8

:em#andingan &ntegran persamaan 3,; dengan &ntegran e


7/10

3. Poissons persamaan V2 p udara menggam#aran hu#ungan #etweenmass

dan potensi se!uruh ruang. Persamaan >ap!aes V ada!ah asus husus dari

Poissons persamaan #er!au di daerah ruang tida ditempati o!eh massa.

Permuaan dan -a!ur distri#usi

6a! ini adangadang #erguna, seperti ang aan ter!ihat di #agian #eriutna,

untu mempertim#angan daa tari gravitasi dan potensi distri#usi massa ang

terse#ar di atas permuaan ang main tipis dan di sepan-ang garisgaris ang

main sempit. Potensi distri#usi massa terse#ar di permuaan @ dan me!ihat pada

titi P #uan pada permuaan di#erian o!eh

U(P)=-y f^-dS, (3.+0)

mana epadatan permuaan dengan unit massa per satuan !uas. he potensi

massa teronsentrasi sepan-ang -a!ur ang di#erian o!ehU{P)=1 ^dl, (3.11)

dimana " ada!ah epadatan #aris dengan unit massa per satuan pan-ang.

"trasiatrasi di gravitasi hpothetia!distri#utions ini mudah #erasa! dari g V.

3.2.+ ontoh? @he!! #u!at

ntu mene!idii #e#erapa poin dari #agian se#e!umna, mempertim#angan

e5e gravitasi dari she!! #erdinding tipis, #u!at -ari-ari ang dan seragam

epadatan sur5aen. *ita menederhanaan thetas (gam#ar 3.3) dengan mengatur

sistem oordinat untu mengam#i! euntungan dari simetri masa!ah? asa!ditempatan di pusat dari #u!atan terse#ut, dan satu sum#u ada!ah riented sehingga

me!ewati.

ntu P !uar she!!, potensi di#erian o!eh persamaan 3.+0,

umus

%ara dari P e titi manapun pada !ingup

r = [R2 + a2 -^

sodr aR sin 0

Aam#ar 3.3. @he!! #erdinding tipis, #o!a dengan -ari-ari ang diamati pada titi P.

:engganti hasi!U(P) = / dr

= 7-

R-a

R(3.+2)


8/10

dimana : ada!ah massa tota! she!!. 1!eh arena itu, potensi gravitasi pada

setiap titi !uar she!! seragam setara dengan potensi sum#er titi ter!eta di pusat

she!! dengan massa sama massa tota! she!! maa, o!eh arena itu, #ahwa daa tari

gravitasi pada poin di !uar she!! setara dengan daa tari massa titi,and that

V 2U(P) =0. M

3.2 potensi distri#usi massa

@earang mempertim#angan P di da!am she!!. Berivasi se#e!umna dapat

diu!ang tetapi dengan o5integration #atas#atas sediit #er#eda Caitu

umus 3.+3

@emua -um!ah da!am persamaan 3.+3 onstan, sehingga potensi gravitasi

onstan di manamana di da!am she!! seragam. "i#atna, gravitasi tida ada dida!am angang #erongga arena

umus

%e!as, V2 = 0 da!am she!! arena seragam di se!uruh interior.

>atihan 3.3 persamaan 3.+3 mudah untu memahami etia P ter!eta di

Pusat she!!. Biamati di pusat, daa tari arena anpath she!! persis di#ata!an

o!eh daa tari path identi pada sisi ang #er!awanan, sehingga tampana

masu aa! #ahwa g 0 di pusat. *urang -e!as ada!ah enataan #ahwa g 0 pada

poin dari pusat. :en-e!asan geometri dan so!id sudut mengapa semua euatan

mem#ata!an pada setiap titi da!am she!!.

3.2.2 Dontoh? 8o!a padat

Persamaan 3.+2 dan 3.+3 menediaan ara ang mudah untu mene!idii e5e

gravitasi #o!a padat. ntu P di !uar !ingup, masa!ahna sederhana. 8o!a padat

radius hana!ah se#uah umpu!an onsentris, #erdinding tipis erang dengan -ari

-ari ang #erisar dari 0 untu. @uperposisiprinsip menataan #ahwa potensi

gravitasi se!uruh rangaian onsentriserang ada!ah -um!ah potensi individu, ang,

menurut #agian se#e!umna, masingmasing setara dengan massa titi di pusat pusat merea. "i#atna, potensi #o!a padat munu! sea!i esterna! poin se#agai

titi tungga! massa ter!eta di pusat dari #u!atan terse#ut dengan #esarna sama

dengan massa tota! #idang Caitu?

umus 3.+4


9/10

Aam#ar 3.4. Pengamatan titi P da!am se#uah #o!a. iti P ter!eta da!am rongga

#u!at sempit antara -ari-ari r E dan r.

umus

dan V2(P) 0 di manamana di !uar !ingup. *omputer su#rutin 8.& da!am

>ampiran 8 menediaan Fortran su#routine ang menghitung gravitasi daa tari

pada titititi esterna! arena #o!a dengan epadatan homogen.

ntu mene!idii potensi di poin da!am !ingup, ami menempatan P di

rongga sempit, #u!at radius r dan ete#a!an e onsentris tentang theenter #o!a

(gam#ar 3.4). Potensi di P ada!ah arena dua sum#er? (+) #agian dari #o!a dengan

-ari-ari urang dari r dan (2) she!! onsentris dengan radius !e#ih #esar daripada r.

Persamaan 3.+4 mem#erian potensi da!am #idang?

umus

*ita tahu dari persamaan 3.+3 ang potensi u!it ter!uar harus onstan arena

masingmasing onsentris, #erdinding tipis she!! ada!ah onstan. Persamaan 3.+3

dapat diintegrasian untu mem#erian potensi se!uruh u!it ter!uar?

G

umus

3.2 potensi distri#usi massa

:enam#ahan (P) dan o(P) dan mem#iaran eH 0 mem#erian potensi

di da!am #u!at massa?

umus 3.+'

Baa tari gravitasi di#erian o!eh

dan daa tari pada titititi interna! #o!a seragam proporsiona! -ara dari

pusat. >ap!aian (da!am oordinat #u!at) dari persamaan 3.+' menghasi!an

rumus

ang merupaan Poissons persamaan.

>atihan 3.4 menun-uan #ahwa (P) dan g(P) ang terusmenerus di se!uruh

permuaan #o!a.

6asi! terahir menun-uan #ahwa persamaan di5erensia! Poissons

menggam#aran potensi di da!am !ingup seragam padat, dan hasi! ini dapat


10/10

digunaan untu menun-uan #ahwa persamaan Poissons memegang da!am

semua terus menerus distri#usi massa. Ba!am :isa setiap #erperi!au #ai, ita

hana menge!i!ingi P dengan #o!a ei! dan mempertim#angan potensi se#agai

-um!ah dari dua #agian, aitu

umus

mana s(P) ada!ah potensi di P arena !ingup dan o(P) potensi ang

dise#a#an o!eh sega!a sesuatu di !uar !ingup. api V2o(P) 0 arena massa tida

ada di da!am rongga #u!at. @e!ain itu, -ia epadatan terusmenerus di seitar P,

#idang dapat diurangi da!am radius sampai erapatanna pada dasarna seragam.

1!eh arena itu, V2Ds(P)4$r7p(P), dan

V2U{P) = 47P(P)

untu P da!am distri#usi epadatan terusmenerus.

>atihan 3.' gra5is menggam#aran potensi dan daa tari dari #a-u seragam,

she!! #erdinding te#a! (radius #atin dan !uar radius D&2) sepan-ang -a!ur

mem#entang dari pusat she!! hingga ta ter#atas.

potensi newton arti

Documents