plagiat merupakan tindakan tidak terpuji - core.ac.uk filemembangun aturan kabur dari data numeris...

MEMBANGUN ATURAN KABUR DARI DATA NUMERIS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Athanasia Anisa Angki P

NIM : 003114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

GENERATING FUZZY RULES OF NUMERICAL DATA

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By


Student Number : 003114018

MATHEMATICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008


ii


iii


iv

PERSEMBAHAN

Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi

nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan

permohonan dengan ucapan syukur. Damai sejahtera Allah, yang

melampaui segala akal akan memelihara hati dan pikiranmu dalam Kristus

Yesus.

(Filippi 4:6-7)

Kupersembahkan skripsi ini sebagai ucapan syukurku kepada :

Bapaku Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu setia dan

memberiku kekuatan di saat aku jatuh

Ibu dan Bapak, yang selalu mendukung dan mendoakan dalam setiap

langkah-langkahku

Hendy dan Yoga yang selalu memotivasiku untuk cepet lulus

Bulek dan keluargaku yang selalu mendukung segala keputusanku

Seseorang yang selalu ada dengan segala kesabarannya

Sahabat-sahabatku terkasih dan Almameterku


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 2008

Penulis



vi


vii

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang

telah memberikan rahmat-Nya sehingga skripsi yang berjudul “ Membangun

Aturan Kabur dari Data Numeris” ini dapat diselesaikan dengan baik.

Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu

persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma.

Pada kesempatan ini juga penulis mengucapkan banyak terima kasih pada

berbagai pihak yang telah ikut membantu dalam menyelesaikan Skripsi ini,

khususnya pada:

1. Bapak Eko Hari Parmadi, S.Si.,M.Kom, selaku dosen pembimbing dan

Dosen Ilmu Komputer Universitas Sanata Dharma

2. Ibu Lusia Krismiyati, S.,Si, M.,Si selaku Ketua Program Studi

Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si.,M.Si, selaku pembimbing akademik dan

dosen FMIPA, Bapak Y.G. Hartono, S.Si. M.Sc, Bapak Ir. Ig. Aris

Dwiatmoko, M.Sc dan juga seluruh Dosen Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma yang tidak bisa disebutkan

satu persatu.

4. Ibu Warni, Pak Tukijo, dan Mbak Linda selaku staf administrasi FMIPA

Universitas Sanata Dharma.


viii

5. Bapak Paulus Salam, Ibu Yohana Sri Aryani, Hendy dan Yoga. Terima

kasih banyak atas dukungan, motivasi dan kasih sayang yang kalian

berikan selama ini, semua itu tidak bisa diungkapkan dengan kata-kata.

6. Untuk semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang turut

membantu dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini jauh dari sempurna, oleh sebab

itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun. Akhir kata penulis

berharap semoga dengan tersusunnya skripsi ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa

Jurusan matematika khususnya dan bagi Mahasiswa Universitas Sanata Dharma

pada umumnya.

Yogyakarta, Maret 2008

Penulis

(Athanasia Anisa Angki P)


ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN.................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS...................... vi

KATA PENGANTAR .............................................................................. vii

DAFTAR ISI ............................................................................................. ix

DAFTAR GAMBAR................................................................................. xi

DAFTAR TABEL .................................................................................... xiii

ABSTRAK ................................................................................................ xiv

ABSTRACT ................................................................................................ xv

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar belakang masalah............................................... 1

B. Perumusan Masalah .................................................... 2

C. Pembatasan Masalah................................................... 2

D. Tujuan Penulisan ........................................................ 2

E. Manfaat Penulisan....................................................... 2

F. Metode Penulisan........................................................ 3

G. Sistematika Penulisan ................................................. 3


x

BAB II LANDASAN TEORI

A. Himpunan Kabur ........................................................ 5

B. Operasi pada Himpunan Kabur ................................... 12

C. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur ....... 19

D. Logika Proposisi ......................................................... 21

E. Logika Kabur.............................................................. 26

F. Relasi Kabur ............................................................... 29

G. Proposisi Kabur .......................................................... 34

H. Implikasi Kabur .......................................................... 36

I. Basis Pengetahuan ...................................................... 39

BAB III MEMBANGUN ATURAN KABUR DARI DATA

NUMERIS.............................................................................. 43

BAB IV PENERAPAN ATURAN KABUR DARI DATA NUMERIS PADA

SISTEM KENDALI TRUK

A. Permasalahan pada Kontrol Sistem Kendali Truk........ 50

B. Membangun Aturan Kabur dari Data Numeris

untuk Sistem Kendali Truk........................................ 51

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN............................................... 72

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 73


xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1. Grafik Fungsi Keanggotaan Hinpunan Kabur A~

........... 9

Gambar 2.1.2. Fungsi Keanggotaan Segitiga ( )cbax ,,; ..................... 11

Gambar 2.1.3. Fungsi Keanggotaan Trapesium ( )dcbax ,,,; ............... 12

Gambar 2.2.1. Grafik Fungsi Keanggotaan Hinpunan Kabur A~

........... 15

Gambar 2.2.2. Grafik Fungsi Keanggotaan Hinpunan Kabur B~

........... 16

Gambar 2.2.3. Grafik Fungsi Keanggotaan Hinpunan Kabur A′~

.......... 18

Gambar 2.2.4. Grafik Fungsi Keanggotaan Hinpunan Kabur B′~

.......... 18

Gambar 2.5.1. Gambar Kecepatan Mobil ............................................. 28

Gambar 2.9.1. Fungsi Keanggotaan Himpunan-himpunan

Kabur yang terkait dengan Nilai-nilai Linguistik untuk

Variabel y pada Semesta [ ]aa,− .................................. 40

Gambar 3.1 Himpunan Kabur Input ................................................ 44

Gambar 3.2 Himpunan Kabur Output............................................... 45

Gambar 3.3. Membagi Input dan Output menjadi Himpunan

Nilai Linguistik dan Korespondensi Fungsi

Keanggotaan ................................................................. 46

Gambar 3.4. Ilustrasi tabel Look-up dari Aturan Dasar Kabur ........... 48

Gambar 4.1. Diagram Simulasi Truk dan Daerah Muatan.................. 50

Gambar 4.2. Fungsi Keanggotaan Kabur untuk ( )φµ ........................ 52

Gambar 4.3. Fungsi Keanggotaan Kabur untuk ( )xµ ........................ 54


xii

Gambar 4.4. Fungsi Keanggotaan Kabur untuk ( )θµ ........................ 55

Gambar 4.5. Hasil Akhir Membangun Aturan Kabur dari Data

Numeris untuk Masalah Sistem Kendali pada Truk ....... 69


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.4.1.1. Tabel Nilai Kebenaran Negasi ....................................... 22

Tabel 2.4.1.2. Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi ................................. 23

Tabel 2.4.1.3. Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi ................................. 24

Tabel 2.4.1.4. Tabel Nilai Kebenaran Implikasi................................... 25

Tabel 2.4.1.5. Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi ............................... 26

Tabel 4.1. Panjang Lintasan Dimulai dari ( ) ( )0

00 0,1, =φx ............ 51

Tabel 4.2. Aturan Kabur yang Dibangun dari Pasangan

Terurut Input-Output dari Tabel 4.1 dan

Derajat Kebenaran ....................................................... 71


xiv

A B S T R A K

Membangun aturan kabur dari data numeris dapat dicari dengan beberapa

cara, yaitu metode penyebaran balik, metode kuadrat terkecil dan metode bentuk

tabel. Metode bentuk tabel dipilih karena metode ini lebih mudah dan lebih

sederhana daripada kedua metode lainnya.

Metode bentuk tabel ini disajikan dengan menggunakan aturan kabur

JIKA- MAKA. Untuk membangun aturan kabur dari data numeris dibutuhkan

empat langkah, yaitu mendefinisikan himpunan kabur pada ruang semesta input

dan output, membangun aturan kabur dari data pasangan berurutan, menentukan

derajat kebenaran dari masing-masing aturan, dan menyusun tabel look-up. Hasil

yang diperoleh dari metode ini adalah sebuah tabel.


xv

ABSTRACT

Generating fuzzy rules from numerical data can be found with many

ways, like back-propagation algorithm, orthogonal least squares algorithm, and

table-lookup scheme. Table-lookup scheme method is a simple method and more

easier than other methods.

Table-lookup scheme method is designed with linguistic fuzzy IF-THEN

rules and need four step to generate fuzzy rules from numerical data. The steps are

define the input and output spaces into fuzzy regions, generate fuzzy rules from

given data pairs, assign a degree to each rule, and create a combined fuzzy rule

base. The result from this methods is table-lookup scheme.


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Di dalam membangun aturan kabur dari data numeris terdapat beberapa

metode antara lain metode penyebaran balik, metode kuadrat terkecil ortogonal

dan metode bentuk tabel. Konsep dasar dari metode penyebaran balik adalah

metode ini dapat dipakai pada berbagai jaringan arus-maju. Jika sistem logika

kabur digambarkan sebagai jaringan arus-maju maka dapat digunakan metode ini

untuk menyelesaikannya. Sedangkan metode kuadrat terkecil ortogonal digunakan

untuk menentukan fungsi basis kabur dan parameter sisa. Metode ini

menggunakan prosedur one-pass dan ini lebih cepat dibandingkan metode

penyebaran balik. Sehingga pada metode penyebaran balik dan metode kuadrat

terkecil ortogonal, metode-metode tersebut tidak cukup sederhana karena

membutuhkan perhitungan secara intensif.

Di dalam membangun aturan kabur dari data numeris kita menemukan

metode yang sangat sederhana untuk merancang sistem kabur yang sesuai yang

ditunjukkan dengan operasi nilai tunggal pada pasangan terurut numeris dan

aturan bahasa kabur JIKA-MAKA.

Tulisan ini akan membahas tentang membangun aturan kabur dari data

pasangan berurutan, mengumpulkan aturan yang dibangun dan aturan bahasa

menjadi sebuah dasar aturan kabur pada umumnya dan untuk membentuk akhir

sebuah sistem logika kabur berdasar pada penggabungan aturan dasar kabur


2

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat

dirumuskan sebagai berikut :

1. Bagaimana membangun aturan kabur dari data numeris?

2. Bagaimana penerapan membangun aturan kabur dari data numeris?

C. Pembatasan Masalah

Dalam topik ini masalah dibatasi pada data yang dimasukkan yaitu data

berupa pasangan terurut dan aturan yang digunakan yaitu implikasi kabur

Mamdani.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah menjawab masalah-masalah yang

terdapat pada perumusan masalah yaitu :

1. Dapat membangun aturan kabur dari data numeris

2. Implementasi membangun aturan kabur dari data numeris

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari mempelajari topik ini adalah diperoleh cara

atau metode yang lebih mudah dan sederhana dalam membangun aturan kabur

dari data numeris.


3

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan membangun aturan kabur dari

data numeris.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II : LANDASAN TEORI

A. Himpunan Kabur

B. Operasi pada Himpunan Kabur

C. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur

D. Logika Proposisi

E. Logika Kabur

F. Relasi Kabur

G. Proposisi Kabur


4

H. Implikasi Kabur

I. Basis Pengetahuan

BAB III : MEMBANGUN ATURAN KABUR DARI DATA

NUMERIS

BAB IV : PENERAPAN ATURAN KABUR DARI DATA

NUMERIS PADA SISTEM KENDALI TRUK

A. Permasalahan pada Kontrol Sistem Kendali Truk

B. Membangun Aturan Kabur dari Data Numeris untuk

Sistem Kendali Truk

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

B. Saran


5

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Himpunan Kabur

Banyak situasi di dalam kehidupan sehari-hari yang kita jumpai terdefinisi

secara tidak tegas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai,

himpunan orang yang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, murid yang

mempunyai nilai rata-rata 8 mempunyai derajat keanggotaan 0.9, yaitu

( ) 9.08 =pandaiµ , dan murid yang mempunyai nilai rata-rata 6 mempunyai

derajat keanggotaan 0.5, yaitu ( ) 5.06 =pandaiµ , dalam himpunan kabur

“pandai” tersebut.

Teori himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun

1965. Zadeh membuat suatu terobosan baru dengan memperluas konsep

“himpunan” klasik menjadi himpunan kabur untuk mengatasi permasalahan

himpunan dengan batas yang tidak tegas itu. Zadeh juga mengaitkan himpunan

semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-

unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan

himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu

disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu (Susilo, 2003).

Definisi 2.1.1

Fungsi karakteristik dari suatu himpunan A adalah suatu fungsi dari himpunan

semesta X ke himpunan { }1,0 yang dinyatakan dengan


6

{ }1,0: →XAχ

Definisi 2.1.2

Himpunan kabur adalah himpunan di mana nilai fungsi karakteristik untuk tiap

elemennya ada di dalam selang tertutup [ ]1,0 .

Definisi 2.1.3

Diberikan himpunan semesta X . Suatu himpuanan kabur A~

dalam semesta X

adalah pemetaan A~µ dari X ke selang [ ]1,0 , yaitu [ ]1,0:~ →X

Aµ

dimana nilai fungsi ( )xA~µ menyatakan derajat keanggotaan unsur Xx ∈ dalam

himpunan kabur A~

.

Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai

fungsi sama dengan 0 menyatakan samasekali bukan anggota himpunan kabur

tersebut. Jadi fungsi keanggotaan dari suatu himpunan tegas A dalam semesta X

adalah pemetaan dari X ke himpunan { }1,0 , yang tidak lain daripada fungsi

karakteristik Aχ , yaitu:

( )

∉

∈=

Ax

AxxA

jika0

jika1χ

Suatu himpunan kabur A~

dalam semesta pembicara X dapat dinyatakan

sebagai himpunan pasangan terurut

( )( ){ }XxxxAA

∈= ~,~

µ


7

dimana A~µ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A

~, yang merupakan

suatu pemetaan dari himpunan semesta X ke selang tertutup [ ]1,0 .

Apabila semesta X adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur

A~

seringkali dinyatakan dengan:

( ) xxAXx

A∫∈

= ~~

µ

dimana tanda pengintegralan bukan notasi pengintegralan seperti yang dikenal

dalam kalkulus, melainkan menyatakan himpunan semua unsur Xx ∈ bersama

dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A~

.

Contoh 2.1.1

Misalkan A adalah himpunan bilangan asli yang dekat dengan 10, dimana R

adalah himpunan bilangan asli dari 151 ≤≤ r dan himpunan kabur A~

merupakan

himpunan bilangan real yang dekat dengan 10 yang dapat dinyatakan sebagai

( )=

−+= ∫

∈

xx

ARx

2101

1~

14/1.013/1.012/2.011/5.010/19/5.08/2.07/1.06/1.0 ++++++++=

Dalam penyajian himpunan kabur, derajat keanggotaan 0 biasanya tidak

dituliskan.

Apabila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur

A~

seringkali dinyatakan dengan:


8

( ) xxAXx

A∑∈

= ~~

µ

dimana tanda sigma bukan menyatakan operasi jumlahan seperti yang dikenal

dalam aritmatika, tetapi menyatakan himpunan semua unsur Xx ∈ bersama

dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A~

.

Contoh 2.1.2

Dalam semesta { }5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5 −−−−−=X dimana X adalah

himpunan bilangan bulat dari 55 ≤≤− x , himpunan kabur A~

adalah himpunan

bilangan bulat yang dekat dengan nol yang dapat dinyatakan sebagai

( ) xxAXx

A∑∈

= ~~

µ =

= 0/-5 + 0.1/-4 + 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2 + 0.3/3 + 0.1/4 +

0/5

Contoh 2.1.3

Diberikan himpunan kabur A~

dengan fungsi keanggotaan didefinisikan sebagai

berikut :

( )

≤≤−

≤≤

≤≤−

≤≤≤≤

=

6045jika15

60

4535jika1

3520jika15

20

10060atau200jika0

~

xx

x

xx

xx

xA

µ


9

Maka grafik fungsi keanggotaannya dilukiskan sebagai berikut :

Gambar 2.1.1. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A~

Definisi 2.1.4

Pendukung (support) dari suatu himpunan kabur A~

adalah himpunan tegas yang

memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan taknol

dalam A~

, yaitu

( ) ( ){ }0~

~ >∈= xXxAPendA

µ .

Definisi 2.1.5

Tinggi (height) dari suatu himpunan kabur A~

didefinisikan sebagai

( ) ( ){ }xATinggiA

Xx

~sup~

µ∈

= .

Definisi 2.1.6

Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut :


10

• Jika nilai purata (pusat rata-rata) dari semua titik di mana fungsi

keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai maksimum adalah

berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata (pusat rata-

rata) tersebut.

• Jika nilai purata itu takhingga positif (negatif), maka pusat himpunan

kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang

mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.

Definisi 2.1.7

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga

jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu Rcba ∈,, dengan cba ⟨⟨ , dan

dinyatakan dengan ( )cbaxSegitiga ,,; dengan aturan :

( )

≤≤−

−

≤≤−

−

=

lainnyauntuk0

untuk

untuk

cb,a,x;Segitigacxb

bc

xc

bxaab

ax

Fungsi keanggotaan tersebut juga bisa dinyatakan dengan persamaan

sebagai berikut :

( ) .0,,minmax,,;

−

−

−

−=

bc

xc

ab

axcbaxSegitiga


11

Definisi 2.1.8

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium

jika mempunyai empat buah parameter, yaitu Rdcba ∈,,, dengan dcba ⟨⟨⟨ ,

dan dinyatakan dengan ( )dcbaxTrapesium ,,,; dengan aturan :

( )

≤≤−

−≤≤

≤≤−

−

=

lainnyauntuk0

untuk

untuk1

untuk

,,,;

dxccd

xd

cxb

bxaab

ax

dcbaxTrapesium

Fungsi keanggotaan tersebut juga bisa dinyatakan dengan persamaan

sebagai berikut :

( ) .0,,1,minmax,,,;

−

−

−

−=

cd

xd

ab

axdcbaxTrapesium

0 a b c

1

R

Gambar 2.1.2. Fungsi Keanggotaan Segitiga ( )cbax ,,;


12

B. Operasi pada Himpunan Kabur

Seperti halnya pada himpunan tegas, kita dapat mendefinisikan operasi

uner “komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan” pada

himpunan kabur. Karena suatu himpunan tegas dapat dinyatakan secara lengkap

dengan fungsi karakteristiknya, maka ketiga operasi pada himpunan tegas itu

dapat didefinisikan dengan menggunakan fungsi karakteristik itu.

Definisi 2.2.1

Komplemen dari suatu himpunan kabur A~

adalah himpunan kabur A′~

dengan

fungsi keanggotaan

( ) ( )xxAA~~ 1 µµ −=

′

untuk setiap Xx ∈ .

1

0 a b c d R

Gambar 2.1.3. Fungsi Keanggotaan Trapesium ( )dcbax ,,,;


13

Contoh 2.2.1

Diberikan semesta X adalah nilai-nilai ujian, { }100,,30,20,10 KKK=X .

Himpunan kabur A~

didefinisikan himpunan kabur “Tinggi” yang dinyatakan :

=A~

0.1/50 + 0.3/60 + 0.5/70 + 0.8/80 +1/90 + 1/100

dan himpunan kabur B~

didefinisikan himpunan kabur “Sedang” yang dinyatakan

=B~

0.1/30 + 0.5/40 + 0.5/50 + 1/60 + 0.8/70 + 0.5/80

Maka komplemen dari himpunan kabur A~

adalah

=′A~

1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40 + 0.9/50 + 0.7/60 + 0.5/70 + 0.2/80

dan komplemen dari himpunan kabur B~

adalah

=′B~

1/10 + 1/20 + 0.9/30 + 0.5/40 + 0.5/50 + 0.2/70 + 0.5/80 + 1/90 +

1/100

dimana komplemen dari himpunan kabur A~

didefinisikan sebagai himpunan

kabur “Tidak Tinggi” dan komplemen dari himpunan kabur B~

didefinisikan

sebagai himpunan kabur “Tidak Sedang”.

Definisi 2.2.2

Gabungan dua buah himpunan kabur A~


adalah himpunan

kabur BA~~

∪ dengan fungsi keanggotaan:

( ) ( ) ( ){ }xxxBABA~~~~ ,max µµµ =

∪



14

Contoh 2.2.2

Dari contoh 2.2.1, gabungan dari himpunan kabur A~


adalah

100/190/180/8.070/8.060/150/5.040/5.030/1.0~~

+++++++=∪ BA

Definisi 2.2.3

Irisan dua buah himpunan kabur A~


adalah himpunan

kabur BA~~

∩ dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( ){ }xxxBABA~~~~ ,min µµµ =

∩


Contoh 2.2.3

Dari contoh 2.2.1, irisan dari himpunan kabur A~


adalah

80/5.070/5.060/3.050/1.0~~

+++=∩ BA

Contoh 2.2.4

Misalkan dalam semesta Χ = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} diketahui

himpunan-himpunan kabur =~

A 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2

+0.3/3 dan =~

B 0.1/-1 + 0.3/0 + 0.8/1 + ½ + 0.7/3 + 0.4/4 + 0.2/5, maka

~

A = 1/-4 + 0.7/-3 + 0.5/-2 + 0.3/-1 + 0.3/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + ¼ + 1/5 + 1/6


15

~~

BA∪ = 0.3/-3 + 0.5/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.8/1 + ½ + 0.7/3 + 0.4/4 + 0.2/5

~~

BA∩ = 0.1/-1 + 0.3/0 + 0.7/1 + 0.5/2 + 0.3/3

Contoh 2.2.5

Misalkan A~

adalah himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan :

( )

≤≤−

≤≤−−

≥−≤

=

3010jika20

30

1010jika20

10

30atau10jika0

~

xx

xx

xx

xA

µ

Maka grafik fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A~

dapat dilukiskan sebagai

berikut :

Gambar 2.2.1. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A~

1

0.5

A~

-20 -10 0 10 30 40

R


16

dan B~

adalah himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut :

( )

≤≤−

≤≤−

≥≤

=

5030jika20

50

3010jika20

10

50atau10jika0

~

xx

xx

xx

xB

µ

Maka grafik fungsi keanggotaan dari himpunan kabur B~

dapat dilukiskan sebagai

berikut :

Gambar 2.2.2. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur B~

Dengan menggunakan definisi komplemen himpunan kabur dapat diperoleh

fungsi keanggotaan komplemen dari himpunan kabur A~

sebagai berikut :

1

0.5

B~

-10 0 10 30 50

R

60


17

( )

≤≤−

−

≤≤−−

−

≥−≤−

=′

3010jika20

101

1010jika20

101

30atau10jika01

~

xx

xx

xx

xA

µ

( )

≤≤−

≤≤−−

≥−≤

=′

3010jika20

10

1010jika20

10

30atau10jika1

~

xx

xx

xx

xA

µ

dan fungsi keanggotaan komplemen dari himpunan kabur B~

sebagai berikut :

( )

≤≤−

−

≤≤−

−

≥≤−

=′

5030jika20

501

3010jika20

101

50atau10jika01

~

xx

xx

xx

xB

µ

( )

≤≤−

≤≤−

≥≤

=′

5030jika20

30

3010jika20

30

50atau10jika1

~

xx

xx

xx

xB

µ

Grafik fungsi keanggotaan komplemen dari himpunan kabur A~

dan B~

dapat

dilukiskan sebagai berikut :


18

Gambar 2.2.3. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A′~

Gambar 2.2.4. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur B′~

Ketiga operasi yang didefinisikan di atas disebut operasi baku

untuk komplemen, gabungan dan irisan pada himpunan kabur.


19

C. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur

Definisi 2.31

Suatu pemetaan [ ] [ ]1,01,0: →k disebut komplemen kabur jika memenuhi

aksioma sebagai berikut:

1. ( ) ( ) 01dan10 == kk (syarat batas)

2. ( ) ( ) [ ]1,0,semuauntukmaka,Jika ∈≥⟨ yxykxkyx (syarat

taknaik)

Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabuar adalah kelas Sugeno

yang didefinisikan sebagai berikut:

( )x

xxk

λλ

+

−=

1

1

dengan parameter ( )∞−∈ ,1λ .

Untuk setiap nilai parameter λ diperoleh suatu komplemen kabur. Untuk 0=λ ,

diperoleh operasi komplemen baku, yaitu ( ) xxk −= 10, di mana x adalah derajat

keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan kabur A~

dan ( )xk0 adalah

derajat keanggotaan elemen tersebut dalam himpunan kabur A′~

(komplemen dari

himpunan kabur A~

).

Definisi 2.3.2

Suatu pemetaan [ ] [ ] [ ]1,01,01,0: →×s disebut gabungan kabur (norma-s) jika

memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

1. ( ) ( ) xxsxs == 0,,0 dan ( ) 11,1 =s (syarat batas)


20

2. ( ) ( )xysyxs ,, = (syarat komutatif)

3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ( ) ( )yxsyxs ′′≤ ,, untuk semua

[ ]1,0, ∈yx (syarat takturun)

4. ( )( ) ( ( ))zysxszyxss ,,,, = (syarat asosiatif)

Operasi gabungan baku, yaitu ( ) { }yxyxs ,max, = , merupakan norma-s.

Definisi 2.3.3

Suatu pemetaan [ ] [ ] [ ]1,01,01,0: →×t disebut irisan kabur (norma-t) jika

memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

1. ( ) ( ) xxtxt == ,11, dan ( ) 00,0 =t (syarat batas)

2. ( ) ( )xytyxt ,, = (syarat komutatif)

3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ( ) ( )yxtyxt ′′≤ ,, untuk semua

[ ]1,0, ∈yx (syarat takturun)

4. ( )( ) ( ))( zytxtzyxtt ,,,, = (syarat asosiatif)

Operasi irisan baku, yaitu ( ) { }yxyxt ,min, = , merupakan suatu norma-t.

Contoh-contoh lain dari norma-t adalah sebagai berikut:

a. Darab aljabar: ( ) xyyxtda =,

b. Darab Einstein: ( )( )xyyx

xyyxtde

−+−=

2,

c. Darab drastis: ( )

=

=

=

lainnyajika0

1jika

1jika

, xy

yx

yxtdd


21

D. Logika Proposisi

Logika proposisi mempelajari penalaran manusia dengan menggunakan

proposisi yaitu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah. Logika yang

hanya mengenal dua nilai kebenaran ini juga disebut logika dwinilai. Suatu

proposisi disebut proposisi atomik bila proposisi itu memuat proposisi lain

sebagai komponennya.

Contoh 4.1

• Matahari terbit pada pagi hari

• Bilangan 5 habis dibagi 2

Proposisi atomik dapat disajikan dengan menggunakan lambang huruf

kecil, seperti a, b, c, dst. Apabila lambang-lambang huruf itu menyajikan

proposisi yang tidak tertentu, maka lambang itu disebut variabel proposisi(Susilo,

2003).

2.4.1 Perangkai Logis

Semua proposisi bukan atomik merupakan proposisi majemuk dan semua

proposisi majemuk memiliki minimal satu perangkai logis. Perangkai logis yang

hanya melibatkan satu proposisi atomik disebut perangkai uner, sedangkan

perangkai logis yang melibatkan dua proposisi atomik disebut perangkai biner.

Ada lima buah perangkai logis yang akan dibahas, yaitu negasi, konjungsi,

disjungsi, implikasi dan biimplikasi.


22

2.4.1.1 Negasi

Negasi dari proposisi lain adalah proposisi yang diperoleh dengan

menambahkan kata “tidak” atau menyisipkan kata “bukan” pada proposisi semula.

Negasi dari suatu proposisi p disajikan dengan lambang p¬ .

Contoh 2.4.1.1

Rxxp ∈≥= ,02

maka Rxxp ∈<=¬ ,02 atau =¬ p tidak benar bahwa Rxx ∈≥ ,02

Definisi 2.4.5

Jika p suatu proposisi maka proposisi “tidak p ” mempunyai nilai kebenaran

“salah” bila proposisi semula bernilai “benar” atau sebaliknya.

Tabel 2.4.1.1 Tabel Nilai Kebenaran Negasi

p p¬

1 0

0 1

2.4.1.2 Konjungsi

Konjungsi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan

menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “dan”.

Perangkai “dan” disajikan dengan “ ∧ “.


23

Contoh 2.4.1.2

3=p adalah bilangan prima ganjil

2=q adalah bilangan prima genap

maka =∧ qp 3 adalah bilangan prima ganjil dan 2 adalah bilangan prima

genap.

Definisi 2.4.6

Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk “ qdanp ”

bernilai “benar” bila keduanya bernilai benar.

Tabel 2.4.1.2 Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi

p p¬ qp ∧

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

2.4.1.3 Disjungsi

Disjungsi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan

menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “atau”

dan disajikan dengan lambang “ ∨ ”.

Contoh 2.4.1.3

7=p merupakan bilangan prima


24

7=q merupakan bilangan ganjil

maka 7=∨ qp merupakan bilangan prima atau bilangan ganjil

Definisi 2.4.7

Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk “ qataup ”

bernilai “benar” bila sekurang-kurangnya salah satu dari kedua proposisi itu

bernilai benar.

Tabel 2.4.1.3 Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi

p p¬ qp ∨

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

2.4.1.4 Implikasi

Implikasi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan

menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai “jika

… maka … (if … then …)” dan disajikan dengan lambang “ qp → ”. Proposisi

“ p ” disebut dengan anteseden sedangkan proposisi “ q ” konsekuen.

Contoh 2.4.1.4

=p persamaan kuadrat 02 =++ cbxax mempunyai akar-akar real.


25

042 >−= acbq .

=→ qp jika persamaan kuadrat 02 =++ cbxax mempunyai akar-akar

real maka 042 >− acb .

Definisi 2.4.8

Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka suatu implikasi bernilai “benar”

bila antesedennya bernilai salah atau konsekuennya bernilai benar.

Tabel 2.4.1.4 Tabel Nilai Kebenaran Implikasi

p q qp →

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

2.4.1.5 Biimplikasi

Biimplikasi dua buah proposisi adalah proposisi yang diperoleh dengan

menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata perangkai

“…jhj…“ dan disajikan dengan lambang “ qp ↔ ”.

Contoh 2.4.1.5

=p dua garis saling berpotongan tegak lurus.

=q dua garis saling membentuk sudut 090 .


26

Maka qp ↔ adalah dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan

hanya jika kedua garis itu saling membentuk sudut 090 .

Definisi 2.4.9

Jika p dan q adalah dua buah proposisi maka proposisi majemuk

“ qjikahanyadanjikap ”bernilai “benar” jika kedua proposisi bernilai benar

atau kedua-duanya bernilai salah.

Tabel 2.4.1.5 Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi

p q qp ↔

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

E. Logika Kabur

Logika yang biasanya kita pakai dalam kehidupan sehari-hari maupun

dalam penalaran ilmiah, yaitu logika dimana setiap proposisi (pernyataan)

mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu nilai benar atau nilai salah dan tidak

kedua-duanya (Susilo, 2003). Yang menjadi dasar dari logika kabur adalah logika

dengan tak berhingga banyak nilai kebenaran yang dinyatakan dengan bilangan

real dalam selang [ ]1,0 .


27

Definisi 2.5.1

Variabel linguistik adalah variabel yang nilainya bukan merupakan

bilangan tetapi kata-kata atau kalimat-kalimat dalam bahasa sehari-hari.

Variabel linguistik ditentukan oleh suatu rangkap-5 ( )MGXTx ,,,, di mana x

adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat

menggantikan x , X adalah semesta numeris dari nilai-nilai linguistik dalam T ,

G adalah himpunan aturan-aturan sintakis yang mengatur pembentukan istilah-

istilah anggota T , dan M adalah himpunan aturan-aturan simantik yang

mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta

X (Susilo, 2003).

Contoh 2.5.1

Kecepatan sebuah mobil adalah variabel x yang mempunyai interval [ ]max,0 V ,

dimana maxV adalah kecepatan maksimum mobil tersebut. Kita tentukan 3

himpunan kabur “lambat”, “sedang”, dan “cepat” dalam [ ]max,0 V seperti pada

gambar 2.4.1. Jika kita lihat x sebagai variabel linguistik, maka “lambat”,

“sedang”, dan “cepat” juga sebagai variabel linguistik.

Maka bisa dikatakan “ x adalah lambat”, “ x adalah sedang”, dan “ x adalah

cepat”. X dapat diambil di dalam interval [ ]max,0 V , contohnya =x 50 mph, 35

mph, dan sebagainya.


28

Contoh 2.5.2

Bila variabel linguistik adalah “umur”, maka sebagai himpunan nilai-nilai

linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah =T {muda, sangat muda, agak

muda, tidak muda, tidak sangat muda, tidak muda dan tidak tua, agak tua, tua,

tidak sangat tua, sangat tua}, dengan semesta [ ]100,0=X , aturan semantik yang

mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur dalam semesta

X .

Definisi 2.5.2

Pengubah linguistik adalah suatu kata yang dipergunakan untuk mengubah

suatu kata/istilah menjadi kata/istilah yang baru dengan makna yang baru pula.

Dua peubah linguistik yang paling sering dipakai adalah “sangat” dan “agak”.

Contoh 2.5.3

Misalkan { }5,,2,1 L=X dan himpunan kabur kecil didefinisikan

5/2.04/4.03/6.02/8.01/1 ++++=kecil

slow medium fast

Speed of car (mph)

Vmax 75 55 35 0

1

Gambar 2.5.1 Kecepatan mobil


29

Maka menurut definisi diatas

5/04.04/16.03/36.02/64.01/1 ++++=kecilsangat

( )

5/0016.04/0256.0

3/1296.02/4096.01/1

++

++=

= kecilsangatsangatkecilsangatsangat

5/4472.04/6325.03/7746.02/8944.01/1 ++++=kecilagak

Definisi 2.5.3

Misal A himpunan kabur dalam X , maka Asangat adalah himpunan kabur

dalam X dengan fungsi keanggotaan

( ) ( )[ ] 2xxA Asangat µµ =

Definisi 2.5.4

Misal A himpunan kabur dalam X , maka Aagak adalah himpunan kabur dalam

X dengan fungsi keanggotaan

( ) ( )[ ] 21xxA Aagak µµ =

F. Relasi Kabur

Definisi 2.6.1

Misalkan YXR ×⊆1 dan ZYR ×⊆2 adalah dua buah relasi tegas.

Komposisi relasi tegas 1R dan 2R yang dinotasikan dengan 21 RR o , didefinisikan

sebagai relasi


30

ZXRR ×⊆21 o

sedemikian sehingga ( ) 21, RRzx o∈ bila dan hanya bila terdapat

Yy ∈ sedemikian sehingga ( ) 1, Ryx ∈ dan ( ) 2, Rzy ∈ .

Definisi 2.6.2

Relasi kabur R~

adalah relasi antara elemen-elemen dalam himpunan X

dengan elemen-elemen dalam himpunan Y yang didefinisikan sebagai bagian

kabur dari darab Cartesius YX × , dapat dinyatakan dengan

( ) ( )( ) ( ){ }YXyxyxyxRR

×∈= ,,,,~

~µ .

Jika YX = , maka R~

disebut relasi kabur pada himpunan X .

Contoh 2.6.1

Misalkan { } { }119,27,1,205,78,31 == YX dan R~

adalah relasi kabur “jauh

lebih besar dari” antara elemen-elemen X dan Y maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )119,2054.0

27,2057.01,2059.027,783.01,785.027,311.01,313.0~

+

+++++=R

Contoh 2.6.2

Relasi kabur “hampir sama” antara bilangan-bilangan real dapat dinyatakan

dengan

( ) ( ) ( )( ) ( ){ }RRyxeyxyxR yx

R×∈== −− ,,,,

~ 2

1

~1 µ

Sedangkan relasi kabur “jauh lebih besar” antara bilangan-bilangan real dapat

dinyatakan dengan


31

( ) ( ) ( ) ( )

×∈

+

==−−

RRyxe

yxyxRyxR

,1

1,,,

~2

~2 µ

Definisi 2.6.3

Bila R~

adalah suatu relasi kabur pada semesta YX × , maka invers dari R~

yang

dinyatakan dengan 1~−R , adalah relasi kabur pada semesta XY × dengan fungsi

keanggotaan

( ) ( )yxxyRR

,, ~~ 1 µµ =−

untuk setiap ( )∈yx , XY × .

Maka ( ) RR~~ 11 =

−− untuk setiap relasi kabur R~

.

Bila himpunan X dan Y keduanya berhingga, maka relasi kabur R~

antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam

himpunan Y dapat dinyatakan dalam bentuk suatu matriks berukuran m x n

sebagai berikut

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

R

L

MMM

L

L

21

22221

11211

~

di mana ( )jiRij yxa ,~µ= untuk mi ,,2,1 L= dan nj ,,2,1 L= .


32

Definisi 2.6.4

Jika 1

~R adalah relasi kabur pada YX × dan 2

~R adalah relasi kabur pada ZY × ,

maka komposisi relasi kabur 1

~R dan 2

~R , yang dinotasikan dengan 21 RR o , adalah

relasi kabur pada ZX × dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( )( )zyyxtzxRR

YyRR

,,,sup,2121

~~~~ µµµ∈

=o

di mana t adalah suatu norma-t.

Definisi 2.6.5

Komposisi sup-min diperoleh jika operator “min” sebagai norma-t, maka

diperoleh relasi komposit 21 RR o dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( ){ }zyyxzxRR

YyRR

,,,minsup,2121

~~~~ µµµ∈

=o

Definisi 2.6.6

Komposisi sup-darab diperoleh jika operator “darab aljabar” sebagai

norma-t, maka diperoleh relasi komposit 21 RR o dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( ){ }zyyxzxRR

YyRR

,,,sup,2121

~~~~ µµµ∈

=o

Contoh 2.6.3

Misalkan { } { }119,27,1,205,78,31 == YX dan { }94,225,10=Z , dan relasi

kabur 1

~R , adalah relasi “jauh lebih besar” antara elemen-elemen dalam X dengan

Y dengan matriks sebagai berikut


33

=

4.07.09.0

0.03.05.0

0.01.03.0~

1R

Dan 2

~R adalah relasi kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam Y

dengan Z dengan matriks sebagai berikut

=

0.05.00.0

3.08.00.0

5.09.01.0~

2R

Jika menggunakan komposisi sup-min, diperoleh

( ) ( ) ( ){ }10,,,31minsup10,312121

~~~~ yyRR

YyRR

µµµ∈

=o

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }{ ,10,27,27,31min,10,1,1,31minmax2121

~~~~RRRR

µµµµ=

( ) ( ){ }10,119,119,31min21

~~RR

µµ }

{ } { } { }{ }0.0,0.0min,0.0,1.0min,1.0,3.0minmax=

{ }0.0,0.0,1.0max=

1.0=

Relasi kabur komposit 21 RR o dengan komposisi sup-min dapat disajikan dengan

matriks sebagai berikut

=

=

5.09.01.0

5.05.01.0

3.03.01.0

0.05.00.0

3.08.00.0

5.09.01.0

4.07.09.0

0.03.05.0

0.01.03.0~~

21 oo RR

Jika menggunakan komposisi sup-darab, diperoleh

( ) ( ) ( ){ }10,,,31sup10,312121

~~~~ yyRR

YyRR

µµµ∈

=o

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10,119,119,31,10,27,27,31,10,1,1,31max212121

~~~~~~RRRRRR

µµµµµµ=


34

( )( ) ( )( ) ( )( ){ }0.00.0,0.01.0,1.03.0max=

{ }0.0,0.0,03.0max=

03.0= .

Relasi kabur komposit 21 RR o dengan komposisi sup-darab dapat disajikan

dengan matriks sebagai berikut

=

=

45.081.009.0

25.045.005.0

15.027.003.0

0.05.00.0

3.08.00.0

5.09.01.0

4.07.09.0

0.03.05.0

0.01.03.0~~

21 oo RR .

G. Proposisi Kabur

Definisi 2.7.1

Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu

predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur.

Bentuk umum dari proposisi kabur

x adalah A

dimana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai

linguistik dari x .

Definisi 2.7.2

Peryataan kabur adalah proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran

tertentu.


35

Definisi 2.7.3

Nilai kebenaran dari suatu peryataan kabur disajikan dengan suatu

bilangan real dalam selang [ ]1,0 dan disebut juga derajat kebenaran dari

peryataan kabur.

Derajat kebenaran dari peryataan kabur

0x adalah A

Bila A~

adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan 0x

adalah suatu elemen titik dalam semesta X dari himpunan kabur A~

, maka 0x

mempunyai derajat keanggotaan ( )0~ xA

µ dalam himpunan kabur A~

.

Definisi 2.7.4

Jika x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X dan y

adalah variabel linguistik dengan semesta numeris Y maka konjungsi kabur

x adalah A dan y adalah B

dimana A dikaitkan dengan himpunan kabur A~

dalam X , dan B dikaitkan

dengan himpunan kabur B~

dalam Y , dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur

∧ dalam YX × dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( )( )yxtyxBA~~ ,, µµµ =∧

dengan t adalah suatu norma- t .


36

Definisi 2.7.5

Jika x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X dan y

adalah variabel linguistik dengan semesta numeris Y maka disjungsi kabur

x adalah A atau y adalah B

dimana A dikaitkan dengan himpunan kabur A~

dalam X , dan B dikaitkan

dengan himpunan kabur B~

dalam Y , dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur

∨ dalam YX × dengan fungsi keanggotaan

( ) ( ) ( )( )yxsyxBA~~ ,, µµµ =∨

dengan s adalah suatu norma- s .

H. Implikasi Kabur

Bentuk umum suatu implikasi kabur adalah

Bila x adalah A , maka y adalah B

dimana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan

himpunan-himpunan kabur A~

dan B~

dalam semesta X dan Y berturut-turut.

Sama seperti konjungsi dan disjungsi kabur, implikasi kabur juga

dipandang sebagai suatu relasi kabur dalam YX × yang dilambangkan dengan

→ .

Berdasarkan ekivalensi implikasi tegas qpqp ∨¬⇔→ maka proposisi

p dapat diganti dengan proposisi kabur "" Aadalahx dan proposisi q dapat


37

dapat diganti dengan proposisi kabur "" Badalahy . Implikasi kabur tersebut

dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam YX × dengan fungsi

keanggotaan

( ) ( )( ) ( )( )yxksyxBA~~ ,, µµµ =→

dimana s adalah norma- s dan k adalah suatu komplemen kabur.

Definisi 2.8.1

Implikasi Dienes-Rescher diperoleh bila norma- s dan komplemen kabur

diambil operasi-operasi gabungan dan komplemen baku dan fungsi

keanggotaannya sebagai berikut

( ) ( ) ( )( )yxyxBAdr~~ ,1max, µµµ −=→ .

Karena implikasi tegas qp → juga ekivalen dengan ( ) pqp ¬∨∧ , maka

implikasi kabur di atas juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam

YX × dengan fungsi keanggotaan

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )ykxxtsyxABA~~~ ,,, µµµµ =→

dimana s adalah norma- s , t adalah suatu norma- t dan k adalah suatu

komplemen kabur.

Definisi 2.8.2

Implikasi Zadeh diperoleh bila norma- s , norma- t dan k diambil operasi-

operasi gabungan, irisan dan komplemen baku sehingga diadapat fungsi

keanggotaan sebagai berikut


38

( ) ( ) ( )( ) ( )( )xyxyxABAz ~~~ 1,,minmax, µµµµ −=→ .

Definisi 2.8.3

Implikasi Mamdani adalah implikasi kabur yang dapat juga dipandang

sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh

( ) ( ) ( )( )yxtyxBA~~ ,, µµµ =→

Bila sebagai norma- t diambil operasi baku “min”, maka diperoleh

( ) ( ) ( )( )yxyxBAmm ~~ ,min, µµµ =→

dan bila sebagai norma- t diambil operasi “darab aljabar”, maka diperoleh

( ) ( ) ( )yxyxBAmd ~~, µµµ =→

Contoh 2.8.1:

Misalkan diketahui semesta { }5,4,3,2,1=X dan { }70,60,50=Y dan implikasi

kabur

cepatymakabanyakxJika ,

dimana predikat “banyak” dan “cepat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan

kabur

5/14/8.03/6.02/4.01/2.0~

++++=A

70/160/1.050/4.0~

++=B

Maka jika digunakan implikasi Dienes-Rescher, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )70,5160,57.050,54.0

70,4160,47.050,44.070,3160,37.050,34.0

70,2160,27.050,26.070,1160,18.050,18.0

+++

++++++

+++++=→dr


39

Jika digunakan implikasi Zadeh, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )70,5160,57.050,54.0

70,48.060,47.050,44.070,36.060,36.050,34.0

70,26.060,26.050,26.070,18.060,18.050,18.0

+++

++++++

+++++=→z

Dan jika digunakan implikasi Mamdani diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )70,5160,57.050,54.0

70,48.060,47.050,44.070,36.060,36.050,34.0

70,24.060,24.050,24.070,12.060,12.050,12.0

+++

++++++

+++++=→mm

atau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )70,5160,57.050,54.0

70,48.060,456.050,432.070,36.060,342.050,324.0

70,24.060,228.050,216.070,12.060,114.050,108.0

+++

++++++

+++++=→md

I. Basis Pengetahuan

Basis pengetahuan dari suatu sistem kendali logika kabur terdiri dari basis

data dan basis kaidah. Basis data adalah himpunan fungsi-fungsi keanggotaan dari

himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai-nilai linguistik dari variabel-

variabel yang terlibat dalam sistem itu.

Contoh 2.9.1

Misal dalam suatu sistem kendali logika kabur, variabel y dengan semesta selang

tertutup [ ]aa ,− mempunyai tujuh nilai linguistik sebagai berikut:

Besar Negatif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur −B~


40

Sedang Negatif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur −S~

Kecil Negatif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur −K~

Mendekati Nol, yang dikaitkan dengan himpunan kabur 0~

Kecil Positif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur +K~

Sedang Positif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur +S~

Besar Positif, yang dikaitkan dengan himpunan kabur +B~

Maka basis data dari sistem itu memuat fungsi keanggotaan dari himpunan-

himpunan kabur yang terkait itu, misalnya berbentuk segitiga, sebagai berikut:

Basis kaidah adalah himpunan implikasi-implikasi kabur yang berlaku

sebagai kaidah dalam sistem itu. Bila sistem itu mempunyai m buah kaidah

dengan ( )1+n variabel, maka bentuk umum kaidah ke- ( )nii ,,1K= adalah

sebagai berikut:

a a−

−B~

−S~

−K~

0~

+K~

+

S~

+B~

0

Gambar 2.9.1. Fungsi keanggotaan himpunan-himpunan kabur yang terkait

dengan nilai-nilai linguistik untuk variabel y pada semesta [ ]aa ,−


41

Bila 1x adalah 1iA dan K dan

nx adalah inA , maka y adalah

iB

di mana jx adalah variabel linguistik dengan semesta numeris ( ).,,1 njX j L=

Suatu basis kaidah diharapkan memenuhi beberapa kriteria sebagai

berikut:

1. Lengkap, yaitu untuk setiap ( ) nn XXxx LL ×∈ 11 ,, terdapat { }mi ,,1 L∈

sedemikian sehingga ( ) 0~ ≠jAx

ij

µ untuk semua { }.,,1 nj L∈ dengan

perkataan lain, untuk setiap nilai masukan terdapat sekurang-kurangnya satu

kaidah yang “tersulut”.

2. Konsisten, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah yang mempunyai anteseden

yang sama tetapi konsekuaennya berbeda.

3. Kontinu, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah dengan himpunan-himpunan

kabur yang terkait dala anteseden beririsan, tetapi himpunan-himpunan

kabur yang terkait dalam konsekuennya saling asing.

Contoh 2.9.2

Misalkan implikasinya melibatkan tiga variabel sebagai berikut:

Bila x adalah A dan y adalah B , maka z adalah C

di mana zyx dan,, adalah variabel-variabel dengan semesta selang tertutup

[ ] [ ] [ ]ccbbaa ,dan,,,, −−− berturut-turut, dan dengan tujuh nilai linguistik seperti

dalam Conto 2.9.1. maka basis kaidah dari sistem ini terdiri dari 49 kaidah, yang

secara lengkap dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:


42

y

z −B~

−S~

−K~

0~

+K~

+S~

+B~

−B~

−

S~

+B~

+S~

0~

−K~

+S~

+

K~

0~

0~

+

K~

0~

−

K~

+

K~

+S

~

0~

−K~

−S~

−S

~

+S~

x

+B~

0~

−S~

−B~

Misalnya salah satu kaidahnya berbunyi:

Bila x sedang negatif dan y kecil positif, maka z sedang positif

seperti yang terlihat pada baris kedua kolom kelima dari matriks di atas.


43

BAB III

MEMBANGUN ATURAN KABUR DARI DATA NUMERIS

Misal diberikan suatu himpunan input { }nxxxA ,, 21 L= dan himpunan

output { }myyyB ,, 21 L= , sehingga diperoleh suatu himpunan pasangan terurut

seperti di bawah ini

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11

2

1

1

11

2

1

1 ,,,;,,, mn yyyxxx LL

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22

2

2

1

22

2

2

1 ,,,;,,, mn yyyxxx LL

M M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k

m

kkk

n

kkyyyxxx ,,,;,,, 2121 LL (3.1)

di mana lk ,,2,1 L= .

Misalkan kita berikan suatu contoh himpunan pasangan terurut dua input dan satu

output itu seperti di bawah ini:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )iiiyxxyxxyxx ;,,,;,,;, 21

22

2

2

1

11

2

1

1 L (3.2)

di mana li ,,2,1 L= .

Tugas di sini adalah untuk membangun aturan kabur JIKA-MAKA dari

suatu himpunan pasangan berurutan dari (3.2).

Terdapat empat langkah dalam membangun aturan kabur dari data

numeris, yaitu:


44

3.1 Mendefinisikan Himpunan Kabur pada Ruang Semesta Input dan

Output

Misalkan kita mempunyai himpunan pasangan berurutan ( )yxx ;, 21 . 1x

dan 2x adalah sebuah input yang mempunyai interval ][ +−11 , xx dan [ ]+−

22 , xx dan y

adalah sebuah output dengan interval [ ]+−yy , , yang ditunjukkan oleh S3 (Besar

Negatif), S2 (Sedang Negatif), 1S (Kecil Negatif), CE (tengah atau mendekati

nol), 1B (Kecil Positif), B2 (Sedang Positif), dan B3 (Besar Positif).

Didefinisikan himpunan kabur untuk 1x dan 2x seperti pada gambar 3.1 di bawah

ini.

Sedangkan himpunan kabur untuk y didefinisikan seperti pada gambar 3.2

seperti di bawah ini.

S2 S1 CE B1

( )2xµ

B3 1.0

0.0

+2x

−2x

2x

B2

1.0

0.0

S2 S1 CE B1 B2

( )1xµ

1x

−1x +

1x

Gambar 3.1 Himpunan Kabur Input


45

3.2 Membangun Aturan Kabur dari Data Pasangan Berurutan

Langkah kedua dalam membangun aturan kabur dari data numeris adalah

membangun aturan kabur dari data pasangan berurutan yang diperlukan tiga

langkah.

Pertama, menentukan derajat keanggotaan dari ( ) ( ),, 21

iixx dan ( )i

y pada

himpunan kabur yang berbeda. Sebagai contoh, ( )1

1x mempunyai derajat

keanggotaan 0.8 di 1B , mempunyai derajat keanggotaan 0.5 di 2B , dan

mempunyai derajat keanggotaan 0 untuk semua himpunan kabur yang lain. Secara

sama, ( )2

2x mempunyai derajat keanggotaan 1 di CE, mempunyai derajat

keanggotaan 0.8 di 1S dan derajat keanggotaan 0 untuk himpunan kabur yang

lain. Begitu juga dengan ( )1y mempunyai derajat keanggotaan 0.9 di CE ,

mempunyai derajat keanggotaan 0.8 di 1B , dan mempunyai derajat keanggotaan 0

untuk semua himpunan kabur yang lain seperti yang ditunjukkan pada gambar

3.3.

S2 S1 CE B1 B2 1.0

0.0

y

( )yµ

−y

+y

Gambar 3.2 Himpunan Kabur Output


46

Kedua, menetapkan ( ) ( ),, 21

iixx atau ( )i

y sebagai himpunan kabur dengan

derajat keanggotaan yang maksimum atau himpunan kabur yang mempunyai

derajat keanggotaan paling tinggi. Karena derajat keanggotaan ( )1

1x pada

himpunan kabur 1B lebih besar daripada himpunan kabur 2B maka yang dipilih

adalah himpunan kabur 1B , sedangkan derajat keanggotaan ( )2

2x pada himpunan

kabur CE lebih tinggi daripada derajat keanggotaan pada himpunan kabur 1S

maka yang dipilih adalah himpunan kabur CE dan derajat keanggotaan ( )1y pada

S2 S1 CE B1 B2 1.0

0.0

y

( )yµ

−y

( )1y

( )2y

+y

S2 S1 CE B1

( )2xµ

B3 1.0

0.0 ( )1

2x ( )2

2x

+2x

−2x

2x

B2

1.0

0.0

S2 S1 CE B1 B2

( )1xµ

1x

−1x ( )2

1x ( )1

1x +1x

0.8 0.5

Gambar 3.3 Membagi input dan output menjadi himpunan nilai

linguistik dan fungsi keanggotaan


47

himpunan kabur CE lebih tinggi daripada derajat keanggotaan pada 1B maka

yang dipilih adalah himpunan kabur CE .

Ketiga, setelah menentukan dan menetapkan derajat keanggotaannya maka

kita bisa menyusun aturan kabur dari data pasangan berurutan sebagai berikut:

JIKA 1x adalah A dan 2x adalah B , MAKA y adalah C

Sebagai contoh, kita tentukan derajat keanggotaan lalu ( )1

1x , ( )2

2x , dan ( )1y lalu kita

tetapkan ( )1

1x di 1B karena himpunan kabur 1B mempunyai derajat keanggotaan

paling tinggi dibandingkan dengan 2B atau yang lainnya, ( )2

2x di CE dan ( )1y di

CE . Sehingga bisa kita susun sebuah aturan sebagai berikut: JIKA 1adalah1 Bx

dan CEx adalah2 , MAKA 1adalah By .

3.3 Menentukan Derajat Kebenaran dari Masing-masing Aturan

Meskipun menggunakan beberapa pasangan data berurutan dan masing-

masing pasangan data berurutan membangun satu aturan, ada kemungkinan

terdapat beberapa aturan yang konflik, yaitu aturan yang mempunyai bagian JIKA

sama tetapi bagian MAKA berbeda. Salah satu cara untuk menyelesaikannya

adalah dengan menetapkan sebuah derajat kebenaran pada masing-masing aturan

yang membangun pasangan data berurutan dan hanya menerima aturan dari

kelompok aturan yang konflik yang mempunyai derajat maksimum.

Kita menggunakan implikasi Mamdani untuk menetapkan sebuah derajat

kebenaran ke masing-masing aturan. Untuk aturan: “JIKA 1x adalah A dan 2x


48

adalah B , MAKA y adalah C ,” derajat dari aturan ini dinotasikan dengan

( )AturanD .

Berdasarkan definisi (2.7.4), definisi (2.8.3) dan darab aljabar

( ) ( ) ( )( )yxtAturanDCA~~ , µµ= (2.7.4)

( ) ( )( ) ( )( )yxxttCBA~2~1~ ,, µµµ= (2.8.3)

( ) ( ) ( )yxxCBA~2~1~ µµµ= (darab aljabar)

Sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( )yxxAturanD CBA µµµ 21= .

Contoh 3.3.1

Aturan 1 mempunyai derajat

( ) ( ) ( ) ( )yxxAturanD CESB µµµ 21111 =

504.09.07.08.0 =××= . (lihat gambar 3.3)

Aturan 2 mempunyai derajat

( ) ( ) ( ) ( )yxxAturanD BCEB 12112 µµµ=

42.07.016.0 =××= .

3.4 Menyusun Tabel Look Up

Gambar 3.4 menggambarkan sebuah tabel look-up yang menggantikan

basis data aturan kabur. Kita mengisi kotak-kotak tersebut dengan aturan kabur

sebagai berikut: sebuah skema tabel look-up ditentukan oleh aturan linguistik atau

dari membangun data numerik, jika ada lebih dari satu aturan di dalam kotak

aturan kabur, kita gunakan aturan yang mempunyai derajat paling tinggi.


49

Gambar 3.4 Ilustrasi tabel lookup dari aturan dasar kabur

Di dalam langkah ini, baik data numerik dan linguistik disusun menjadi sebuah

kerangka yaitu skema tabel look-up. Jika aturan linguistik itu adalah aturan “dan”

maka hanya diisi satu kotak pada tabel, tetapi jika aturan linguistik itu adalah

aturan “atau”, maka semua kotak pada baris atau kolom yang sama dalam tabel

diisi ke daerah JIKA. Sebagai contoh, anggap kita punya aturan : “ JIKA 1x

adalah 21 xatauS adalah CE , MAKA y adalah 2B ” , maka kita akan mengisi

tujuh kotak pada kolom 1S dan lima kotak pada baris CE dengan 2B . Semua

derajat pada 2B pada kotak ini sama derajatnya pada aturan “atau”.


50

BAB IV

PENERAPAN ATURAN KABUR DARI DATA NUMERIS PADA SISTEM

KENDALI TRUK

A. Permasalahan pada Kontrol Sistem Kendali Truk

Gambar 4.1 Diagram simulasi truk dan daerah muatan

Simulasi truk dan daerah muatan ditunjukkan pada Gambar 4.1. Posisi

truk ditentukan oleh 3 variabel awal yaitu ,, xφ dan y , dimana φ adalah sudut

truk dengan bidang datar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1, x adalah

posisi gerak truk dan y adalah jarak antara truk dan dok yang tidak harus

dianggap sebagai input. Misal diberikan suatu tabel panjang lintasan seperti di

bawah ini, yang mana [ ]00 270,90−∈φ dan [ ]20,0∈x dan outputnya adalah

[ ]00 40,40−∈θ , sedemikian sehingga didapat posisi akhir dari kedudukan truk

tersebut adalah ( ) ( )090,10, =ffx φ .


51

t x oφ oθ

0 1.00 0.00 -19.00

1 1.95 9.37 -17.95

2 2.88 18.23 -16.90

3 3.79 26.59 -15.85

4 4.65 34.44 -14.80

5 5.45 41.78 -13.75

6 6.18 48.60 -12.70

7 6.83 54.91 -11.65

8 7.39 60.70 -10.60

9 7.87 65.98 -9.55

10 8.27 70.74 -8.50

11 8.60 74.98 -7.45

12 8.86 78.70 -6.40

13 9.05 81.90 -5.34

14 9.19 84.57 -4.30

15 9.28 86.72 -3.25

16 9.34 88.34 -2.20

17 9.37 89.44 0.00

B. Membangun Aturan Kabur dari Data Numeris untuk Sistem Kendali

Truk

Kita gunakan empat langkah dari membangun aturan kabur dari data

numeris untuk menentukan fungsi ( ) θφ →,: xf , berdasarkan tabel 4.1. Berikut

ini adalah langkah-langkah dalam membangun aturan kabur dari data numeris :

TABEL 4.1 Panjang lintasan

dimulai dari ( ) ( )ox 0,1, 00 =φ


52

4.2.1 Mendefinisikan Himpunan Kabur pada Ruang Semesta Input dan

Output

Misalkan kita mempunyai himpunan pasangan berurutan ( )θφ ;,x dimana

interval [ ]20,0∈x , [ ]00 270,90−∈φ dan [ ]00 40,40−∈θ . Kemudian

didefinisikan himpunan kabur untuk θφ dan,,x sebagai berikut:

( )

−≤≤−−

−−

−≤≤−−

+

=

lainnyauntuk0

1550untuk35

15

50115untuk35

115

3φ

φ

φφ

φµS

( )

≤≤−

≤≤−−

+

=

lainnyauntuk0

450untuk45

45

045untuk45

45

2φ

φ

φφ

φµS

Gambar 4.2 Fungsi Keanggotaan Kabur untuk φ


53

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

905.52untuk5.37

90

5.5215untuk5.37

15

1φ

φ

φφ

φµS

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

10090untuk10

100

9080untuk10

80

φφ

φφ

φµCE

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

1655.127untuk5.37

165

5.12790untuk5.37

90

1φ

φ

φφ

φµB

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

225180untuk45

225

180135untuk45

135

2φ

φ

φφ

φµB

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

295245untuk50

295

245195untuk50

195

3φ

φ

φφ

φµB


54

( )

≤≤−

≤≤

=

lainnyauntuk0

75.1untuk5.5

7

5.10untuk1

2

xx

x

xSµ

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

107untuk3

10

74untuk3

4

1x

x

xx

xSµ

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

1110untuk1

11

109untuk1

9

xx

xx

xCEµ

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

1613untuk3

16

1310untuk3

10

1x

x

xx

xBµ

Gambar 4.3 Fungsi Keanggotaan Kabur untuk x


55

( )

≤≤

≤≤−

=

lainnyauntuk0

205.18untuk1

5.1813untuk5.5

13

2x

xx

xBµ

( )

−≤≤−−−

−≤≤−+

=

lainnyauntuk0

2030untuk10

20

3040untuk10

40

3θ

θ

θθ

θµS

( )

−≤≤−−−

−≤≤−+

=

lainnyauntuk0

720untuk13

7

2033untuk13

33

2θ

θ

θθ

θµS

Gambar 4.4 Fungsi Keanggotaan Kabur untuk θ


56

( )

≤≤−−

−≤≤−+

=

lainnyauntuk0

07untuk7

714untuk7

14

1θ

θ

θθ

θµS

( )

≤≤−

≤≤−+

=

lainnyauntuk0

40untuk4

4

04untuk4

4

θθ

θθ

θµCE

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

147untuk7

14

70untuk7

0

1θ

θ

θθ

θµB

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

3320untuk13

33

207untuk13

7

2θ

θ

θθ

θµB

( )

≤≤−

≤≤−

=

lainnyauntuk0

4030untuk10

40

3020untuk,10

20

3θ

θ

θθ

θµB


57

4.2.2 Membangun Aturan kabur dari Data Pasangan Berurutan

Untuk menentukan aturan kabur dan menetapkan derajat kebenaran dalam

permasalahan pada sistem kendali pada truk kita gunakan tabel 4.1. Dari tabel

tersebut kita bisa memperoleh aturan kaburnya dan bisa menetapkan derajat

kebenaran yang akan kita gunakan pada langkah ketiga.

Berdasarkan tabel 4.1 diperoleh aturan-aturan seperti di bawah ini

• Untuk 0=t , maka 10 =x , 00 =φ , dan 190 −=θ .

( ) 111 20 =→= Sx µ

( ) 100 20 =→= Sµφ

( ) 923076923.013

12

13

197

13

71919 20 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

Aturan 0 : JIKA 0x adalah 2S dan 0φ adalah 2S MAKA 0θ adalah 2S .

• Untuk 1=t , maka 95.11 =x , 37.91 =φ , dan 95.171 −=θ

( ) 918181818.05.5

05.5

5.5

95.17

5.5

795.195.1 21 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 791777777.045

63.35

45

37.945

45

4537.937.9 21 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 842307692.013

95.10

13

95.177

13

795.1795.17 21 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S



( ) 749090909.05.5

12.4

5.5

88.27

5.5

788.288.2 22 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 594888888.045

77.26

45

23.1845

45

4523.1823.18 22 ==

−=

−=→=

φµφ S


58

( ) 761538461.013

9.9

13

90.167

13

790.1690.16 22 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S



( ) 583636363.05.5

21.3

5.5

79.37

5.5

779.379.3 23 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 409111111.045

41.18

45

59.2645

45

4559.2659.26 23 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 309066666.05.37

59.11

5.37

1559.26

5.37

1559.261 ==

−=

−=

φµS

( ) 68076923.013

85.8

13

85.57

13

785.1585.15 23 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

Aturan3 : JIKA 3x adalah 2S dan 3φ adalah 2S MAKA 3θ adalah 2S .

• Untuk 4=t , maka ,65.44 =x ,44.344 =φ dan 80.144 −=θ

( ) 427272727.05.5

35.2

5.5

65.47

5.5

765.465.4 24 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 216666666.03

65.0

3

465.4

3

465.41 ==

−=

−=

xSµ

( ) 234666666.045

56.10

45

44.3445

45

4544.3444.34 24 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 5184.05.37

44.19

5.37

1544.34

5.37

1544.341 ==

−=

−=

φµS

( ) 6.013

8.7

13

80.147

13

780.1480.14 24 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 114285714.07

8.0

7

1480.14

7

1480.141 −=

−=

+−=

+=−

θµS


59



( ) 281818181.05.5

55.1

5.5

45.57

5.5

745.545.5 25 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 483333333.03

45.1

3

445.5

3

445.51 ==

−=

−=

xSµ

( ) 071555555.045

22.3

45

78.4145

45

4578.4178.41 25 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 714133333.05.37

78.26

5.37

1578.41

5.37

1578.411 ==

−=

−=

φµS

( ) 519230769.013

75.6

13

75.137

13

775.1375.13 25 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 035714285.07

25.0

7

1475.13

7

1475.131 ==

+−=

+=−

θµS

Aturan 5 : JIKA 5x adalah 1S dan

5φ adalah 1S MAKA 5θ adalah 2S .


( ) 149090909.05.5

82.0

5.5

18.67

5.5

718.618.6 26 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 726666666.03

18.2

3

418.6

3

418.61 ==

−=

−=

xSµ

( ) 896.05.37

6.33

5.37

1560.48

5.37

1560.4860.48 16 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 438461538.013

7.5

13

70.127

13

770.1270.12 26 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 185714285.07

3.1

7

1470.12

7

1470.121 ==

+−=

+=−

θµS



60


( ) 03090909.05.5

17.0

5.5

83.67

5.5

783.683.6 27 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 943333333.03

83.2

3

483.6

3

483.61 ==

−=

−=

xSµ

( ) 935733333.05.37

09.35

5.37

91.5490

5.37

9091.5491.54 17 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 357692307.013

65.4

13

65.117

13

765.1165.11 27 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 335714285.07

35.2

7

1465.11

7

1465.111 ==

+−=

+=−

θµS




( ) 87.03

61.2

3

39.710

3

1039.739.7 18 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 781333333.05.37

3.29

5.37

70.6090

5.37

9070.6070.60 18 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 276923076.013

6.3

13

60.107

13

760.1060.10 28 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 485714285.07

4.3

7

1460.10

7

1460.101 ==

+−=

+=−

θµS



( ) 71.03

13.2

3

87.710

3

1087.787.7 19 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 640533333.05.37

02.24

5.37

98.6590

5.37

9098.6598.65 19 ==

−=

−=→=

φµφ S


61

( ) 196153846.013

55.2

13

55.97

13

755.955.9 29 ==

+−=

−−=−→−=

θµθ S

( ) 635714285.07

45.4

7

1455.9

7

1455.91 ==

+−=

+=−

θµS




( ) 576666666.03

3.17

3

27.810

3

1027.827.8 110 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 5136.05.37

26.19

5.37

74.7090

5.37

9074.7074.70 110 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 785714285.07

5.5

7

1450.8

7

1474.7050.8 110 ==

+−=

+=→−=

θµθ S

( ) 115384615.013

5.1

13

50.87

13

750.829 ==

+−=

−−=−

θµθ S



( ) 466666666.03

4.1

3

60.810

3

1060.860.8 111 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 400533333.05.37

02.15

5.37

98.7490

5.37

9098.7498.74 111 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 935714285.07

55.6

7

1445.7

7

1445.745.7 111 ==

+−=

+=−→−=

θµθ S

( ) 034615384.013

45.0

13

45.77

13

745.72 ==

+−=

−−=−

θµS




62

( ) 301333333.05.37

3.11

5.37

70.7890

5.37

9070.7870.78 112 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 914285714.07

40.6

740.640.6 112 ==

−=−→−=

θµθ S



( ) 316666666.03

95.0

3

05.910

3

1005.905.9 113 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 05.01

05.0

1

905.9

1

905.9 ==

−=

−=

xCEµ

( ) 216.05.37

1.8

5.37

90.8190

5.37

9090.8190.81 113 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 19.010

9.1

10

8090.81

10

8090.81 ==

−=

−=

φµCE

( ) 762857142.07

34.5

734.534.5 113 ==

−=−→−=

θµθ S



( ) 27.03

81.0

3

19.910

3

1019.919.9 114 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 19.01

19.0

1

919.9

1

919.9 ==

−=

−=

xCEµ

( ) 1448.05.37

43.5

5.37

57.8490

5.37

9057.8457.84 114 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 38.03

14.1

3

86.810

3

1086.886.8 112 ==

−=

−=→=

xx Sµ


63

( ) 457.010

57.4

10

8057.84

10

8057.84 ==

−=

−=

φµCE

( ) 614285714.07

30.4

730.430.4 114 ==

−=−→−=

θµθ S

Aturan 14 : JIKA 14x adalah 1S dan 14φ adalah CE MAKA 14θ adalah 1S .


( ) 24.03

72.0

3

28.910

3

1028.928.9 115 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 28.01

28.0

1

928.9

1

928.9 ==

−=

−=

xCEµ

( ) 087466666.05.37

28.3

5.37

72.8690

5.37

9072.8672.86 115 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 672.010

72.6

10

8072.86

10

8072.86 ==

−=

−=

φµCE

( ) 646285714.07

25.3

725.325.3 115 ==

−=−→−=

θµθ S

( ) 1875.04

75.0

4

425.3

4

425.3 ==

+−=

+=−

θµCE

Aturan 15 : JIKA 15x adalah CE dan 15φ adalah CE MAKA 15θ adalah 1S .


( ) 22.03

66.0

3

34.910

3

1034.934.9 116 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 34.01

34.0

1

934.9

1

934.9 ==

−=

−=

xCEµ

( ) 044266666.05.37

66.1

5.37

34.8890

5.37

9034.8834.88 116 ==

−=

−=→=

φµφ S


64

( ) 834.010

34.8

10

8034.88

10

8034.88 ==

−=

−=

φµCE

( ) 3142855714.07

20.2

720.220.2 116 ==

−=−→−=

θµθ S

( ) 45.04

8.1

4

)4(20.2

4

420.2 ==

−−−=

+=−

θµCE

Aturan 16 : JIKA 16x adalah CE dan 16φ adalah CE MAKA 16θ adalah CE .

• Untuk 17=t , maka ,37.917 =x ,44.8817 =φ dan 017 =θ

( ) 21.03

63.0

3

37.910

3

1037.937.9 117 ==

−=

−=→=

xx Sµ

( ) 37.01

37.0

1

937.9

1

937.9 ==

−=

−=

xCEµ

( ) 0416.05.37

56.1

5.37

44.8890

5.37

9044.8844.88 117 ==

−=

−=→=

φµφ S

( ) 844.010

44.8

10

8044.88

10

8044.88 ==

−=

−=

φµCE

( ) 07

0

700 117 ==

−=→=

θµθ S

( ) 14

4

4

04

4

40 ==

−=

−=

θµCE

( ) 14

4

4

40

4

40 ==

+=

+=

θµCE

( ) 07

0

701 ===

θµB

Aturan 17 : JIKA 17x adalah CE dan 17φ adalah CE MAKA 17θ adalah CE .


65

4.2.3 Menentukan Derajat Kebenaran dari Masing-masing Aturan

Untuk menetapkan sebuah derajat kebenaran ke masing-masing aturan kita

gunakan implikasi Mamdani. Untuk aturan “JIKA nx adalah A dan nφ adalah

B , MAKA nθ adalah C ,” derajat dari aturan ini ditunjukkan oleh ( )AturanD ,

didefinisikan sebagai berikut

( ) ( ) ( ) ( )nCnBnA xAturanD θµφµµ=

dimana L,3,2,1,0=n

Berikut ini adalah cara untuk memperoleh derajat kebenaran sehingga diperoleh

tabel 4.2.

• Untuk 0=t , maka

D(Aturan 0 ) = ( ) ( ) ( )020202 θµφµµ SSS x

923076923.0*1*1=

92.0923076923.0 ≈=



842307692.0*791777777.0*918181818.0=

61.0612354288.0 ≈=



761538461.0*594888888.0*749090909.0=

34.033936123.0 ≈=


66



68076923.0*409111111.0*583636363.0=

16.0162548712.0 ≈=



6.0*5184.0*427272727.0=

13.0132898909.0 ≈=



519230769.0*714133333.0*483333333.0=

18.0179219999.0 ≈=



438461538.0*896.0*726666666.0=

28.0285479384.0 ≈=



357692307.0*935733333.0*943333333.0=

31.0315738019.0 ≈=




67

485714285.0*781333333.0*87.0=

33.0330169142.0 ≈=



635714285.0*640533333.0*71.0=

29.0289109294.0 ≈=



785714285.0*5136.0*576666666.0=

23.0232709713.0 ≈=


D(Aturan 11) = ( ) ( ) ( )111111111 θµφµµ SSS x

935714285.0*400533333.0*46666666.0=

17.0174899552.0 ≈=



914285714.0*301333333.0*38.0=

10.0104691809.0 ≈=



762857142.0*216.0*316666666.0=

05.0052179428.0 ≈=


68


D(Aturan 14 ) = ( ) ( ) ( )14114141 θµφµµ SCES x

614285714.0*457.0*27.0=

55.0550728571.0 ≈=


D(Aturan 15 ) = ( ) ( ) ( )15115115 θµφµµ SSCE x

464285714.0*672.0*28.0=

09.0087359999.0 ≈=


D(Aturan 16 ) = ( ) ( ) ( )161616 θµφµµ CECECE x

45.0*834.0*34.0=

13.0127602.0 ≈=


D(Aturan 17 ) = ( ) ( ) ( )1711717 θµφµµ CECECE x

1*844.0*37.0=

31.031228.0 ≈=


69

Untuk hasil selengkapnya bisa kita lihat pada Tabel 4.2 di bawah ini

JIKA MAKA

Aturan kabur

untuk =t x

adalah φ

adalah

θ

adalah

Derajat Kebenaran

0 2S 2S 2S 0.92

1 2S 2S 2S 0.61

2 2S 2S 2S 0.34

3 2S 2S 2S 0.16

4 2S 1S 2S 0.13

5 1S 1S 2S 0.18

6 1S 1S 2S 0.28

7 1S 1S 2S 0.31

8 1S 1S 1S 0.33

9 1S 1S 1S 0.29

10 1S 1S 1S 0.23

11 1S 1S 1S 0.17

12 1S 1S 1S 0.10

13 1S 1S 1S 0.05

14 1S CE 1S 0.55

15 CE CE 1S 0.09

16 CE CE CE 0.13

17 CE CE CE 0.31

*) Aturan 3 dan 4 konflik sehingga aturan 4 yang dipilih karena mempunyai derajat keanggotaan

yang lebih tinggi

**) Aturan 6 dan 7 konfik sehingga aturan 7 yang dipilih karena mempunyai derajat keanggotaan

yang lebih tinggi

4.2.4 Menyusun Tabel Look Up

Dari Tabel 4.2 didapat tujuh aturan kabur yang bisa digunakan untuk

membuat skema tabel look up. Tujuh aturan tersebut dipilih berdasarkan aturan

yang mempunyai derajat keanggotaannya paling tinggi. Aturan 1 : JIKA x adalah

TABEL 4.2 Aturan Kabur yang Dibangun dari Pasangan

Berurutan Input-Output dari Tabel 4.1 dan Derajat Kebenaran

Aturan 1

Aturan 2

Aturan 3 *)

Aturan 4 *)

Aturan 7 **)

Aturan 6 **)

Aturan 5


70

2S dan φ adalah 2S MAKA θ adalah 2S dengan derajat keanggotaannya 0.92.

Aturan 2 : JIKA x adalah 2S dan φ adalah 1S MAKA θ adalah 2S dengan

derajat keanggotaannya 0.13. Aturan 3 : JIKA x adalah 1S dan φ adalah 1S

MAKA θ adalah 2S dengan derajat keanggotaannya 0.31. Aturan 4 : JIKA x

adalah 1S dan φ adalah 1S MAKA θ adalah 1S dengan derajat keanggotaannya

0.33. Aturan 5 : JIKA x adalah 1S dan φ adalah CE MAKA θ adalah 1S

dengan derajat keanggotaannya 0.55. Aturan 6 : JIKA x adalah CE dan φ adalah

CE MAKA θ adalah 1S dengan derajat keanggotaannya 0.09. Aturan 7 : JIKA

x adalah CE dan φ adalah CE MAKA θ adalah CE dengan derajat

keanggotaannya 0.31.

Aturan yang dipakai dalam membuat skema tabel look up ini adalah aturan

“dan” maka hanya diisi satu kotak pada tabel. Jika dalam membuat skema tabel

look up terdapat lebih dari satu aturan kabur dalam satu kotak aturan kabur maka

digunakan aturan yang mempunyai derajat paling tinggi. Untuk aturan 3 dan

aturan 4, karena aturan 4 lebih tinggi derajat keanggotaannya maka yang

digunakan untuk mengisi kotak aturan kabur adalah aturan 4. Maka akan didapat

aturan JIKA x adalah 1S dan φ adalah 1S MAKA θ adalah 1S dengan derajat

keanggotaannya 0.33. Begitu juga untuk aturan 6 dan aturan 7, karena aturan 7

lebih tinggi derajat keanggotaannya maka yang digunakan untuk mengisi kotak

aturan kabur adalah aturan 7. Maka akan didapat aturan JIKA x adalah CE dan

φ adalah CE MAKA θ adalah CE dengan derajat keanggotaannya 0.31.


71

Sehingga didapatkan skema tabel look up pada sistem kendali pada truk untuk

posisi awal, ( ) ( )0,1, 00 =o

x φ seperti di bawah.

S2 S1 CE B1 B2

S3

S2 S2

S1 S2 S1

CE S1 CE

B1

B2

B3

Berdasarkan tabel 4.2 hanya terdapat lima kotak yang terisi pada skema tabel

look-up.

Gambar 4.5 Hasil Akhir Membangun Aturan Kabur dari Data

Numerik untuk Masalah Sistem Kendali pada Truk

x

φ


72

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

1. Metode ini dapat digunakan dengan mudah untuk membangun

aturan kabur dari data numeris.

2. Untuk membangun aturan kabur dari data numeris digunakan

empat langkah yaitu mendefinisikan himpunan kabur pada ruang

semesta input dan output, membangun aturan kabur dari data

pasangan berurutan, menentukan derajat kebenaran dari masing-

masing aturan, dan menyusun tabel look-up.

B. Saran

1. Metode ini dapat diimplementasikan dalam bentuk program.

2. Penerapan membangun aturan kabur dari data numeris dengan

metode bentuk tabel ini juga bisa disimulasikan.


73

DAFTAR PUSTAKA

Jamshidi, Mohammad; Vadiee Nader and Ross J, Timothy. 1993. Fuzzy Logic and

Control. Volume 2. Englewood Cliffs, New Jersey. Prentice Hall, Inc.

Lee, Kwang H. 2005. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Springer

Verlag Berlin Heidelberg.

Ross J, Timothy; Booker M, Jane and Parkinson, Jerry W. 2002. Fuzzy Logic and

Probability Applications. Philadelphia, PA.

Susilo, F. 2003. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Edisi II.

Yogyakarta. Graha Ilmu.

Suryadi. H. S. D., Aljabar Logika & Himpunan, Edisi I. Jakarta. Gunadarma.

Wang, Li-Xin. 1994. Adaptive Fuzzy Systems and Control. Englewood Cliffs,

New Jersey. Prentice Hall.

Wang, Li-Xin. 1997. A Course in Fuzzy System and Control. Upper Saddle River,

NJ. Prentice Hall.


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji - core.ac.uk filemembangun aturan kabur dari data numeris...

Documents