plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · bentuk lintasan dan perubahan geometri rua ng suatu...

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Dewa Ayu Ratmi Yanti

NIM : 013214014

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SCHWARZSCIHLD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY

Scription

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree

In Physics

By :


Student Number 013214014

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2008


SKRIPSI


Oleh :


Nim : 013214014

Telah disetujui oleh :

Pembimbing

Drs.Drs.Vet.Asan Damanik, M.Si. tanggal 28 Februari 2008

iii


SKRIPSI PERSAMAAN SCHWARZSCHILD

DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Dipersiapkan dan ditulis oleh

Dewa Ayu Ratmi Yanti NIM : 013214014

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji Pada tanggal 12 Maret 2008

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda tangan

Ketua Dr. Ign. Edi Santosa, MS. ........................

Sekretaris Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. ........................

Anggota Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. ........................

Anggota Dr. Agung Bambang Setyo Utomo, SU ........................

Anggota Dr. Ign. Edi Santosa, MS ........................

Yogyakarta, Maret 2008

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

(Ir. Greg Heliarko, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc)

iv


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

" Apapun yang engkau lakukan,

Apapun yang engkau makan,

Apapun yang engkau persembahkan

atau berikan sebagai sumbangan

serta pertapaan

dan apapun yang engkau lakukan,

lakukanlah kegiatan itu sebagai

persembahaan kepada-Ku

wahai putra Kunti”

Bhagawad-gita Sloka 9.27

PERSEMBAHAN :

"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah, Ibu, adik –

adikku dan Sinar kekasihku yang selalu memberikan

dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang

hidupku"

v



ABSTRAK

Telah dilakukan penelitian tentang implikasi persamaan Schwarzschild pada bentuk lintasan dan perubahan geometri ruang suatu partikel bergerak. Partikel yang bergerak di daerah α>r berada dalam bak-waktu, tetapi kalau partikel di daerah

α<r maka partikel berada dalam bak-ruang. Cahaya yang melintas dalam ruang yang mempunyai medan gravitasi akan mengalami pembelokan dengan sudut pembelok dθ .

vi


SCHWARZSCHILD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY

ABSTRACT

Research about the Schwarzschild equation implication on trajectory form and space geometry change of the moving particle have been performed. Particles move in the region α>r undergoing time-like but, if particles are in the region α<r , then they undergo space-like. Light pass through the space which having gravitational field would undergo a deflection with deflection angle dθ .

vii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas

segala asung kerta wara nugrahanya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini

dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN

IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL”, yang diajukan sebagai salah

satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang

penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing

yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing,

mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan

tugas akhir ini.

2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan,

dorongan, doa, dan kasih sayang sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

3. Adik - adikku tercinta Jegek dan Dewi yang selalu memberikan

semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

viii


4. Sinar yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan,

semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.

5. Om mift dan Ninik Cuyak terimakasih atas semua dorongan dan

dukungannya.

6. Temen-teman Bali, Ketut, Wawan, Sidi, Gde, Wandi, Andika, yang

selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku

serta menemaniku mengerjakan skripsi.

7. Temen-teman fisika, Manggar, Frida, Ratna, Nari, Vemby, Toni, yang

selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku.

8. Ir.Sri Agustini Sulandari, M.Si selaku dosen pendamping akademik

yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi

mahasiswa.

9. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan

pengajaran dan pendampingan.

10. Teman-teman yang rela menunggu giliran pada saat bimbingan,

Minto, Kia, Danang terimakasi sudah mau bersabar.

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih

atas segala bantuannya.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh

karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun

dari berbagai pihak.

ix


Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia

pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, Februari 2008

Penulis

x


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini adalah

karya saya dan tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah

disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya

ilmiah.

Yogyakarta, Februari 2008

Penulis


xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………..............................................

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....

HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….

ABSTRAK ……………………………………………………………….

ABSTRACT ……………………………………………………………..

KATA PENGANTAR …………………………………………………...

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….

DAFTAR ISI …………………………………………………………….

BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

BAB III. METODA PENELITIAN…………………….........................

i

iii

iv

v

vi

vii

viii

xi

xii

1

1

3

4

4

4

5

6

7

16

xii


3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………

BAB IV. HASIL PEMBAHASAN...……………….................................

4.1. Orbit Planet ................................................……………………...

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang .............…………….

4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus ............................................

BAB V. PENUTUP............…………………………………………........

5.1. Kesimpulan ...............................................……………………...

5.2. Saran ............................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………

LAMPIRAN ...............................................................................................

16

16

16

17

17

19

22

28

28

29

30

31

xiii


BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Pada tahun 1916, sebulan setelah Einstein mempublikasikan teori relativitas

umum, seorang ahli astronomi dari Jerman yang bernama Schwarzschild menemukan

penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein. (Lawrie, 1998)

μυμυμυ kTgRR =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ−−

21 (1.1)

Dengan Rμυ tensor Ricci (yang digambarkan terikat dengan dua indeks dari tensor

Riemann), R merupakan skalar kelengkungan Ricci (R = gμυRμυ), tetapan

kosmologi, g

Λ

μυ tensor orde dua kovarian, k kopling antara geometri dan materi yang

menunjukan kuat gaya gravitasi dan Tμυ adalah tensor tekanan. Penyelesaian

sederhana persamaan medan Einstein yang menggambarkan bagaimana ruang waktu

(space-time) mengkerut akibat medan gravitasi suatu bintang yang sangat besar dan

padat (massive) yang telah menjadi lubang hitam (Black Hole). Jadi secara singkat

dapat dinyatakan bahwa lubang hitam memiliki percepatan gravitasi dan kerapatan

(massa jenisnya) sangat besar.

Dengan percepatan gravitasi yang sangat besar tersebut, semua benda (materi)

akan ditarik oleh lubang hitam, dan tidak ada benda atau materi yang mampu

melepaskan diri dari lubang hitam. Sebagai contoh, jika ada sebuah benda yang

memiliki kerapatan sama dengan kerapatan matahari dan jari-jari benda itu 500 kali

1


2

jari-jari matahari, maka suatu partikel yang ingin melepaskan diri dari permukaan

benda itu haruslah mempunyai kecepatan yang lebih besar dari kecepatan cahaya (c).

(Will, 1989)

Lubang hitam memiliki beberapa sifat-sifat fisis yang sangat menarik, antara

lain lintasan partikel (cahaya) dalam medan gravitasi lubang hitam tidak lurus,

melainkan melengkung. Hal ini dikarenakan lubang hitam memiliki medan

(percepatan) gravitasi yang sangat besar sehingga lintasan cahaya akan melengkung.

Dalam hal ini bentuk lintasan suatu partikel ditentukan oleh kuat atau besar medan

gravitasi didalam ruang dimana partikel tersebut melintas. Dengan menggunakan

koordinat bola sferis ( )φθ ,,r , elemen lintasan (ds) sebuah partikel dalam medan

gravitasi yang sangat lemah (lintasannya berbentuk garis lurus, karena medan

gravitasinya kecil) diberikan oleh (Lord,1979)

(1.2) )sin( 22222222 φθθ ddrdrdtcds +−−=

Jika ada medan gravitasi yang sangat besar maka, elemen lintasan (ds) sebuah

partikel (lintasannya melengkung, karena medan gravitasinya sangat besar) diberikan

oleh (Lawrie, 1998)

)sin(21

21 2222

2

222

22 φθθ ddr

rcGM

drdtcrc

GMds +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (1.3)

Dengan G tetapan gravitasi universal, M massa benda yang memiliki medan gravitasi

yang sangat besar (lubang hitam), dan c kecepatan cahaya. Perbedaan antara

persamaan (1.2) dan (1.3) adalah jika pada persamaan (1.2) lintasan berada dalam


3

ruang tanpa medan gravitasi. Sedangkan pada persamaan (1.3) lintasan berada dalam

ruang yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar.

Konstanta 22

cGM pada persamaan (1.3)disebut jari-jari Schwarzschild ( )α ,

atau

2

2cGM

=α (1.4)

sehingga persamaan (1.3) dapat dituliskan kembali menjadi

)sin(1

11 22222222 φθθα

α ddrdr

r

dtcr

ds +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (1.5)

1.2. Perumusan Masalah

Sebagaimana diuraikan pada latar belakang masalah bahwa lubang hitam

memiliki sifat-sifat fisis yang berbeda dengan alam yang memiliki medan gravitasi

lemah, menyebabkan penelitian sifat-sifat fisis dan geometri lubang hitam merupakan

penelitian yang sangat menarik. Dari persamaan (1.5) kalau α=r maka ds2 menjadi

tak berhingga (singularitas). Jika α<r , maka suku-suku yang memuat koordinat

ruang ( )φθ ,,r mendominasi ds2 agar diperoleh lintasan yang berniali real. Jadi antara

titik α=r dan α<r terjadi perubahan fisis dan geometri.

Demikian juga bentuk lintasan partikel atau cahaya yang melintas dekat

lubang hitam akan melengkung menyebabkan adanya semacam titik fokus lubang

hitam. Oleh karena itu yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah:


4

1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi, jika sebuah partikel melintas

dari α>r ke α<r melewati titik singular α=r .

2. Menentukan ”titik fokus” lubang hitam sebagai fungsi α dan besar fisis

terkait.

1.3. Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada masalah :

1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi jika sebuah partikel melewati

titik r=α .

2. Penentuan ”titik fokus” lubang hitam, kalau lubang hitam tersebut berperilaku

sebagai sebuah lensa positif.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian

1.4.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :

1. Mengetahui perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi pada suatu lubang

hitam, jika sebuah partikel melintas dari α>r melewati α=r menuju

daerah α<r

2. Menentukan ”titik fokus” suatu benda dengan percepatan gravitasi yang

sangat besar (lubang hitam).


5

1.4.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya

pengetahuan tentang sifat-sifat fisis lubang hitam dan konsekuensinya.


6

1.5. Sistematika Penulisan

Hasil penelitian ditulis dengan sistematika sebagai berikut :

BAB I. PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II. DASAR TEORI

Dalam Bab II dijabarkan tentang persemaan Schwarzschild dan lintasan

partikel dalam medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam).

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian, dan

langkah-langkah penelitian.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab IV ditampilkan hasil penelitian serta pembahasannya.

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.


BAB II DASAR TEORI

Jarak antara dua titik dalam ruang diberikan oleh (Lawrie, 1998) :

(2.1) υμμυ dxdxgds =2

dengan gμυ adalah metrik tensor orde dua kovarian dalam sistem koordinat kartesian,

untuk ruang tiga dimensi jarak dua titik dalam ruang, yaitu titik A dan titik B (Gambar

2.1) diberikan oleh

2222 dzdydxds ++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

2

2

2

100010001

dzdydx

sehingga metrik tensornya

(2.2) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

μυg

Gambar 2.1

(x1,y1,z1) y

B (x2 , y2 , z2)

A

z

x

7


8

Jika digunakan koordinat bola sferis (r,θ,φ ), maka panjang lintasan (elemen garis)

antara dua titik diberikan oleh

2222222 sin φθθ drdrdrds ++=

(2.3) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

2

2

2

22

2

sin0000001

φθ

θ dddr

rr

sehingga diberikan

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

θμυ

22

2

sin0000001

rrg

Dalam ruang dimensi 4 (ruang Minkowski) tanpa gravitasi, elemen garis ds

didapat dari

222222 dzdydxdtcds −−−=

(2.4)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

2

2

2

22

1000010000100001

dzdydx

dtc

sehingga menghasilkan metrik tensor

(2.5)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

1000010000100001

μυg

Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi :

222222222 sin φθθ drdrdrdtcds −−−=


9

(2.6)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

2

2

2

22

22

2

sin00000000100001

φθ

θ dddr

dtc

rr

yang menghasilkan

(2.7)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

θ

μυ

22

2

sin00000000100001

rr

g

Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat

dituliskan sebagai

(2.8) )sin()()()( 22222222 φθθ ddrrCdrrBdtcrAds +−−=

dengan A(r), B(r), dan C(r) sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan

menggunakan transformasi dapat diperoleh A(r) = e2/1rCr =′ υ dan B(r) = eλ

sedemikian hingga A(r) dan B(r) bernilai mendekati 1 jika ∞→r . Dengan demikian

persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali menjadi

(2.9) )sin( 22222222 φθθλυ ddrdredtceds +−−=

Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan (2.9)

adalah

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

2

2

2

22

22

22

sin000000000000

φθ

θ

λ

υ

dddr

dtc

rr

ee

ds


10

sehingga metrik tensornya

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

θ

λ

υ

μυ

22

2

sin000000000000

rr

ee

g

Nilai υ dan λ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik (Lord,

1979)

0=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ σρμ

ρσμ

UUds

dU (2.10)

dengan ds

dxUμ

μ = , dan adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan

sebagai (Joshi, 1980)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ρσμ

( μρσ

ρσμ

σρμ

ρσμ

∂−∂+∂=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ggg21 ) (2.11)

atau bisa juga ditulis

μυρσυρσ

μgΓ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

dengan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γλ

ρσ

ρ

σλ

α

λρ

ραρσυ x

gxg

xgg

21

Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat

lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang

labih cepat untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan persamaan geodesik.


11

Sehingga persamaan (2.10) sama dengan

(2.12) [ ]∫∫ −−−== dsUrUrUeUeds 2/123222222124 )(sin)()()(0 θδδ λν

dengan c = 1, dan persamaan (2.12) adalah integran lintasan yang diminimalkan.

Persamaan (2.12) menghasilkan

μμ xF

UF

dsd

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ , (2.13)

dengan F adalah integran pada persamaan (2.12), persamaan (2.13) identik dengan

persamaan (2.10). sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan

tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis , maka )(4 4xct ==μ

44 2 Ue

UF υ=

∂∂

04 =∂∂xF

maka persamaan (2.12) menjadi

( ) 02 4 =Uedsd υ (2.14)

Dengan menggunakan relasi dsdr

drd

dsd

= , persamaan (2.14) menghasilkan

( ) ( ) 022 4 == tcedsdUe

dsd &υυ

0)( =+ υυ edsdtet &&&

0=′+ υυ υ ertet &&&&


12

0=′+ trt &&&& υ (2.15)

Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas.

Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah

υ′=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

21

144

υ′=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

21

141

λυυ −′=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

e21

441

λ′=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

21

111

re λ−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧221

λθ −−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

er 2sin331

r1

212

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θθ sincos332

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θcot232

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

r1

133

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧


13

juga diperlukan relasi (Lord, 1976)

,log g−∂=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρλρλ

dengan , sehingga θλν 24 sinreg +−=

θλν sinloglog22

log ++−

=− rg (2.16)

Tensor Ricci Rμυ pada persamaan (1.1) dapat juga dituliskan sebagai

( ) ρρ

μμ μρ

ρλ

λμρ

μρ

..

)(loglog gvvv

gR vv −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= (2.17)

Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan (1.1) linear,

nilai Rμυ harus sama dengan nol. Dari persamaan (2.16) yang memberikan nilai nol

adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+′′

−′

+′−==rvvvveR v 2

22210

2.

44λλ (2.18)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−′′

−′

+′′==r

vvvR λλ 2222

102

11 (2.19)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′

+′−−== −−

2)(10 22

λλλ vrereR (2.20)

dari , diperoleh 04411 == RR 0=′+′ vλ , sehingga =+ vλ konstan. Nilai konstanta

tersebut adalah nol, karena λ + υ mendekati nol ketika r→ ∞ , sehingga

v−=λ (2.21)


14

Persamaan (2.18) menjadi

022 =′

+′+′′rv

vv

yaitu, ( ) 0=″vre

( ) =′vre konstanta (2.22)

Substitusi persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) menghasilkan

( ) 1=′vre

sehingga

r

eev αλ −== 1 (2.23)

dengan α adalah tetapan integrasi. Pernyataan (2.23) adalah g44 yang di identifikasi

sebagai , adalah potensial Newton (untuk suatu pusat massa M, 2/21 cφ+ rMG /=φ .

Dengan demikian tetapan α pada persamaan (2.23) menjadi (Lord, 1979)

(2.24) 2/2 cGM=α

yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan (2.24) dan

(2.23) ke dalam persamaan (2.9) sehingga akan menghasilkan

)sin(21

21 2222

2

222

22 ϕθθ ddr

rcGM

drdtcrc

GMds +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (2.25)


15

sehingga metrik tensor Schwarzschild

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−

=

θ

μυ

22

2

2

2

sin000000

0021

10

00021

rr

rcGM

rcGM

g (2.26)

Kalau α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel (materi) tersebut singular,

dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam.


BAB III METODE PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian

studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang

berhubungan dengan topik lubang hitam, tensor dan teori relativitas umum.

3.3. Langkah – langkah penelitian

Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai lubang hitam, metrik, tensor dan

relativitas umum dari buku-buku maupun dari internet.

2. Merumuskan atau mengolaborasi kerangka pemikiran teori dan konsep atau

teori yang terkait dengan lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum

dari bahan-bahan yang dikumpulkan.

3. Merumuskan perubahan fisis dan geometri yang terjadi pada suatu lintasan

partikel pada lubang hitam, dan menentukan titik fokus suatu lubang hitam

sebagai fungsi α secara numerik atau matematik.

4. Menarik kesimpulan dan memberikan saran dari penelitian yang telah

dilakukan.

16


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Orbit Planet

Gerak suatu planet yang mengorbit pada matahari yang memiliki massa yang

sangat berat dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schwarzschild, pada

persamaan (2.25). Jika diambil 2πθ = , maka persamaan (2.9) menjadi

(4.1) 222222 φυυ drdredtceds −−= −

kalau persaman (4.1) dibagi ds2 dihasilkan

(4.2) 222221 φυυ &&& rretce −−= −

Dari persamaan (2.15) dapat diperoleh

( ) 0=tedsd &υ (4.3)

sehingga

(konstanta) (4.4) kte =&υ

substitusi persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.2) menghasilkan

22222 1 φααφ &&& rkr

rr +−=−+ (4.5)

Persamaan gerak orbit Newton hanya pada suku terakhir persamaan (4.5). Jika

persamaan (4.5) dikalikan dengan

2

42

hr

dds

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

17


18

diperoleh

rhrk

rr

ddr ααϕ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

422

2

1 (4.6)

Dengan mengganti variabel radial u

r 1= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2u

dudr persamaan (4.6) menjadi

( ) 32222

/1 uhkuuddu ααϕ

+−++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (4.7)

Jika persamaan (4.7) dideferensialkan terhadap φ , maka diperoleh

2

32

2

22

2 uh

ud

ud ααϕ

++−= (4.8)

Kalau diambil

ε+= 0uu (4.9)

Dengan u0 adalah penyelesaian umum untuk persamaan orbit planet Newton dan ε

adalah suatu gangguan kecil. Substitusi persamaan (4.9) ke (4.8) menghasilkan

( ) ( )2

32

20

202

2

20

2 εααεϕε

ϕ+

+++−=+u

hu

dd

dud

20

2020 2

3323

2αεεαααε ++++−−= uu

hu (4.10)

Karena 20 2hu α

= , dan kalau ε sangat kecil suku ε2 dapat diabaikan sehingga

persamaan diferensial untuk ε dapat dituliskan

( ) 2002

2

2313 uu

dd αεαϕε

+−= (4.11)


19

Penyelesaian persamaan (4.11) dapat dituliskan sebagai

( ) BA += ζϕε cos (4.12)

dengan A, B, dan ζ adalah konstanta (lihat Lampiran). Jika ζ = 1, maka dihasilkan

orbit lingkaran. Dengan mendeferensialkan persamaan (4.12) terhadap φ kemudian

menyamakannya dengan nol, maka diperoleh

ζπϕ n2

= (4.13)

Substitusi persamaan (4.12) ke dalam (4.11) dapat menghasilkan nilai ζ, yaitu

(4.14) 02 31 uαζ −=

sehingga lintasan planet terjadi pada

,2312~

312

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +±

−±

= unu

n απαπφ

( ) ( ) ( )...64,32,0,32...~ 000 uuu παππαππαπϕ ++−−

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang

Ditinjau perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh sebuah

partikel bergerak dari kedudukan atau posisi α>r ke posisi α<r . Dari persamaan

(2.25), jika α>r , maka nilai koefisien (positif) sehingga suku yang

mengandung waktu (t) haruslah bernilai lebih besar dari suku-suku yang lain agar

. Dengan kata lain, partikel yang melintas dalam medan gravitasi yang

ditimbulkan oleh massa M pada daerah

0>= λυ ee

02 >ds

α>r berada dalam ruang bak-waktu (time-


20

like). Secara skematis lintasan partikel dalam ruang bak-waktu diperlihatkan pada

Gambar 4.1

Sekarang

Waktu

Masa lalu

Masa depan

Lintasan partikel

Gambar 4.1. Geometri ruang bak-waktu dan lintasan partikel

Jika partikel berada pada posisi α=r , maka ds2 menjadi tidak terdefinisi

(singular). Pada kondisi atau keadaan α=r partikel tidak berada dalam ruang bak-

waktu maupun dalam ruang bak-ruang (space-like). Secara fisis, pada keadaan α=r ,

partikel tidak tunduk pada hukum-hukum fisika dan ruang yang dikenal selama ini

dalam teori-teori fisika.

Jika partikel berada pada posisi α<r , maka koefisien . Jadi pada

keadaan seperti itu kalau , nilai dari suku-suku yang tidak mengandung waktu

(t) pada persamaan (2.25) harus lebih besar dari nilai suku yang mengandung t.

Secara fisis partikel yang berada pada daerah

0<= λυ ee

02 >ds

α<r berada dalam ruang yang disebut


21

bak-ruang. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel di dalamnya diperlihatkan pada

Gambar 4.2.

Bak - cahaya

Lintasan partikel

Gambar 4.2. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel

Jadi partikel yang melintas dari posisi α>r menuju α<r dalam suatu

medan gravitasi yang sangat besar (misalnya Black Hole) akan mengalami geometri

dan sifat-sifat fisisyang berbeda didaerah α<r dan α>r . Perubahan geometri

ruang yang di alami partikel terjadi dari bak-waktu ke bak-ruang. Secara skematis,

perubahan ruang tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.3.


22

Waktu

(a) (b)

Lintasan partikel

Ruang

Lintasan partikel

Gambar 4.3. (a) Lintasan partikel dalam bak-waktu untuk α>r , dan

(b) Lintasan partikel dalam ba-ruang untuk α<r .

4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus

Lintasan cahaya mengikuti lintasan geodesik nol atau . Jika dipilih 02 =ds

2πθ = , maka persamaan (4.1) menjadi

(4.15) 02222 =−− − φυυ &&& rrete

Dengan menggunakan , persamaan (4.15) dapat ditulliskan menjadi kte =&υ

(4.16) 22222 φαφ &&& rkrr +=+


23

jika persamaan (4.16) dikalikan 242

hr=φ& , dan variabel radial (r) diatas menjadi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

uru 1 , maka persamaan (4.16) menjadi

2

232

2

hkuu

ddu

+=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ αϕ

(4.17)

Kalau persamaan (4.17) dideferensialkan terhadap φ, maka

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =+−= αββ

ϕ 23,2

2

2

uud

ud (4.18)

Jika suku β u2 diabaikan, maka penyelesaian persamaan (4.18) diberikan oleh

)cos( δφ += Au (4.19)

dengan A adalah tetapan, δ

Lintasan cahaya yang diperoleh dari persamaan (4.19) adalah

)cos(

11δφ +

==Au

r (4.20)

yang merupakan garis lurus r = konstan untuk δφ + konstan. Jika penyelesaian

persamaan (4.18) dipilih berbentuk

εφ += cosAu (4.21)

dengan ε fungsi φ , maka diperoleh

( )ϕβε

ϕβεϕε

2cos12

cos

2

222

2

++−=

+−=

A

Add

(4.22)


24

Dengan mengandaikan penyelesaian (4.22) berbentuk

φε 2cosba += (4.23)

yang kalau dimasukkan ke (4.22) diperoleh

2

2Aa β= dan

6

2Ab β= (4.24)

Jadi penyelesaian persamaan (4.23) dapat dituliskan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

32cos1

2

2 φβε A (4.25)

Dengan demikian, persamaan (4.21) menjadi

3

2cos3

cos2

22 AAAu βφβφ +−= (4.26)

jika diambil ∞→r , maka . Untuk 0→u ∞→r persamaan (4.26) menjadi

222

32cos

3cos0 AAA βφβφ +−= (4.27)

Nilai φcos dapat diperoleh dari (4.27), yaitu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±= 2

0

20

9811

23

cosr

r ββ

φ (4.28)

dengan r0 adalah jarak lintasan cahaya ke pusat gravitasi (Gambar 4.4)


25

1ϕ

2ϕ

0rα

0r

Gambar 4.4. Pembelokan cahaya dalam medan gravitasi

Pada persamaan (4.28) nilai φcos adalah antara -1 sampai +1, mengharuskan

nilai 10 >>βr . Dengan demikian diperoleh

003

2~cos rrαβφ −=− (4.29)

Dari Gambar 4.4. terlihat bahwa sudut pembelokan cahaya pada medan gravitasi

sebesar

0

20

42rc

GMrd ==αθ (4.30)

Jika cahaya yang melintasi medan gravitasi dibelokkan dengan sudut belok θd

, maka suatu massa yang mempunyai medan gravitasi memiliki semacam titik fokus f.

Panjang titik fokus (f) untuk suatu benda bermassa M sebagai fungsi θ dapat dibentuk

dengan menggunakan trigonometri dan skema pada Gambar 4.5.


26

Gambar 4.5. Skema lintasan cahaya dalam medan gravitasi

Dari Gambar 4.5. diperoleh

r0

•

f

θd

M

fr

d0tan =θ (4.31)

sehingga panjang fokus f suatu benda bermassa M diberikan

d

rf

θtan0= (4.32)

Sebagai contoh dihitung panjang fokus (f) untuk benda-benda planet dalam

tata surya kalau planet-planet itu dianggap sebagai lubang hitam dengan ,

disajikan pada Tabel 4.1.

mr 40 10=


27

Tabel 4.1. Panjang fokus (f) untuk planet-planet di dalam tata surya kalau planet itu

dianggap sebagai lubang hitam untuk mr 40 10=

No Planet M(kg) θ f (m)

1 Matahari 1,9.1030 0,0563 1773049,65

2 Merkurius 3,30.1023 9,78.10-9 1,023.1013

3 Venus 4,87.1024 1,4.10-7 7,143.1011

4 Bumi 5,98.1024 1,8.10-7 5,556.1011

5 Mars 6,42.1023 1,9.10-8 5,263.1012

6 Jupiter 1,90.1027 5,63.10-5 17,762.108

7 Saturnus 5,66.1026 1,68.10-5 59,524.108

8 Uranus 8,68.1026 2,57.10-5 38,911.108

1,02.1026 3.10-6 3,333.10109 Neptunus

1,27.1022 3,76.10-10 2,659.101410 Pluto


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini

dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Lintasan atau orbit suatu planet dapat diperoleh dari penyelesaian

persamaan Schwarzschild. Dengan memilih 2πθ = .

2. Perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh suatu

partikel yang bergerak dari daerah α>r ke daerah α<r dalam

medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa M, yaitu pada daerah

α>r partikel berada dalam bak-waktu dan pada daerah α<r

partikel berada dalam bak-ruang.

3. Lintasan cahaya mengikuti persamaan godesik , dengan 02 =ds

2πθ = . Panjang suatu titik fokus (f) suatu benda bermassa M dalam

ruang dapat dinyatakan sebagai fungsi θ dan r0.

28


29

5.2. Saran

Karena yang diteliti dalam penelitian ini hanyalah masalah orbit planet,

perubahan geometri dan sifat fisis partikel yang bergerak dari α>r menuju α<r ,

dan pembelokan lintasan cahaya dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh massa

M yang dianggap sebagai lubang hitam menggunakan persamaan Schwarzschild,

maka disarankan untuk meneliti konsekuensi-konsekuensi yang lain dari persamaan

Schwarzschild. Pada saat partikel melintasi titik α=r partikel itu tidak berada dalam

bak-waktu maupun bak-ruang. Oleh sebab itu disarankan untuk meneliti jenis ruang

yang ditempati partikel itu.


DAFTAR PUSTAKA

Joshi, A. W., 1980, “Matrics and Tensor in Physics”, New Delhi Banglore Bombay

Calcuta : Wiley Eastern Limited.

Lord, E. A., 1976, Tensor Relativity and Cosmology, United Kingdom: University

of Edinburgh Scotland.

Lawire, I. D., 1998, “A unified Grand Tour of Theoritical Physics”, Philadelphia:

Institut of Physics Publishing.

Will, C., 1989, The New Physics, New York: Canbridge University.

William, J. K., 1973, “Relativity and Cosmology”, New York : Harper & Row

Publishers

30


LAMPIRAN

Persamaan diferensial pada persamaan (4.11) mempunyai penyelesaian ε

sebagai fungsi φ, dengan menggunakan metoda operator ϕddD =

2002

2

23)13( uu

dd αεαϕε

+−= (4.11)

dengan , dan 13 02 −= uαζ

αζ

312

0+

=u . Sehingga persamaan (4.11) menjadi

2222

2

)1(61

++= ζα

εζϕε

dd

dimana )()1(61 22 tetapanK=+ζα

, sehingga dapat dituliskan menjadi

Kdd

=− εζϕε 22

2

jika

KiDiD =+− εζζ )()(

dengan uiD =+ εζ )( , maka

KuiD =−− )( ζ

Persamaan diatas dapat juga dituliskan menjadi

βα =+ ydt

yd 22

2

βα =+ yD )( 22

βαα =−+ yiDiD )()(

31


32

βα =+ uiD )(

βα =+ uiuD

α

βiD

u+

=

βα =+ uidtdu

Jika persamaan di atas dideferensialkan terhadap dt maka,

( ) titi euedtdu αα β=

integralkan persamaan di atas

∫∫ = dteued titi αα β)(

hasilnya adalah

kei

ue titi += αα

αβ 1

kdteeu titi += ∫− αα β

tieki

u α

αβ −+=

sehingga

kdteeyiD titi +=− ∫− αα βα )(

Apabila persamaan ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4.11),

maka akan menjadi

KuiD =− )( ζ


33

Kuiddu

=− ζϕ

ζϕ

ζϕζϕζϕ

ζϕ

ϕζ

ϕ

i

iii

euiddu

ddueueiue

dd

−

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+−=)(

Kuedde ii =− )( ζϕζϕ

ϕ

Keuedd ii ζϕζϕ

ϕ−− =)(

ϕζϕζϕ dKeued ii −− =)(

∫∫ −− = ϕζϕζϕ deKued ii )(

∫

∫−

−−

=

=

ϕ

ϕζϕζϕ

ζϕζϕ

deKeu

deKueii

ii

Dengan demikian dapat dituliskan menjadi

∫ −==+ ϕεζ ζϕζϕ deKeuiD ii)(

∫ −− = ϕεϕ

ζϕζϕζϕζϕ deKeedde iiii )(

∫ −= ϕεϕ

ζϕζϕζϕ deKeedd iii 2)(

ϕϕε ζϕζϕζϕ ddeKeed iii )()( 2 ∫ −=

( ) ϕϕε ζϕζϕζϕ ddeKee iii ∫ ∫ −= 2


34

( ) ϕϕε ζϕζϕζϕ ddKeee iii ∫ ∫ −−= 2

CeiKdKe ii +−

= −−∫ ζϕζϕ

ζϕdengan , maka menghasilkan

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= − ϕ

ζε ζϕ

ζϕζϕ deC

iKee i

ii 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= −

22

22 2Ce

iCe

iKe iii ζϕζϕζϕ

ζζ

[ ]ζϕζϕ

ζϕζϕ

ζ

ζζ

ii

ii

eeCK

eCi

CeK

−

−

++=

++=

2

22 2

Apabila , sehingga akan menghasilkan )cos(2)( ζϕζϕζϕ =+ −ii ee

))cos(2(2 ζϕζ

ε CK+=

)cos(22 ζϕζ

ε CK+=

BK=2ζ

AC =2dimisalkan dan , dengan demikian hasilnya adalah (pada persamaan

(4.12))

)cos(ζϕε AB +=


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · bentuk lintasan dan perubahan geometri rua ng suatu...

Documents