PERTEMUAN VI

TURUNAN

1. Definisi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah :

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

2. Pencarian turunan

Contoh 1. Jika f(x) =13x-6, tentukan f’(4) Contoh 2. Jika f(x) =x2+7x, tentukan f’(c) Contoh 3. Jika f(x) =1/x, tentukan f’(x) Contoh 4. Jika f(x) =x2+x+1, tentukan f’(x) Contoh 5. Jika tentukan f’(x)

4

12)(

x

xxf

3. RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta, maka : f(x+h) = k dan f(x) = k, sehingga :

Jadi : Jika f(x) = k, maka f’(x) = 0, untuk k konstanta sebarang

0h

kklim

h

f(x)-h)f(x lim (x)f'

0

0h

h

1 h

h lim

h

x-hx lim

h

f(x)-h)f(x lim (x)f'

0h0h

0h

Jika f(x) = x, maka didapatkan f(x+h) = x+h, sehingga :

Jadi :

Jika f(x) = x , maka f’(x) = 1

dst….

Atau secara umum :

Jika f(x) = xn maka f(x+h) =(x+h)n, untuk n bilangan bulat positif, sehingga didapatkan :

1-n

1n 2-n2-n1-n

0h

nn1n22n2-nn

0h

nn

0h

nx

h

hnxh ... h x2

)1n(n h[nx

lim

h

xhnxh...hx2

1)-n(nhnxx

lim

h

x-h)(x lim (x)f'

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol

Jadi :

Jika f(x) = x n, maka

f’(x) = nx n-1, untuk n anggota bilangan bulat positif

Hal yang sama bisa diperluas, sehingga berlaku untuk semua n anggota bilangan real.

Dengan adanya rumus turunan di atas, maka kita akan lebih mudah menentukan turunan dari suatu fungsi, karena tanpa menggunakan limit terlebih dahulu.

Contoh : 1. Jika f(x) = x3 maka f’(x) = 3 x 3-1 = 3 x 2 2. Jika f(x) = x5 maka f’(x) = 5 x 5-1 = 5 x 4

2

1

x2

3 (x)f' maka x x f(x) .3 2

32 3

4. TEOREMA TURUNAN FUNGSI

Teorema 1

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (k.f(x))’ = k. f’(x)

Teorema 2

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x)

Teorema 3

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka

(f-g)’(x) = f’(x)-g’(x)

Teorema 4

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x) + g(x).f’(x)

Teorema 5

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka

x)(g

(x)f(x).g'-(x)g(x).f' x)(]'

g

f[

2

Latihan 1. f(x) = x4+x3+x2+x+1 2. f(x) = x12 + 5/x + x + 2

3. 5

43

12)( x

xxxf

4. f(x) = x (x2+1) 5. f(x) = (x4+2x)(x3+2x2+1)

6. 13

45)(

2

x

xxf

7. 13

625)(

2

x

xxxf

8. 32

52)(

2

2

xx

xxxf

5. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x Jika f(x) = cos x, maka f’(x) =

- sin x Jika f(x) = tg x, maka f’(x) =

sec 2 x Jika f(x) = ctg x, maka f’(x) =

- csc2 x Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tg x Jika f(x) = cosec x, maka f’(x) = - cscx ctg

x

Contoh : Tentukan turunan dari :

1. f(x) = 3 sin x – 2 cos x

2. F(x) = sin x cos x

3. F(x) = cot x

x

cosxf(x).6

cosx-sinx

tgx f(x).5

xcossinx

sinx f(x) .4

6.ATURAN RANTAI

TEOREMA A

Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=(fog)(x). Jika g terdefferensialkan di x dan f terdefferensialkan di

u=g(x), maka fog terdefferensialkan di x dan :

(fog)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Atau :

Dxy = Duy Dxu

Contoh

Contoh 1 : Jika f(x) = (2x2-4x+1)60,tentukan f’(x) Contoh 2 : Jika f(x) = 1/(2x5-7)6, tentukan f’(x) Contoh 3 : Jika f(x) = sin (x3-3x), tentukan f’(x) Contoh 4 : Jika f(x) = , tentukan f’(x)

3

124

3

x

xx

Teorema B

Aturan Rantai Bersusun:

Jika y=f(u) dan u=g(v) dan v=h(x)

maka :

Dx y = Du y Dv u Dx v

Contoh

Contoh 1 : Jika f(x) =sin3(4x), tentukan f’(x) Contoh 2 : Jika f(x) =sin (cos(x2), tentukan

f’(x) Contoh 3 : Jika f(x) =x sin2(2x) tentukan

f’(x)

Soal LatihanCarilah f’(x)

32

12

x

y

xy 1

531 xy

3 31 xy

541 xy

)13(sin

)14(sec

)2(cos

2

3

4

xy

xy

xy