persoalan optimasi dalam analisis bidang runtuh planar

Posiding Seminar Sehari Kemantapan Lereng di Pertambangan Indonesia II, Bandung, 16 Juni 2003

1

PERSOALAN OPTIMASI DALAM ANALISIS BIDANG RUNTUH PLANAR DAN PENYELESAIANNYA DENGAN

PROGRAM SPREADSHEET MICROSOFT EXCEL

Saifuddin Arief e-mail: [email protected]

Abstrak

Kemiringan bidang runtuh dan kedalaman retakan tarik pada bagian belakang permukaan lereng akan menentukan faktor keamanan lereng tersebut. Apabila kedua hal tersebut tidak dapat diketahui geometrinya dengan pengukuran di lapangan maka harus ditentukan suatu nilai kemiringan bidang runtuh dan kedalaman retakan tarik yang akan menghasilkan faktor keamanan yang minimum. Metode optimasi adalah cara yang paling tepat untuk menentukan nilai dari kedua hal tersebut. Kata Kunci: analisis bidang runtuh planar, kedalaman retakan tarik kritis,

kemiringan bidang runtuh kritis, kestabilan lereng, metode optimasi, spreadsheet.

Abstract

The angle of failure surface and depth of tension crack behind crest of slope will affect safety factor of slope. Sometimes their geometri cant find by field measurement, therefore must be determined values of angle of failure surface and depth of tension crack that yield minimum safety factor. Optimization Method is an effective method to determine their values.

Kata Kunci: analysis of planar failure, depth of critical tension crack, angle of

critical failure surface, slope stability, optimization method, spreadsheet.

1. Analisis Bidang Runtuh Planar

Longsoran dengan bidang runtuh planar adalah salah satu bentuk longsoran yang dapat terjadi pada lereng batuan. Oleh karena itu analisis untuk jenis longsoran ini disebut sebagai analisis bidang runtuh planar. Geometri dan diagram benda bebas untuk jenis longsoran ini dapat dilihat pada Gambar 1.

Panjang bidang runtuh (L) dan berat blok (W) adalah sebagai berikut:

csczhL (1)

cot2

1cotcot

2

1 22 zhW (2)

Dimana : h = tinggi lereng z = kedalaman retakan tarik pada punggung lereng

= berat satuan material lereng


2

= sudut kemiringan lereng

= sudut kemiringan bidang runtuh

(a). Geometry

(b). Diagram Benda Bebas

Gambar 1. Analisis Bidang Runtuh Planar : Gaya hidrostatik yang bekerja pada retakan tarik (V) dan gaya angkat

sepanjang bidang runtuh (U) yaitu: 2

21

ww zV

LzU ww21

dimana zw adalah tinggi air tanah pada retakan tarik. Kesetimbangan gaya pada arah tegak lurus bidang runtuh akan menghasilkan persamaan untuk gaya normal efektif (N) yaitu:

sinsincos' VUkWN (3) dimana k adalah koefisien seismik horisontal. Gaya geser yang bekerja sepanjang bidang runtuh (Sm) adalah:

coscossin VkWSm (4) Tahanan geser maksimum material (Sa) yang menahan blok untuk tidak menggelincir ke bawah adalah:

tan'NcLSa (5)

L

h

z

zw

W

N

V

U

kW


3

Faktor keamanan lereng adalah tahanan geser maksimum yang tersedia dibagi dengan gaya geser yang bekerja sepanjang bidang runtuh.

m

a

S

SF (6)

coscossin

tansinsincos

VkW

VUkWcLF

(7)

Persamaan ini hanya dapat dipergunakan apabila terdapat kontak antara blok dengan bidang runtuh. Kondisi ini hanya dapat dipenuhi apabila gaya normal efektif nilai lebih besar dari nol (N > 0). 2. Persoalan Optimasi Dalam Analisis Bidang Runtuh Planar 2.1. Penentuan Kedalaman Retakan Tarik Kritis Retakan tarik pada bagian belakang puncak lereng merupakan suatu tanda adanya ketidakstabilan pada lereng tersebut. Adanya retakan tarik akan menyebabkan turunnya faktor keamanan lereng terutama apabila retakan tarik ini terisi oleh air. Air tanah yang mengisi retakan tarik akan menyebabkan naiknya gaya geser dan menyebabkan turunnya tahanan geser.

Gambar 2. Retakan Tarik

Kadangkala disebabkan oleh sesuatu hal, misalnya puncak lereng tertimbunan oleh lapisan tanah buangan, letak dan kedalaman retakan tarik tidak bisa ditentukan. Bilamana kasus ini ditemui maka kedalaman retakan tarik harus ditentukan dengan mencari kedalaman retakan tarik yang akan menghasilkan faktor keamanan yang paling kecil atau minimum.

Kedalaman retakan tarik yang maksimum dapat terjadi yaitu apabila retakan tarik tepat berada di puncak lereng. Dengan menggunakan geometri dapat diperoleh besarnya kedalaman retakan tarik yang dapat terjadi pada puncak lereng (zpuncak) yaitu

tan

tan1hzpuncak (8)

L

h

z

b


4

Persoalan optimasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Tentukan kedalaman retakan tarik (z) sehingga faktor keamanan (F)

coscossin

tansinsincos

VkW

VUkWcLF

mempunyai nilai minimum. Dengan kendala yaitu z zpuncak dan N > 0.

2.2. Penentuan Sudut Kemiringan Bidang Runtuh Kritis Sudut kemiringan bidang runtuh biasanya ditentukan dari sudut kemiringan bidang lemah atau bidang takmenerus yang ada pada lereng. Apabila hal ini tidak dapat dilakukan maka sudut kemiringan bidang runtuh tersebut harus diasumsikan nilainya. Sehingga dalam perhitungan harus dipergunakan beberapa nilai sudut kemiringan bidang runtuh untuk mencari sudut kemiringan bidang runtuh kritis. Sudut kemiringan bidang runtuh kritis adalah sudut kemiringan bidang runtuh yang menghasilkan faktor keamanan paling kecil (faktor keamanan minimum).


Tentukan sudut kemiringan bidang runtuh () sehingga faktor keamanan (F)

coscossin

tansinsincos

VkW

VUkWcLF

mempunyai nilai minimum. Dengan kendala yaitu > > dan N > 0.

Dimana adalah sudut kemiringan lereng, dan adalah sudut gesek dalam.

2.3. Penentuan Geometri Bidang Runtuh Kritis

Geometri bidang runtuh planar adalah gabungan dari sudut kemiringan bidang runtuh dan kedalaman retakan tarik. Apabila kedua hal tersebut tidak dapat ditentukan dengan pengukuran di lapangan maka dalam perhitungan faktor keamanan harus ditentukan geometri bidang runtuh yang akan menghasilkan faktor keamanan minimum. Penentuan geometri tersebut dengan cara coba-coba akan memerlukan perhitungan yang cukup banyak, sehingga diperlukan penyelesaian dengan metode optimasi.


5


Tentukan sudut kemiringan bidang runtuh () dan kedalaman retakan tarik (z) sehingga faktor keamanan (F)

coscossin

tansinsincos

VkW

VUkWcLF

mempunyai nilai minimum. Dengan kendala yaitu dan z zpuncak serta N > 0.

3. Penggunaan Microsoft Excel Untuk Menyelesaikan Persoalan Optimasi Terdapat dua cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan optimasi. Cara pertama yaitu penyelesaian secara analitis dengan menggunakan kalkulus diferential dan cara kedua dengan metode numerik. Dalam makalah ini akan digunakan cara kedua dengan menggunakan program spreadsheet Microsoft Excel.

Gambar 3. Spreadsheet [Planar.xls]


6

Table 1. Nama Sel dan Formula Dalam Spreadsheet [Planar.xls]

Sel F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14

Nama Coh F G Gw kh H Z Zw B Y

Sel Nama Formula

I6 Phi = RADIANS(F)

I13 Beta = RADIANS(B)

I14 Psi = RADIANS(Y)

E17 L = H*SIN(Beta-Alfa)/SIN(Beta)/SIN(Psi-Alfa)-

Z*COS(Alfa)/SIN(Psi-Alfa) E18 W = 0.5*G*(H*H*SIN(Beta-Psi)/(SIN(Beta)*SIN(Psi)) -

Z*Z/TAN(Psi)) E19 U = 0.5*Gw*Zw*L

E20 V = 0.5*Gw*Zw*Zw

E21 N = W*(COS(Psi)-kh*SIN(Psi))-U-V*SIN(Psi)

E22 Sa = Coh*L+N*TAN(Phi)

E23 Sm = W*(SIN(Psi)+kh*COS(Psi))+V*COS(Psi)

E26 FK = Sa/Sm

Catatan :

Coh = kohesi (kPa)

F = Sudut gesek dalam (derajat)

Psi = Sudut gesek dalam (radian)

G = Berat satuan alami (kN/m3)

Gw = Berat satuan air (kN/m3)

kh = Koefisien seismik horisontal

H = Tinggi Lereng (m)

Z = Kedalaman retakan tarik (m)

Zw = Tinggi air tanah pada retakan tarik (m)

B = Sudut kemiringan lereng (derajat)

Beta = Sudut kemiringan lereng (radian)

Y = Sudut kemiringan bidang runtuh (derajat)

Psi = Sudut kemiringan bidang runtuh (radian)

L = Panjang bidang runtuh (m)

W = Berat blok (kN)

U = Gaya angkat hidrostatik pada bidang runtuh (kN)

V = Gaya hidrostatik horisontal pada retakan tarik (kN)

N = Gaya normal (kN)

Sa = Gaya yang menahan blok untuk tidak menggelincir (kN)

Sm = Gaya yang cenderung untuk menyebabkan blok menggelincir ke

bawah (kN) FK = Faktor keamanan

Penyelesaian persoalan optimasi di atas dengan Microsoft Excel

dilakukan dengan menggunakan spreadsheet [Planar.xls] dan Microsoft Excel Solver. Spreadsheet [Planar.xls] adalah spreadsheet yang dikembangkan oleh penulis untuk menghitung faktor keamanan dengan bidang runtuh planar,


7

tampilan dari spreadsheet ini dapat dilihat pada Gambar 3, sedangkan nama sel dan formula yang digunakan pada spreadsheet tersebut diberikan pada Tabel 1.

Microsoft Excel Solver adalah sebuah add-ins yang mempunyai kemampuan untuk menyelesaikan persoalan optimasi linier maupun nonlinier. Penentuan kedalaman retakan tarik kritis, sudut kemiringan bidang runtuh kritis dan geometri bidang runtuh kritis adalah termasuk kedalam kategori optimasi nonlinier. Ketiga persoalan optimasi ini dapat diselesaikan dengan mudah sekali dengan menggunakan Microsoft Excel Solver, sebagaimana yang terlihat pada contoh berikut ini.

Model lereng yang digunakan untuk contoh perhitungan yaitu sebuah lereng galian yang mempunyai ketinggian 100 m dan sudut kemiringan lereng 70o, seperti yang terlihat pada Gambar 4. Parameter geoteknik material pada lereng ini yaitu kohesi 100 kN dan sudut gesek dalam 40o, serta berat satuan 25 kN/m3.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100 120 140

Absis

Ordinat

Gambar 4. Geometri Contoh Lereng

Kondisi lereng yang akan di analisis yaitu kondisi kering dan jenuh.

Untuk kondisi kering maka spreadsheet [Planar.xls] dapat langsung digunakan, sedangkan untuk kondisi jenuh harus ditambahkan formula pada sel F12 yaitu =F11 (Zw=Z).

Untuk nilai awal untuk perhitungan kedalaman retakan tarik kritis, sudut kemiringan bidang runtuh kritis dan geometri bidang runtuh kritis, diasumsikan sudut kemiringan bidang runtuh adalah 45o. Nilai awal lainnya untuk perhitungan kedalaman retakan tarik kritis dan geometri bidang runtuh kritis yaitu tidak terdapat retakan tarik pada permukaan lereng (z=0). Sementara itu untuk perhitungan sudut kemiringan bidang runtuh kritis diasumsikan kedalaman retakan tarik adalah 7.9 m.

Problem spesifikasi untuk Microsoft Excel Solver yang digunakan dalam perhitungan kedalaman retakan tarik adalah seperti yang terlihat pada Gambar 5. Kemudian problem spesifikasi untuk perhitungan sudut kemiringan kritis


8

adalah seperti yang terlihat pada Gambar 6. Sedangkan Problem spesifikasi untuk perhitungan geometri bidang runtuh kritis adalah seperti yang terlihat pada Gambar 7. Dalam ketiga gambar tersebut nama-nama sel yang dipergunakan adalah sama dengan yang diperlihatkan pada Tabel 1.

Rangkuman dari hasil perhitungan untuk persoalan optimasi di atas diberikan dalam ketiga tabel sebagai berikut.

Tabel 2. Kedalaman Retakan Tarik Kritis

Asumsi Dihitung

(o) Z (m) Zw (m) FK Kedalaman Retakan

Tarik Kritis Kering

45 7.93 0.00 1.847

Jenuh 11.28 11.28 0.788

Tabel 3. Sudut Kemiringan Bidang Runtuh Kritis

Asumsi Dihitung

Z (m) Zw (m) (o) FK Sudut Kemiringan

Bidang Runtuh Kritis Kering

7.90 0 45.55 1.847

Jenuh 7.90 51.75 1.181

Tabel 4. Geometri Bidang Runtuh Kritis

Dihitung

(o) Z (m) Zw (m) FK Geometri Bidang

Runtuh Kritis

Kering 45.60 7.81 0.00 1.847

Jenuh 40.00 13.04 13.04 0.648

Gambar 5. Problem Spesifikasi Untuk Perhitungan

Kedalaman Retakan Tarik Kritis


9


Sudut Kemiringan Bidang Runtuh Kritis


Geometri Bidang Runtuh Kritis


10

Gambar 8. Hasil Perhitungan Kedalaman Retakan Tarik Kritis Untuk Kondisi

Kering

Gambar 9. Hasil Perhitungan Kedalaman Retakan Tarik Kritis Untuk Kondisi

Jenuh


11

Gambar 10. Hasil Perhitungan Sudut Kemiringan Bidang Runtuh Kritis

Untuk Kondisi Kering

Gambar 11. Hasil Perhitungan Sudut Kemiringan Bidang Runtuh Kritis

Untuk Kondisi Jenuh


12

Gambar 12. Hasil Perhitungan Geometri Bidang Runtuh Kritis Untuk Kondisi

Kering

Gambar 13. Hasil Perhitungan Geometri Bidang Runtuh Kritis Untuk Kondisi

Jenuh


13

4. Kesimpulan Beberapa persoalan dalam analisis kestabilan lereng adalah merupakan

persoalan optimasi. Hal ini disebabkan karena dalam analisis kestabilan lereng seringkali dilakukan perhitungan untuk mencari nilai dari satu variabel atau beberapa variabel yang akan menghasilkan faktor keamanan minimum.

Seperti yang terlihat dari contoh di atas bahwa spreadsheet [Planar.xls] dan Microsoft Excel Solver dapat menyelesaikan persoalan optimasi dalam analisis bidang runtuh planar dengan mudah dan cepat.

5. Daftar Pustaka 1. Call, R.D., dan Savely, J.P. (1990). Open Pit Rock Mechanics, dalam

Surface Mining 2nd ed, (Editor: Kennedy, B.A.). AIME. 2. Dodge, M., dan Stinson, C. (1993). Running Microsoft Excel 2000. Microsoft

Press, Washington. 3. Hoek, E. dan Bray, J.W. (1981). Rock Slope Engineering 3rd Ed.. Institution

of Mining And Metallurgy, London. 4. Piteau, D.R. dan Martin, D.C. (1982). Mechanics of Rock Slope Failure,

Stability in Surface Mining, Volume 3, (Brawner, C.O., editor), hal. 113-166, New York, SME.

5. Rao, S. S. (1995). Optimization Theory and Applications, 2nd Ed. New Age International Limited, New Delhi.

persoalan optimasi dalam analisis bidang runtuh planar

Documents