persamaan gelombang elektromagnetik untuk hamburan dalam sistem dua dimensi

Azrul Azwar (30212015) 1

PERSAMAAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK UNTUK HAMBURAN

DALAM SISTEM DUA DIMENSI

Referensi :

Skripsi Andika Putra dan Skripsi Nabila Khrisna Dewi bab 2

Buku Weng Cho Chew : Wave and Field in Inhomogeneous Media, hal 161 – 167

1. Persamaan Maxwell Dalam notasi vektor, persamaan Maxwell dalam untuk sistem tanpa sumber (sumber muatan

maupun sumber arus) dengan kehadiran sumber polarisasi ekstarnal (dipole eksternal)

dinyatakan oleh

훁 × 퐄(퐫, 푡) = −휕퐁(퐫, 푡)휕푡 (1.푎)

훁 × 퐇(퐫, 푡) = 휕퐃(퐫, 푡)휕푡 +

휕퐏풔(퐫, 푡)휕푡 (1.푏)

훁 ∙ 퐁(퐫, 푡) = 0(1. 푐)

훁 ∙ 퐃(퐫, 푡) = 0(1.푑)

dengan 퐄 adalah medan listrik (V/m), 퐇 adalah medan magnetik (A/m), 퐃 adalah fluks

listrik (C/m2), 퐁 adalah fluks magnetik (Wb/m2), dan 퐏풔 adalah sumber polarisasi (C/m2).

Solusi dari persamaan (1.a – 1.d) di atas disebut sebagai solusi domain waktu.

Secara umum, kebergantungan medan elektromagnetik terhadap ruang dan waktu

dinyatakan oleh suatu fungsi yang sangat rumit. Akan tetapi, kita dapat memilih solusi dari

persamaan (1.a – 1.d) di atas sebagai kombinasi linear dari mode – mode harmonik waktu,

sehingga baik sumber maupun medan dapat dinyatakan sebagai

퐀(퐫, 푡) = 퐀(퐫)푒 (2)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), akan diperoleh


훁 × 퐄(퐫) = 푖휔퐁(퐫)(3.푎)

훁 × 퐇(퐫) = −푖휔퐃(퐫)− 푖휔퐏풔(퐫)(3.푏)

훁 ∙ 퐁(퐫) = 0(3. 푐)

훁 ∙ 퐃(퐫) = 0(3.푑)

Solusi dari persamaan (3.a – 3.d) dikenal sebagai solusi domain frekuensi.

2. Gelombang Elektromagnetik dalam Medium Linear Untuk linear dan isotropik, terdapat hubungan konstitutif,

퐃(퐫) = 휀(퐫)퐄(퐫)(4.푎)

퐁(퐫) = 휇퐇(퐫)(4.푏)

di sini 휀(퐫) adalah permitivitas medium dan 휇 adalah permeabilitas bahan (untuk medium

non-magnetik, 휇 = 휇 )

Perlu dicatat di sini bahwa pendefinisian adanya besaran kekal 휔 pada persamaan (3) di atas

hanya mungkin dilakukan jika fungsi dielektrik tidak bergantung waktu dan persamaan

Maxwell bersifat invarian terhadap transformasi waktu.

Dengan menggunakan hubungan konstitutif ini, persamaan (3) tanpa sumber polarisasi

dapat dinyatakan sebagai

퐇(퐫) = −푖휔휇 훁 × 퐄(퐫)(5.푎)

퐄(퐫) = 푖

휔휀(퐫)훁 × 퐇(퐫)(5.푏)

훁 ∙ 퐇(퐫) = 0(5. 푐)

훁 ∙ 휀(퐫)퐄(퐫) = 0(5.푑)

Dengan mensubstitusikan (5.a) ke (5.b) atau sebaliknya, akan diperoleh

휔 퐇(퐫) =1휇 훁 ×

1휀(퐫)훁 × 퐇(퐫) (6.푎)

휔 퐄(퐫) = 1

휇휀(퐫)훁 × 훁 × 퐄(퐫) (6.푏)

Dengan menyelesaikan persamaan (6.a) untuk medan magnetik atau (6.b) untuk medan

elektrik serta dengan syarat batas yang memenuhi persamaan (5.c) dan (5.d), maka akan

diperoleh solusi medan elektromagnetik untuk sebarang profil dielektrik.


Persamaan (6.a) merupakan persamaan eigen dengan nilai eigen 휔 dan operator

“Hamiltonian” yang dinyatakan oleh 1휇 훁 ×

1휀(퐫)훁 × (ퟕ)

Untuk profil dielektrik yang real, maka operator yang dinyatakan oleh persamaan (7)

merupakan operator hermitian sehingga nilai eigen 휔 bersifat real.

퐇 퐿퐇 =1휇 퐇∗ ∙ 훁×

1휀(퐫)훁×퐇푚 푑푉

퐇 퐿퐇 =1휇

1휀(퐫)훁×퐇푚 ∙ (훁 ×퐇∗ )푑푉 + 훁 ∙

1휀(퐫)훁×퐇푚 × 퐇∗ 푑푉

훁 ∙ 1휀(퐫)훁 ×퐇푚 × 퐇∗ 푑푉 =

1휀(퐫)훁×퐇푚 × 퐇∗ ∙ 푑퐬 = 0

Box 1. Pembuktian persamaan (7) merupak operator hermitian.

Suatu operator yang dikatakan bersifat hermitian jika memenuhi 퐇 퐿퐇 = 퐿퐇 퐇 dengan

⟨퐀|퐁⟩ = ∫ 퐀∗ ∙ 퐁 푑푉. Jika 퐿 = 1휇훁 × 1

휀(퐫)훁× , maka

Dengan menggunakan identitas vektor 퐁 ∙ (훁 × 퐀) = 퐀 ∙ (훁× 퐁) + 훁 ∙ (퐀 × 퐁), maka

dengan menggunakan teorema divergensi

untuk volume yang sangat besar, sehigga

퐇 퐿퐇 = 1휇∫

1휀(퐫)훁×퐇푚 ∙ (훁× 퐇∗ )푑푉 = 1

휇0휀0∫ 1

휀(퐫)(훁× 퐇∗ ) ∙ (훁 ×퐇푚)푑푉

= ∫ 퐇푚 ∙1

휇0휀0훁× 1

휀(퐫)훁× 퐇∗ 푑푉 = ∫ 1휇0휀0

훁× 1휀(퐫)훁× 퐇∗ ∙ 퐇푚 푑푉

Karena 휀(퐫) bersifat real maka

퐇 퐿퐇 = ∫ 1휇0휀0

훁× 1휀(퐫)훁 × 퐇

∗∙ 퐇푚 푑푉 = 퐿퐇 퐇


3. Medan Elektromagnetik dalam Sistem Dua Dimensi Geometri untuk sistem dua dimensi (2D) dicirikan oleh adanya simetri translasi kontinyu

satu dimensi dalam arah tertentu. Simetri translasi ini muncul karena struktur yang ditinjau

memanjang menuju tak-hingga pada arah tersebut (biasanya dipilih sebagai arah 퐳). Dalam

lingkungan yang invarian terhadap sumbu z ini, yang mana baik struktur maupun sumber

medan yang ditinjau di-extend menuju tak-hingga dalam arah z, maka kebergantungan

besaran fisis terhadap z dinyatakan oleh 푒 , dengan 푘 adalah sebarang skalar kompleks.

Sebagai konsekuensinya, medan elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai

퐄(퐫) = 퐄(훒)푒 (8)

퐇(퐫) = 퐇(훒)푒 (9)

di sini telah dipilih koordinat silinder dengan 퐫 = (훒, 푧).

Berikut akan ditunjukkan bahwa dalam sistem seperti ini, persoalan mencari enam

komponen medan elektromagnetik dapat direduksi menjadi persoalan mencari dua medan

elektromagnetik. Untuk itu komponen medan listrik dan medan magnet serta operator nabla,

dituliskan dalam komponen transversal dan longitudinal

퐄(퐫) = 퐄퐭(퐫) + 퐳퐸 (퐫)(10.푎)

퐇(퐫) = 퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫)(10.푏)

훁 = 훁퐭 + 퐳휕휕푧(10. 푐)

Dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke persamaan (5.a) dan (5.b) akan diperoleh

퐄퐭(퐫) + 퐳퐸 (퐫) = 푖

휔휀(퐫) 훁퐭 + 퐳휕휕푧 × 퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫) (11.푎)

훁 ∙ (퐀 × 퐁) = 휕 휖 퐴 퐵 = 휖 퐵 휕 퐴 + 휖 퐴 휕 퐵 = 퐵 휖 휕 퐴 + 퐴 휖 휕 퐵

= 퐵 휖 휕 퐴 − 퐴 휖 휕 퐵 = 퐁 ∙ (훁 × 퐀) −퐀 ∙(훁 × 퐁)

Box 2. Pembuktian identitas vektor.

di sini 휕 = , (i,j,k = 1,2,3), indeks berulang menyatakan penjumlahan, sedangkan 휖 adalah

simbol Levy-Civita, yang didefinisikan oleh 휖 = 1; untukpermutasigenap0; jikaadaduaindeksygsama−1; untukpermutasiganjil


퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫) = −푖휔휇 훁퐭 + 퐳

휕휕푧 × 퐄퐭(퐫) + 퐳퐸 (퐫) (11.푏)

Komponen – komponen medan dalam arah transversal dari persamaan (11) diatas adalah

퐄퐭(퐫) = 푖

휔휀(퐫) 훁퐭 × 퐳퐻 (퐫) +휕휕푧 퐳 × 퐇퐭(퐫) (12.푎)

퐇퐭(퐫) = −푖휔휇 훁퐭 × 퐳퐸 (퐫) +

휕휕푧 퐳× 퐄퐭(퐫) (12.푏)

Jika persamaan (12.a) dikalikan degan 퐳 × dari kiri, serta dengan menggunakan

persamaan (12.b) akan diperoleh (catatan : hal ini hanya berlaku untuk 휀(퐫)yang tidak

bergantung pada z)

퐳휕휕푧 × 퐄퐭(퐫) =

푖휔휀(퐫)퐳

휕휕푧 × 훁퐭 × 퐳퐻 (퐫) +

휕휕푧 퐳 × 퐇퐭(퐫)

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(퐫) + 푖휔휀(퐫)훁퐭 × 퐳퐸 (퐫) = 퐳휕휕푧 × 훁퐭 × 퐳퐻 (퐫) +

휕휕푧 퐳 × 퐳 × 퐇퐭(퐫)

dengan menggunakan 훁 × (푓퐀) = 푓(훁 × 퐀)− 퐀 × (훁푓) dan 퐳 × 퐳 × 퐇퐭 = −퐇퐭 , akan

diperoleh

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(퐫)− 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (퐫) = 휕휕푧 훁퐭퐻

(퐫)−휕 퐇퐭(퐫)휕푧

Karena kebergantunan terhadap z dinyatakan oleh faktor 푒 , maka

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(휌,휑)푒 − 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑)푒

= 휕훁퐭퐻 (휌,휑)푒

휕푧 −휕 퐇퐭(휌,휑)푒

휕푧

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(휌,휑)푒 − 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑)푒

= 푖푘 훁퐭퐻 (휌,휑)푒 + 푘 퐇퐭(휌,휑)푒

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(휌,휑) − 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑) = 푖푘 훁퐭퐻 (휌,휑) + 푘 퐇퐭(휌,휑)

휔 휇휀(퐫)퐇퐭(휌,휑) − 푘 퐇퐭(휌,휑) = 푖푘 훁퐭퐻 (휌,휑) + 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑)

퐇퐭(휌,휑) =푖푘 훁퐭퐻 (휌,휑) + 푖휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑)

휔 휀(퐫)− 푘


퐇퐭(휌,휑) =푖푘

[푘 훁퐭퐻 (휌,휑) + 휔휀(퐫)퐳× 훁퐭퐸 (휌,휑)](13)

dengan 푘 = 휔 휀(퐫)− 푘 .

Jika langkah serupa dilakukan pada persamaan (12.b), maka

퐳휕휕푧 × 퐇퐭(퐫) = −

푖휔휇 퐳

휕휕푧 × 훁퐭 × 퐳퐸 (퐫) +

휕휕푧 퐳 × 퐄퐭(퐫)

−푖휔휀(퐫)퐄퐭(퐫)− 훁퐭 × 퐳퐻 (퐫) = −푖휔휇 퐳

휕휕푧 × 훁퐭 × 퐳퐸 (퐫) +


휔 휇휀(퐫)퐄퐭(퐫)− 푖휔휇훁퐭 × 퐳퐻 (퐫) = 퐳휕휕푧 × 훁퐭 × 퐳퐸 (퐫) + 퐳

휕휕푧 ×


휔 휇휀(퐫)퐄퐭(퐫) + 푖휔휇퐳 × 훁퐭퐻 (퐫) = 훁퐭휕퐸 (퐫)휕푧 −

휕휕푧 퐄퐭(퐫)

휔 휇휀(퐫)퐄퐭(휌,휑) − 푘 퐄퐭(휌,휑) = −푖휔휇퐳 × 훁퐭퐻 (휌,휑) + 푖푘 훁퐭퐸 (휌,휑)

퐄퐭(휌,휑) =−푖휔휇퐳× 훁퐭퐻 (휌,휑) + 푖푘 훁퐭퐸 (휌,휑)

휔 휇휀(퐫) − 푘

퐄퐭(휌,휑) =푖푘 푘 훁퐭퐸 (휌,휑) −휔휇퐳 × 훁퐭퐻 (휌,휑) (14)

Persamaan (13) dan (14) di atas merupakan ungkapan medan transversal dalam dapat medan

longitudinal diketahui, artinya jika medan longitudinal diketahui, maka medan transversal

dapat dihitung sehingga dapat diketahui medan secara keseluruhan. Jadi dalam sistem 2D,

medan Ez dan Hz dapat memberikan gambaran tentang medan elektromagnetik secara

lengkap dari sistem tersebut.

Penyelesaian persoalan hamburan medan elektromagnetik sangat bergatung pada

profil 휀(퐫). Untuk penghambur yang homogen dan isotropis, di mana 휀(퐫) = 휀 (konstan),

maka persamaan (6) akan menjadi

훁 × (푓퐀) = 휖 휕 (푓퐴 ) = −휖 퐴 휕 푓 + 푓휖 휕 퐴 = −퐀 × (훁푓) + 푓(훁× 퐀)

Box 3 Pembuktian identitas 훁 × (푓퐀) = 푓(훁 × 퐀) − 퐀 × (훁푓)


휔 퐇(퐫) =1휇휀 훁 × 훁 × 퐇(퐫) (15.푎)

휔 퐄(퐫) = 1휇휀 훁 × 훁 × 퐄(퐫) (15.푏)

Dengan menggunakan identitas vektor 훁 × (훁 × 퐀) = 훁(훁 ∙ 퐀) −∇ퟐ퐀, serta dengan

menggunakan (5.c) maka persamaan (15.a) akan menjadi

휔 퐇(퐫) =1휇휀 훁 × 훁 × 퐇(퐫)

휇휀휔 퐇(퐫) = 훁 훁 ∙ 퐇(퐫) −∇ퟐ퐇(퐫)

휇휀휔 퐇(퐫) = −∇ퟐ퐇(퐫)

dengan memisahkan bagian yang bergantung pada z, maka persamaan di atas menjadi

휇휀휔 퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫) = − ∇풕ퟐ +휕휕푧 퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫)

휇휀휔 퐇퐭(퐫) + 퐳퐻 (퐫) = − ∇풕ퟐ퐇퐭(퐫) +휕 퐇퐭(퐫)휕푧 + 퐳∇풕ퟐ퐻 (퐫) + 퐳

휕 퐻 (퐫)휕푧

Persamaan untuk komponen – z dapat dituliskan sebagai

휇휀휔 퐻 (퐫) = −∇풕ퟐ퐻 (퐫)−휕 퐻 (퐫)휕푧

∇풕ퟐ퐻 (퐫) + 휇휀휔 퐻 (퐫) +휕 퐻 (퐫)휕푧 = 0

∇풕ퟐ + 휇휀휔 − 푘 퐻 (휌,휑) = 0

∇풕ퟐ + 푘 퐻 (휌,휑) = 0(16)

Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk medan listrik, sehingaa diperoleh persamaan

∇풕ퟐ + 푘 퐸 (휌,휑) = 0(17)


Untuk meringkas tulisan persamaan (16) dan (17) dituliskan sebagai

∇풕ퟐ + 푘 푉 , (휌,휑) = 0(18)

dengan 퐸 = 푉 푒 dan 퐻 = 푉 푒

Dalam koordinat silinder, persamaan (18) dapat dituliskan secara eksplisit sebagai

1휌휕휕휌

휌휕푉퐸,퐻(휌,휑)

휕휌+

1휌휕 푉퐸,퐻(휌,휑)

휕휙+ 푘휌

2푉퐸,퐻(휌,휑) = 0

dengan menuslikan 푉 , (휌,휑) = 푅(휌)Φ(휑) [separasi variabel], maka

1휌휕휕휌

휌휕[푅(휌)Φ(휑)]

휕휌+

1휌휕 [푅(휌)Φ(휑)]

휕휙+ 푘휌

2[푅(휌)Φ(휑)] = 0

Φ(휑)푑 푅(휌)푑휌

+1휌푑푅(휌)푑휌

+1휌푅(휌)

푑 Φ(휑)푑휙

+ 푘휌2푅(휌)Φ(휑) = 0

휌푅(휌)

푑 푅(휌)푑휌


+1

Φ(휑)푑 Φ(휑)푑휙

+ 푘휌2휌 = 0

휌푅(휌)

푑 푅(휌)푑휌


+ 푘휌2휌 = −

1Φ(휑)

푑 Φ(휑)푑휙

Dengan memilih solusi untuk Φ(휑) = 푒 , maka

휌푅(휌)

푑 푅(휌)푑휌


+ 푘휌2휌 = 푛

푘휌2휌

푑 푅 푘 휌

푑 푘 휌+ 푘 휌

푑푅 푘 휌푑(푘 휌)

푅(휌) + 푘 휌 −푛 푅 푘 휌 = 0(19)

Persamaan (19) di atas merupakan persamaan Bessel orde – n (bulat), solusinya dapat

berupa kombinasi linear dari fungsi – fungsi berikut ini (bergantung pada syarat batas daris

sistem fisis yang ditinjau) :

Fungsi Bessel 퐽 (푘휌휌) yang menggambarkan gelombang berdiri (standing wave)


Fungsi Neumann 푌 푘휌휌 = 푁 푘휌휌 = 푘휌휌 cos π 푘휌휌 − (푘휌휌)

sin π 푘휌휌

Fungsi Hankel jenis pertama 퐻 푘휌휌 = 퐽 푘휌휌 + 푖푁 푘휌휌 , yang menggambarkan

gelombang keluar (outgoing wave)

Fungsi Hankel jenis ke dua 퐻( ) 푘 휌 = 퐽푛 푘 휌 − 푖푁푛 푘 휌 , yang menggambarkan

gelombang masuk (incoming wave).

4. Refleksi dan Transmisi melalui Medium Silindris Berlapis (Kasus Satu Antar-

muka)

4.1.Refleksi dan Transmisi Gelombang Keluar

Tinjau gelombang silindris yang dihasilkan oleh sumber garis di daerah 1 (lihat gambar

1). Sumber garis tersebut akan menghasilkan outgoing wave (arah 휌) yang secara

matematis dinyatakan oleh fungsi Hankel jenis pertama. terdapat pula incoming wave

(arah –휌) akibat pemantulan oleh permukaan silinder. Secara matematis dinyatakan oleh

fungsi Hankel jenis kedua namun gelombang tersebut akan mengalami pemantulan

secara sempurna di pusat silinder sehingga mengghasilkan gelombang berdiri (yang

dinyatakan oleh fungsi Bessel). Sehingga gelombang pada daerah 1 akan dinyatakan

oleh

푉 , = 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 (20)

Sedangkan pada daerah 2, hanya ada outgoing wave yang melewati perbatasan silinder

dan memenuhi kondisi radiasi, yang secara matematis dinyatakan oleh

푉 , = 퐻 푘2휌휌 퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧(21)

dengan 푘 = 휔 휇휀 (퐫) − 푘 , 푘 = 휔 휇휀 (퐫) − 푘 , 퐚ퟏ퐧 = 푒ℎ yang merupakan

koefisien fungsi Hankel jenis pertama masing – masing untuk medan listrik dan medan

magnetik, 퐑ퟏퟐ dan 퐓ퟏퟐ merupakan matrik 2x2 yang akan ditentukan dari syarat batas

di permukaan silinder (휌 = 푎).


Gambar 1. Refleksi dan Transmisi dari outgoing wave

Dalam koordinat silinder, persamaan (13) dapat dinyatakan sebagai

퐇퐭(휌,휑) =푖푘 푘 훒

휕퐻휕휌 + 훗

1휌휕퐻휕휑 + 휔휀(퐫)퐳× 훒

휕퐸휕휌 + 훗

1휌휕퐸휕휑

퐇퐭(휌,휑) =푖푘 푘 훒

휕퐻휕휌 + 훗

1휌휕퐻휕휑 + 휔휀(퐫) 훗

휕퐸휕휌 − 훒

1휌휕퐸휕휑

퐇퐭(휌,휑) =푖푘 훒 푘

휕퐻휕휌 − 휔휀(퐫)

1휌휕퐸휕휑 + 훗 휔휀(퐫)

휕퐸휕휌 +

푘휌휕퐻휕휑

퐇퐭(휌,휑) =푖

푘 휌 훒 푘 휌휕퐻휕휌 − 푖푛휔휀(퐫)퐸 + 훗 휔휀(퐫)휌

휕퐸휕휌 + 푖푛푘 퐻

sehingga komponen 휑 dari medan magnet adalah

퐻 =푖

푘 휌휔휀 (퐫)푘 휌

휕퐸휕(푘 휌) + 푖푛푘 퐻

퐻 =푖

푘 휌휔휀 (퐫)푘 휌 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

+ 푖푛푘 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

퐻 =1

푘 휌푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘1휌휌 − 푛푘 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧

+ 푖휔휀 (퐫)푘 휌퐽 푘1휌휌 − 푛푘 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 (22)


dengan 푋 푘1휌휌 =( )

Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk medan listrik. Dalam koordinat silinder,

persamaan (14) dapat dinyatakan sebagai

퐄퐭(휌,휑) =푖푘 푘 훒

휕휕휌 + 훗

1휌휕휕휑 퐸 (휌,휑)− 휔휇퐳 × 훒

휕휕휌 + 훗

1휌휕휕휑 퐻 (휌,휑)

퐄퐭(휌,휑) =푖푘 푘 훒

휕퐸휕휌 + 훗

1휌휕퐸휕휑 − 휔휇 훗

휕퐻휕휌 − 훒

1휌휕퐻휕휑

퐄퐭(휌,휑) =푖푘 훒 푘

휕퐸휕휌 + 휔휇

1휌휕퐻휕휑 + 훗 푘

1휌휕퐸휕휑 − 휔휇

휕퐻휕휌

퐄퐭(휌,휑) =푖

푘 휌 훒 푘 휌휕퐸휕휌 + 휔휇

휕퐻휕휑 + 훗 푘

휕퐸휕휑 − 휔휇휌

휕퐻휕휌

komponen 휑 dari medan listrik adalah

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐸 − 푖휔휇푘 휌

휕퐻휕(푘 휌)

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

− 푖휔휇푘 휌 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

− 푖휔휇푘 휌 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

퐸 =1

푘 휌−푖휔휇푘 휌퐻 푘1휌휌 − 푛푘 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧

+ −푖휔휇푘 휌퐽 푘1휌휌 − 푛푘 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 (23)

Persamaan (22) dan (23) dapat digabungkan menjadi


퐻퐸

= 1

푘 휌푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘1휌휌 −푛푘 퐻 푘1휌휌

−푛푘 퐻 푘1휌휌 −푖휔휇푘 휌퐻 푘1휌휌퐚ퟏ퐧퐚ퟏ퐧

+1

푘 휌푖휔휀 (퐫)푘 휌퐽 푘1휌휌 −푛푘 퐽 푘1휌휌

−푛푘 퐽 푘1휌휌 −푖휔휇푘 휌퐽 푘1휌휌퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

퐻퐸 = 퐇 푘1휌휌 ∙ 퐚ퟏ퐧 + 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧(24)

dengan

퐇 푘1휌휌 =1

푘 휌푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘1휌휌 −푛푘 퐻 푘1휌휌

−푛푘 퐻 푘1휌휌 −푖휔휇푘 휌퐻 푘1휌휌

퐉 푘1휌휌 =1


−푛푘 퐽 푘1휌휌 −푖휔휇푘 휌퐽 푘1휌휌

Jika prosedur serupa juga diterapkan pada daerah 2, maka akan diperoleh

퐻퐸 =

1푘 휌

푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘2휌휌 −푛푘 퐻 푘2휌휌

−푛푘 퐻 푘2휌휌 −푖휔휇푘 휌퐻 푘1휌휌퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧

= 퐇퐧 푘2휌휌 ∙ 퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧(25)

Syarat batas yang harus dipenuhi pada permukaan silinder (휌 = 푎)adalah bahwa semua

komponen medan elektromagnetik dalam arah tangensial harus kontinyu. Kontinuitas

medan dalam arah z menghasilkan prsamaan

퐻 푘1휌푎 퐈̅ + 퐽 푘1휌푎 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 = 퐻 푘2휌푎 퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧(26)

Kontinuitas medan dalah arah 휑 akan menghasilkan

퐇 푘1휌푎 + 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 = 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧(27)

Karena 퐚ퟏ퐧 adalah matrik yang elemen – elemennya berupa sebarang konstanta tak-nol,

maka persamaan (26) dan (27) akan menjadi


퐻 푘1휌푎 퐈̅ + 퐽 푘1휌푎 퐑ퟏퟐ = 퐻 푘2휌푎 퐓ퟏퟐ(28.푎)

퐇 푘1휌푎 + 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ(28.푏)

Jika persamaan (28.a) dikalikan dari kiri dengan 퐇퐧 푘2휌푎 persamaan (28.b) dikalikan

dengan 퐻 푘2휌푎 , lalu kedua persamaan tersebut diselisihkan, maka akn diperoleh

퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 + 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = 퐻 푘2휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ

퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎 + 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = 퐻 푘2휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ

퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 + 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ −퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎

−퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = ퟎ

퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ − 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ

= 퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎 − 퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎

퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 − 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ

= 퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎 − 퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎

Dengan mendefinisikan 퐃 = 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 − 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 , maka akan

diperoleh

퐑ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 − 퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎 (29)

Jika persamaan (28.a) dikalikan dari kiri dengan 퐉퐧 푘1휌푎 persamaan (28.b) dikalikan

dengan 퐽 푘1휌푎 , lalu kedua persamaan tersebut diselisihkan, maka akan diperoleh

퐻 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 + 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ

퐽 푘1휌푎 퐇 푘1휌푎 + 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐑ퟏퟐ = 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ

퐻 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 −퐽 푘1휌푎 퐇 푘1휌푎

= 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ − 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 ∙ 퐓ퟏퟐ


Dengan mendefinisikan 퐃 = 퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 − 퐽 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 , maka akan

diperoleh

퐓ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 퐻 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 −퐽 푘1휌푎 퐇 푘1휌푎 (30)

4.2. Refleksi dan Transmisi Gelombang Berdiri

Tinjau geometri yang diberikan oleh gambar 2 berikut, tapi dengan daerah 1 sama

dengan daerah 2.

퐓ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 퐻 푘 푎 퐉퐧 푘 푎 −퐽 푘 푎 퐇 푘 푎

퐓ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 1푘1휌

2 푎퐻 푘 푎

푖휔휀 (퐫)푘 푎퐽 푘 휌 −푛푘 퐽 푘 휌−푛푘 퐽 푘 휌 −푖휔휇푘 푎퐽 푘 휌

−퐽 푘 푎푖휔휀 (퐫)푘 푎퐻 푘 휌 −푛푘 퐻 푘 휌

−푛푘 퐻 푘 휌 −푖휔휇푘 푎퐻 푘 휌

퐓ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 1푘 푎

⎝

⎜⎛푖휔휀 (퐫)푘 푎 −

2푖휋푘 푎 0

0 푖휔휇푘 푎2푖

휋푘 푎 ⎠

⎟⎞

=2휔

휋푘 푎퐃ퟏ 휀 (퐫) 0

0 −휇

Box 4. Penyederhanaan persamaan (30)

Dengan mensubstitusikan bentuk 퐇 dan bentuk 퐉퐧 푘 푎 ke persamaan (30) akan diperoleh

퐓ퟏퟐ=퐃 ퟏ 푖휔휀 (퐫)푘 푎 퐻 푘 푎 퐽 푘 휌 − 퐽 푘 푎 퐻 푘 휌 푛푘 퐽 푘 푎 퐻 푘 휌 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 휌푛푘 퐽 푘 푎 퐻 푘 휌 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 휌 푖휔휇푘 푎 퐽 푘 푎 퐻 푘 휌 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 휌

Wronskian untuk fungsi Bessel


Gambar 2. Refleksi dan Transmisi Gelombang Berdiri

Pada kondisi ini, incoming wave yang dilambangkan oleh fungsi Hankel jenis kedua

퐻( )(푘2휌휌) akan selalu mengalami refleksi sempurna di pusat silinder sehingga mengghasilkan

gelombang berdiri yang diindikasikan oleh fungsi Bessel 퐽 푘2휌휌 . Jika daerah 1 ditempatkan

disekitar sumbu koordiat, maka gelombang bediri tadi akan terganggu, menghasilkan outgoing

wave di daerah 2 yang dideskripsikan oleh fungsi Hankel jenis pertama 퐻 푘2휌휌 , lebih lanjut,

pada daerah 1 juga akan terbentuk gelombang berdiri yang dideskripsikan oleh 퐽 푘1휌휌 . Secara

matematis hal ini setara dengan refleksi gelombang berdiri menjadi outgoing wave di daerah 2

dan transmisi gelombang berdiri dari daerah 2 ke daerah 1, sehingga gelombang pada daerah 2

dapat dinyatakan sebagai

푉푉

= 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧(31)

sedangkan medan di daerah 1, dideskripsikan oleh (gelombang berdiri)

푉푉

= 퐽 푘1휌휌 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧(32)

dengan 퐚ퟐ퐧menyatakan representasi matrik dari koefisien ke-n dari fungsi Bessel.

Komponen 휑 dari medan magnet adalah


퐻 =푖

푘 휌휔휀 (퐫)푘 휌

휕퐸휕(푘 휌) + 푖푛푘 퐻

퐻 =푖

푘 휌휔휀 (퐫)푘 휌 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

+ 푖푛푘 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

퐻 =1

푘 휌푖휔휀 (퐫)푘 휌퐽 푘2휌휌 − 푛푘 퐽 푘2휌휌 퐚ퟏ퐧

+ 푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘2휌휌 − 푛푘 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 (33)

Komponen 휑 dari medan listrik adalah

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐸 − 푖휔휇푘 휌

휕퐻휕(푘 휌)

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

− 푖휔휇푘 휌휕

휕(푘 휌) 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

퐸 =1

푘 휌−푛푘 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

− 푖휔휇푘 휌 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

퐸 =1

푘 휌−푖휔휇푘 휌퐻 푘2휌휌 − 푛푘 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧

+ −푛푘 퐽 푘2휌휌 − 푖휔휇푘 휌퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧 (34)

Persamaan (33) dan (34) dapat digabungkan menjadi


퐻퐸 =

1푘 휌

푖휔휀 (퐫)푘 휌퐻 푘2휌휌 −푛푘 퐻 푘2휌휌

−푛푘 퐻 푘2휌휌 −푖휔휇푘 휌퐻 푘2휌휌퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧

+1


−푛푘 퐽 푘2휌휌 −푖휔휇푘 휌퐽 푘2휌휌퐚ퟐ퐧퐚ퟐ퐧

퐻퐸 = 퐇 푘2휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐉퐧 푘2휌휌 ∙ 퐚ퟐ퐧 (35)

Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk persamaan (32), menghasilkan

퐻퐸 = 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧(36)

Syarat batas di 휌 = 푎, akan menghasilkan

퐻 푘2휌푎 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌푎 퐚ퟐ퐧 = 퐽 푘1휌푎 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧(37.푎)

퐇 푘2휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐚ퟐ퐧 = 퐉퐧 푘2휌휌 ∙ 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧(37.푏)

Dengan mengalikan 퐽 푘1휌푎 ke persamaan (37.b) dan 퐉퐧 푘1휌휌 dari kiri ke persamaan (37.a)

lalu mengurangkan kedua persamaan tersebut, akan diperoleh

퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐚ퟐ퐧 = 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧

퐽 푘1휌푎 퐇 푘2휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘2휌휌 ∙ 퐚ퟐ퐧 = 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧

퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ + 퐽 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 − 퐽 푘1휌푎 퐇 푘2휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ − 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘2휌휌

= 0

퐻 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌 − 퐽 푘1휌푎 퐇 푘2휌휌 ∙ 퐑ퟐퟏ = 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘2휌휌 − 퐽 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌휌

퐑ퟐퟏ = 푫 ퟏ 퐽 푘1휌푎 퐉퐧 푘2휌푎 − 퐽 푘2휌푎 퐉퐧 푘1휌푎 (38)

퐓ퟐퟏ =2휔

휋푘 푎퐃 ퟏ ∙ 휀 (퐫) 0

0 휇 (39)


4.3.Refleksi dan Transmisi Gelombang oleh Antar-muka Silinder (Rumusan Umum)

Secara umum, karakteristik gelombang di setiap daerah merupakan kombinasi dari incoming

wave, outgoing wave dan standing wave. Dengan menggunakan prinsip superposisi,

ungkapan umum untuk solusi harmonik ke-n pada daerah 1 adalah dengan

mengkombinasikan persamaan (20) dan (32)

푉푉

= 퐻 푘1휌휌 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐑ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 + 퐽 푘1휌휌 퐓ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧

= 퐐퐧퐻 푘1휌휌 + 퐂퐧퐽 푘1휌휌 (40)

Hal serupa juga berlaku untuk daerah 2

푉푉

= 퐻 푘2휌휌 퐓ퟏퟐ ∙ 퐚ퟏ퐧 + 퐻 푘2휌휌 퐑ퟐퟏ ∙ 퐚ퟐ퐧 + 퐽 푘2휌휌 퐚ퟐ퐧

= 퐁퐧퐻 푘2휌휌 + 퐀퐧퐽 푘2휌휌 (41)

Dengan hubungan antara koefisien – koefisien Bessel diberikan oleh

퐂퐧 = 퐑ퟏퟐ.퐐퐧 + 퐓ퟐퟏ퐀퐧(42.푎)

퐐퐧 = 퐓ퟏퟐ.퐐퐧 + 퐑ퟐퟏ퐀퐧(42.푏)

4.4.Koefisien Refleksi dan Transmisi untuk kasus 풌풛 = ퟎ

Untuk kasus 푘 = 0 (kasus in-plane propagation), dimana gelombang hanya merambat

pada bidang x-y, maka suku – suku off-diagonal dari matrik 퐇 dan 퐉 akan bernilai

nol, akibatnya matrik 푫akan menjadi matrik diagonal, yaitu :

퐇 푘1휌휌 =1푘

푖휔휀 (퐫)퐻 푘1휌휌 00 −푖휔휇퐻 푘1휌휌

(43)


퐉 푘1휌휌 =1푘

푖휔휀 (퐫)퐽 푘1휌휌 00 −푖휔휇퐽 푘1휌휌

(44)

퐇 푘2휌휌 =푖휔휀 (퐫)퐻 푘2휌휌 0

0 −푖휔휇퐻 푘2휌휌(45)

퐉퐧 푘2휌휌 =1푘

푖휔휀 (퐫)퐽 푘2휌휌 0

0 −푖휔휇퐽 푘2휌휌(46)

퐃 =푖휔

푘 푘휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 0

0 휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎(47)

퐃 ퟏ =푘 푘푖휔

⎝

⎜⎛

1휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

01

휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎞(48)

Dengan mensubstitusikan persamaan – persamaan di atas, maka 퐑ퟏퟐ akan menjadi

퐑ퟏퟐ = 퐃 ퟏ 퐻 푘1휌푎 퐇퐧 푘2휌푎 −퐻 푘2휌푎 퐇 푘1휌푎

퐑ퟏퟐ =푖휔

푘 푘퐃 ퟏ 푘 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 푘 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 0

0 푘 휇퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 푘 휇퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐑ퟏퟐ =

⎝

⎜⎛푘 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 푘 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0푘 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 푘 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎞

Karena 푘 = 휔 휇휀 (퐫) − 푘 dan 푘 = 휔 휇휀 (퐫) − 푘 , maka untuk 푘 = 0 akan diperoleh

푘 = 휔 휇휀 (퐫) dan 푘 = 휔 휇휀 (퐫) sehingga

퐑ퟏퟐ =

⎝

⎜⎜⎛

휀 (퐫)휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 휀 (퐫)휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

휀 (퐫) 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫) 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐽 푘 푎0

0휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎟⎞


퐑ퟏퟐ =

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

휀 (퐫)휀 (퐫)

휀 (퐫)휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)휀 (퐫)

휀 (퐫)휀 (퐫)

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎0

0퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 휀 (퐫)

휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

휀 (퐫)휀 (퐫)

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 −퐻 푘 푎 퐽 푘 푎⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

퐑ퟏퟐ =

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

휀 (퐫)휀 (퐫)

퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 −퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 −휀 (퐫)휀 (퐫)


0퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 휀 (퐫)

휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

휀 (퐫)휀 (퐫)


⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

퐑ퟏퟐ =

⎝

⎜⎜⎜⎛

푛푛 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 −퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 푛푛 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 푛

푛 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎푛푛 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 −퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎟⎟⎞

Dengan 푛 = 휀 (퐫) , akan diperoleh :

푅 =

푛2푛1

퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 푛2푛1

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎(49)

푅 = −

푛1푛2

퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎푛1푛2

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎(50)

Dengan mensubstitusikan persamaan – persamaan di atas, maka 퐓ퟏퟐ akan menjadi

퐓ퟏퟐ =2휔

휋푘 푎퐃 ퟏ 휀 (퐫) 0

0 −휇

퐓ퟏퟐ =2휔

휋푘 푎푘 푘푖휔

⎝

⎜⎛

휀 (퐫)휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀 (퐫)푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0−휇

휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휇푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎞


퐓ퟏퟐ = −2푖 휀 (퐫)휋 휀 (퐫)푎

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1푘

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀휀 (퐫) (퐫)

푘푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0− 1푘

푘푘 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 −퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

퐓ퟏퟐ = −2푖 휀 (퐫)

휋 휀 (퐫)푎

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1푘

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 휀휀 (퐫) (퐫) 휀 (퐫)

휀 (퐫)퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0− 1푘

휀 (퐫)휀 (퐫)

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

퐓ퟏퟐ = −2푖 휀 (퐫)휋 휀 (퐫)푎

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1푘

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 −휀 (퐫)휀 (퐫)


0− 1푘

휀 (퐫)휀 (퐫)


⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

퐓ퟏퟐ =

⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

− 2푖휋푎푘 푛푛

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 푛푛 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎

0

0

2푖휋푎푘 푛푛

푛푛 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

Sehingga diperoleh

푇 =

2푖휋푎푘2휌

푛2푛1

퐻 푘 푎 퐽푛 푘 푎 − 푛2푛1퐻푛 푘 푎 퐽 푘 푎

(51)

푇 =

2푖휋푎푘2휌

퐻 푘 푎 퐽푛 푘 푎 − 푛2푛1

퐻푛 푘2휌푎 퐽 푘 푎(52)

Dengan cara yang serupa akan diperoleh


푅 =

푛2푛1퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 푛2푛1

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎(53)

푅 = −

푛1푛2

퐻 푘 푎 퐻 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐻 푘 푎푛1푛2

퐻 푘 푎 퐽 푘 푎 − 퐻 푘 푎 퐽 푘 푎(54)

푇 =

2푖휋푎푘2휌

푛2푛1

퐻 푘 푎 퐽푛 푘 푎 − 푛2푛1퐻푛 푘 푎 퐽 푘 푎

(55)

푇 =

2푖휋푎푘2휌

퐻 푘 푎 퐽푛 푘 푎 − 푛2푛1

퐻푛 푘2휌푎 퐽 푘 푎(56)

persamaan gelombang elektromagnetik untuk hamburan dalam sistem dua dimensi

Documents