persamaan diferensial adalah suatu · pdf fileturunan fungsi yang tidak diketahui. ......
TRANSCRIPT
1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
2
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut dengan adalah koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya
jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
3
4
dt
dN(1)
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0
(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , PDB orde 2
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , PDB orde 2
= kN , N = N(t)
(4)
, PDB orde 1 dimana N peubah tak bebas, t peubah bebasnya
, PDB orde 1 dimana y peubah tak bebas, x peubah bebasnya
Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.
Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
5
(1) y = cos x + c solusi umum Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0
Karena
(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 solusi khusus
Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena
(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
6
PDB dengan variabel terpisah
PDB Linear
PDB dengan koefisien fungsi homogen
7
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
8
( ) ( )g y dy f x dx
3dyx
dx
3 3dyx dy x dx
dx
3dy x dx 41
4y x C
Contoh : 1. tentukan solusi umum PD
9
Jawab:
ydx
dyxx ln
xx
dx
y
dy
ln
xx
dx
y
dy
ln
cxy lnlnlnln
xcy lnlnln
xcy ln
Jadi solusi umum PD tersebut
adalah
xcy ln
2. tentukan solusi umum PD ( ln ) 'x x y y
( ln ) 'x x y y
10
yexdx
dy 3
dxxe
dyy
3
dxxdye y 3
cxe y 4
4
1
cxy 4
4
1ln
c4)2(
4
1ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
41ln 3
4y x
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 cc
3' ; (2) 0yy x e y 3. Tentukan Solusi Khusus dari
11
2
21
dy x
dx y
2
3'
(1 )
xy
y x
2 2' 1y x y xy
1)0(,21
cos2
yy
xy
dx
dy
2' 2(1 )(1 ), (0) 0y x y y
2 3' (1 2 )(1 2 )y y x x
1)0(,0)1( yyedx
dye xx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
2
34
xdy e
dx y
12
PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
' ( ) ( )y P x y r x
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral dxxP
e)(
( ) ( )
( ) ' ( )P x dx P x dx
ye r x e
Integralkan kedua ruas terhadap x
( ) ( )( )
P x dx P x dxye e r x dx c
( ) ( ) ( )' ( ) ( )
P x dx P x dx P x dxy e P x ye r x e
Solusi Umum PDB linear : ( ) ; ( )h hy e e r x dx c h P x dx
13
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
xexyx
y 22' (bagi kedua ruas dengan x)
Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x
2 2( ) ( ) 2lnP x h x dx x
x x
( )h hy e e r x dx c
cdxexee xxx 2)ln(ln .22
2 xx e dx c
31. ' 2 xxy y x e
14
Jawab:
22. ' ( 1) ; (0) 3y y x y
( ) 1 ( ) 1P x h x dx x
( )h hy e e r x dx c
2( 1)x xe e x dx c
21 2( 1)x x xe x e x e dx (dengan integral parsial)
21 2( 1) 2x x x xe x e x e e c
xcexxy 21212 2 1 xy x ce
(0) 3 3 1 2y c c
Sehingga SK : 2 1 2 xy x e
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
15
211
2'.4
x
x
yyxxyy sectan'.3
xeyy 2'.1 1')1(.2 2 xyyx
6. ' 1 , (1) 0xxy x y e y
22'.5 xyy
27. ' 3 ; (0) 1xy e y y
8. sin ' 2 cos sin 2 , 26
x y y x x y
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
16
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk
17
( , )'
( , )
A x yy
B x y
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy ''
dx
dy
dx
du
= x + u
dy = x du + u dx
dengan
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut
18
'x y
yx
1.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
x
yx
dx
dy
x
y
dx
dy1 u
dx
dxudux
1 dxudxudux 1
dxdux x
dxdu
x
dxdu cxu ln
cxx
y ln xcxxy ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln
19
2.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2
x
xyy
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy2
2
uudx
dxudux22
dxuudxudux 22
dxuudux 2
x
dx
uu
du
2 x
dx
uu
du2
cxuu
dulnln
)1(
cxduuu
ln1
11
cxuu ln1lnln
0222 xyydx
dyx , y(1)=1
20
cxu
uln
1ln
cx
xy
xy
ln1
ln
cxxy
ylnln
cx
xy
y
2)1( cxcxy
cx
cxy
1
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga
c
c
11
2
1c
Jadi solusi khusus PD di atas adalah x
xy
2
2
21
1.
2.
3.
4.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xy
yx
dx
dy
2
3 22
2
2 2
x
xyy
dx
dy
yx
yx
dx
dy
3
2y dx – x dy = 0
Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.
Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:
◦ Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.
◦ Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:
22
1'
( , )y
Df x y
Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari
1'
( , )y
Df x y
23
2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk
2
yc
x
Kemudian turunkan yaitu: 2cxy
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'
22'
x
yxy
x
yy 2'
1'
2 / 2
xy
y x y
3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
24
)(2
22
ellipscyx
'2
xy
y
y
x
dx
dy
2
xdxydy2 cx
y 2
22
2cxy
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola 2cxy
adalah )(2
22
ellipscyx
x
y
25
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
2 2 2x y c y x c 2 2 2x y c 4 x2 + y2 = c
4.
2.
1.
5.
y = cx 3.
26
Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x)
p(x), g(x) disebut koefisien. Jika r(x) = 0, maka Persamaan Diferensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen.
Persamaan Diferensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum :
y + ay + by = 0
dimana a, b merupakan konstanta sebarang.
27
0''' cybyay
2211 yCyCy
SolusiSolusi daridari PDB PDB OrdeOrde DuaDua HomogenHomogen
adalahadalah::
dimanadimana 21 , yyC1, C2 konstanta, dan
solusisolusi basis.basis.
28
disebut solusi basis jika bebas linear.
disebut bebas linear jika W (Wronskian)≠0.
29
0''' cybyay
Buat Persamaan Karakteristik (PK):
02 cba
Ada 3 kemungkinan akar dari PK :
1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0)
21
xxeCeCy 21
21
Solusi umum PD:
30
2. Dua akar real kembar (Diskriminan = 0)
1 2
x xy C e C xe Solusi umum PD:
21
3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0)
i 12
Solusi umum PD: 1 2( cos sin )xy e C x C x
31
0''' cybyay
21 Jika PD ini mempunyai akar real berbeda,
maka xx
eyey 21
21 ,
adalah solusi basis.
Bukti:
1. Tentukan solusi umum dari PD '' 5 ' 6 0y y y
Jawab:
PK : 2 5 6 0
( 3)( 2) 0
1 23 ; 2
Solusi Umum : 3 2
1 2
x xy C e C e
32
(solusi basis)
(solusi basis)
2. Tentukan solusi umum dari PD '' 6 ' 9 0y y y
Jawab:
PK : 2 6 9 0
2( 3) 0
1 2 3
Solusi Umum : 3 3
1 2
x xy C e C xe
33
3. Tentukan solusi umum dari PD '' 4 0y y
Jawab:
PK : 2 4 0
12 2i
Solusi Umum : 1 2cos2 sin 2y C x C x
34
0
2
35
Bentuk umum:
ay + by + cy = r(x) … *)
dengan r(x) 0
Solusi total : y = yh + yp
dimana yh = solusi PD homogen
yp = solusi PD non homogen Menentukan yp :
1. Metode koefisien tak tentu
2. Metode variasi parameter
Pilih yp yang sesuai dengan r(x), substitusikan ke PD (*)
a. Kasus khusus
No r(x) yp
1.
2.
3.
4.
xKexCe
0
1
1 ... KxKxK n
n
n
n
0
1
1 ... AxAxA n
n
n
n
,cos xK xK sin xBxA sincos
,cos xKe x )sincos( xBxAe x xKe x sin
36
1.Tentukan Solusi Umum dari
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
Jadi solusi homogennya adalah
xeyyy 42'3''
0232
0)1)(2(
1;2
xx
h eCeCy 2
2
1
Selanjutnya tentukan
ph yyy Solusi Umum :
py
37
Pilih x
p Cey 4x
p Cey 44'
x
p Cey 416''
Substitusikan ke PD soal
xxxx eCeCeCe 4444 24.316
xx eCCCe 44 )21216(
6/116 CC
Jadi x
p ey 4
6
1
Sehingga SU : xxx eeCeCy 4
2
2
16
1
38
39
2. y” – 3y’ + 2y = cos x
Jawab:
Solusi PD Homogen yh = C1 e2x
+ C2 ex
Untuk yp dipilih yp = A cos x + B sin x
yp’ = - A sinx + B cos x yp” = - A cos x – B sin x
Kemudian substitusi ke ke PD semula:
(-A cos x – B sin x)–3(-A sin x + B cos x)+2(A cos x +B sin x)= cos x
(-A-3B+2A) cos x + (-B+3A+2B) sin x= cos x (-3B + A) cos x + (3A+B) sin x= cos x -3B + A = 1 dan 3A+B= 0
40
Jadi solusi umum PD di atas adalah
Didapat A = 1/10 dan B = -3/10
1/30/2016
b. Jika r(x) merupakan solusi basis PD homogen, maka
kalikan yp dengan x (atau , jika akar PK PD
Homogen kembar).
Contoh : 1. Tentukan Solusi Umum dari '' 3 ' 2 xy y y e
Jawab :
PK PD homogen : 2 3 2 0
( 2)( 1) 0
1 22 ; 1
Sehingga 2
1 2
x x
hy C e C e
xey 2
1
xey 2
41
2x
1/30/2016
Karena r(x)=solusi basis PD homogen, maka
x
py Cxe ' ( )x x
py C e xe
'' ( ) (2 )x x x x x
py C e e xe C e xe Substitusi ke soal
(2 ) 3 ( ) 2x x x x x xC e xe C e xe Cxe e
(2 3 3 2 )x xe C Cx C Cx Cx e
1 1C C
Jadi x
py xe
Sehingga Solusi Umum: 2
1 2
x x x
h py y C e C e xe
42
pilih
43
y” – 3y’ + 2y = ex, y(0)=1, y’(0)=-1
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
Jadi solusi PD homogennya :
2. Tentukan solusi khusus dari
2 3 2 0
( 1)( 2) 0
1 21 ; 2
2
1 2
x x
hy C e C e
44
Kemudian substitusi ke PD semula:
2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex
-A ex = ex
A = -1
Jadi solusi umum PD di atas adalah
y = C1e2x + C2e
x – xex
x
py Axe
' , ''
'' 2
x x x x x
p p
x x
p
y Ae Axe y Ae Ae Axe
y Ae Axe
45
y = C1 e2x + C2 e
x – x ex
Kita punya y(0)=1 dan y’(0)=-1
y’ = 2C1e2x + C2e
x – ex – xex
1=C1+C2
0=2C1+C2
Didapat
C1=-1, dan C2 = 2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah
y = – e2x + 2 ex – x ex
1/30/2016
2
2
2
. '' 3' 2 cos
. '' 9 2
. '' 3 ' 4 3 2
. '' 3 ' 4
. '' 4 2sin
. '' 4 2cos 2
. '' 2 ' 3 2
. '' 4 ' 4 9cosh
x
a y y x
b y y x
c y y y x
d y y y e
e y y x
f y y x
g y x
h y y y x
1. Tentukan Solusi umum dari PD berikut
2
2
2
3
3 3
2
. '' 4 ' 4
. '' 3 ' 4 3 2
. '' 9 sin 3
. '' ' 3
. '' 6 ' 9 18cos3
. '' 2 ' 3 8 cos 2
. '' 4 ' 3 8
. '' 4 8
x
x
x
x
x x
i y y y e
j y y y x
k y y x e
l y y e x
m y y y x
n y y y e x
o y y y e e
p y y x
46
1/30/2016
2
2
4 3
2
. '' ' 2 3 ; (0) 0 , '(0) 2
. '' 4 ' 3 10 ; (0) 1 , '(0) 3
. '' 3 ' 2 ; (0) 1 , '(0) 2
. '' 4 4sin ; (0) 4 , '(0) 0
. '' 5 ' 6 ; (0) 1 , '(0) 0
. '' ' 2 10sin ; ( ) 3 , '( ) 12 2
x
x
x x
x
a y y y e y y
b y y y e y y
c y y y e e y y
d y y x y y
e y y y e y y
f y y y x y y
2. Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut
47
1/30/2016
Metoda ini digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi PD non homogen (yp) yang tidak dapat diselesaikan dengan metoda koefisien tak tentu.
(1)
Misalkan 1 2
1 2,
py uy vy
y y
solusi basis PD homogen
(2)
)(''' xrcybyay
48
1/30/2016
1 1 2 2' ' ' 'py u y uy v y vy
Pilih 1 2' ' 0u y v y
Sehingga 1 2' ' 'py uy vy
1 1 2 2'' ' ' '' ' ' ''py u y uy v y vy
Substitusikan (2),(4),(5) ke (1)
(4)
(5)
(3)
)()(
)''()''''''''(
21
212211
xrvyuyc
vyuybvyyvuyyua
49
1/30/2016
Jadi 1 2' ' ' ' ( )u y v y r x
Dari (3) dan (6) tentukan u dan v
1 2
1 2
' ' 0
' ' ' ' ( )
u y v y
u y v y r x
(6)
)'''()'''( 222111 cybyayvcybyayu
)()'''' 21 xryvyu
=0 =0
50
1/30/2016
1
1 1
1 2
1 2
0
' ( ) ( )' ,
' '
y
y r x y r xv v dx
y y W
y y
'' 21
21
yy
yyW
2
2 2
1 2
1 2
0
( ) ' ( )'
' '
y
r x y y r xu u dx
y y W
y y
Dengan aturan Cramer diperoleh
51
1/30/2016
Contoh
1. Tentukan solusi umum dari PD
Jawab: PK PD homogen :
2
22
x x
x x
e eW
e e
3 32x xe e 3xe
52
xeyyy 42'3''
0232
0)1)(2( 2
1 1
2 2
2
1
x
x
y e
y e
Solusi homogen : xx
h eCeCy 2
2
1
Solusi non homogen, pilih : 1 2py uy vy
1/30/2016
1 2py uy vy
2 ( )y r xu dx
W
4
3
.x x
x
e edx
e
2 21
2
x xe dx e
1 ( )y r xv dx
W
2 4
3
.x x
x
e edx
e
3 31
3
x xe dx e
53
2 2 3 41 1 1. .
2 3 6
x x x x x
py e e e e e
Sehingga solusi umum
2 4
1 2
1
6
h p
x x x
y y y
C e C e e
54
1 2py uy vy
1/30/2016
Jawab: Persamaan karakteristiknya:
Jadi solusi homogennya adalah
Untuk yp dipilih
2. '' tany y x
2
1 21 0 ;i i
1 2cos sinhy C x C x
1 2py uy vy
cos sin1
sin cos
x x
x x
1 2cos ; siny x y x
1 2
1 2' '
y yW
y y
55
dxxx
u1
tansin dx
x
x
cos
sin2
dxx
x
cos
cos1 2
dxxx )cos(sec
dxxdxx cossec
xxx sintansecln
dxxx
v1
tancos dxxsin xcos
56
1/30/2016
Sehingga didapat
xxxxxxxyp cossincossincostansecln
Jadi solusi umum PD tersebut
xxx costansecln
1 2cos sin ln sec tan cos
h py y y
y C x C x x x x
57
58
2
2
. '' csc
2. '' 4 ' 5
sin
. '' cot
. '' 9 sin
x
x
a y y x
eb y y y
x
c y y x
d y y x e
Tentukan solusi umum dari PD
2
2. '' 4 ' 4
xee y y y
x
2. '' 2 '
1
xef y y y
x