persamaan bernoulli 2

PERSAMAAN BERNOULLI

Ini adalah persamaan – persamaan yang berbentuk : , dimana seperti

sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari x atau konstanta.

Caranya selalu sama :

(a) Bagi kedua sisi dengan yn, kita akan memperoleh :

(b) Sehingga dengan diferensiasi . Jadi kita dapatkan :

Masukan . Jika (2) dikalikan dengan

.

. Dengan mengingat bahwa dan

bahwa dimana P1 dan Q1 adalah fungsi dari x.

Persamaan ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi

dengan cara yang biasa. Terakhir setelah kita memperoleh z, kita harus mengubah

kembali y dengan menggunakan z = .

Contoh 1.27.

Selesaikanlah

(a) Bagi kedua sisi dengan y2, maka didapat

(b) Substitusikan

(c) Kalikan kedua sisi dengan (-1) agar suku pertamanya menjadi

Sehingga sehingga anda dapat

menyelesaikan persamaan dengan metode factor integrasi yang biasa. Apa yang

anda dapatkan?

Matematika IVIr. Bambang S. Hutomo Bc.TT

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 1

1

Contoh 1.28

Selesaikanlah .

Pertama-tama kita harus menulis kembali persamaan ini dalam bentuk .

Kemudian bagilah kedua ruasnya dengan yang menghasilkan

. Sekarang bagilah dengan pangkat dari yang ada di sisi kanan

sehingga diperoleh . Berikut kita substitusikan

yang dalam contoh ini adalah dan .

Sehingga .

Sekarang anda dapat menyelesaikan ini untuk mencari z dan kemudian mencari y.

Contoh 1.29

Selesaikanlah

Penyelesaian secara terperinci :



‘11 2

2

Kalikan kedua sisi dengan (-3), persamaan di atas menjadi :

Contoh 1.30

Selesaikanlah

Pertama-tama tulislah kembali persamaan ini dalam bentuk standar.

Masukan

Persamaan menjadi :

Sehingga



‘11 3

3

Tapi

RANGKUMAN REVISI

1. Orde dari suatu persamaan difrensial ditunjukan oleh turunan tertinggi yang ada

dalam persamaan tersebut.

2. Penyelesaian dari persamaan – persamaan difrensial orde pertama.

(a) Dengan integrasi langsung :

Menghasilkan

(b) Dengan pemisahan variable :

Menghasilkan

(c) Persamaan homogen : dengan substitusi y =

Menghasilkan

(d) Persamaan linear :

Faktor integrasi dan ingat bahwa eInF = F

Menghasilkan

(e) Persamaan Bernoulli :

Bagilah dengan yn : kemudian masukkan z =

Sederhanakanlah menjadi seperti tipe (d) di atas.

DAPATKAH ANDA?Matematika IVIr. Bambang S. Hutomo Bc.TT


‘11 4

4

CHECKLIST 1

Periksalah skala 1 sampai 5 beberapa takinkah anda bahwa anda dapat :

Mengetahui orde dari suatu persamaan difrensial?

Ya

Tidak

Mengetahui bahwa suatu persamaan difrensial orde-n dapat diturunkan dari

suatu fungsi yang mengandung n konstanta sembarang?

Ya Tidak

Menyelesaikan persamaan difrensial orde-pertama tertentu dengan integrasi

langsung?

Ya Tidak

Menyesaikan persamaan difrensial orde-pertama tertentu dengan pemisahan

variable?

Ya Tidak

Menyelasikan persamaan difrensial homogen orde-pertama tertentu dengan

substitusi yang tepat?

Ya Tidak

Menyelesaikan persamaan difrensial orde-pertama tertentu dengan

menggunakan sebuah factor integrasi?

Ya Tidak

Menyelasaikan persamaan Bernoulli?

Ya Tidak

LATIHAN UJIAN 1

Pertanyaan – pertanyaan dibawah ini mirip dengan persamaan yang telah anda

selesaikan dalam program ini. Penyelesaiannya dapat dicari dengan semua metode

yang sudah anda pelajari dan relative mudah. Jangan terburu – buru: luangkan

waktu anda dan kerjakan dengan hati – hati sehingga anda tidak akan menemukan

kesulitan.

Selesaikanlah persamaan difrensial dibawah ini :



‘11 5

5

SOAL – SOAL LANJUTAN 1

Selesaikanlah persamaan – persamaan dibawah ini:

1. Pemisahan variabel

II Persamaan homogen

III. Faktor integrasi



‘11 6

6

1V.Trasformasi. Kerjakan dengan menggunakan substitusi dan lakukan dengan cara

yang sama seperti pada persamaan hogen orde-pertama

V. Persamaan Bernoulli

V1.Persamaan jenis yang lainnya. Pilihlah metode yang tepat untuk setiap soal.



‘11 7

7

VII. Soal – soal lain



‘11 8

8

.

50. Laju peluruhan dari suatu bahan radio aktif sebanding dengan jumlah A yang

tersisa untuk setiap waktu. Jika A = A0 pada t = 0, buktikan bahwa, jika waktu yang

dibutuhkan agar jumlah bahan menjadi adalah T, maka

Buktikan juga bahwa waktu yang dibuthkan agar bahan yang tersisa berkurang

menjadi adalah 4,32 T



‘11 9

9

persamaan bernoulli 2

Documents