FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

Perhitungan Limit Perhitungan Limit

11/16/2011 1

Contoh 1

Diberikan fungsi konstan f(x) = k

Akan memberikan nilai yang sama untuk setiap k, dan berlaku untuk nilai a

Juga untuk

11/16/2011 2

Contoh 2

Diberikan limit

Sehingga dapat diperoleh

11/16/2011 3

Contoh 3

Hitunglah limit dari

sehingga diperoleh

tidak ada

11/16/2011 4

Contoh 4

Carilah limit dari dan

Diperoleh

dan

Sehingga

11/16/2011 5

Teorema limit

11/16/2011 6

Contoh 5

Carilah

Penyelesaian:

11/16/2011 7

Contoh 6

Carilah

Penyelesaian:

11/16/2011 8

Contoh 7

Carilah

Pemyelesaian

11/16/2011 9

Contoh 8

Hitunglah

Untuk meyelesaikan limit diatas dugunakan grafik dari f(x)=

diperoleh:

Sehingga

11/16/2011 10

Tentukan untuk

Penyelesaian:

• Bila x mendekati 3 dari kiri, maka f yang dipakai

maka

Contoh 9

• Jika x mendekati 3 dari kanan, maka f adalah

maka

Sehingga dapat disimpulkan

11/16/2011 11

Limit untuk dan

Contoh 1

∞→x ∞−→x

11/16/2011 12

Aksioma

Limit (lanjutan)

Contoh 2

11/16/2011 13

Contoh 3

Carilah

Penyelesaian:

11/16/2011 14

Tentukan

Penyelesaian:

Dari soal, diketahui pangkat tertinggi adalah x3, sehingga

Contoh 4

11/16/2011 15

Carilah nilai limit dari

Penyelesaian:

Diketahui pangakat tertinggi adalah x3, jadi limit dapat dihitung

Contoh 5

11/16/2011 16

Hitunglah

Penyelesaian:

Contoh 6

11/16/2011 17

Carilah limit dari

Penyelesaian:

Diketahui , karena maka diambil

Contoh 7

11/16/2011 18

Carilah limit dari

Penyelesaian:

Karena maka diambil

Contoh 7

11/16/2011 19

KontinuitasDefenisi

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

• Jika f tidak kontinu di a, maka f diskontinu di a atau f punya satu

diskontinuitas di a.

)()(lim afxfax

=→

diskontinuitas di a.

• Pada defenisi di atas secara implisit menyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a

yaitu:

1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)

2. ada

3.

11/16/2011 20

)(lim xfax→

)()(lim afxfax

=→

Contoh 1

Pada gambar di bawah, memperlihatkan grafik

suatu fungsi f. Selidikalah pada titik bilangan

manakah f diskontinu

Penyelesaian:

• Dari grafik nampak kontinuitas pada a = 1, karena nampak grafik terputus

pada titik itu. Alasan lebih tepat f diskontinu pada 1 karena f(1) tidakpada titik itu. Alasan lebih tepat f diskontinu pada 1 karena f(1) tidak

terdefenisi

• Grafik juga terputus di a = 3, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini

berbeda. Karena f(3) terdefenisi, tetapi tidak ada (limit kiri dan limit

kanan tidak sama), oleh karena itu fungsi diskontinuitas di 3.

• Pada titik a = 5, f(5) terdefenisi dan ada, tetapi

sehingga f diskontinu pada 5.

11/16/2011 21

)(

3lim xf

x→

)(

5lim xf

x→)5()(lim

5fxf

x≠

→

Di manakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?

a.

b. c.

Contoh 2

2

2)(

2

−

−−=

x

xxxf

{0,

1

0,1

2

)(≠

=

=xjika

x

xjikaxf {

2,2

2

2,1

2

)(≠

−

−−

=

=xjika

x

xx

xjikaxf

Penyelesaian:

a. Dari fungsi f(x) sangat jelas bahwa pada saat x = 2, f(2) tidak terdefenisi,

maka f diskontinu pada x = 2.

11/16/2011 22

b. Dari fungsi , nampak bahwa f(0) = 1 terdefenisi, tetapi

tidak ada.

(lebih jelas perhatikan grafik

{0,

1

0,1

2

)(≠

=

=xjika

x

xjikaxf

Contoh 2 (lanjutan)

xxxxf

200

1lim)(lim→→

=

(lebih jelas perhatikan grafik

disamping)

Karena

maka f diskontinu pada 0.

11/16/2011 23

)0()(lim0

fxfx

≠→

c. Untuk

dapat diketahui f(2) = 1, berarti terdefenisi untuk x = 2 dan nilai limit dapat

dihitung

Contoh 2 (lanjutan)

{2,

2

2

2,1

2

)(≠

−

−−

=

=xjika

x

xx

xjikaxf

3)1(lim)1)(2(

lim2

lim)(lim2

=+=+−

=−−

= xxxxx

xf

berati limitnya ada. Tetapi

Sehingga f tidak kontinu pada 2.

11/16/2011 24

3)1(lim2

lim2

lim)(lim2222

=+=−

=−

=→→→→

xxx

xfxxxx

)2()(lim2

fxfx

≠→