perhitungan futures contract dengan...

TUGAS AKHIR - SM141501

PERHITUNGAN FUTURES CONTRACT DENGANCONVENIENCE YIELD STOKASTIK PADAKOMODITAS MINYAK MENTAH

SEPTIA MARGA DARTIKANRP 1213 100 019

Dosen Pembimbing:Endah Rokhmati M.P., Ph.DDrs. Lukman Hanafi, M.Sc

DEPARTEMEN MATEMATIKAFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya 2017

FINAL PROJECT - SM141501

PRICING FUTURES CONTRACT WITHSTOCHASTIC CONVENIENCE YIELD ON CRUDEOIL COMMODITY

SEPTIA MARGA DARTIKANRP 1213 100 019

Supervisor:Endah Rokhmati M.P., Ph.DDrs. Lukman Hanafi, M.Sc

DEPARTMENT OF MATHEMATICSFaculty of Mathematics and Natural SciencesSepuluh Nopember Institute of TechnologySurabaya 2017

PERHITUNGAN FUTURES CONTRACTDENGAN CONVENIENCE YIELD

STOKASTIK PADA KOMODITAS MINYAKMENTAH

Nama Mahasiswa : SEPTIA MARGA DARTIKANRP : 1213 100 019Jurusan : Matematika FMIPA-ITSPembimbing : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D

2. Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

AbstrakHarga minyak di pasar internasional sangat fluktuatif yang

berpengaruh secara langsung pada ekonomi masyarakat. Futures

contract digunakan sebagai instrumen lindung nilai dalam

komoditas minyak mentah yang dijadikan patokan dari ancaman

risiko ketidakpastian perubahan harga di masa depan. Salah

satu model yang digunakan dalam menentukan harga futures

contract adalah model yang dibentuk berdasarkan model spot price

dan model convenience yield. Untuk menentukan harga futures

contract, dilakukan penyusunan sistem persamaan diferensial

futures contract berdasarkan persamaan diferensial stokastik spot

price dan convenience yield untuk menemukan penyelesaian

dari sistem persamaan diferensial tersebut. Penyelesaian

dilakukan secara numerik dengan metode beda hingga implisit

yang kemudian dilakukan simulasi dan analisa grafik. Ketika nilai

dari convenience yield semakin besar maka didapatkan harga futures

contract yang semakin rendah pada tingkat suku bunga tertentu.Kata-kunci: Komoditas Minyak Mentah, Futures Contract,

Model Spot Price, Model Convenience Yield, BedaHingga Implisit

vii

PRICING FUTURES CONTRACT WITHSTOCHASTIC CONVENIENCE YIELD ON

CRUDE OIL COMMODITY

Name : SEPTIA MARGA DARTIKANRP : 1213 100 019Department : Mathematics FMIPA-ITSSupervisors : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D

2. Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

AbstractThe crude oil price in international market always

fluctuates and it affects the price of goods and services.Futures contract is used as an instrument to protect the valueof crude oil price. The model to determine the futures contractprice is based on spot price and convenience yield. Partialdifferential equation system of futures contract is solved usingimplicit difference method to determine the price of futurescontract. As the convenience yield grow larger, the price offutures contract decreases in some interest rate values.

Keywords: Crude Oil Commodity, Futures Contract,Spot Price Model, Convenience Yield Model,Implicit Difference Method

ix

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkanke hadirat Allah Subhaanahu Wa Ta’aala yang telahmemberikan limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehinggapenulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini yang berjudul

”PERHITUNGAN FUTURES CONTRACTDENGAN CONVENIENCE YIELD STOKASTIK

PADA KOMODITAS MINYAK MENTAH”

sebagai salah satu syarat kelulusan Program SarjanaDepartemen Matematika FMIPA Institut Teknologi SepuluhNopember (ITS) Surabaya.

Tugas akhir ini dapat terselesaikan dengan baik berkatbantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu,penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaankepada:

1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, MT selaku KetuaDepartemen Matematika ITS.

2. Ibu Endah Rokhmati M.P., Ph.D, dan Bapak Drs.Lukman Hanafi, M.Sc selaku dosen pembimbing atassegala bimbingan dan motivasinya kepada penulis dalammengerjakan tugas akhir ini sehingga dapat terselesaikandengan baik.

3. Bapak Drs. Sentot Didik Surjanto, M.Si, Ibu Dra.Titik Mudjiati, M.Si, dan Ibu Dra. Sri Suprapti H,M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan semuasaran demi perbaikan tugas akhir ini.

xi

4. Bapak Drs. Iis Herisman, M.Si selaku koordinator tugasakhir dan Mas Ali yang selalu memberikan informasimengenai tugas akhir.

5. Bapak Drs. Daryono Budi Utomo, M.Si selakudosen wali yang telah memberikan arahan akademikselama penulis menempuh pendidikan di DepartemenMatematika FMIPA ITS.

6. Bapak dan Ibu dosen serta para staf DepartemenMatematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkansatu-persatu.

7. Bapak Iskandar dan Ibuk Tutik Susilowati selakuorangtuaku tercinta serta keluarga besar yang selalumendoakan, menguatkan, dan mendukung penulissehingga penulis bisa sampai saat ini.

8. Mas, Mbak, dan Adik yang selalu memberikan doa,semangat, dan dukungan.

9. Zunna, Yenny, Zizi, Fania, Eka, Wimpi, Arin, Ima,Chikita, Widya, Winny, Ayu A yang selalu memberikandoa, dukungan, semangat, dan fasilitas selama penulismengerjakan tugas akhir serta selalu menguatkan danmemberi dukungan kepada penulis

10. Ahmad Syaiful Rizal, yang selalu mendoakan danmenemani dalam pengerjaan tugas akhir ini dengan carayang tidak terduga dan selalu ada setiap waktu.

11. Teman-teman seperjuangan 116 yang saling mendukungdan memotivasi satu sama lain.

12. Ivan, Wawan, dan Yenny yang membantu danmengarahkan penulis dalam pengerjaan penulisan Latexdan program Matlab.

xii

13. Uzu, Mimi, Amina, Mas Heri, Junda, Burhan, Zani yangselalu membantu dalam memahami materi tugas akhir.

14. Dulur Matematika 2013 yang selalu memberikan doadan dukungannya kepeda penulis.

15. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu-persatu.Terimakasih telah mendoakan dan mendukung penulissampai dengan selesainya program ini.

Penulis juga menyadari bahwa dalam tugas akhir inimasih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saranyang bersifat membangun sangat penulis harapkan demikesempurnaan tugas akhir ini. Akhir kata, penulis berharapsemoga tugas akhir ini dapat membawa manfaat bagi banyakpihak.

Surabaya, Juli 2017

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i

LEMBAR PENGESAHAN v

ABSTRAK vii

ABSTRACT ix

KATA PENGANTAR xi

DAFTAR ISI xv

DAFTAR GAMBAR xix

DAFTAR TABEL xxi

DAFTAR LAMPIRAN xxiii

DAFTAR SIMBOL xxv

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7

2.1 Penelitian Terdahulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Komoditas Minyak Mentah . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Futures Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Istilah-istilah dalam Futures Contract . 9

2.3.2 Mekanisme Futures Contract . . . . . . . . . 10

xv

2.3.3 Futures Price untuk Aset Komoditas . . 11

2.4 Model Spot Price dan model ConvenienceYield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Model Berdasarkan Model Spot Price danModel Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Lemma Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Metode Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8.1 Metode Beda Hingga Eksplisit . . . . . . . 14

2.8.2 Metode Beda Hingga Implisit . . . . . . . . 15

2.8.3 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson 16

BAB III METODE PENELITIAN 19

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN 21

4.1 Pembentukan Persamaan DiferensialParsial Berdasarkan Persamaan DiferensialStokastik Spot Price dan Convenience Yield . 21

4.1.1 Pembentukan persamaan perubahanharga futures contract dengan LemmaIto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.2 Penyusunan portfolio danpembentukan model PDPberdasarkan persamaan diferensialstokastik pada spot price danconvenience yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial ParsialBerdasarkan Persamaan DiferensialStokastik Spot Price dan ConvenienceYield dengan Metode Beda Hingga Implisit . 27

4.2.1 Diskrititasi model persamaan . . . . . . . . 29

4.2.2 Hasil perhitungan numerik PDPharga futures contract dengan metodebeda hingga implisit . . . . . . . . . . . . . . . . 33

xvi

BAB V PENUTUP 395.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

DAFTAR PUSTAKA 41

LAMPIRAN 43

xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Mekanisme Futures Contract . . . . . . . . . 10Gambar 2.2 Skema Beda Hingga Eksplisit . . . . . . . . . 15Gambar 2.3 Skema Beda Hingga Implisit . . . . . . . . . . 16Gambar 2.4 Skema Beda Hingga Crank-Nicholson . . 17

Gambar 4.1 Pembagian Grid dan Syarat Batas . . . . 28Gambar 4.2 Nilai Futures Contract saat

Pmax=100 dan δmax=0.02 . . . . . . . . . . 35Gambar 4.3 Nilai Futures Contract saat



Pmax=100 dan δmax=0.04 sertabanyak grid 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

xix

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Harga FuturesContract Komoditas Minyak MentahMenggunakan Metode Beda HinggaImplisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Tabel 4.2 Penjelasan untuk Tabel 4.1 dengan NilaiPmax=100, δmax=0.02 dan banyakgrid=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

xxi

DAFTAR LAMPIRAN

Hal

LAMPIRAN A Listing Program Perhitungan HargaFutures Contract . . . . . . . . . . . . . . . 45

LAMPIRAN B GUI Perhitungan HargaFutures Contract . . . . . . . . . . . . . . . 53

LAMPIRAN C Penjelasan Tabel 4.1. . . . . . . . . . . . . . 69LAMPIRAN D Biodata Penulis. . . . . . . . . . . . . . . . . 71

xxiii

Daftar Simbol

P Harga komoditas minyak mentahδ Nilai Conveninece Yieldr Tingkat suku bungaσ1 Volatilitas pada spot priceσ2 Volatilitas pada convenience yieldG(t) Waktu dari fungsi bebas δ

dZ̃1 Proses Wiener pada spot price

dZ̃2 Proses Wiener pada convenience yieldπ Nilai portfolio

ρ Koefisien korelasi antara dZ̃1 dan dZ̃2

dπ Perubahan nilai pada portfolioL Operator Ldτ Perubahan waktu

xxv

BAB IPENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakangpermasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuandan manfaat dari tugas akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Salah satu komoditas penting dalam era globalisasiadalah minyak. Minyak berperan dalam menggerakkanperekonomian. Pasokan minyak bumi merupakan kebutuhanvital dalam proses produksi industri, terutama untukmenghasilkan listrik, menjalankan mesin produksi danmengangkut hasil produksi ke pasar. Selain itu, minyak bumijuga penting bagi pembangunan ekonomi dan sosial yangberkelanjutan [2].

Akhir-akhir ini harga minyak bumi di pasar internasionalsangat fluktuatif dengan kecenderungan meningkat. Padatahun 2011 harga minyak dunia (minyak Brent danIndonesian Crude Oil Price atau ICP) berada pada leveldi atas batas psikologi USD 100 per barel. Kenaikan hargamencapai rata-rata sekitar 40% dibandingkan rata-rata hargaminyak tahun 2010 yang mencapai USD 79 per barel [2].Dampak dari fluktuasi harga minyak meluas hingga mencapaiangka yang besar untuk barang dan jasa yang berdampaksecara langsung pada ekonomi masyarakat [1]. Hal itulahyang mendorong timbulnya kebutuhan akan perlindungannilai. Salah satu instrumen yang digunakan invenstor untukmelindungi dirinya dari risiko perdagangan adalah futurescontract.

1

2

Manfaat utama yang bisa diberikan futures contractadalah untuk melindungi nilai (hedging) aset yang dijadikanpatokan dari ancaman risiko ketidakpastian perubahanharga di masa depan [7]. Dengan adanya futures contract,para produsen dan konsumen dapat menghitung biaya dankeuntungan yang diharapkan [2]. Harga suatu futures contractditetapkan terlebih dahulu melalui persaingan terbuka antarpelaku atau anggota bursa [7]. Selain itu, harga futurescontract tergantung dari harga pasar suatu komoditas saatitu. Pada kenyataannya, harga pasar komoditas minyakmentah berubah-ubah sepanjang waktu dimana perubahantersebut merupakan suatu proses stokastik. Kenyataan inilahyang mendasari diperlukannya model untuk menghitungharga futures contract dengan mempertimbangkan hargapasar komoditas yang fluktuatif.

Salah satu model yang digunakan dalam menentukanharga futures contract adalah model yang dibentukberdasarkan model spot price dan model convenienceyield. Mohammad Abdul Aziz AbaOud menyatakanbahwa hubungan antara spot price dan futures contractdapat digabungkan dalam sebuah convenience yield [2].Selanjutnya, Gibson dan Schwartz (1990) mengasumsikanbahwa spot price pada minyak mentah mengikuti distribusilognormal-stasioner dan convenience yield mengikuti prosesmean reverting [2]. Dalam tugas akhir ini dilakukanpembentukan sistem persamaan diferensial berdasarkanmodel spot price dan model convenience yield untukmenetukan harga futures contract pada komoditas minyakmentah serta kondisi-kondisi batas yang berhubungan,untuk selanjutnya dicari penyelesaian dari sistem persamaandiferensial dalam kasus perhitungan harga futures contractkomoditas minyak mentah.

3

1.2 Rumusan MasalahRumusan masalah yang perlu untuk dikaji dalam tugas

akhir ini adalah:

1. Bagaimana pembentukan sistem persamaan diferensialberdasarkan berdasarkan model spot price dan modelconvenience yield untuk menentukan harga futurescontract pada komoditas minyak mentah?

2. Bagaimana solusi dari sistem persamaan diferensialberdasarkan model spot price dan model convenienceyield untuk menentukan harga futures contract padakomoditas minyak mentah secara numerik?

1.3 Batasan MasalahBatasan masalah yang digunakan dalam tugas akhir ini

adalah:

1. Futures contract yang diperhatikan adalah tipe Eropa.

2. Waktu yang berlaku pada kontrak adalah berhingga.

3. δ > 0.

4. σ =√δ.

5. G(t) diasumsikan konstan.

1.4 TujuanTujuan dalam penulisan tugas akhir ini yaitu:

1. Mendapatkan sistem persamaan diferensial berdasarkanmodel spot price dan model convenience yield untukmenentukan harga futures contract pada komoditasminyak mentah.

2. Mendapatkan solusi dari sistem persamaan diferensialpada model spot price dan model convenienceyield untuk menentukan harga futures contract padakomoditas minyak mentah secara numerik.

4

1.5 Manfaat

Manfaat yang bisa diperoleh dari penulisan tugas akhir iniadalah:

1. Sebagai informasi tambahan mengenai model spot pricedan model convenience yield untuk menentukan hargafutures contract pada komoditas minyak mentah.

2. Sebagai salah satu alternatif bahan pertimbangan untukmenentukan harga futures contract pada komoditasminyak mentah.

1.6 Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari lima babdan lampiran, secara garis besar dalam masing-masing babdibahas hal-hal sebagai berikut:

1. BAB I PENDAHULUANPada bab I dijelaskan gambaran umum dari penulisantugas akhir yang meliputi latar belakang, rumusanmasalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dansistematika penulisan.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKAPada bab II diuraikan tentang teori-teori utama maupunpenunjang yang terkait dengan permasalahan dalamtugas akhir, antara lain penelitian terdahulu, komoditasminyak mentah, futures contract, istilah-istilah dalamfutures contract, mekanisme futures contract, futuresprice untuk aset komoditas, model spot price dan modelcovenience yield, model yang terbentuk berdasarkanmodel spot price dan model covenience yield, LemmaIto, metode numerik, metode beda hingga, metode bedahingga implisit, metode beda hingga eksplisit, metodebeda hingga Crank-Nicholson. Teori-teori tersebut

5

digunakan sebagai acuan dalam pengerjaan tugas akhirini.

3. BAB III METODE PENELITIANPada bab III dijelaskan tahapan-tahapan yangdilakukan dalam pengerjaan tugas akhir. Tahapantersebut adalah studi literatur; Pembentukan SistemPersamaan Diferensial berdasarkan Model Spot Pricedan Model Convenience Yield: a) Penyusunan portofoliofutures contract berdasarkan Stochastic DifferensialEquation, b) Pembentukan persamaan diferensialparsial untuk futures contract komoditas minyakmentah berdasarkan model persamaan diferensialstokastik spot price dan convenience yield denganmenggunakan Lemma Ito, c) Pembentukan sistempersamaan diferensial dari langkah nomor 2 dengankondisi-kondisi batas yang berhubungan; Tahappenyelesaian; Penarikan kesimpulan.

4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASANPada bab IV membahas tentang pembentukanpersamaan diferensial parsial berdasarkan persamaandiferensial stokastik spot price dan convenienceyield yang meliputi: a) pembentukan persamaanperubahan harga futures contract dengan LemmaIto, b) penyusunan portfolio. Selanjutnya, dilakukanpenyelesaian persamaan diferensial parsial berdasarkanpersamaan diferensial stokastik spot price danconvenience yield dengan metode beda hinggaimplisit yang meliputi: a) diskritisasi model, b)hasil perhitungan numerik PDP harga futures contractdengan ,metode beda hingga implisit.

5. BAB V PENUTUPPada bab V berisi kesimpulan akhir yang diperoleh dari

6

analisis dan pembahasan tugas akhir serta saran untukpengembangan penelitian selanjutnya.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam rangka mendukung proses pembentukan sistempersamaan diferensial berdasarkan model spot price danmodel convenience yield dan penentuan solusi dari sistempersamaan diferensial berdasarkan model spot price danmodel convenience yield tersebut dalam penetuan hargakomoditas minyak mentah, maka diperlukan pustaka sebagaiberikut:

2.1 Penelitian Terdahulu

Perubahan harga komoditas merupakan poin utama dalammenentukan harga futures contract. Menurut penelitiansebelumnya, Mohammad Abdul Aziz AbaOud menyatakanbahwa hubungan antara spot price dan futures contract dapatdigabungkan dalam sebuah convenience yield [2]. Selanjutnya,Gibson dan Schwartz (1990) mengasumsikan bahwa spot pricepada minyak mentah mengikuti distribusi lognormal-stasionerdan convenience yield mengikuti proses mean reverting [2].

Berdasarkan sudut pandang tradisional, futures pricekomoditas adalah keuntungan spot price komoditas saat inidari biaya penyimpanan dan convenience yield [1].

Mohammed AbdulAziz Aba Oud (2014) melakukanperhitungan futures price dengan model dua faktor antaralain berdasarkan model spot price dan model Net Demand,model spot price dan model Interest Rate, model spot pricedan model Convenience Yield, dan model Regime Switchingkemudian mendapatkan kesimpulan dari keempat model [2].

7

8

2.2 Komoditas Minyak Mentah

Minyak mentah (crude oil) adalah komoditas kunci dariekonomi global [3]. Lebih dari itu, minyak mentah menjadihal yang berpengaruh dalam perkembangan perekonomiandan perindustrian di berbagai Negara. Selain itu, kegiatanpolitik, cuaca ekstrem, dan spekulasi pada pasar keuanganadalah karakter utama dalam pasar minyak mentah yangdapat menaikkan tingkat harga volatilitas di pasar minyak.Dampak dari fluktuasi harga minyak meluas hingga mencapaiangka yang besar untuk barang dan jasa yang berdampaksecara langsung pada ekonomi masyarakat [3].

Fluktuasi harga minyak mentah di pasar internasionalpada prinsipnya mengikuti aksioma yang berlaku umumdalam ekonomi pasar, dimana tingkat harga yang berlakusangat ditentukan oleh mekanisme permintaan dan penawaran(demand an supply mechanism) sebagai faktor fundamental(Nizar, 2002) [3]. Faktor - faktor lain dianggapsebagai faktor non-fundamental, terutama berkaitan denganmasalah infrastruktur, geopolitik dan spekulasi. Darisisi permintaan, perilaku harga minyak sangat dipengaruhioleh pertumbuhan ekonomi dunia. Sedangkan dari sisipenawaran, fluktuasi harga minyak mentah dunia sangatdipengaruhi oleh ketersediaan atau pasokan minyak olehnegara-negara produsen, baik negara-negara yang tergabungdalam Organization of the Petroleum Exporting Countries(OPEC) maupun negara produsen non-OPEC [4].

2.3 Futures Contract

Menurut John C. Hull [5], futures contract adalah sebuahperjanjian antara dua pihak untuk membeli atau menjualsebuah aset pada waktu tertentu di masa depan untuk hargatertentu. Futures contract pada umumnya diperdagangkan dibursa dan sudah terstandar.

Pemenuhan futures contract sesuai spesifikasi yang

9

tercantum dalam kontrak, dijamin oleh Lembaga KliringBerjangka. Suatu futures contract dapat menimbulkankewajiban kepada pemegang kontrak tersebut untukmelaksanakan pembelian atau penjualan aset. Keduabelah pihak harus melaksanakan kewajiban masing-masingpada tanggal penyerahan atau tanggal penyelesaian akhir(final settlement date).

2.3.1 Istilah-istilah dalam Futures ContractBeberapa istilah dalam futures contract adalah [7]:

1. Underlying assetUnderlying asset adalah sesuatu (komoditi/aset) yangdisetujui kedua pihak untuk dipertukarkan.

2. Settlement date atau delivery dateSettlement date atau delivery date adalah tanggal yangditetapkan untuk melakukan transaksi.

3. Futures priceFutures price adalah harga yang telah disepakatioleh kedua belah pihak yang berkepentingan untukmelakukan transaksi.

4. Long futures atau long positionLong futures atau long position adalah posisi dalamkontrak untuk membeli underlying asset dikemudianhari.

5. Short futures atau short positionShort futures atau short position adalah posisi dalamkontrak untuk menjual underlying asset dikemudianhari.

6. Clearing houseClearing house adalah sebuah perusahaan yang terpisahtetapi terkait dengan setiap bursa.

10

7. Risiko basis (basis risk)Risiko basis (basis risk adalah risiko yang dihadapipara hedger (investor yang menggunakan futures untuktujuan lindung nilai) karena adanya perubahan basisyang tidak digarapkan.

8. BasisBasis adalah perbedaan antara harga di pasar spotdengan futures price dari komoditi yang akan dilindungi.

9. Spot marketSpot market adalah harga suatu komoditi di pasaryang memungkinkan terjadinya penyerahan aset ataukomoditi secara tepat.

10. Harga pada futures contractHarga pada futures contract adalah harga penyerahanaset atau komoditi yang akan terjadi dikemudian hari.

2.3.2 Mekanisme Futures ContractMekanisme perdagangan futures contract seperti terlihat

pada gambar berikut [7].

Gambar 2.1: Mekanisme Futures Contract

11

2.3.3 Futures Price untuk Aset Komoditas

Biaya penyimpanan (storage cost) dan convenience yieldmerupakan faktor penting dalam penentuan harga suatukomoditas. Biaya yang terkait dengan penyimpanankomoditas fisik disebut dengan storage cost, yangmeliputi biaya penyimpanan dan asuransi. Pemegangdari komoditas fisik dapat menghasilkan pendapatan, yangdisebut convenience yield, yang berkurang jika persediaanbertambah. Convenience yield dapat diartikan dengankeuntungan dari pemegang komoditas fisik.

Untuk menentukan harga futures contract dari asetkomoditas, digunakan teorema fundamental pertama daripenentuan harga aset, yang menyebutkan bahwa adanyaukuran risiko netral Q menyiratkan sebuah proses harga yangdiscounted no-arbitrage dari semua klaim finansial adalahmartingales di bawah ukuran risiko netral Q. Selama tidakada biaya yang masuk dalam futures contract, harga minyak(harga minyak yang umum) adalah martingales dibawahukuran risiko netral Q, F (P, t) = (E)Qt (PT ). Hal ini mengikutiargumentasi arbitrage [2].

2.4 Model Spot Price dan model Convenience Yield

Harga minyak mentah dan convenience yield mengikutimodel stokastik yang berkorelasi dengan risk-neutral adalahsebagai berikut [2]:

dP = (r − δ)Pdt+ σ1P√δdZ̃1

dδ = aδ(G(t)− δ)dt+ σ2δ32dZ̃2

Corr(dZ̃1, dZ̃2) = ρdt

12

dengan,P = spot pricer = tingkat suku bungaδ = convenience yieldσ1 = volatilitas pada spot priceσ2 = volatilitas pada convenience yieldG(t) = waktu dari fungsi bebas δaδ = kecepatan berbalik dari δ ke G(t)

dZ̃1 = proses Wiener pada spot price

dZ̃2 = proses Wiener pada convenience yield

ρ = koefisien korelasi antara dZ̃1 dan dZ̃2.

2.5 Model Berdasarkan Model Spot Price dan ModelConvenience Yield

Persamaan diferensial yang terbentuk berdasarkan modelspot price dan model convenience yield untuk harga futurescontract pada komoditas minyak mentah adalah sebagaiberikut [2]:

σ21δP

2

2

∂2F

∂P 2+ (r − δ)P ∂F

∂P+σ2

2δ3

2

∂2F

∂δ2+

aδ (g(τ)− δ) ∂F∂δ

+ ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ− ∂F

∂τ= 0 (2.1)

dengan, g(τ) = G(T − τ). Syarat awal dari PDP di atasadalah F (P, δ, 0) = P sedangkan kondisi batasnya adalahF (P, 0, τ) = Perτ dan F (0, δ, τ) = 0 [2].

2.6 Lemma Ito

Lemma Ito dapat didefinisikan sebagai versi stokastik dariaturan rantai sebuah variabel deterministik. Lemma Itoterkait dengan perubahan kecil dalam fungsi dari variabel acakdan perubahan kecil dalam variabel acak itu sendiri [2].

Persamaan perubahan harga futures contract seperti pada

13

persamaan 2.5 didapatkan dengan mengaplikasikan LemmaIto [2].

dF =∂F

∂PdP +

1

2

∂2F

∂P 2(dP )2 +

∂F

∂δdδ +

1

2

∂2F

∂δ2(dδ)2

+∂2F

∂P∂δ(dPdδ) +

∂F

∂tdt (2.2)

dengan,F (P, t) = futures contractP = spot priceδ = convenience yield.

2.7 Metode Numerik

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untukmemformulasikan permasalahan matematika sehingga dapatdiselesaikan dengan operasi aritmatik dan logika. Kelebihandari penggunaan metode numerik adalah mampu mengatasipersamaan sistem yang besar, sistem nonlinear, sertapersamaan geometri yang rumit yang tidak dapat diselesaikansecara analitik dengan kalkulus standar. Selain itu, metodenumerik adalah cara yang efisien untuk menggunakankomputer [8].

Penyelesaian dengan metode numerik adalah denganmengubah persamaan dasar menjadi persamaan yang hanyaberlaku pada titik-titik tertentu didalam domain penyelesaian.Pengubahan persamaan dasar tersebut dapat menggunakanmetode elemen hingga maupun beda hingga. Namun, untukpermasalahan satu dimensi atau permasalahan yang dapatdiubah kedalam permasalahan satu dimensi maka metodebeda hingga akan lebih baik untuk digunakan [9].

2.8 Metode Beda Hingga

Metode beda hingga adalah suatu metode numerikuntuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan

14

mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebutmenjadi sistem persamaan linear [10].

2.8.1 Metode Beda Hingga Eksplisit

Hull dan White (1990) menyatakan bahwa metodebeda hingga eksplisit dalam komputasi tidak memerlukanmatriks invers, sehingga turunan parsial ∂v

∂t aproksimasinyamenggunakan beda maju dan aproksimasinya turunanparsial ∂v

∂s dan ∂2v∂s2

pada langkah waktu i + 1 menggunakanaproksimasi beda pusat. Dengan menggunakan persamaanberikut:

vij =1

1 + r∆t

(a1jv

i+1j−1 + b1jv

i+1j + c1jv

i+1j+1

)untuk i = 0, 1, 2, · · · , N−1 dan j = 0, 1, 2, · · · ,M−1 dimana,a1j = −1

2rj∆t+ 12σ

2j2∆tb1j = 1− σ2j2∆tc1j = 1

2rj∆t+ 12σ

2j2∆t,

maka vij dapat ditentukan mundur menggunakan vi+1j−1, vi+1

j ,

vi+1j+1 sehingga skema beda hingga eksplisit adalah sebagai

berikut [10]:Selanjutnya, dapat dinyatakan sebagai matrik vij = Avi+1

j

untuk j = 0, 1, 2, · · · ,M . Vektor vi+1j untuk i + 1 = T telah

diketahui dari syarat akhir, karena itu untuk menyelesaikanvij dapat dilakukan dengan bekrja mundur menggunakanmatriks A yang unsur-unsurnys telah diketahui, untukj = 0, 1, 2, · · · ,M .

15

Gambar 2.2: Skema Beda Hingga Eksplisit

2.8.2 Metode Beda Hingga Implisit

Pada metode beda hingga implisit aproksimasi untukturunan parsial V (S, t) hampir sama dengan aproksimasiyang digunakan pada metode eksplisit. Metode eksplisitmenggunakan langkah i + 1, sedangkan metode implisitmenggunakan langkah i [10]. Pendekatan turunan parsialpertama dan kedua dari fungsi F = F (P, T ) pada metodebeda hingga implisit terlihat pada persamaan berikut:

FT (S, T ) ≈F j+1i − F ji

∆T(2.3)

FS(S, T ) ≈F j+1i+1 − F

j+1i

∆S(2.4)

FSS(S, T ) ≈F j+1i+1 − 2F j+1

i + F j+1i−1

(∆S)2(2.5)

untuk semua i = 1, 2, 3, ... dan n = 0, 1, 2, ... dan berikutmerupakan skema beda hingga implisit:

16

Gambar 2.3: Skema Beda Hingga Implisit

2.8.3 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson

Metode Crank-Nicholson merupakan metode beda hinggayang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas danpersamaan diferensial parsial yang sejenisnya [11]. MetodeCrank-Nicholson merupakan pengembangan dari metode bedahingga eksplisit dan metode beda hingga implisit. Padametode beda hingga Crank-Nicholson, pendekatan solusi V j+1

i

dihitung melalui titik i, j dan titik i, j+1, artinya pendekatansuku derivatif ruang pada waktu ke j+ 1

2 merupakan nilai rata-rata derivatif pada waktu ke j dan j + 1 [12].

Misalkan untuk fungsi F = F (S, T ) diperoleh pendekatanturunan parsial pertama dan kedua metode beda hinggaCrank-Nicholson adlaah sebagai berikut:

FT (S, T ) ≈F j+1i − F ji(∆T )

(2.6)

FS(S, T ) ≈ 1

2(∆S)(F ji+1 − F

ji−1 + F j+1

i+1 − Fj+1i−1

) . (2.7)

17

FSS(S, T ) ≈ 1

2(∆S)2

(F ji+1 − 2F ji + F ji+1 + F j+1

i+1 − 2F j+1i F j+1

i−1

)(2.8)

untuk semua i = 1, 2, 3, ... dan n = 0, 1, 2, ... dan berikutmerupakan skema beda hingga Crank-Nicholson,

Gambar 2.4: Skema Beda Hingga Crank-Nicholson

BAB IIIMETODE PENELITIAN

Langkah yang akan dilakukan penulis dalam pembuatanTugas Akhir ini antara lain:

1. Studi literaturPada tahap ini dilakukan pencarian dan pengumpulanreferensi yang menunjang penelitian. Referensi yangdipakai adalah buku-buku literatur, jurnal ilmiah,tugas akhir atau thesis atau disertasi yang berkaitandengan permasalahan, maupun artikel dari internet.Persamaan diferensial stokastik pada model spot pricedan model convenience yield serta asumsi-asumsiyang lain digunakan untuk mendapatkan model hargafutures contract dengan tujuan untuk mempelajari lebihmendalam mengenai futures contract komoditas minyakmentah.

2. Pembentukan Sistem Persamaan Diferensialberdasarkan Model Spot Price dan Model ConvenienceYieldPada tahapan ini, sistem persamaan diferensial akandibentuk dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(a) Penyusunan portofolio futures contractberdasarkan Stochastic Differential Equation.

(b) Pembentukan persamaan diferensial parsialuntuk futures contract komoditas minyakmentah berdasarkan model persamaan diferensial

19

20

stokastik spot price dan convenience yield denganmenggunakan Lemma Ito.

(c) Pembentukan sistem persamaan diferensial daqrilangkah nomor 2 dengan kondisi-kondisi batas yangberhubungan.

3. Tahap PenyelesaianPada tahap ini, sistem persamaan diferensial yangterbentuk dari langkah sebelumnya dicari penyelesaiansecara numerik dengan menggunakan metode bedahingga implisit. Kemudian dibuat simulasi dari hasilyang telah didapatkan dengan menggunakan softwareMATLAB.

4. Penarikan KesimpulanSetelah menemukan penyelesaian dari sistem persamaandiferensial berdasarkan model spot price dan modelconvenience yield, maka selanjutnya dilakukanpenarikan kesimpulan dari pembahasan yang telahdilakukan sebelumnya serta pemberian saran sebagaibahan masukan untuk penelitian lebih lanjut.

BAB IVANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai langkah-langkah dalampembentukan persamaan diferensial berdasarkan persamaandiferensial stokastik dari spot price dan persamaan diferensialstokastik dari convenience yield serta langkah-langkah dalammencari solusi dari persamaan diferensial tersebut untukmendapatkan harga futures contract pada komoditas mintahmentah.

4.1 Pembentukan Persamaan Diferensial ParsialBerdasarkan Persamaan Diferensial StokastikSpot Price dan Convenience Yield

Pada tahap ini dibahas bagaimana pembentukanpersamaan diferensial parsial berdasarkan persamaandiferensial stokastik dari spot price dan convenience yielduntuk perhitungan harga futures contract pada komoditasminyak mentah.

4.1.1 Pembentukan persamaan perubahan hargafutures contract dengan Lemma Ito

Mohammed AbdulAziz Aba Oud mengasumsikan bahwaharga minyak dan convenience yield mengikuti modelstokastik yang berkorelasi dengan risk-neutral sebagai berikut:

dP = (r − δ)Pdt+ σ1P√δdZ̃1 (4.1)

dδ = aδ(G(t)− δ)dt+ σ2δ32dZ̃2 (4.2)

Corr(dZ̃1, dZ̃2) = ρdt (4.3)

. Jika F (P, δ, τ) adalah harga futures contract dengan jatuhtempo T , maka perubahan harga futures contract (dF ) dapat

21

22

ditentukan dengan menggunakan deret Taylor dan LemmaIto. Dengan menggunakan Lemma Ito, didapatkan perubahanharga dari futures contract adalah sebagai berikut:

dF =∂F

∂PdP +

1

2

∂2F

∂P 2(dP )2 +

∂F

∂δdδ

+1

2

∂2F

∂δ2(dδ)2 +

∂2F

∂P∂δ(dPdδ) +

∂F

∂tdt, (4.4)

selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (4.1) - (4.3)diperoleh:

(dP )2 = ((r − δ)Pdt+ σ1P√δdZ̃1)2

= ((r − δ)Pdt)2 + 2((r − δ)P 2σ1

√δdtdZ̃1) + (σ1P

√δdZ̃1)2

= (σ1)2P 2δdt (4.5)

(dδ)2 = (aδ(G(t)− δ)dt+ σ2δ32dZ̃2)2

= (aδ(G(t)− δ)dt)2 + 2(aδ52σ2(G(t)− δ)dtdZ̃2) + (σ2δ

32dZ̃2)

= (σ2)2δ3dt (4.6)

dPdδ = ((r − δ)Pdt+ σ1P√δdZ̃1)(aδ(G(t)− δ)dt+ σ2δ

32dZ̃2)

= σ1σ2

√δPδ

32 ρdt

= σ1σ2Pδ2ρdt. (4.7)

Substitusi Persamaan (4.5)-(4.7) ke Persamaan (4.4) sehinggamenjadi,

23

dF =∂F

∂PdP +

1

2

∂2F

∂P 2(dP )2 +

∂F

∂δdδ +

1

2

∂2F

∂δ2(dδ)2

+∂2F

∂P∂δ(dPdδ) +

∂F

∂t

=∂F

∂P((r − δ)Pdt+ σ1P

√δdZ̃1) +

1

2

∂2F

∂P 2σ2

1P2δdt

+∂F

∂δ

(aδ(G(t)− δ)dt+ σ2δ

32dZ̃2

)+

1

2

∂2F

∂δ2σ2

2δ3dt

+∂2F

∂P∂δρσ1σ2Pδ

2dt+∂F

∂t

= ((r − δ)P ∂F∂P

+1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ aδ(G(t)− δ)∂F

∂δ

+1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2ρσ1σ2Pδ

2 ∂2F

∂P∂δ+∂F

∂t)dt

+σ1P√δ∂F

∂PdZ̃1 + σ2δ

32∂F

∂δdZ̃2, (4.8)

selanjutnya dimisalkan dengan:

L(F ) = (r − δ)P ∂F∂P

+1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2

+aδ(G(t)− δ)∂F∂δ

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ+∂F

∂t(4.9)

sehingga Persamaan (4.8) menjadi:

dF = L(F )dt+ σ1P√δ∂F

∂PdZ̃1 + σ2δ

32∂F

∂δdZ̃2. (4.10)

24

4.1.2 Penyusunan portfolio dan pembentukan modelPDP berdasarkan persamaan diferensialstokastik pada spot price dan convenienceyield

Portofolio dengan nilai π terdiri dari satu long futurescontract dengan nilai F1 dan maturitas T1, x short futurescontract dengan nilai F2 dan maturitas T2 serta y shortfutures contract dengan nilai F3 dan maturitas T3, dimanalong futures contract adalah posisi dalam kontrak untukmembeli underlying asset dikemudian hari sedangkan shortfutures contract adalah posisi dalam kontrak untuk menjualunderlying asset dikemudian hari. Nilai untuk portofoliotersebut adalah

π = F1(P, δ, t;T1)− xF2(P, δ, t;T2)− yF3(P, δ, t;T3) (4.11)

selanjutnya, perubahan nilai (return) untuk portfolio adalahsebagai berikut:

dπ = dF1(P, δ, t;T1)− xdF2(P, δ, t;T2)− ydF3(P, δ, t;T3)

=

[L(F1)dt+ σ1P

√δ∂F1

∂PdZ̃1 + σ2δ

32∂F1

∂δdZ̃2

]−[L(F2)dt+ σ1P

√δ∂F2

∂PdZ̃1 + σ2δ

32∂F2

∂δdZ̃2

]−[L(F3)dt+ σ1P

√δ∂F3

∂PdZ̃1 + σ2δ

32∂F3

∂δdZ̃2

]= [L(F1)− xL(F2)− yL(F3)] dt

+

[∂F1

∂P− x∂F2

∂P− y∂F3

∂P

]σ1P√δdZ̃1

+

[∂F1

∂δ− x∂F2

∂δ− y∂F3

∂δ

]σ2δ

32 Z̃2. (4.12)

Nilai x dan y dapat dipilih agar portfolio memiliki zero-riskatau bebas risiko sehingga tidak ada biaya yang masuk ke

25

futures contract, oleh karenanya koefisien dari dZ̃1 dan dZ̃2

pada Persamaan (4.12) harus sama dengan nol (dπ = 0).Kondisi zero-risk dan zero-return dapat dituliskan sebagaiberikut:

∂F1

∂P− x∂F2

∂P− y∂F3

∂P= 0 (4.13)

∂F1

∂δ− x∂F2

∂δ− y∂F3

∂δ= 0 (4.14)

L(F1)− xL(F2)− yL(F3) = 0. (4.15)

Kondisi (4.13)-(4.15) mengimplikasikan bahwa ada hubungan

linear antara fungsi L(F ), σ1P√δ ∂F∂P , dan σ2δ

32∂F∂δ yang tidak

tergantung dengan T sehingga dapat dituliskan [2]:

L(F ) = (σ1(P, δ, t))P√δ (λp(P, δ, t))

∂F

∂P

+(σ2(δ, t))δ

32 (λδ(P, δ, t)

) ∂F∂δ

(4.16)

untuk beberapa fungsi bebas (arbitrary functions) λp(P, δ, t)dan λδ(P, δ, t). Kedua fungsi ini dapat direpresentasikansebagai harga pasar per unit dari risiko spot price dan hargapasar per unit dari risiko faktor tambahan δ. Asumsi untukarbitrary function adalah sebagai berikut: σ1λp = λp danσ2λδ = λδ sehingga Persamaan (4.16) menjadi:

L(F ) =(P√δλp(P, δ, t)

) ∂F∂P

+(δ

32λδ(P, δ, t)

) ∂F∂δ

. (4.17)

Selanjutnya, substitusi Persamaan (4.9) ke Persamaan (4.17)untuk mendapatkan persamaan diferensial parsial (PDP) dari

26

harga futures contract dan didapatkan sebagai berikut:

(r − δ)P ∂F∂P

+1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ aδ (G(t)− δ) ∂F

∂δ+

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ+∂F

∂t= P√δ (λp(P, δ, t))

∂F

∂P+ δ

32 (λδ(P, δ, t))

∂F

∂δ

⇔ (r − δ)P ∂F∂P

+1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ aδ(G(t)− δ)∂F

∂δ+

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ+∂F

∂t− P√δ (λp(P, δ, t))

∂F

∂P

−δ32 (λδ(P, δ, t))

∂F

∂δ+∂F

∂t= 0

⇔ 1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+[(r − δ)P − P

√δ(λp(P, δ, t))

] ∂F∂P

+1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2+[aδ(G(t)− δ)− δ

32 (λδ(P, δ, t))

] ∂F∂δ

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ+∂F

∂t= 0 (4.18)

berdasarkan asumsi arbitrary function, maka Persamaan(4.18) menjadi:

1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ [(r − δ)P ]

∂F

∂P+

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2

+ [aδ(G(t)− δ)] ∂F∂δ

+ ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ+∂F

∂t= 0 (4.19)

dengan,G(t) = G(T − τ) = g(τ)t = T − τuntuk T = 0 maka

27

t = −τ ⇒∂t = −∂τsehingga didapat persamaan diferensial parsial (PDP) dariharga futures contract adalah sebagai berikut:

1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ [(r− δ)P ]

∂F

∂P+

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2+ [aδ(g(τ)− δ)]∂F

∂δ

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ− ∂F

∂τ= 0. (4.20)

4.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial ParsialBerdasarkan Persamaan Diferensial StokastikSpot Price dan Convenience Yield denganMetode Beda Hingga Implisit

Persamaan diferensial parsial untuk harga futures contractyaitu seperti pada Persamaan (4.20) dengan syarat awalF (P, δ, 0) = P dan kondisi batas F (P, 0, τ) = Perτ danF (0, δ, τ) = 0 [2].

Model persamaan didiskritisasi melalui grid denganskema diferensial maju dan mundur untuk turunan pertamaterhadap waktu (τ) dan convenience yield (δ) dan pendekatanturunan parsial terhadap spot price (P ). Bentuk diskrit setiapnilai pada sumbu (P ) dan (δ) dinyatakan dalam P = i(∆P )dan δ = j(∆δ) dengan i merupakan titik pada sumbu P dan jmerupakan titik pada sumbu δ [16]. Selanjutnya, pembagiangrid dan syarat batas ditunjukkan pada gambar 4.1. Nilai-nilai yang berada pada i=0, i=1, i=2, i=3, j=0, j=1, j=2, j=3sudah diketahui berkat syarat batas.

Persamaan (4.20) diselesaikan melalui metode beda hinggaimplisit dengan pendekatan turunan parsial pertama dan

28

Gambar 4.1: Pembagian Grid dan Syarat Batas

kedua adalah sebagai berikut:

∂2F

∂P 2=

Fni+1,j − 2Fni,j + Fni−1,j

(∆P )2(4.21)

∂F

∂P=

Fni+1,j − Fni,j∆P

(4.22)

∂2F

∂δ2=

Fni,j+1 − 2Fni,j + Fni,j−1

(∆δ)2(4.23)

∂F

∂δ=

Fni,j+1 − Fni,j∆δ

(4.24)

∂F

∂τ=

Fni,j − Fn−1i,j

∆τ(4.25)

∂2F

∂P∂δ=

Fni+1,j+1 − Fni−1,j+1 − Fni+1,j−1 + Fni−1,j−1

4(∆P )(∆δ).

(4.26)

29

4.2.1 Diskrititasi model persamaan

Penyelesaian persamaan diferensial yang didapatdengan metode beda hingga implisit didapat denganmensubstitusikan bentuk diskrit setiap nilai pada sumbu Pdan δ dan bentuk turunan pertama terhadap waktu (τ) padaPersamaan (4.21) sampai Persamaan (4.26) ke Persamaan(4.20) sehingga didapat persamaan sebagai berikut:

(σ21)(j∆δ)(i∆P )2

2

[Fni+1,j − 2Fni,j + Fni−1,j

(∆P )2

]

+(r − j∆δ)i∆P[Fni+1,j − Fni,j

∆P

]

+(σ2

2)(j∆δ)3

2

[Fni,j+1 − 2Fni,j + Fni,j−1

(∆δ)2

]

+ [aj∆δ(g(τ)− j∆δ)][Fni,j+1 − Fni,j

∆δ

]

+ρσ1σ2i∆P (j∆δ)2

[Fni+1,j+1 − Fni−1,j+1 − Fni+1,j−1 + Fni−1,j−1

4(∆P )(∆δ)

]

−

[Fni,j − F

n−1i,j

∆τ

]= 0,

(4.27)

dari Persamaan (4.27) didapat persamaan yang digunakanuntuk menentukan nilai setiap titik pada Fn,

30

[σ21ji

2∆δ2 + ir − ij∆δ

]Fni+1,j

+[−(σ2

1j∆δi2)− ir + ij∆δ − σ2

2j3∆δ − ajg(τ) + aj2∆δ − 1

∆τ

]Fni,j

+[σ21j∆δi

2

2

]Fni−1,j

+[σ22j

3∆δ2 + ajg(τ)− aj2∆δ

]Fni,j+1

+[σ22j

3∆δ2

]Fni,j−1 +

[ρσ1σ2ij2∆δ

4

]Fni+1,j+1 +

[−ρσ1σ2ij2∆δ

4

]Fni−1,j+1

+[−ρσ1σ2ij2∆δ

4 ]Fni+1,j−1 + [ρσ1σ2ij2∆δ

4

]Fni−1,j−1 =

[− 1

∆τ

]Fn−1i,j ,

(4.28)

maka persamaan (4.28) dapat dituliskan sebagai berikut,

aijFni+1,j + bijF

ni,j + cijF

ni−1,j + djF

ni,j+1 + ejF

ni,j−1

+gijFni+1,j+1 + hijF

ni−1,j+1 + kijF

ni+1,j−1

+lijFni−1,j−1 = mFn−1

i,j (4.29)

dengan,

aij =σ2

1ji2∆δ

2+ ir − ij∆δ

bij = −(σ21j∆δi

2)−ir+ij∆δ−σ22j

3∆δ−ajg(τ)+aj2∆δ− 1

∆τ

cij =σ2

1j∆δi2

2

31

gij =ρσ1σ2ij

2∆δ

4

hij = −ρσ1σ2ij2∆δ

4

kij = −ρσ1σ2ij2∆δ

4

lij =ρσ1σ2ij

2∆δ

4

dj =σ2

2j3∆δ

2+ ajg(τ)− aj2∆δ

ej =σ2

2j3∆δ

2

m = − 1

∆τ,

untuk setiap i dan j yang merupakan bagian dari grid yangmembagi domain P dan δ dengan interval [0, N ] sebanyakN + 1 dimensi vektor dan dengan interval [0,M ] sebanyakM + 1 dimensi vektor. Persamaan menghasilkan matrikssebagai berikut,

ZijFni,j = Fn−1

i,j . (4.30)

dengan,

32

Fni,j =

Fn0,0Fn0,1

...Fn0,jFn1,0

...Fn1,jFn2,0

...FnN−1,M−1

,

Fn−1i,j =

Fn−10,0

Fn−10,1...

Fn−10,j

Fn−11,0...

Fn−11,j

Fn−12,0...

Fn−1N−1,M−1

, dan

Zij adalah matriks yang dibentuk dariaij , bij , cij , dj , ej , gij , hij , kij , lij yang berukuran N2 ×N2.

Dari persamaan (4.30) dapat dihasilkan matriks Fn

sebagai berikut,

Fni,j = inv(Zij)Fn−1i,j . (4.31)

33

Persamaan (4.31) merupakan matriks yang menunjukkanhasil perhitungan nilai kontrak futures komoditas minyakmentah pada waktu n.

Suatu matriks dapat dibalik (invertible) jika dan hanyajika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yangberukuran n × n) dan matriks tersebut non-singular(determinan 6= 0) [14]. Jika A adalah suatu matriks persegi,dan jika dapat dicari matriks B sehingga AB = BA = I,maka matriks A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan Bdinamakan invers dari A [14].

4.2.2 Hasil perhitungan numerik PDP harga futurescontract dengan metode beda hingga implisit

Hasil perhitungan numerik harga futures contract padakomoditas minyak mentah dengan metode beda hinggaimplisit terlihat pada Tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1: Hasil Perhitungan Harga Futures ContractKomoditas Minyak Mentah Menggunakan Metode BedaHingga Implisit

34

Tabel 4.1 didapat dari perhitungan harga futures contractdengan mengambil paramater tingkat suku bunga (r) =0.04, volatilitas pada spot price (σ1) = 1.5, volatilitas padaconvenience yield σ2 = 5, koefisien korelasi antara prosesWiener pada spot price dan pada convenience yield ρ =1, a = 1, expiry date τ = 1, dan g(t) = 0.03 dan denganmengambil banyaknya grid adalah 4.

Tabel 4.2: Penjelasan untuk Tabel 4.1 dengan NilaiPmax=100, δmax=0.02 dan banyak grid=4

Tabel 4.2 merupakan tabel yang menjelaskan caramembaca Tabel 4.1 dimana nilai convenience yield maksimalyang diambil adalah 0.02 dan nilai spot price maksimal yangdiambil adalah 100 dimana i merupakan partisi untuk spotprice dan j merupakan partisi untuk convenience yield. Nilaifutures contract (F ) dapat ditunjukkan dalam bentuk grafikpada Gambar 4.2 - 4.5.

35

Gambar 4.2: Nilai Futures Contract saat Pmax=100 danδmax=0.02


36


Gambar 4.5: Nilai Futures Contract saat Pmax=100 danδmax=0.04 serta banyak grid 20

37

Pada Gambar 4.2 sampai Gambar 4.5 menunjukkan grafikhasil perhitungan harga futures contract (F ) dengan nilaiconvenience yield yang berbeda. Pada Gambar 4.2 hinggaGambar 4.4 adalah grafik yang didapat dengan menggunakanbanyaknya grid adalah 4, sedangkan pada Gambar 4.5banyaknya grid yang digunakan adalah 20 sehingga terlihatlebih jelas grafik yang didapat. Semakin besar nilaiconvenience yield maka harga futures contract semakin rendahdengan jangka waktu kontrak (τ)=1 tahun.

BAB VPENUTUP

Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh daritugas akhir ini serta saran untuk penelitian selanjutnya.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan pada babsebelumnya, kesimpulan dari tugas akhir ini adalah sebagaiberikut:

1. Sistem persamaan diferensial parsial untuk hargafutures contract adalah sebagai berikut:

1

2σ2

1P2δ∂2F

∂P 2+ [(r − δ)P ] ∂F∂P +

1

2σ2

2δ3∂

2F

∂δ2+ [aδ(g(τ)− δ)] ∂F

∂δ

+ρσ1σ2Pδ2 ∂

2F

∂P∂δ− ∂F

∂τ= 0

F (P, δ, 0) = P

F (P, 0, τ) = Perτ

F (0, δ, τ) = 0

2. Harga futures contract didapatkan dari perhitungansecara numerik dengan metode beda hingga implisitpada persamaan diferensial yang telah didapat.Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan

39

40

bahwa nilai convenience yield yang semakin tinggimenghasilkan harga futures contract yang semakinrendah pada tingkat suku bunga tertentu.

5.2 SaranPada tugas akhir ini belum dijabarkan solusi analitik

untuk mendapatkan harga futures contract (F ). Oleh karenaitu, penulis menyarankan agar penelitian dapat dilanjutkanpada pembahasan tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Gabillon, J., (1991), The Term of Oil FuturesPrices, Oxford Institute for Energy Studies WMP 17.

[2] Oud, M. A. A. A., (2014), The Dynamic ofOil Prices and Valuation of Oil Derivatives,University of Wollongong Thesis Collection.

[3] Kulkarni, S., Haidar, I., (2009), Forecasting Modelfor Crude Oil Price Using Artificial NeuralNetwork and Commodity Futures Prices, IJCSISVol.2, No.1.

[4] Nizar, M. A., (2012), The Impact of WorldOil Prices Fluctuation on Indonesias Economy,Pusat Kebijakan Ekonomi Makro, Badan KebijakanFiskal, Kementerian Keuangan-RI, Jakarta.

[5] Hull, J. C., (2009), Option, Futures andOther Derivatives7thEdition, New Jersey: PearsonEducation.

[6] Purnomo, R. S. D., Hariyani, I., Serfiyani, C. Y.,(2013), Pasar Komoditi: Perdagangan Berjangkadan lelang Komoditi, Jogja Bangkit Publisher,Yogyakarta.

[7] Mulyana, D., (2009), Financial Derivative Future,Materi Kuliah Teori Portfolio dan Analisi Investasi.

[8] Chapra, S. C., (1989), Applied Numerical Methodswith Matlab, Second Edition, Jakarta: Erlangga.

41

42

[9] Luknanto, D., (2003), Model Matematika, MateriKuliah Hidraulika Komputasi Jurusan Teknik Sipil FTUGM.

[10] Suritno, (2008), Metode Beda Hingga UntukSolusi Numerik Dari Persamaan Black-ScholesHarga Opsi Put Amerika, Thesis SekolahPascasarjana IPB.

[11] Fadugba, S. E., Zelibe, S. C., Edogbanya, O. H.,(2013), Cranl-Nicholson Method for SolvingParabolic Partial Differential Equatons, IJA2M1(3), Hal.8-23.

[12] Brandimarte, P., (2002), Numerical Methods inFinance, New Jersey: John Wiley Sons, Inc.

[13] Hull, J., White, A., (1990), ”Valuing DerivativeSecurities the Explicit Finite DifferenceMethod”, Journal of Financial and QuantitativesAnalysis: VOL 25. 87-100.

[14] Anton, H., (1992), ”Aljabar Linier Elemneter”,Erlangga, Jakarta.

LAMPIRAN

LAMPIRAN AListing Program Perhitungan Harga Futures

Contract

45

LAMPIRAN BGUI Perhitungan Harga Futures Contract

53

66

Tampilan GUI awal

67

Tampilan GUI dengan nilai Pmax = 100, δmax = 0.02, danbanyaknya grid = 4

68

Tampilan GUI saat diinputkan nilai δmax < 0

LAMPIRAN CPENJELASAN TABEL 4.1

69

70

LAMPIRAN C (LANJUTAN)

LAMPIRAN DBIODATA PENULIS

Penulis memiliki nama lengkapSeptia Marga Dartika, lahir diBlitar, pada 21 September 1994.Terlahir sebagai anak keduadari 2 bersaudara dari pasanganIskandar dan Tutik Susilowati.Sejak usia 5 tahun, penulis telahmenempuh pendidikan formaldimulai dari TK Kartika Jaya Kab.Blitar (1999-2001), SD NegeriKademangan 01 Kab. Blitar(2001-2007), SMP Negeri 2 BlitarKota Blitar (2007-2010), dan SMA

Negeri 1 Blitar Kota Blitar (2010-2013). Kemudian padatahun 2013, penulis melanjutkan studi ke jenjang S1 diJurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember(ITS) Surabaya melalui jalur SNMPTN dengan NRP 1213100 019. Di Jurusan Matematika, penulis mengambilBidang Minat Matematika Terapan yang terdiri dari bidangminat Pemodelan dan Riset Operasi dan PengolahanData. Selama menempuh pendidikan di ITS, penulis aktifberorganisasi di Himpunan Mahasiswa Jurusan MatematikaITS (HIMATIKA) sebagai staf Pengabdian Masyarakat(PENGMAS) (2014-2015) dan staf ahli Community Service(COS) (2015-2016). Penulis juga aktif diberbagai kegiatansosial kemasyarakatan tingkat institut seperti volunteerPengajar Tangguh, volunteer kegiatan BEM ITS lainnya

72

serta big event jurusan MAtematika seperti OlimpiadeMatematika ITS (OMITS) 2015 dan OMITS 2016, dan lainsebagainya.

Adapun informasi lebih lanjut mengenai TugasAkhir ini dapat ditujukan ke penulis melalui [email protected]

perhitungan futures contract dengan...

Documents