1.

KPK dari (8! , 9!, 10! ) = 10!

10! = 10 x 9 x 8! C. 73/10! mudah

2. Karena bilangan yang dibentuk genap, maka angka satuan dari bilangan tersebut yang mungkin adalah 2 atau 6. Sehingga bilangan terbesar adalah 96.512 , dan bilangan terkecil 12.596 Selisihnya 96.512 12.596 = 83.916 Lihat pembahasan 3. Sisa air dalam tabung = volum tabung 3 volum bola pejal (dengan r = 3 cm) E

4. Soal ini menuntut kemampuan peserta OSN dalam memahami beberapa pernyataan dan membuat kesimpulan. Diketahui : Terdapat 50 ekor kelinci.

25 ekor kelinci jantan , maka 25 ekor kelinci betina 25 ekor dilatih menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini diperoleh simpulan terdapat 15 ekor kelinci betina dilatih menghindari jebakan, dan 15 ekor kelinci jantan dan 10 ekor kelinci betina tidak dilatih menghindari jebakan. 20 ekor (dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini, maka terdapat 16 ekor kelinci betina yang dapat berhasil menghindari jebakan. 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Dari penyataan ini, maka terdapat 12 ekor betina yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan dan sejumlah 10 ekor kelinci yang dilatih tidak dapat menghindari jebakan terdiri dari 7 ekor jantan dan 3 betina.

Dari pernyataan ke-3 dan ke-4 diperoleh simpulan 16 12 = 4 ekor kelinci betina dapat menghindari jebakan tanpa dilatih. Jadi, banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan adalah 10 4 = 6 ekor . Lihat pembahasan 5. B

Karena merupakan bilangan bulat, maka dapat ditulis :

Untuk setiap nilai k diperoleh satu nilai x yang merupakan bulat, maka banyaknya bilangan bulat x yang memenuhi sama dengan banyaknya bilangan bulat k yaitu 6 D 6. Ubahlah bilangan berpangkat tersebut sehingga berpangkat sama ! , 33333 = (33)1111 dan 42222 = (42)1111

24444 = (24)1111

24 = 16 , 33=27 , dan 42 = 16 diketahui fakta bahwa 16 < 27 ,maka urutan bilangan dari yang terkecil Sampai yang terbesar adalah 24444 , 42222 , 33333 Lihat pembahasan 7. Menjawab soal seperti ini buatlah 5 petak yang mana setiap petak mewakili dua kursi kemudian isi dengan banyaknya cara yang mungkin dapat diduduki . A

Petak ke-1 kemungkinan dapat diduduki oleh 5 pasutri, petak ke-2 kemungkinan dapat diduduki oleh 4 pasutri , dan seterusnya .. terakhir oleh 1 pasutri. Ini menyatakan banyaknya cara duduk 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 Perhitungan belum tuntas , karena setiap pasang suami istri dapat menempati 2 posisi, diketahui ada 5 pasang sehingga banyaknya cara duduk yang mungkin agar pasutri berdampingan adalah 120 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 120 x 32 = 3840 C

Secara umum jika terdapat n pasang , tersedia 2n tempat duduk, maka banyaknya cara duduk berdampingan adalah n! x 2n . Dalam menjawab soal seperti ini , selain kaidah operasi hitung ,logika berpikir kita sangat dominan berperan, jadi tak perlu memaksakan menghapal rumus-rumus ! Dengan strategi mulai dari jumlah yang sedikit , kita bisa menghitung lalu merumuskan secara umum. 8. Diketahui 15 telur , 5 telur rusak maka 10 telur baik.

Ditanyakan berapa peluang diperoleh telur rusak ke-3 pada pengetesan ke-5? Jawab : Tentu, jelas telur yang diperiksa / dites tidak dikembalikan lagi. Dari pertanyaan telur yang diambil sebanyak 5 butir. Tentukan semua kemungkinan yang terjadi dalam pengetesan 5 butir tersebut .

Kemungkinan pengetesan ke-1 diperoleh telur Baik, ke-2 Baik, ke-3 Rusak, ke-4 Rusak, dan ke-5 Rusak dan kita tulis {BBRRR} kemungkinan kejadian yang lain : {BRBRR} atau {BRRBR} atau {RBRBR} atau {RRBBR} atau {RBBRR}. Terdapat 6 kejadian yang mungkin.

Karena tanpa pengembalian, maka Peluang setiap kejadian sama, dan 6 kejadian tersebut saling lepas. jadi Peluang yang dimaksud adalah P(BBRRR) + P(BRBRR) + P(BRRBR) + P(RBRBR) + P(RRBBR) + P(RBBRR) =

Lihat pembahasan 9. Buatlah sketsa gambar Limas T.ABCD !

Limas T.ABCD beraturan, maka panjang AB = BC = CD = AD = 2 cm , begitu juga panjang TA = TD =TB = TC = 4 cm . ABCD adalah persegi, maka segitiga DAB sikusiku sama kaki.

Segmen garis BE tegaklurus rusuk tegak TD ,selanjutnya kita hitung panjang BE . Perhatikan segitiga TBD (yang merupakan bidang diagonal limas T.ABCD)

Segitiga TBD samakaki, buat garis TF tegal lurus BD, maka DF = BF

Segitiga TFD siku-siku di F, maka berdasarkan teorema Pythagoras

Selajutnya panjang BE dapat dihitung melalui kesamaan luas segitiga TBD Luas segitiga TBD = 1/2 x TD x BE = 1/2 x BD x TF TD x BE = BD x TF BE = ( BD x TF ) / TD

`

10. Untuk menghitung luas daerah yang diarsir yang terdiri dari 4 bagian daerah yang kongruen, kita dapat menghitungnya 1 bagian saja kemudian kalikan dengan 4. Titik A, B, C, dan D adalah pusat-pusat lingkaran dengan panjang jari-jari r .

Keliling lingkaran = 62,4 cm 2 x 3,14 x r = 62,4 6,28 x r = 62,4 r = 10 cm Luas 1 bagian daerah yang diarsir = luas persegi ABCD Luas daerah 1 lingkaran = 2r x 2r 3,14 x r x r = 20 x 20 3,14 x 10 x 10 = 400 314 = 86 Jadi, luas derah yang diarsir = 4 x 86 = 344 cm2 Lihat pembahasan 11. Diketahui keterlambatan sebuah jam dinding 5 menit setiap jamnya, maka keterlambatan 60 menit= 1jam setiap 12 jam. Jika pada pk. 12.00 menunjukkan waktu yang tepat, maka selama 12 jam kedepan waktu menunjukkan pk. 11.00 (keterlambatan 1jam) . Dengan demikian jam dinding akan menunjukkan waktu yang tepat (pada pk.12.00 kembali) setelah 12 jam x 12 = 144 jam E A

12. Jumlah bola 18 , terdiri dari 5 bola hitam, 6 bola putih, dan 7 bola hijau. Diambil 2 bola secara acak. Kejadian yang mungkin terambilnya 2 bola berwarna sama adalah A : Terambilnya bola pertama hitam dan bola kedua hitam, maka P(A) = 5/18 x 4/17 = 10/153 B : Terambilnya bola pertama putih dan bola kedua putih, maka P(B) = 6/18 x 5/17 = 15/153 C : Terambilnya bola pertama hijau dan bola kedua putih, maka P(C) = 7/18 x 6/17 = 21/153 Karena kejadian A, B, dan C adalah kejadian yang saling lepas (tidak terjadi pada saat bersamaan)maka, peluang terambilnya 2 bola berwarna sama = P(A) + P(B) + P(C) = 10/153 + 15/153 + 21/153 = 46/153 Lihat pembahasan 13. Menjawab soal lingkaran, langkah awal buatlah sketsa gambar lengkapi dengan ukuran panjangnya, kemudian temukan letak titik pusat lingkaran dengan mengkonstruksi garis diagonal AC dan BD seperti berikut: A

Titik O adalah titik potong diagonal AC dan BD, sehingga AO = BO = CO = DO = 1/2 AC Karena besar sudut ADC siku-siku, maka O pusat lingkaran luar persegi ABCD Dengan pengurangan luas daerah diperoleh ; Luas daerah yang diarsir = 4 x luas 1/2 lingkaran pusat P (luas tembereng AB +CD +AD) = 2 x luas lingkaran pusat P (luas lingkaran pusat O luas persegi ABCD) = 2 x luas lingkaran pusat P luas lingkaran pusat O + luas persegi ABCD

Review :

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas Persegi ABCD. Lihat pembahasan 14. 22x + 2-2x = 2 (2x)2 + (2-x)2 = 2 (2x 2-x )2 2. 2x. 2-x = 2 (2x 2-x )2 2. 20 = 2 (2x 2-x )2 2 = 2 (2x 2-x )2 = 4

15. Misalkan banyaknya guru adalah m orang , dan banyaknya profesor adalah n orang, maka

40 m 35 m = 50 n 40 n 5m m:n = 10 n = 10 : 5 = 2 : 1 A

16.

Buatlah sketsa gambarnya sesuai informasi soal

Diketahui panjang AC = 25 cm, luas jajargenjang ABCD = 125, maka AC x DP = luas jajargenjang ABCD 25 x DP = 125 , maka panjang DP = 5 cm Perhatikan segitiga APD siku-siku di P , maka panjang AP = 12 cm ( Ingat tripel Pythagoras) Segitiga APD kongruen dengan segitiga CQB (s-sd-sd) , maka panjang AP = CQ, sehingga 2 x Panjang AP + panjang PQ = panjang AC 2 x 12 + panjang PQ = 25

Panjang PQ = 25 24 = 1 cm

B

17.

Soal ini tentang penggunaan persamaan bentuk aljabar (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ubahlah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk kuadrat jumlah atau kuadrat selisih ! Untuk menghemat tempat, saya uraikansecara terpisah

Lihat pembahasan : 18. Diketahui : 1! = 1 , 2! = 2 x 1 = 2 , 3! = 3 x 2 x 1 = 6, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, dan 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 Perhatikan angka satuan dari bilangan n! , untuk n 5 adalah 0 , jadi untuk mengetahui angka satuan dari 1! + 2! + 3! + 4! + + 2011! Cukup kita hitung jumlah dari 1! + 2! + 3! + 4! 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 . Jadi, 1! + 2! + 3! + 4! + + 2011! Adalah suatu bilangan dengan angka satuan 3 A 19. Cara menjawab soal ini , identik dengan soal no. 7 , perbedaannya pada soal ini tempat duduk lebih 1 dari jumlah orang yang menduduki. Karena 2 orang yang bisa nyetir, maka tempat duduk sopir kemungkinannya hanya dapat ditempati oleh 2 orang. Selanjutnya hitung banyaknya cara tersisa 5 tempat duduk kosong yang dapat diisi oleh 4 orang. Persoalan ini merupakan permutasi 4 tempat duduk terisi dari 5 tempat duduk kosong. 5 P 4. Jadi, banyaknya cara duduk yang mungkin adalah

20.

Buatlah sketsa gambarnya !

Persegi ABCD adalah bingkai foto asal dengan panjang AB = BC = CD= AD = 1 cm, sedangkan persegi ABCD hasil rotasi sebesar 45o dengan pusat P . Prinsip Rotasi (pemutaran) suatu bidang tidak mengubah luas dan ukuran panjang sisisisinya. Sehingga panjang AB = panjang AB = 1 cm Perhatikan segitiga EAF , FBG , GBH adalah segitiga-segitiga siku-siku samakaki yang kongruen, maka Panjang EA = AF = FB = BG = GB = BH Jika panjang AF = a , maka panjang

Sedangkan panjang AF + FG + GB = panjang AB

Luas segitiga FBG = 1/2 x FB x BG

Luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar = luas persegi ABCD 4 x luas segitiga FBG

ISIAN SINGKAT Lihat pembahasan : 1. Diketahui : terdapat 5 permen (identik), 1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 2 rasa jahe.

Peluang terambilnya 1 permen rasa jahe = 2/5 , maka Peluang Anto mendapat 1 permen rasa jahe adalah 2/5 . 2. Gunakan sifat Distributif untuk memudahkan perkalian tersebut !

999.999.999 x 12.345.679 = (1.000.000.000 1) x 12.345.679 = 12.345.679.000.000.000 12.345.679 = 12.345.678.987.654.321 Jumlah angka-angkanya = 2 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) + 9 = 2 x 1/2 x 8 ( 1 + 8 ) + 9 =8x9 + 9 = 81 (Anda dapat mempelajari trik-trik metode Menghitung Cepat Bill Handley , termasuk pengurangan bilangan berakhiran 0 di atas, menurut saya metode Bill lebih mudah dicerna penyajiannya dibanding Trachtenberg, walaupun inspirasinya dari Trachtenberg, selain adanya bukti teori bilangan yang digunakan) Lihat pembahasan : 3. Lengkapi gambar pada soal untuk memperoleh informasi lebih lengkap !

Perhatikan Segiempat BFDE adalah layang-layang, maka segitiga BFD kongruen dengan segitiga BED (sss). Sedangkan luas segitiga BFD = luas segitiga BAD, (karena panjang AF = FD), sehingga Luas layang-layang BFDE = luas segitiga siku-siku BAD = luas segitiga siku-siku ABC. Dengan demikian , luas daerah EDFGH = luas segitiga ABC luas segitiga BGH .

Selanjutnya hitung luas segitiga BGH, hitung panjang GH (sepintas GH = 1/3 AC, tetapi kita buktikan) Perhatikan segitiga BGI dan segitiga BFJ (sd-sd) sebangun, akibatnya :

luas daerah EDFGH

= luas segitiga ABC luas segitiga BGH = 1/2 x AC x BI 1/2 x GH x BI = 1/2 x AC x BI 1/2 x 1/3 x AC x BI

= 1/2 x 2/3 x AC x BI

4.

Faktorkan bentuk selisih dua kuadrat tersebut !

12 22 + 32 42 + 52 20102 + 20112 = J J = 1 + (2 + 3)(-2 + 3)+(4 + 5)(-4 + 5)+ (6 + 7)(-6 + 7)+ + (2010 + 2011)(-2010 + 2011) J = 1 + 5 + 9 + 13 + + 4021 Jumlah bilangan-bilangan ini membentuk deret aritmetika dengan suku pertama 1 dan beda 4, selanjutnya hitung banyaknya suku bilangan deret tersebut, jika n banyaknya sukusuku deret bilangan tersebut, maka Un = 4n 3 4021 = 4n 3 4n = 4021 + 3 4n = 4024 n = 4024/4 = 1006 Sehingga J = 1/2 x 1006 x ( 1 + 4021) J = 1006 x 2011 J = (1000 + 6 ) x 2011 J = 2.011.000 + 12.066 J = 2.023.066 Jadi, 12 22 + 32 42 + 52 20102 + 20112 = 2.023.066 Lihat pembahasan : 5. Jika barisan x1 , x2 , x3 , , xn yang memenuhi x1 + x2 + x3 + + xn = n3 , untuk semua n bilangan asli, maka berapakah x100 ?

Jawab : x1 = 13 x2 = 23 x1= 23 13 x3 = 33 x2 x1 = 33 (23 13) 13 = 33 23 . . . xn = Jadi, x100 = 1003 (100 1)3 = 1003 (1003 3 . 1002 + 3 . 100 13) = 3 . 1002 3 . 100 + 1 = 30.000 300 + 1 = 29.701 6. Semua pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi 2a = b2 1 adalah . . . . . .

n3 (n-1)3

Jawab : Sedikit analisa terlebih dahulu ! b2 = 2a + 1 , maka b2 adalah bilangan kuadrat bersifat ganjil dan karena (a, b) bilangan bulat , maka haruslah a bilangan bulat positif, jadi a>0. Selanjutnya kita ketahui bahwa ; 2a untuk a bilangan bulat positif merupakan bilangan genap dengan angka satuan 2, 4, 6, atau 8 , sedangkan bilangan kuadrat ganjil antara lain 1 , 9, 25 , 49, dan 81 , tapi yang perlu kita coba dan periksa bilangan kuadrat dengan angka satuan 9 dan 5 , yaitu 9 , 25 , dan 49. (karena 4+1 = 5, 8 + 1 = 9 lihat angka satuan dari 2a ) Untuk b2 = 9 , maka b = -3 atau b = 3, dan 2a + 1 = 9 diperoleh 2a = 8 atau a = 3 , sehingga pasangan (a, b) adalah (3, -3) dan (3, 3) Untuk b2 = 25 , maka b = -5 atau b = 5, dan 2a + 1 = 25 diperoleh 2a = 24 maka tak ada bilangan bulat a yang memenuhi Untuk b2 = 49 , maka b = -7 atau b = 7, dan 2a + 1 = 49 diperoleh 2a = 48, maka tak ada bilangan bulat a yang memenuhi. Dengan demikian proses coba dan periksa tuntas, Jadi, Semua pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi 2a = b2 1 adalah (3, -3) dan (3, 3).

Lihat pemabahasan : 7. Diketahui banyaknya warna angka 2 ada 5 warna, sedangkan angka 0, dan 1 sebanyak 4 warna. Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna ? Jawab : Strateginya kita hitung banyaknya semua komposisi pewarnaan yang mungkin (tanpa syarat apapun), lalu kurangi banyaknya semua komposisi perwarnaan dengan sedikitnya sepasang angka yang bersebelahan berwarna sama. Banyaknya semua komposisi warna yang mungkin pada bilangan 2011 sebanyak = 5 x 4 x 4 x 4 = 320 1. Banyaknya komposisi semua angka berwarna sama sebanyak 4 2. Banyaknya komposisi dengan angka 2, 0, 1 berwarna sama , tetapi angka terakhir 1 berbeda warna Maksudnya 3 angka pertama berwarna sama. (Ada 4 kemungkinan warna untuk 3 angka pertama, dan ada 3 warna yang mungkin berbeda dengan warna pada 3 digit pertama) Jai, banyaknya ada 4 x 3 = 12.

Untuk menghitung banyaknya anda dapat menggambar diagram garis seperti berikut :

3. Banyaknya komposisi dengan angka 2 , 0 berwarna sama, tetapi angka 1 , 1 berbeda Ada 4 x 3 x 3 = 36. 4. Banyaknya komposisi dengan angka 0 1 berwarna sama, tetapi angka 2 , 1 berbeda Ada 4 x 4 x 3 = 48. 5. Banyaknya komposisi dengan angka 1 , 1 berwarna sama, tetapi angka 2 , 0 berbeda

Ada 4 x 3 x 4 = 48. 6. Banyaknya komposisi dengan angka 2 berbeda ,tetapi angka 0, 1 , 1 sama Ada 1 x 4 = 4. ( satu warna yaitu nila untuk angka 2 ) Jumlah komposisi dengan sedikitnya dua angka bersebelahan berwarna sama sebanyak 4 + 12 + 36 + 48 + 48 + 4 = 152. Jadi, Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna Sebanyak 320 152 = 168 .

8. Diketahui terdapat 500 kelereng yang sama yang terdiri dari 5 warna, masing-masing kelerang sewarna sebanyak 100. Berapa minimum banyaknya kelereng yang diambil agar memuat sedikitnya 5 kelereng berwarna sama? Jawab : Ini persoalan Ekspetasi (harapan matematik) Peluang terambilnya 1 kelereng dari masing-masing warna adalah sama yaitu 100/500 = 1/5. Misalkan banyaknya kelereng minimum yang diambil secara acak adalah K kelereng, maka 1/5 x K = 5 , maka K = 25 Jadi, sebanyak 25 kelereng minimum yang harus diambil secara acak. 9. Jika (3 + 4)(32 + 42) (34 + 44) (38 + 48) (316 + 416) (332 + 432) = (4x 3y) , maka x y = ? Jawab : Cara Induktif : Coba dan periksa Menjawab soal seperti ini , ambil sampel sederhana (3 + 4)(32 + 42) (3 + 4)(32 + 42) = 7 x 25 = 175 = 256 81 = (44 34) Diperoleh nilai x = 4 , dan y = 4 , sehingga x y = 0 . Dengan kata lain x dan y bernilai sama. Hal ini berlaku sama untuk soal tersebut nilai x = y = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 1 = 64 Cara deduktif: Ingat pemfaktoran bentuk perpangkatan suku dua ! Kita ambil selisih pangkat 4 dari a dan b .

a4 b4 = (a b)(a3 + ab2 + a2b + b3) = (a b) (a + b)(a2 + b2 ) Untuk a = 4 dan b = 3 , maka 44 34 = ( 4 3)(4 + 3)( 42 + 32) = 1 (4 + 3)( 42 + 32) = (4 + 3)( 42 + 32) Tampak bahwa pangkatnya sama. Di tingkat SMA ini materi pembagian istimewa atau Dalil sisa Secara umum :

10. Diketahui : Himpunan H = { x , y , z } , dengan x , y, z, bilangan bulat tidak negatif dan berbeda. (x + y + z)/3 = 15, Tentukan banyaknya semua himpunan H ! Jawab : Dari informasi soal bahwa x , y, z 0 , dan merupakan bilangan bulat berbeda. (x + y + z)/3 = 15 , maka x + y + z = 45 . Dengan demikian kita harus mencari pasangan bilangan x, y, z sehingga berjumlah 45. Mulailah dari yang terkecil jika x = 0 , maka y = 1 , z = 44 maka pasangan berurutannya (0, 1, 44) Pasangan bilangan yang lain adalah (0, 2, 43), (0, 3, 42), (0, 4, 41), (0, 5, 40), (0, 6, 39), (0, 7, 38), (0, 8, 37), (0, 9, 36), (0, 10, 35), (0, 11, 34), (0, 12, 33), (0, 13, 32), (0, 14, 31), (0, 15, 30), (0, 16, 29), (0, 17, 28), (0, 18, 27), (0, 19, 26), (0, 20, 25), (0, 21, 24), (0, 22, 23). Ada 22 pasangan bilangan. Selanjutnya kita rumuskan banyaknya pasangan bilangan tersebut . Sebelumnya didefinisikan notasi berikut :

Jadi, itu notasi perhitungan dengan pembulatan ke atas ( fungsi ROUNDUP dalam MS Excell) perhatikan pasangan (0, 1, 44) . Nilai x = 0 , y = 1 , z = 44 ,

Dengan demikian pasangan bilangan dengan x = 0 , sebanyak 22 pasang. Selanjutnya : Untuk x = 1, salah satu sampel (1, 2, 42) terdapat sebanyak

Untuk x = 2 , salah satu sampel (2, 3, 40) terdapat sebanyak 19 pasangan. Untuk x = 3 , salah satu sampel (3, 4, 38) terdapat sebanyak 17 pasangan Untuk x = 4 , salah satu sampel (4, 5, 36) terdapat sebanyak 16 pasangan Untuk x = 5 , salah satu sampel (5, 6, 34) terdapat sebanyak 14 pasangan Untuk x = 6 , salah satu sampel (6, 7, 32) terdapat sebanyak 13 pasangan Untuk x = 7 , salah satu sampel (7, 8, 30) terdapat sebanyak 11 pasangan Untuk x = 8 , salah satu sampel (8, 9, 28) terdapat sebanyak 10 pasangan Untuk x = 9 , salah satu sampel (9, 10, 26) terdapat sebanyak 8 pasangan Untuk x = 10 , salah satu sampel (10, 11, 24) terdapat sebanyak 7 pasangan Untuk x = 11 , salah satu sampel (11, 12, 22) terdapat sebanyak 5 pasangan Untuk x = 12 , salah satu sampel (12, 13, 20) terdapat sebanyak 4 pasangan Untuk x = 13 , salah satu sampel (13, 14, 18) terdapat sebanyak 2 pasangan Untuk x = 14 , hanya 1 pasangan bilangan yaitu (14, 15, 16) . Jadi, banyaknya himpunan H sebanyak 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 20 + 22 = 169 REVIEW (melihat kembali ) Soal ini sama dengan , menentukan banyaknya himpunan penyelesaian dari persamaan ; x + y + z = 45, dengan x , y , dan z bilangan bulat tidak negatif , dan x, y, atau z , tidak sama. Tentu, jika semesta pembicaraannya hanya bilangan bulat non negatif saja, lebih banyak lagi banyaknya himpunan penyelesaiannya, apalagi jika semesta pembicaraannya bilangan bulat akan lebih banyak lagi banyaknya himpunan penyelesaiannya.

SISA PEMBAGIAN BILANGAN BULAT POSITIF BERPANGKAT

Dari pemberitahuan Search Engine (mesin pencari) yang masuk, seseorang mencari jawaban dari soal 10 pangkat 99 dibagi 7 berapa sisanya ? Siapapun orangnya , berikut ini penulis sajikan cara menjawab untuk soal sisa pembagian tersebut ! 1099 DIBAGI 7 SISANYA BERAPA ? Penyelesaian : Sembarang bilangan bulat positif dibagi 7 sisanya yang mungkin adalah ; 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 . Jika kita bagi secara konvensional bilangan yang begitu besar tersebut dengan 7 , tentu merepotkan dan cukup menyita waktu serta energi. Pada dasarnya mencari sisa pembagian bilangan bulat dibagi bilangan bulat sbb: Sederhanakan bilangan yang dibagi, dengan jalan memfaktorkan bilangan tersebut, tujuannya agar mendapatkan suatu bilangan yang bersisa sama (kongruen) jika dibagi 7. Faktorkan bilangan yang dibagi , dalam bentuk faktor-faktornya yang memuat bilangan pangkat dari 10 yang bersisa 1 jika dibagi 7. Kita periksa bilangan pangkat dari 10 jika dibagi 7 bersisa 1. Mulai dari bilangan terkecil yaitu 10 101 102 103 104 105 106 dibagi 7 sisanya 3 dibagi 7 sisanya 2 dibagi 7 sisanya 6 dibagi 7 sisanya 4 dibagi 7 sisanya 5 dibagi 7 sisanya 1

Tips : Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7 , tak perlu melakukan pembagian secara utuh, misalnya 102 = 100 , lalu 100 : 7 = 14 sisa 2. Anda cukup melihat hasil sisa pembagian sebelumnya , sisa pembagian 102 = 10 x 10 dibagi 7 sama dengan sisa (3 x 3) dibagi 7, 9 : 7 sisa 2. Begitu juga seterusnya 103 = 101 x 102, sisa 103 dibagi 7 adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan )Ok.. Lanjut Dengan memuat bilangan terakhir yaitu 106 , kita faktorkan 1099. Dengan algoritma pembagian diperoleh bahwa; 99 = 6 x 16 + 3 Sehingga dapat ditulis ;

Dengan demikian sisa 1099 dibagi 7 sama dengan sisa 103 dibagi 7 yaitu 6. (karena 106 dipangkatkan bilangan bulat positif berapapun dibagi 7 tetap besisa 1) Jadi, 1099 dibagi 7 bersisa 6 . SOAL LATIHAN , BERAPAKAH SISA PEMBAGIAN 52011 DIBAGI 7 ?

TINGKAT LANJUTAN : Kesamaan sisa pembagian tersebut dalam matematika dikemas dengan istilah Kongruensi Modulo. Mahasiswa tk. I biasanya telah mendapat materi ini dalam mata kuliah Aljabar atau Teori Bilangan . Apapun istilah dan penyajiannya, dalam mencari solusi sisa pembagian pada prinsifnya sama , ini yang disebut Persamaan Linear Kongruensi Modulo, dan soal tersebut dalam kongruensi modulo ditulis sebagai berikut; Tentukan penyelesaian dari 1099 x (mod 7) Jawab : Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 dibagi 7, yaitu 106 106 1 (mod 7) Kedua ruas persamaaan kongruensi modulo tersebut dipangkatkan 16 diperoleh (106)16 116 (mod 7) 1096 1 (mod 7) Kedua ruas dikali 103 , diperoleh ; 1096 x 103 1 x 103 (mod 7) 1099 103 (mod 7) 1099 10 x 10 x 10 (mod 7) 1099 3 x 3 x 3 (mod 7) 1099 27 (mod 7) 1099 6 (mod 7) Dengan kata lain, 1099 dibagi 7 bersisa 6. Simpulan : Dalam beberapa kasus soal sisa pembagian, lebih sederhana penyelesaiaannya dengan langkah pengerjaan seperti di atas , sehingga soal sisa pembagian bilangan bulat berpangkat, dapat diberikan kepada siswa SMP atau SMA. Contoh Soal berikut adalah Kebalikan Soal di atas Tentukan bilangan bulat positif terkecil , jika dibagi 3 bersisa 1 , jika dibagi 5 bersisa 2 , dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6 ! Jawab : Soal seperti ini untuk mahasiswa termasuk soal sistem persamaan linear kongruensi modulo, tetapi oleh siswa SMP dapat dijawab dengan langkah seperti berikut : Karena bilangan yang ditanyakan tak terhingga banyaknya , maka bilangan yang dicari dibatasi dengan bilangan yang terkecil.

Misalkan N adalah bilangan bulat positif terkecil, dimana N < 105 , 105 = KPK ( 3, 5, 7). N dibagi 3 bersisa 1 N dibagi 5 bersisa 2 N dibagi 7 bersisa 6 Karena FPB(3, 4 , 5) = 1 , maka kita dapat menentukan bilangan pengali untuk sisa masing-masing pembagi. Cari bilangan kelipatan persekutuan terkecil dari b dan c yang bersisa 1 dibagi a , secara bergantian. Bilangan kelipatan persekutuan terkecil dari (5 dan 7) yang bersisa 1 dibagi 3 adalah 70 , Bilangan kelipatan persekutuan terkecil dari (3 dan 7) yang bersisa 1 dibagi 5 adalah 21 , dan Bilangan kelipatan persekutuan terkecil dari (3 dan 5) yang bersisa 1 dibagi 7 adalah 15 Sehingga , Salah satu bilangan N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 70 + 42 + 90 = 202 , Tetapi bilangan N yang diminta adalah bilangan bulat positif terkecil Jadi, N = 202 105 = 97 . Jika Bilangan yang dicari bilangan bulat positif terkecil yang teridiri dari 3 digit, maka 202 jawabannya. Jika soal tersebut tanpa pembatasan, maka jawaban soal tersebut bersifat umum . Jawab umum dari soal tesersebut adalah N = 97 + k . 105 , dengan k adalah bilangan Bulat . Untuk soal ini , bilangan Pengali 70 , untuk sisa pembagian oleh 3 bilangan Pengali 21 , untuk sisa pembagian oleh 5 bilangan Pengali 15 , untuk sisa pembagian oleh 7 . Prinsipnya , sisa pembagian suatu bilangan , jika dikali dengan bilangan tertentu yang bersisa 1 jika dibagi pembagi, tidak merubah sisa pembagian tersebut. Sebagai illustrasi 9 : 7 sisanya 2 , maka 2 x 8 = 16 , 16 : 7 sisanya 2 (tetap) Bilangan Pengali 8 adalah bilangan terkecil yang dibagi 7 bersisa 1. Dengan menggunakan bilangan Pengali 15 juga diperoleh sisa yang tetap. Ini mudah dipahami secara aljabar : Jika S adalah sisa pembagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat P, maka

dengan k adalah bilangan bulat, maka tampak sisanya tetap S.

PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA OSN SMP TINGKAT KAB/KOTA TAHUN 2009 BENTUK PILIHAN GANDA BY DR-MATHS Pembahasan ini semata-mata sarana penulis berlatih, tentu yang lebih legal pembahasan dari pembuat soal itu sendiri. Pembahasan ini tak kan luput dari kekeliruan ,bagi yang memiliki langkah pengerjaan yang benar atau lebih baik,koreksi atau komentar pembaca, penulis sangat harapkan. Berikut 20 butir soal Pilihan Ganda 4 option dan pembahasannya. BAGIAN A : PILIHAN GANDA 1. Jika a, b, 15 , c, d membentuk barisan aritmetika, maka a + b + c + d = . A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannyaJawab : Karena a, b, 15 , c, d membentuk barisan aritmetika, maka selisih antara dua suku berurutan tetap. b a = 15 b = c 15 = d c . Diperoleh 15 b = c 15 b + c = 30 ..(1)

Suku tengah suatu Barisan Aritmetika, Ut = 1/2 (U1+ Un) , dengan n bilangan asli ganjil. 15 = 1/2 (a + d) a + d = 30 .(2)

Hasil penjumlahan dari .(1) + .(2) diperoleh ; a + b + c + d = 60 (B) 2. Misalkan S = { 21, 22, 23, , 30 } . Jika empat anggota S diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah A. B. C. D.

Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannya Jawab : Diketahui S = { 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} , maka n(S) = 10 . Terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap artinya jumlah dari empat bilangan yang terambil merupakan bilangan genap. Banyaknya semua kemungkinan terambilnya empat bilangan , atau banyaknya anggota Ruang Sampel sebanyak :

Ada 3 kemungkinan kejadian yang muncul, dimana ketiga kejadian tersebut merupakan tiga kejadian yang saling lepas artinya ketiga kejadian itu tidak mungkin terjadi pada saat yang bersamaan(serentak). Pertama : Misalkan A : kejadian terambilnya empat bilangan semuanya genap

Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak

Kedua : Misalkan B : kejadian terambilnya empat bilangan semuanya ganjil

Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak

Ketiga : Misalkan C : kejadian terambilnya dua bilangan genap dan dua bilangan ganjil

Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak

Peluang terambilnya empat bilangan berjumlah genap = P(A) + P(B) + P(C)

3. Diketahui koordinat segiempat ABCD adalah A(0, 0), B(30, 0), C(40, 0), dan D(30, 40). Titik E dan F masing masing membagi sisi CD dan AC menjadi dua bagian sama panjang. Jika pada segitiga CEF dibuat lingkaran dalam maka koordinat titik pusat lingkaran adalah . A. (5, 35) B. (35, 5) C. (7 , 10)

D. (10, 7 ) Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannya Jawab : :idea: Gambarlah data yang ada pada soal seperti berikut : Mis alkan titik pusat lingkaran dalam adal ah (x , y) dimana x = r , dan y= 40 r . Segitiga FEC siku-siku di C , maka panjang

Kita hitung panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga CEF, yaitu r .

Jadi, titik pusat lingkaran dalam segitiga CEF adalah (5, 35)

A

4. Berat sekor gajah pada awal tahun adalah 655,36 kg. Selama bulan Januari, berat gajah naik sebanyak 25 %. Karena debu dan efek meteorit yang menghalangi sinar matahari sepanjang bulan Februari, berat gajah turun 25%. Kemudian , sepanjang bulan Maret, sinar matahari kembali normal dan berat gajah kembali naik 25%. Pada bulan April, karena keracunan makanan, gajah terserang sakit perut yang menyebabkan beratnya kembali turun 25%. Keadaan seperti ini berlanjut hingga bulan-bulang berikutnya. Berat gajah pada akhir bulan Juli adalah kg. A. 675,00 B. 625,00 C. 600,00 D. 540,00 Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian bandingkan pembahasannya Jawab : Diketahui berat gajah pada awal tahun 655,36 kg. :idea: Untuk memudahkan perhitungan, tandai berat gajah pada akhir bulan Januari naik dengan (+) dan pada akhir bulan berikutnya turun (-) secara berulang-ulang. Misalkan berat gajah 655,36 kg. pada akhir bulan januari = A kg (+), dimana (-) (+) A = 5/4 x

pada akhir bulan Februari = B pada akhir bulan Maret =C

pada akhir bulan April pada akhir bulan Mei pada akhir bulan Juni pada akhir bulan Juli Berat gajah pada akhir bulan Juli adalah

=D = E =F =G

(-) (+) (-) (+)

A Satu-satunya pilihan jawaban yang lebih dari 655,36. 5. Gambar di bawah ini menunjukkan suatu persegi yang dibagi menjadi 6 bagian yang sama. Setiap bagian berupa persegipanjang yang mempunyai keliling 70 cm. Luas persegi tersebut sama dengan A. 625 cm2 B. 784 cm2 C. 900 cm2 D. 961 cm2

Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannya Jawab : Misalkan, panjang sisi persegi tersebut adalah S cm. Tampak seperti gambar berikut :

Keliling persegi panjang 2 x ( S + 1/6 S) = 70 S + 1/6 S = 35 7/6 S = 35 S = 6/7 x 35 S = 30 cm

= 70 cm

Jadi luas persegi tersebut adalah 30 cm x 30 cm = 900 cm2

C

6. Pada bulan Januari harga tas di Toko Asia adalah Rp 150.000,00. Pada bulan Februari harga tas naik 10%, tetapi bila yang membeli pelajar memperoleh potongan 10%. Pada bulan Maret harga tas tersebut menjadi Rp 135.000,00 , tetapi pembeli dibebani pajak pembelian sebesar 10% dan diskon bagi pelajar tidak berlaku lagi. Dua orang pelajar, Andi dan Anton membeli tas tersebut. Andi membeli pada bulan Februari, sedangkan Anton membeli pada bulan bulan Maret. Pernyataan berikut yang benar adalah . A. Jumlah uang yang dikeluarkan Andi sama dengan jumlah uang yang dikeluarkan Anton. B. Anton mengeluarkan uang sebesar Rp 150.000,00 untuk membayar tas yang dibelinya. C. Diantara tiga bulan yang disebut di atas bulan Januari adalah bulan yang paling menguntung bagi pelajar untuk membeli tas. D. Jumlah uang yang dikeluarkan Andi lebih besar dari jumlah uang yang dikeluarkan Anton. Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannya Jawab : Analisa soal : Kita harus menghitung harga jual untuk pelajar pada bulan Februari dan Maret. Harga jual untuk pelajar pada bulan Februari = 90% x(110% x Rp 150.000,00) = 90% x Rp 165.000,00 = 9 x Rp 16.500,00 = Rp 148.500,00 Sedangkan, Harga jual untuk pelajar pada bulan Maret = 110% x Rp 135.000,00

= 11 x Rp 13.500,00 = Rp 148.500,00 Dari keadaan tersebut, jelas bahwa : Jumlah uang yang dikeluarkan Andi sama dengan jumlah uang yang dikeluarkan Anton. A 7. Pada hari Minggu, jumlah uang Tora dan Ani berbanding 3 : 1. Pada hari Senin Tora memberi uang sejumlah Rp 50.000,00 kepada Ani. Sekarang perbandingan jumlah uang Tora dan Ani menjadi 1 : 2. Jumlah uang Tora dan Ani pada hari Minggu adalah . A. Rp 720.000,00 B. Rp 600.000,00 C. Rp 450.000,00 D. Rp 400.000,00 Silahkan coba kerjakan dulu ! Kemudian lihat pembahasannya Jawab : Tulis besar uang Tora = Rp 3 k , dan besar uang Ani =Rp 1 k , dengan k adalah bilangan bulat positif,sehingga jumlah uang Tora da Ani pada hari Minggu = 4 k. Berdasarkan soal diperoleh ;

Jadi, Jumlah uang Tora dan Ani pada hari Minggu = 4 x Rp 30.000,00 = Rp 120.000,00 Tak ada pilihan jawaban yang tersedia. Catatan : Jika redaksi soalnya sebagai berikut : Pada hari Minggu, jumlah uang Tora dan Ani berbanding 3 : 1. Pada hari Senin Tora memberi uang sejumlah Rp 50.000,00 kepada Ani. Sekarang perbandingan jumlah uang Tora dan Ani menjadi 2 : 1. Jumlah uang Tora dan Ani pada hari Minggu adalah . Rp. 450.000,00 C 8. Misalkan a dan b bilangan bulat sehingga a(a+b) = 34. Nilai terkecil dari a b adalah A. 17 B. 32

C. 34 D. 67 Ayo coba kerjakan dulu ! Baru lihat pembahasannya Jawab : Analisa soal : Nilai a b terkecil diperoleh jika nilai a minimum negatif dan nilai b maksimum positif. Dipenuhi, jika a = 34 sehingga a + b = 1 atau b = 34 1 = 33. Sehingga Nilai terkecil a b = 34 33 = 67 D

9. Jika A. B. C. D. Ayo coba dulu kerjakan ! lalu bandingkan pembahasannya Jawab : Ini soal pangkat tak sebenarnya . :idea: Untuk memudahkan perhitungan, samakan bilangan yang dipangkatkan ! Ingat bahwa :

10. Andi membuka sebuah buku setebal 650 halaman, hasil kali nomor halaman yang nampak adalah 702. Jumlah nomor-nomor halaman buku yang terbuka adalah A. Lebih dari 53 B. Kurang dari 50 C. Lebih dari 52 D. Kurang dari 54 Ayo coba dulu kerjakan ! Lalu bandingkan pembahasannya Jawab :

Jika nomor-nomor halaman buku yang terbuka adalah n dan n+1, maka n ( n + 1 ) = 702 , dimana n bilangan bulat positif, dan nilai n yang memenuhi n = 26 , karena 26 x 27 = 702 Sehingga jumlah nomor-nomor halaman buku yang terbuka = 26 + 27 = 53 Pilihan jawaban yang membatasi adalah D 11. Titik-titik (1, -1), (3, 4), (m, n), dan (11, -1) adalah titik-titik sudut suatu jajargenjang, m dan n bilangan bulat. Panjang diagonal terpendeknya adalah . A. 10 B. C. B. 5 Sebaiknya coba dulu kerjakan ! Lalu bandingkan pembahasannya Jawab : Gambar titik-titik sudut jajargenjang tersebut ! Tentukan koordinat titik C(m, n) ! Karena segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka panjang AB = panjang CD, dan garis AB // garis DC. Karena garis AB // garis DC, maka Koordinat titik C merupakan hasil translasi titik D oleh

Sehingga,

Jadi, koordinat titik C(13, 4)

Diagonal-diagonal jajargenjang ABCD , yaitu AC dan BD. Panjang diagonal Panjang diagonal Dengan demikian panjang diagonal terpendek adalah Secara kasat mata ,tampak pada gb. bahwa panjang diagonal BD lebih pendek daripada panjang diagonal AC. 12. Tujuh orang tukang kayu dalam waktu 5 jam menghasilkan 6 papan tulis. Dalam waktu 1 jam, papan tulis yang dihasilkan oleh seorang tukang kayu adalah . Ayo coba dulu kerjakan ! Baru lihat pembahasannya Jawab : Soal ini termasuk perbandingan senilai. Buat tabel perbandingan sbb :

Misalkan 1 orang tukang kayu dalam waktu 1 jam mengahasilkan H papan tulis Data tabel pada dua baris terakhir , bernilai sebanding, sehingga perbandingan nilai-nilai masing-masing besaran adalah senilai, ditulis :

Jadi, dalam waktu 1 jam seorang tukang kayu dapat menghasilkan tulis C

papan

13. Edy berangkat ke sekolah pukul 6.00 setiap pagi. Bila bermobil dengan kecepatan 40 km/jam, dia tiba di sekolah terlambat 20 menit . Bila kecepatan 60 km/jam, dia tiba 15 menit lebih awal. Di sekolah Edy, jam pertama dimulai pukul. A. 7.30 B. 7.25 C. 7.15 D. 7.00 Sebaiknya coba dulu kerjakan ! lalu bandingkan pembahasannya

Jawab : Kita ketahui bahwa 20 menit = 1/3 jam, dan 15 menit = 1/4 jam Misalkan Jam pertama di Sekolah Edy di mulai pada pukul 6.00 lebih t jam. Karena jarak yang ditempuh sama (tetap), maka diperoleh persamaan sbb:

Jadi, di sekolah Edy, jam pertama dimulai pukul 6.00 lebih 1 jam 25 menit = pukul 7.25 B 14. , Persamaan kuadrat

A. B. C. D. Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Soal ini mencari penyelesaian dari Persamaan kuadrat, dengan syarat tambahan yang dinyatakan dengan dalam bentuk pertidaksamaan kuadrat .

Langkah pertama : Cari penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ;

Nilai a yang memenuhi adalah (1) Langkah kedua :

Cari penyelesaian Persamaan kuadrat; Syarat Persamaan kuadrat memiliki dua akar real, jika nilai

Dari (1) dan ..(2) diperoleh nilai a yang memenuhi adalah 15. Suatu percobaan dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut : 1. Pertama kali dilakukan pelemparan sekeping mata uang 2. Jika dalam pelemparan mata uang muncul sisi gambar, percobaan dilanjutkan dengan pelemparan mata uang. Sedangkan jika muncul sisi angka, percobaan dilanjutkan dengan sebuah dadu bersisi enam. 3. Jika sampai dengan pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya selalu muncul gambar, percobaan dihentikan. 4. Jika dalam pelemparan dadu muncul angka genap, pelemparan dihentikan. 5. Jika dalam pelemparan dadu muncul angka ganjil, pelemparan diulang sekali dan selanjutnya pelemparan dihentikan apapun angka yang muncul. Peluang bahwa dalam percobaan tersebut tidak pernah terjadi pelemparan dadu adalah. 1. 2. 3. 4. 1 1/2 1/16 1/64

Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Dari data soal, tidak terjadi pelemparan dadu jika pada pelemparan mata uang muncul sisi gambar. Dan tidak pernah terjadi pelemparan dadu, jika selalu munculnya sisi gambar pada pelemparan mata uang untuk ketiga kalinya, karena percobaan dihentikan (lihat bagian (iii) ). Misalkan A : pertama kali. kejadian munculnya sisi gambar (G)pada pelemparan mata uang

Maka, P(A) = 1/2 B : kejadian munculnya sisi gambar (GG)pada pelemparan kedua kalinya. Maka, P(B) = 1/4

C : kejadian munculnya sisi gambar (GGG)pada pelemparan kedua kalinya. Maka, P(C) = 1/8 Jadi, peluang tidak pernah terjadi pelemparan dadu = P(A) x P(B) xP(C) = 1/2 x 1/4 x 1/8 = 1/64 D Mohon, kritikan untuk soal ini, penulis merasa kesulitan karena ini soal peluang bersyarat ! 16. Suatu sekolah mengikutsertakan 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan dalam seleksi OSN tingkat kabupaten/kota. Diberikan 3 soal pilihan benar-salah. Peluang bahwa tidak ada satupun siswa laki-laki yang menjawab semua soal dengan benar, sedangkan ada satu siswa perempuan yang dapat menjawab semua soal dengan benar adalah A. B. C. D. Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Banyaknya semua kemungkinan jawaban 3 soal B S tersebut, atau Ruang sampel untuk 3 soal Benar-Salah adalah S={BBB, BBS, BSB, BSS, SBB, SBS, SSB, SSS}, maka n(S)=8. Misalkan L1 , L2, L3, adalah laki-laki kesatu, kedua dan ketiga sedangkan, P1 , P2 adalah siswa perempuan ke satu dan kedua. Misalkan A : Kejadian siswa L1 tidak menjawab semua soal dengan benar.

B : Kejadian siswa L2 tidak menjawab semua soal dengan benar. C : Kejadian siswa L3 tidak menjawab semua soal dengan benar. D : Kejadian siswa P1 menjawab semua soal dengan benar. E : Kejadian siswa P2 menjawab semua soal dengan benar. Maka, ada dua kemungkinan kejadian semua siswa laki-laki tidak menjawab semua dengan benar , sedangkan ada satu siswa perempuan yang menjawab dengan benar, yaitu : DABCD atau EABCD. Kelima kejadian tersebut saling bebas, maka Tak ada pilihan yang cocok . Mohon saran untuk soal ini ! 17. Untuk sembarang p bilangan prima, misalkan h = 14p 4 . Pernyataan berikut yang benar adalah .

A. h tidak dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat dari bilangan asli. B. h dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat dari bilangan asli . C. Ada bilangan asli n sehingga berlaku 14p 4 = n3 D. Terdapat n bilangan ganjil sehingga 14p 4 = n2 Sebaiknya anda kerjakan dulu, lalu bandingkan pembahasannya ! Jawab : Periksa ! Pilihan jawaban A, B, Karena p bilangan prima sembarang, dapat kita coba satu persatu nilai untuk p bilangan prima. Untuk p = 2, maka h= 14 x 2 4 = 24 , Untuk p = 3, maka h= 14 x 3 4 = 38 , Untuk p = 5, maka h= 14 x 5 4 = 66 , bukan bilangan kuadrat bukan bilangan kuadrat bukan bilangan kuadrat

Dengan demikian h tidak dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat dari bilangan asli A Dengan teori bilangan: Misalkan h dapat dinyatakan sebagai kuadrat dari bilangan asli n, maka dapat ditulis ; 14p 4 = n2 2 (7p -2 ) = n2 Tampak bahwa n2 merupakan bilangan kelipatan 2 atau bilangan genap, sedangkan untuk n bilangan asli ganjil n2 merupakan bilangan ganjil, dengan demikian 14p 4 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat dari setiap n bilangan asli. (qed) 18. Nilai x yang memenuhi persamaan

A. B. C. D. Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Pangkatkan tiga kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh :

19. Rata-rata dari empat bilangan berurutan adalah 2m 1, maka nilai dari empat kali bilangan terkecil adalah .. A. 8m + 8 B. 8m + 3 C. 8m 7 D. 8m 10 Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Nyatakan bilangan-bilangan berurutan tersebut : m, m+1, m+2, dan m+3 . karena rata-rata dari empat bilangan berurutan adalah 2m 1, maka

Jadi, empat kali bilangan terkecil adalah 8m 10

D

20. Pada pemilihan calon ketua kelas yang diikuti oleh 5 kontestan, diketahui bahwa pemenangnya mendapat 10 suara. Jika diketahui juga bahwa tidak ada dua kontestan yang memperoleh jumlah suara yang sama, maka perolehan suara terbesar yang mungkin untuk kontestan dengan suara paling sedikit adalah A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Sebaiknya anda kerjakan dulu! Lalu bandingkan pembahasannya. Jawab : Misalkan S adalah jumlah suara kontestan yang memperoleh suara paling sedikit. Karena tidak ada dua kontestan yang memeperoleh suara yang sama, dan perolehan terbesar dicapai jika selisih perolehan suara antara dua kontestan 1, sehingga dapat kita tulis perolehan suara para kontestan dari yang paling sedikit , yaitu : S , S+1, S+2, S+3, S+4 Diketahui bahwa Jadi, S + 4 = 10, atau S = 6

perolehan suara terbesar yang mungkin untuk kontestan dengan suara paling sedikit adalah 6. D Alhamdulillah, semoga bermanfaat , mohon dibetulkan apabila ada kesalahan karena keliruan dan keterbatasan Penulis.

Share this: StumbleUpon

11 Juni 2010 - Posted by deni11math | BAHAS SOAL | PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TK KOTA 2009, PEMBAHASAN SOAL OSN SMP MATEMATIKA PG 2009, SOAL MATEMATIKA OSN SMP TK KOTA 2009 Suka Be the first to like this post.

1 Komentar

Soal Bagian A Pilihan Ganda ini disalin sesuai redaksi soal seutuhnya . Soal PG sebanyak 20 Butir. 1. Garis l melalui titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4). Jika garis l juga melalui titik (a, b) , maka nilai dari a3 b3 3a2b + 3ab2 33 = . A. 23 B. 1

C. 1 D. 28 E. 31 Jawab : Nilai yang ditanyakan yaitu bentuk aljabar yang memuat variabel a dan b , berarti kita harus mencari nilai a dan b . Dari data soal titik ( a, b) terletak pada garis l , berarti gradien garis antara titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4) dan antara titik (3, 4) dan (a , b) sama sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

Maka nilai dari a3 b3 3a2b + 3ab2 33 = ( a b )3 33

= (- 1)3 33 = -1 27 = 28 (D)

2. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah . A. 21 B. 31 C. 61 D. 111 E. 121 Jawab : Jika kita perhatikan suku-suku barisan dalam kelompok ke-2 , ke-3, ke-4 dst, merupakan barisan Aritmetika dengan selisih 2. Agar dapat menentukan suku tengah dari kelompok barisan tersebut, kita harus menentukan Rumus Suku ke-n untuk setiap kelompok ke-k . Perhatikan barisan suku-suku pertama setiap kelompok ke-k berikut : 1 , 3 , 7 , 13 , 21 ,

dengan k bilangan Asli Ini barisan tingkat dua sehingga f(k) adalah suatu fungsi berderajat dua dalam k Lebih dari satu cara menentukan rumus suku ke-n barisan tingkat 2, (dapat dilihat pada Pembahasaan Soal Matematika Ujian Nasional SMP/MTs Tahun 2009/2010 pada Daftar Isi) . Atau Click disini ! Sekarang kita tentukan f(k) dengan rumus. Kita ketahui rumus suku ke-k barisan tingkat 2 adalah

Perhatikan pada skema bilangan diatas nilai a = 1 , b = 2 , dan c = 2 , sehingga

Perhatikan suku-suku bilangan yang terdapat pada setiap kelompok ke-k , merupakan barisan Aritmetika dengan selisih atau beda = 2, dan suku pertama f(k) , dengan demikian dapat dirumuskan Suku ke-n kelompok ke-k sebagai berikut :

Suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6 , sehingga diperoleh U(6) = f(11) + (6 1) 2 U(6) = 112 11 + 1 + 5 x 2 U(6) = 121 10 + 10 = 121 Jadi Suku tengah kelompok ke-11 adalah 121 (E) 3. n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima. Nilai dari 64 16n + n2 adalah . A. 1 B. 4 C. 9

D. 16 E. 25 Jawab : Agar 7 + 30n merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima) , maka nilai n yang memenuhi adalah 6 , sehingga 7 + 30.6 bukan bilangan prima , karena (7 + 30. 6 )=187 habis dibagi 11 atau 187 = 11 x 17 Jadi nilai dari 64 16n + n2 = 64 166 + 62 = 64 96 + 36 = 4 (B) telah diralat

4. Dijual 100 lembar kupon , 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian. Peluang Ali mendapat 2 hadiah adalah A. B. C. D. E. Jawab : Ini merupakan dua kejadian yang tak bebas artinya terjadinya salah satu kejadian atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi kejadian yang lain. Sehingga terdapatnya lembar kupon ke-1 berhadiah ataupun tidak, akan mempengaruhi peluang pada lembar kupon yang ke-2. Dengan demikian Peluang Ali mendapat 2 lembar kupon berhadiah adalah P(2 berhadiah) = (D)

Dengan teori peluang banyaknya hasil yang mungkin adalah Permutasi 2 dari 100 ditulis

Banyaknya hasil yang dimaksud 2 kupon berhadiah Jadi Peluang (Ali mendapat 2 kupon berhadiah ) =

5. Bilangan tiga digit 2A3 jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit 5B9. Jika 5B9 habis dibagi 9 , maka A + B = . A. 5 B. 6 C. 7

D. 8 E. 9 Jawab : Nyatakan soal tersebut ke dalam kalimat matematika 200 + 10A + 3 + 326 = 500 + 10B + 9 500 + 10B + 9 = = = A = 10B 10B B B 2 (1)

500 + 10A + 20 + 9 = 10A + 20 10 ( A + 2 ) A+2

Karena 5B9 habis dibagi 9, maka jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 , sehingga dapat ditulis 5 + B + 9 = k. 9 , dengan k bilangan bulat B + 14 B + 14 B + 14 B = k. 9 =2x9 = 18 =4 dipenuhi untuk k = 2, sehingga

Substitusi B = 4 ke persamaan (1) diperoleh A= 4 2 =2 Jadi Nilai A + B = 2 + 4 = 6 (B)

6. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah A. B. C. D. E. Jawab : Pada pelantunan sebuah mata uang dan sebuah dadu,kejadian munculnya angka atau gambar pada mata uang dan kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,atau 6 merupakan dua kejadian yang saling bebas artinya kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang satu tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang lain.

Tetapi soal hanya menanyakan peluang munculnya mata dadu lebih dari 2. Hasil yang mungkin adalah S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } , maka n(S) = 6 Hasil yang dimaksud atau mata dadu lebih dari 2 adalah A= { 3 , 4, 5, 6} , maka n(A) = 4 Jadi Peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah P(A) = 4/6 = 2/3 (D) Jika soal menanyakan peluang munculnya angka pada uang dan muncul mata dadu lebih dari 2, maka peluangnya = 1/2 x 4/6 = 1/3 7. Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37 . Apabila bilangan yang lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5. Selisih kedua bilangan tersebut adalah A. B. C. D. E. 21 22 23 24 25

Jawab : Misalkan bilangan-bilangan bulat tersebut adalah A dan B , dimana A > B A+B A = 37 (1)

= 3 x B + 5 (2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan(1) diperoleh ; 3B+5+B = 37

4 B = 37 5 4 B = 32 B = 8 , maka A = 3 x 8 + 5 = 29 Jadi A B = 29 8 = 21 (A) (telah diralat)

8. Jika x : y = 3 : 4 , maka A. B. C.

D. E. Jawab : Untuk memudahkan perhitungan kita tulis x = 3k , dan y = 4k , dengan k bilangan Real dan k 0 Sehingga

(A) 9. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah cm. A. B. C. D. E. Jawab : Buatlah sketsa gambar dari soal tersebut seperti berikut ini :

Jika titik-titik C , D, E, dan F adalah titik-titik singgung garis singgung persekutuan dua lingkaran, maka panjang CD = EF = BG = BH. Kita ketahui bahwa garis singgung tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgung. Konstruksi sedemikian rupa sehingga segiempat BCDG dan segiempat BFEH adalah persegipanjang. Dengan demikian panjang AG = AH = 30 cm.

Perhatikan segitiga AGB siku-siku di titik G , karena AG : AB = 30 : 60 = 1 : 2 , maka Besar sudut ABG = 300 dan besar sudut BAG = 600 , begitu pula pada segitiga AHB siku-siku di H , maka Besar sudut ABH = 300 dan besar sudut BAH = 600 Berdasarkan teorema Pythagoras

Jadi panjang tali yang melingkari kedua lingkaran adalah

cm

(A)

10. Pada segitiga ABC (siku-siku di C), titik Q pada AC, titik P pada AB, dan PQ sejajar BC. Panjang AQ = 3 ; AP = 5 ; BC = 8 , maka luas segitiga ABC adalah A. 48 B. 36 C. 24 D. 22 E. 12 Jawab : Gambar segitiga tersebut

Karena PQ sejajar BC , maka besar sudut AQP = besar sudut ACB = 900(pasangan sudut sehadap) Segitiga AQP siku-siku di Q , maka panjang PQ = 4 (ingat tripel Pythagoras 3 , 4, 5) Begitu pula besar sudut APQ = besar sudut ABC (pasangan sudut sehadap), maka

Segitiga AQP sebangun dengan segitiga ACB , (sd-sd-sd) akibatnya;

Jadi Luas segitiga ABC = 1/2 x AC x BC = 1/2 x 6 x 8 = 24 11. Jika diberikan maka nilai

(C) dengan n bilangan asli,

A. 5 B. 0 C. 17 D. 28 E. 30 Jawab : Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Perhatikan polanya ! Jika kita amati untuk n bilangan asli ganjil suku-suku deret bertanda positif, sedangkan untuk n bilangan asli genap bertanda negatif. Dengan kata lain Sn sama dengan selisih dari jumlah bilangan asli ganjil dan jumlah bilangan asli genap yang terdapat dalam n suku pertama deret tersebut.

Dengan cara yang sama diperoleh

(D) 12. Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah A. 420 B. 504 C. 520 D. 720 E. 710

Jawab : Soal ini menuntut logika berpikir dalam memahami syarat soal yang diberikan dan penggunaan konsep Kombinasi dan Permutasi. Pertama menentukan banyaknya kombinasi gambar yang terdiri dari 4 gambar dari 7 gambar yang tersedia, yaitu sebanyak kombinasi 4 unsur dari 7 unsur berbeda , ditulis :

Terdapat 35 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar. Selanjutnya dari 1 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar tersebut kita pasangkan pada tempat yang membentuk barisan memanjang . Untuk memudahkan kita sediakan kotak sebagai tempat banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemasangan gambar tersebut. Jika 1 gambar yang dipiih dari 4 gambar dipasangkan di ujung sebelah kiri , maka banyaknya cara yang dapat dilakukan ada sebanyak :

1 x 3 x 2 x 1 = 6 cara , tetapi gambar yang dipilih dapat pula ditempatkan di ujung sebelah kanan (pada tempat ke-4) , sehingga banyaknya cara dari 1 kombinasi yang terdiri 4 gambar ini adalah 6 x 2 = 12 cara. Dengan demikian banyaknya cara dari 35 kombinasi sebanyak = 12 x35 = 420 cara. (A) Ini menurut nalar penulis, mohon kritik jika ada kekeliruan ! 13. Diketahui adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di atas ?

A. I B. II C. III D. I dan III E. II dan III Jawab : 3 x merukan bilangan bulat , jika x adalah bilangan bulat dan x = 1/3 Dimana k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.

Nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk diatas adalah -1, -3, 1, 3 , dan 1/3 Jelas untuk nilai x tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah III (C)

14. Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10 , ada sebanyak buah bilangan. A. 6 B. 5

C. 4 D. 3 E. 2 Jawab : Karena perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10, maka bilangan tersebut terdiri dari angka 1 , 2, dan 5 . Permutasi dari 3 angka tersebut sebanyak 6 macam yaitu : 125, 152, 215, 251, 512, 521 . Dari bilangan-bilangan tersebut masing-masing ada sebanyak 2 bilangan yang merupakan bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 5. Dari bilangan ratusan tersebut yang merupakan bilangan prima adalah 251 dan 521. Jadi ada sebanyak 2 buah bilangan (E)

15. Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja. Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat. Harga baja setiap 1 cm2 adalah Rp 800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp 1.300,00; dan setiap 10 cm2 membutuhkan cat seharga Rp 1.600,00;. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah A. Rp 2.020.000,00 B. Rp 1.160.000,00 C. Rp 1.060.000,00 D. Rp 1.050.000,00 E. Rp 1.030.000,00 Jawab : Biaya pembelian Baja = Luas prisma x Rp 800,00 = (2 x15 x 15 + 4 x 15 x 10)x Rp 800,00 =(450 + 600 ) Rp 800,00 = 1.050 x Rp 800,00 = Rp 840.000,00 Biaya pembelian Kawat = (8 x 15 + 4 x 10) x Rp 1.300,00/4 cm

= (2 x 15 + 10 ) Rp 1.300,00 = 40 x Rp 1.300,00 = Rp 52.000,00 Biaya pengecatan = luas prisma x Rp 1.600,00/10 cm2 = 1.050 x Rp 160,00 = Rp 168.000,00 Jadi biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah Rp (840.000,00 + 52.000,00 + 168.000,00) = Rp 1.060.000,00 16. Jika P(x) =Q(x) (x a) , dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka : A. P(a) 0 B. x a bukan faktor dari P(x) C. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0) D. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (-a, 0) E. titik potong erhadap sumbu x tidak dapat ditentukan Jawab : Periksa dan pilihlah pernyataan yang benar ! A. Salah , karena P(a)=0 B. Salah, karena (x a) merupakan faktor dari P(x) Kurva y =P(x) memotong sumbu x , jika y= 0 maka 0 =Q(x) (x a) (x a)= 0 x=a Jadi yang benar kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0) ( C) (C)

17. Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang dengan cara menempelkan sisi-sisinya. Banyak bangun ruang berbeda yang terbentuk adalah A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 E. 3 Jawab : Banyaknya bangun ruang yang berbeda ada 8. (B)

18. Fungsi f (x) = x2 ax mempunyai grafik berikut :

Grafik fungsi g(x) = x2 + ax + 5 adalah . Jawab : Dari grafik fungsi f (x) = x2 ax , tampak bahwa nilai a > 0 (a positif) Sehingga sumbu simetri fungsi g(x) = x2 + ax + 5 , yaitu Grafik fungsi g(x) = x2 + ax + 5 , memotong sumbu Y di titik (0, 5) Jadi grafik yang benar dari pilihan jawaban yang disediakan hanya bernilai negatif.

(A) 19. Terdapat 3 orang Indonesia , 4 orang Belanda , dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah A. 24 B. 48

C. 288 D. 536 E. 1728

Jawab : Banyaknya Permutasi dari 3 warga negara sebanyak 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Sedangkan dalam satu warga negara mereka duduk bervariasi , sehingga banyaknya susunan yang terjadi jika duduk berkelompok menurut kewarganegaraanya adalah 3! x 4! x 2! x 6 = (3x2x1) x (4x3x2x1) x (21) x 6 = 6 x 24 x 2 x 6 = 288 x 6 = 1728 (E) 20. Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan. Jika x , y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 Jawab : Untuk memudahkan buatlah tabel seperti berikut : Cara Ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 Banyaknya Uangseribuan (x) 20 0 0 15 10 10 5 5 0 Banyaknya UangLima Banyaknya UangSepuluh Jumlah ribuan (x) ribuan (z) Uang 0 0 20.000 4 0 20.000 0 2 20.000 1 0 20.000 2 0 20.000 0 1 20.000 3 0 20.000 1 1 20.000 2 1 20.000

Jadi ada 9 cara berbeda

(D)

Alhamdulillah , Selamat mempelajari ! semoga anda terispirasi, berikan komentar jika ada yang keliru . Posted by DR-Maths May MMX