penerapan teori antrean pada loket pengisian bahan bakar … · bahan bakar motor pertalite di...

PENERAPAN TEORI ANTREAN PADA LOKET PENGISIAN

BAHAN BAKAR MOTOR PERTALITE

DI STASIUN PENGISIAN BAHAN BAKAR UMUM (SPBU) 44.556.05

NANGGULAN KULON PROGO

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun oleh:

ANGELA SANDRA SUKMANING HATMARINA

171414084

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENERAPAN TEORI ANTREAN PADA LOKET PENGISIAN

BAHAN BAKAR MOTOR PERTALITE

DI STASIUN PENGISIAN BAHAN BAKAR UMUM (SPBU) 44.556.05

NANGGULAN KULON PROGO

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun oleh:

ANGELA SANDRA SUKMANING HATMARINA

171414084

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada:

Tuhan Yesus dan Ibu Maria yang selalu memberikan berkat dan karunia-Nya

yang melimpah dalam hidupku.

Mama yang sangat saya cintai, Victoria Rini Mursriyati, S.Pd., yang selalu

menemani setiap langkahku, memberi wejangan-wejangan sangat berarti, dan

memberikan dukungan serta doanya.

Bapak Sudarto dan adik-adikku tercinta, Benedictus Panji Hatma Negara dan

Erlyta Everlyn Daniella yang selalu memberikan dukungan dan semangat serta

doa.

Teman dekat, Matius Juni Untoro, S.Pd., yang selalu membantu dalam bentuk

apapun.

Almamaterku Universitas Sanata Dharma


v

HALAMAN MOTTO

“Jangan khawatir terhadap pencapaian yang didapat oleh orang lain karena

setiap orang memiliki porsinya masing-masing”.

(Cyrenia Novella Krisnamurti)


viii

ABSTRAK

Angela Sandra Sukmaning Hatmarina. 2020. Penerapan Teori Antrean pada

Loket Pengisian Bahan Bakar Motor Pertalite di Stasiun Pengisian Bahan

Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan Kulon Progo. Skripsi. Program

Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma.

Kegiatan antrean merupakan kegiatan yang hampir setiap hari dilakukan

oleh manusia, seperti saat membayar di kasir supermarket, saat mengisi bahan

bakar, atau saat melakukan transaksi di sebuah bank. Teori antrean merupakan

bagian dari matematika yang mempelajari aktivitas manusia ini sehingga didapat

antrean yang efisien dan efektif. Penelitian ini bertujuan untuk: 1) memahami teori

antrean, dan 2) mengaplikasikan teori antrean untuk permasalahan antrean di

Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan.

Metode penelitian ini adalah studi pustaka yaitu membaca dan memahami

teori-teori antrean dari berbagai sumber dan diaplikasikan pada kasus pelayanan

pengisian bahan bakar di SPBU 44.556.05 Nanggulan. Objek penelitian adalah

sistem pelayanan dan model antrean yang digunakan pada layanan pengisian bahan

bakar pertalite sepeda motor di SPBU tersebut. Data diperoleh dari kegiatan

pengamatan pengisian bahan bakar selama waktu tertentu.

Hasil dari pembahasan penelitian adalah sebagai berikut. (1) Teori antrean

merupakan salah satu topik dalam Riset Operasi yang mempelajari dan

memodelkan kegiatan antrean yang dilakukan oleh manusia dalam kehidupan

sehari-hari. Tujuan dari teori ini adalah untuk mengetahui dan menjaga

keseimbangan waktu pelayanan dan waktu menunggu selama permintaan

pelayanan berlangsung. Secara sederhana, berdasarkan jumlah server, terdapat dua

jenis antrean. Jenis pertama adalah sistem pelayanan yang hanya memiliki satu

server pelayanan (M/M/1) dan jenis yang kedua yaitu memiliki dua atau lebih

server pelayanan (M/M/c). (2) Jika teori antrean tersebut diaplikasikan pada SPBU

44.556.05 Nanggulan khusus pelayanan pertalite sepeda motor, maka model teori

antrean yang sesuai adalah M/M/1, yang berarti hanya membuka satu pelayanan.

Disiplin antrean yang digunakan adalah First In First Out (FIFO) yang berarti

pelanggan yang masuk terlebih dahulu akan mendapat pelayan pertama.

Berdasarkan perhitungan dalam penelitian ini, penerapan model teori antrean

M/M/1 di SPBU 44.556.05 Nanggulan termasuk dalam kategori sudah optimal.

Probabilitas fasilitas layanan sibuk (𝑃𝑤) mendekati 100% dan probabilitas tidak ada kendaraan dalam antrean (𝑃0) mendekati 0%, yang artinya tingkat pelayanan relatif tinggi dan ada sedikit waktu luang untuk istirahat dalam pelayanan. Rata-rata

jumlah kendaraan dan rata-rata waktu dalam antrean maupun pelayanan tergantung

pada laju kedatangan dan laju pelayanan.

Kata kunci: teori antrean, pelayanan satu server, pelayanan multi server


ix

ABSTRACT

Angela Sandra Sukmaning Hatmarina. 2020. The Application of Queueing

Theory at Pertalite Motorcycle Refueling Counters in Nanggulan Gas Station

44.556.06 Kulon Progo. Thesis. Mathematics Education Study Program,

Mathematics and Natural Science Education Departement. The Faculty of

Teacher Training and Education, Sanata Dharma University.

Queue is one of daily human activity, such as queueing for payment in a

supermarket cassier, refueling in a gas station, and when doing bank transation.

Queueing Theory is a branch of mathematics that study that human activity in order

to get an efficient and effective queue. The aim of the research are to 1) understand

the queueing theory, and 2) apply the queueing theory for the case of queueing at

Nanggulan gas station 44.556.05.

This research used a literature study method through reading and

understanding queueing theories those were applied in research on certain cases

or events. The events being researched was the process of refueling service at the

Nanggulan gas station 44.556.05. It is conducted through observing the time

required to get the service from gas station attendant. The subject of this research

were consumers who were refueling their motorcycle with Pertalite gasoline at

Nanggulan gas station at specific hours. The objects of this research were the

service system and its queue model. The data collection technique was obtained

through observation.

The results of the research discussion are the following. (1) The queueing

theory is one of the topics in Operations Research that studies and models queueing

activities carried out by humans in everyday life. The purpose of the theory is to

determine and maintain a balance between service time and waiting time during

ongoing service requests. Based on the number of servers, there are two types of

queue. The first type is a one service server (M/M/1) and the second one is a two or

more service servers (M/M/c). (2) If the queueing theory is applied to Nanggulan

gas station 44.556.05 for motorcycle pertalite service, then the appropriate model

is a single channel-single phase (M/M/1). For motorcycle pertalite gasoline

refueling activities, the Nanggulan gas station 44.556.05 opens only one service.

The discipline used at the service there is First In First Out (FIFO) which means

the customer who comes in first gets the first service. Based on the computation,

the M/M/1 queueing theory model at Nanggulan gas station 44.556.05 has been

optimal is probability that the service facility is busy (𝑃𝑤) approaching 100% and probability of no individual in service approaching 0%. Average number individuand average waiting time in service or in queue based on arrival rate and

service rate.

Keyword: Queue Theory, One server service, multiserver service.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iii

HALAMAN MOTTO ........................................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .................................................. vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................... x

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xv

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xvi

BAB I ...................................................................................................................... 1

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 5

C. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 6

D. Manfaat Penelitian .................................................................................... 6

E. Metode Penelitian ...................................................................................... 6

F. Sistematika Penulisan ............................................................................... 6

BAB II .................................................................................................................... 8

A. Teori Himpunan ........................................................................................ 8

B. Kalkulus ................................................................................................... 14

C. Teori Peluang ........................................................................................... 20

D. Distribusi Eksponensial .......................................................................... 30

E. Distribusi Poisson .................................................................................... 32

F. Uji Kolmogorov-Smirnov ....................................................................... 35

BAB III ................................................................................................................. 38

A. Pengertian Teori Antrean ....................................................................... 38

B. Elemen Pokok Antrean ........................................................................... 39

C. Model-model Teori Antrean ................................................................... 43


xiv

BAB IV ................................................................................................................. 64

A. Kinerja Sistem Antrean .......................................................................... 64

B. Deskripsi Kegiatan .................................................................................. 65

C. Perhitungan Data .................................................................................... 66

D. Analisis Perhitungan ............................................................................... 93

BAB V ................................................................................................................... 96

A. Kesimpulan .............................................................................................. 96

B. Keterbatasan ............................................................................................ 98

C. Saran ......................................................................................................... 98

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 100

LAMPIRAN ....................................................................................................... 102

Lampiran 1. Surat Ijin Pengamatan dari Program Studi ........................ 103

Lampiran 2. Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian di SPBU

44.556.05 Nanggulan ................................................................. 104

Lampiran 3. Data Hasil Pengamatan ......................................................... 105


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3. 1 Simbol-Simbol Pengganti Notasi Kendal-Lee ..................................... 44

Tabel 4. 1 Data Pengamatan Kedatangan..............................................................65

Tabel 4. 2 Data Pengamatan Pelayanan ................................................................ 66

Tabel 4. 3 Penyajian Kedatangan Data 1 .............................................................. 67

Tabel 4. 4 Penyajian Kendaraan Keluar Data 1 .................................................... 69

Tabel 4.5 Penyajian Kedatangan Data 2 ............................................................... 74

Tabel 4. 6 Penyajian Kendaraan Keluar Data 2 .................................................... 76


Tabel 4.8 Penyajian Kendaraan Keluar Data 3 ..................................................... 82


Tabel 4. 10 Penyajian Kendaraan Keluar Data 4 .................................................. 89

Tabel 4. 11 Perbedaan Antar Perhitungan Data .................................................... 93

Tabel 5. 1 Hasil Analisis Kerja Sistem Antrean....................................................97


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Operator telepon manual pada awal abad ke-20 (diunduh .................. 3

Gambar 1.2 Agner Erlang (diunduh https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm) ... 4

Gambar 2.1 Diagram Venn....................................................................................10

Gambar 2.2 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan Bagian .............................. 11

Gambar 2.3 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan yang Saling Lepas ............ 12

Gambar 2.4 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Irisan ..................................... 13

Gambar 2.5 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Gabungan ............................. 14

Gambar 2.6 Partisi Sumbu 𝑥 ................................................................................. 17

Gambar 2.7 Diagram Panah dari ruang sampel ke himpunan bilangan Real........ 24

Gambar 3.1 Ilustrasi suatu Antrean.......................................................................39

Gambar 3.2 Ilustrasi Antrean Model Single Channel ........................................... 51

Gambar 3.3 Ilustrasi Antrean Model Single Channel-Single Phase ..................... 53

Gambar 3.4 Ilustrasi Antrean Model Single Channel-Multi Phase....................... 53

Gambar 3.5 Ilustrasi Antrean Model Multiple channel-single phase ................... 59

Gambar 3.6 Ilustrasi Antrean Model Multiple channel-Multiple phase ............... 60

Gambar 4.1 Struktur Sistem Pelayanan................................................................64

Gambar 4.2 Grafik Jumlah Kedatangan Data 1 .................................................... 66

Gambar 4.3 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 1 ........................................ 68

Gambar 4.4 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................... 68

Gambar 4.5 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 1 ............ 70

Gambar 4.6 Grafik Jumlah Kedatangan Data 2 .................................................... 73

Gambar 4.7 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 2 ........................................ 75

Gambar 4. 8 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar .............................................. 75

Gambar 4.9 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 2 ............ 76

Gambar 4.10 Grafik Jumlah Kedatangan Data 3 .................................................. 80

Gambar 4.11 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 3 ...................................... 81

Gambar 4.12 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................. 82

Gambar 4.13 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 3 .......... 83

Gambar 4.14 Grafik Jumlah Kedatangan Data 4 .................................................. 86

Gambar 4.15 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 4 ...................................... 88

Gambar 4.16 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................. 88


xvii

Gambar 4.17 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 4 .......... 90


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Seiring berjalannya waktu, manusia dari zaman ke zaman selalu

mengalami perkembangan. Manusia pastinya membutuhkan sarana teknologi

berguna dalam menunjang atau meringankan pekerjaannya pada kehidupan

sehari-hari. Sarana merupakan segala sesuatu yang memiliki fungsi sebagai alat

yang membantu manusia dalam melaksanakan setiap pekerjaannya. Sedangkan

teknologi itu sendiri merupakan segala sesuatu yang digunakan sebagai sarana

dalam menyediakan barang yang digunakan untuk mendukung kelangsungan

dan kenyamanan dalam kehidupan manusia sehari-hari.

Salah satu teknologi yang mampu membantu mobilitas manusia dapat

berpindah dari satu tempat ke tempat lainnya adalah kendaraan. Saat ini,

kendaraan yang sangat banyak dipergunakan dan terjangkau di kalangan

masyarakat adalah sepeda motor. Sepeda motor merupakan kendaraan yang

praktis dengan harga yang relatif murah dan terjangkau oleh banyak orang.

Jenis Bahan Bakar Minyak (BBM) yang dapat dipakai oleh sepeda motor adalah

jenis premium, pertalite, pertamax, atau pertamax turbo. Semakin

bertambahnya pengguna sepeda motor mengakibatkan antrean di beberapa

stasiun pengisian BBM di beberapa lokasi, khususnya yang berada di tempat-

tempat strategis. Situasi ini diperparah saat berkurangnya pasokan BBM di

beberapa daerah yang mengakibatkan adanya antrean panjang di daerah

tersebut.


2

Peneliti melakukan pengamatan sepintas pada siang hari, sore hari, dan

weekend (Sabtu dan Minggu) di Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU)

444.552.17 ACR Maguwoharjo Yogyakarta, SPBU 44.556.05 Nanggulan,

SPBU 44.555.20 Tajem di waktu yang berbeda. Berdasarkan pengamatan

tersebut, peneliti melihat terjadinya antrean panjang pada jam-jam tertentu dan

hari-hari tertentu, yaitu di pagi hari, di sore hari, dan weekend (Sabtu dan

Minggu). Hal ini dipengaruhi oleh kebutuhan masyarakat di pagi hari untuk

bekerja, mengantar anak ke sekolah, maupun sebagai mata pencarian sehari-

hari misal ojek. Antrean panjang di sore hari terjadi karena adanya kebutuhan

bahan bakar untuk melanjutkan perjalanan pulang maupun untuk

mempersiapkan keesokan harinya. Sedangkan pada weekend, terjadinya antrean

panjang dikarenakan akan bepergian liburan.

Dalam hidup sehari-hari, antrean tidak hanya terjadi saat mengisi bahan

bakar untuk kendaraan. Antrean sudah menjadi bagian hidup manusia. Tidak

jarang manusia lebih lama menghabiskan waktu untuk antre dibandingkan

dengan lama proses yang dibutuhkan untuk sebuah urusan, seperti yang terjadi

di bank atau kantor-kantor pemerintah. Antrean panjang juga terjadi di pintu

gerbang tol, misalnya, pada saat-saat melimpahnya pengguna jalan tol tersebut.

Berdasarkan situasi tersebut, perlu kiranya dipikirkan agar antrean yang

panjang dan menghabiskan waktu itu bisa dihindari atau minimal dikurangi.

Sudah terdapat banyak penelitian dalam matematika untuk meminimalisir

proses antrean yang terjadi dalam masyarakat. Untuk menghindari antrean

panjang, beberapa rumah sakit menerapkan pendaftaran online sehingga pasien

cukup datang sesuai dengan waktu yang ditentukan. Beberapa swalayan


3

memiliki solusi berbeda untuk menghindari antrean panjang saat pembayaran

di kasir, yakni dengan menyediakan kasir lebih dari satu.

Antrean merupakan individu yang sedang berusaha untuk menerima

pelayanan dari pemberi layanan yang terbatas, sehingga pendatang harus

menunggu terlebih dahulu dalam suatu barisan agar mendapatkan giliran untuk

dilayani. Demi mempertahankan pelanggan agar merasa nyaman saat antre,

maka diperlukan sistem antrean yang baik. Teori antrean adalah salah satu teori

dalam Riset Operasi yang mempelajari dan memodelkan kegiatan antrean.

Penggunaan teori antrean ini memiliki tujuan untuk mengkaji kegiatan antrean

tersebut yaitu waktu menganggur dari penyedia layanan dan waktu para

individu yang harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan.

Gambar 1. 1 Operator telepon manual pada awal abad ke-20 (diunduh

https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm)

Teori antrean bermula pada awal abad ke-20 dan diawali oleh seorang

matematikawan Agner Krarup Erlang yang bekerja pada Perusahaan Telepon

Kopenhagen sebagai kepala laboratorium teknis (Boyd, 2014). Telepon pada

zaman itu masih menggunakan alat perantara kabel yang disambungkan dari


4

perusahaan Telepon untuk menyambungkan antara telepon satu dengan telepon

lain. Operator sangat kewalahan dalam memberikan pelayanan yang cepat

kepada para penelepon, sehingga para penelepon harus menunggu antrean

sebelum tersambung kepada penerima. Sebagai kepala laboratorium teknis,

Erlang mengupayakan agar masa tunggu para penelepon se-minimal mungkin.

Dia adalah orang pertama yang mempelajari masalah jaringan telepon dan

melakukan eksperimen tentang penyambungan telepon tersebut.

Gambar 1. 2 Agner Erlang (diunduh

https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm)

Langkah awal yang dilakukan oleh Erlang adalah membuat model

matematika untuk telepon yang masuk. Selanjutnya, dia membuat model

matematika yang mendeskripsikan lama percakapan untuk setiap penelepon.

Dari kedua model matematika tersebut, pada tahun 1909, Erlang

mengembangkan teori antrean yang dipublikasikan-nya dalam makalah yang

berjudul, “Teori Probabilitas dan Percakapan Telepon (The Theory of


5

Probability and Telephone Conversations).” Teori antrean yang dikembangkan

oleh Erlang ternyata juga digunakan oleh beberapa perusahan lain di seluruh

dunia untuk menyelesaikan permasalahan seputar antrean, misalnya

dipergunakan di bank, kantor pos, atau rumah sakit.

SPBU 44.556.05 Nanggulan merupakan salah satu stasiun pengisian

bahan bakar umum di Kulon Progo yang terletak di jalan Nanggulan-

Kalibawang. Terlihat pada jam-jam atau waktu-waktu tertentu antrean panjang

terjadi pada SPBU tersebut. Pada penelitian ini, peneliti akan melakukan studi

tentang teori antrean tersebut dan selanjutnya mengaplikasikan pada Stasiun

Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU). Penggunaan teori antrean diharapkan

dapat mengurangi antrean panjang yang terjadi di sebuah SPBU. Berdasarkan

pengamatan, peneliti hendak melakukan kegiatan penelitian untuk mengatasi

masalah antrean yang terjadi di SPBU 44.556.05 Nanggulan dengan

menggunakan teori antrean. Dengan demikian, peneliti akan melakukan

penelitian dengan judul “Penerapan Teori Antrean pada Loket Pengisian Bahan

Bakar Motor Pertalite di Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU)

44.556.05 Nanggulan Kulon Progo”.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka dirumuskan permasalahan sebagai

berikut:

1. Apakah yang dimaksud dengan teori antrean?

2. Bagaimana teori antrean diaplikasikan pada Stasiun Pengisian Bahan Bakar

Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan?


6

C. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:

1. Memahami teori antrean.

2. Mengaplikasikan teori antrean untuk permasalahan antrean di Stasiun

Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan.

D. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi peneliti, penelitian ini merupakan suatu sarana untuk mempelajari dan

memahami teori antrean serta aplikasinya.

2. Bagi pembaca, penelitian ini memberikan referensi dan informasi bagi

pihak yang membutuhkan.

3. Bagi SPBU, memberikan informasi mengenai penanganan antrean yang

terjadi pada pelayanan pengisian bahan bakar secara khusus pada SPBU

44.556.05 Nanggulan.

E. Metode Penelitian

Metode penelitian yang akan digunakan adalah metode studi pustaka yaitu

membaca dan memahami teori-teori antrean yang diaplikasikan dengan

penelitian terhadap kasus atau peristiwa tertentu yaitu proses pelayanan

pengisian bahan bakar pada SPBU 44.556.05 Nanggulan dengan mengamati

dan melakukan observasi. Dari data-data yang diperoleh, kemudian dianalisis

dan ditarik kesimpulan.

F. Sistematika Penulisan

Agar hasil penelitian ini lebih terarah dan mudah dipahami oleh pembaca, maka

peneliti menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:


7

BAB I: PENDAHULUAN

Pada bab ini diuraikan mengenai pendahuluan yang terdiri dari latar belakang,

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan

sistematis penulisan.

BAB II: KAJIAN TEORI

Pada bab ini, penulis mengemukakan konsep-konsep dasar yang akan

dipergunakan dalam terori antrean.

BAB III:

Pada bab ini, penulis mengemukakan teori dasar antrean.

BAB IV:

Pada bab ini membahas tentang analisis data dan pembahasan dari hasil

penelitian.

BAB V:

Bab ini membahas kesimpulan dan keterbatasan penelitian, serta saran peneliti

untuk penelitian selanjutnya.


8

BAB II

KAJIAN TEORI

Pada bab ini dibahas tentang beberapa hal yang menjadi konsep-konsep dasar

dalam teori antrean pada bab selanjutnya. Materi yang diuraikan tentang definisi,

teorema, dan kajian matematika mengenai teori himpunan, kalkulus, dan statistika.

Berikut ini uraiannya.

A. Teori Himpunan

Definisi 2.1 Himpunan

Himpunan merupakan suatu kumpulan benda atau objek yang memiliki sifat

tertentu yang sama dan dapat didefinisikan dengan jelas. (Susilo, 2012)

Contoh 2.1

Himpunan mahasiswa yang mengikuti mata kuliah riset operasi.

Himpunan hewan berkaki empat.

Himpunan biasa dinotasikan dengan tanda kurung kurawal dan dapat

dinyatakan dengan menggunakan huruf kapital seperti : A, B, C, X, Y, Z dan

lain-lain. Anggota himpunan dapat dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b,

c, x, y, dan lain-lain. Objek-objek yang terdapat dalam suatu himpunan disebut

anggota atau elemen atau unsur himpunan itu. Lambang atau notasi yang

digunakan untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah ∈ yang dibaca

“anggota dari”. Berikut merupakan contohnya.

Contoh 2.2

Himpunan A merupakan himpunan huruf vokal, maka dapat dinotasikan

sebagai berikut


9

𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜}

Dengan demikian, 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐴, 𝑢 ∈ 𝐴, 𝑒 ∈ 𝐴, 𝑜 ∈ 𝐴

Himpunan memiliki keterkaitan yang erat dengan Diagram Venn, yaitu untuk

menggambarkan suatu himpunan tersebut dalam sebuah diagram agar lebih

mudah dipahami. Berikut definisi dari Diagram Venn.

Definisi 2.2 Diagram Venn

Diagram Venn merupakan salah satu cara dalam menggambarkan himpunan

dan operasi-operasi himpunan secara grafis. Dalam Diagram Venn, himpunan

semesta ditampilkan dalam bentuk persegi panjang dan setiap himpunan yang

ada dalam himpunan semesta digambarkan dengan suatu lingkaran dalam

persegi panjang tersebut atau dalam kurva tertutup sederhana. (Susilo, 2012)

Adapun contoh dari penyajian himpunan dalam Diagram Venn sebagai

berikut.

Contoh 2.3

Diketahui:

𝑆 merupakan himpunan semesta, yaitu

𝑆 = {1,2,3,4,5,6}

𝑋 merupakan himpunan bilangan asli kurang dari 5, yaitu

𝑋 = {1, 2, 3, 4}, dan

𝑌 merupakan himpunan bilangan asli genap kurang dari 7, yaitu

𝑌 = {2, 4, 6}.

Dari himpunan di atas, dapat dinyatakan dalam Diagram Venn, sebagai

berikut:


10

Gambar 2.1 Diagram Venn

Dalam himpunan, tidak semua himpunan memiliki anggota, ada juga himpunan

yang tidak memiliki anggota yang dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3 Himpunan Kosong

Himpunan kosong didefinisikan sebagai himpunan yang sama sekali tidak

memuat atau tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan ∅

atau { }. (Susilo, 2012)

Berikut merupakan contoh dari himpunan kosong.

Contoh 2.4

𝐴 merupakan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua.

Penyelesaian:

Karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka 𝐴 tidak memiliki

anggota. Oleh karena itu, 𝐴 merupakan himpunan kosong, dapat ditulis 𝐴 = ∅

atau 𝐴 = { }.

Selain itu, dalam himpunan juga terdapat himpunan yang disebut dengan

himpunan bagian. Adapun definisi dari himpunan bagian adalah sebagai

berikut.

S

1

3 6

2

4

X Y

5


11

Definisi 2.4 Himpunan Bagian

Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan

hanya jika setiap elemen himpunan 𝐴 juga merupakan elemen himpunan dari

𝐵, ditulis dengan notasi (Susilo, 2012)

𝐴 ⊆ 𝐵

Berikut merupakan contoh dari himpunan bagian.

Contoh 2.5

Diberikan himpunan 𝑋 = {bilangan asli} dan himpunan 𝑌 =

{bilangan bulat}. Apakah himpunan 𝑋 merupakan himpunan bagian dari

himpunan 𝑌?

Penyelesaian:

Karena semua elemen himpunan 𝑋 juga merupakan elemen himpunan 𝑌, maka

dikatakan bahwa himpunan 𝑋 merupakan himpunan bagian dari himpunan 𝑌,

{bilangan asli} ⊆ {bilangan bulat}. Diagram Venn untuk himpunan bagian

diperlihatkan dalam Gambar berikut ini.

Gambar 2.2 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan Bagian

Definisi 2.5 Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoin) jika keduanya tidak

memiliki elemen yang sama dan dinotasikan dengan 𝐴 // 𝐵.

S

Bilangan

Bulat

Bilangan

asli

Y

X


12

Contoh 2.6

Diberikan himpunan 𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan himpunan 𝐵 = {𝑔, ℎ, 𝑖}. Apakah

himpunan tersebut merupakan himpunan saling lepas?

Penyelesaian:

Terlihat bahwa tidak ada satupun anggota himpunan 𝐴 yang terdapat pada

himpunan 𝐵, dan sebaliknya. Karena tidak ada anggota himpunan A yang

berada di himpunan B, maka dikatakan bahwa himpunan A dan B adalah dua

himpunan yang saling lepas, dilambangkan dengan, A // B. dapat dinyatakan

ke dalam Diagram Venn sebagai berikut.

Gambar 2.3 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan yang Saling Lepas

Tidak hanya dalam aljabar saja operasi hitung dikenal. Namun, dalam

himpunan pun juga dikenal juga yang namanya operasi dalam himpunan.

Operasi dalam himpunan merupakan cara untuk menghasilkan himpunan

baru dari himpunan yang sudah diketahui. Adapun operasi himpunan yang

akan dibahas yaitu operasi gabungan dan irisan. Berikut definisi operasi irisan

yang dibahas terlebih dahulu.

Definisi 2.6 Operasi Irisan

Diberikan himpunan 𝐴 dan 𝐵. Kedua himpunan tersebut disebut beririsan

jika dan hanya jika terdapat elemen himpunan 𝐴 juga menjadi anggota

S

b

c

d

g

h

i

e

f

A B


13

himpunan 𝐵. Selanjutnya, irisan kedua himpunan tersebut, dilambangkan

dengan 𝐴 ∩ 𝐵, adalah himpunan semua elemen himpunan 𝐴 yang juga

terdapat dalam himpunan 𝐵, dinotasikan dengan

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}.

Adapun contoh dari operasi irisan adalah sebagai berikut.

Contoh 2.7

Diberikan himpunan 𝐴 = {7, 8, 9, 10} dan himpunan 𝐵 = {8, 12, 16}, maka

𝐴 ∩ 𝐵 = {8}. Diagram Venn dari kedua himpunan tersebut, yaitu.

Gambar 2.4 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Irisan

Sesudah membahas operasi irisan, berikut ini akan dibahas tentang operasi

gabungan.

Definisi 2.7 Operasi Gabungan

Gabungan dari dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵 merupakan himpunan semua

elemen yang menjadi elemen himpunan 𝐴 saja atau 𝐵 saja atau elemen

himpunan 𝐴 dan 𝐵 kedua-duanya. Himpunan gabungan dapat dinotasikan

dengan 𝐴 ∪ 𝐵 dengan (Susilo, 2012)

𝐴⋃𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}.

Berikut contoh penggunaan dari operasi gabungan.

S

7

9

10

12

16

8

A

B

𝐴 ∩ 𝐵 = {8}


14

Contoh 2.8

Misalkan himpunan 𝐴 = {2, 4, 6, 8} dan himpunan 𝐵 = {1, 2, 3, 5}. Maka, 𝐴 ∪

𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Diagram Venn dari gabungan himpunan A dan

himpunan B sebagai berikut.

Gambar 2.5 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Gabungan

Selain membahas tentang teori himpunan, dalam bab ini juga akan dibahas

mengenai kalkulus yang terdiri dari limit, integral tak tentu, dan integral tentu.

Tujuan dari penjelasan kalkulus ini adalah untuk membantu mempermudah dalam

memahami teori selanjutnya. Adapun penjelasannya adalah sebagai berikut.

B. Kalkulus

Definisi 2. 8 Limit

Diberikan lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿 artinya untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 yang diberikan

terdapat bilangan 𝛿 > 0, sedemikan sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 dengan syarat

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 atau dengan kata lain 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

(Dale dan Purcell, 2010)

Contoh 2. 9

Buktikan bahwa 𝑙𝑖𝑚𝑥→2

(4𝑥 − 3) = 5.

Penyelesaian:

2 2

S

4

6

8

1

3

5

A B

2


15

Analisis Pendahuluan:

Misalkan 𝜀 merupakan sembarang bilangan positif. Untuk mendapatkan 𝛿 > 0

sedemikian sehingga,

0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⟹ |(4𝑥 − 3) − 5| < 𝜀

Perhatikan pertidaksamaan di bagian kanan.

|(4𝑥 − 3) − 5| < 𝜀 ⟺ |4𝑥 − 8| < 𝜀

⟺ |4(𝑥 − 2)| < 𝜀

⟺ |4||𝑥 − 2| < 𝜀

⟺ |𝑥 − 2| <𝜀

4

Sehingga dapat diambil 𝛿 =𝜀

4.

Bukti formal:

Misalkan diberikan 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 =𝜀

4.

Maka 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿, mengakibatkan

|(4𝑥 − 3) − 5| = |4𝑥 − 8| = 4|𝑥 − 2| < 4. 𝛿 = 4.𝜀

4= 𝜀

Dari persamaan dan pertidaksamaan di atas dari kiri ke kanan dan dengan

menggunakan sifat transitif = dan

16

𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. Leibniz menggunakan lambang ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dengan istilah integral

tak tentu. Dari definisi tersebut, dapat disederhanakan menjadi: (Dale dan

Purcell, 2010)

∫𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Dengan rumus fungsi polinomialnya adalah

∫(𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1+. . . +𝑎0)𝑑𝑥 = 𝑎𝑛𝑛 + 1

𝑥𝑛+1 +𝑎𝑛−1𝑛

𝑥𝑛+. . . +𝑎0 + 𝐶

Berikut contoh dari penyelesaian integral tak tentu.

Contoh 2.10

Tentukan hasil dari ∫4𝑥2𝑑𝑥!

Penyelesaian:

∫4𝑥2𝑑𝑥 = 4𝑥2+1

2 + 1+ 𝐶

= 4𝑥3

3+ 𝐶

Jadi, hasil dari ∫4𝑥2𝑑𝑥 adalah 4𝑥3

3+ 𝐶.

Selain integral tak tentu, berikut ini akan dibahas pula tentang integral tentu.

Berikut penjelasan dari integral tentu.

Diberikan suatu fungsi pada interval [𝑎, 𝑏], lalu dipartisi terhadap sumbu 𝑥

sebanyak 𝑛, terlihat pada gambar berikut ini.


17

Gambar 2.6 Partisi Sumbu 𝑥

Gambar 2.6 merupakan partisi sumbu 𝑥 dengan titik-titik partisi 𝑎 = 𝑥0 <

𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏. Jika disketsa pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦,

maka diperoleh bentuk partisi yang berupa persegi panjang. Jumlahan semua

persegi panjang dengan banyaknya partisi 𝑛 disebut dengan Jumlahan

Riemann. Konsep dari Integral Tentu ini merupakan Jumlahan Riemann.

Adapun langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu:

a. Partisi fungsi 𝑓(𝑥) menjadi beberapa bagian misalkan banyak partisi 𝑛,

semakin banyak partisinya akan semakin bagus, sebab nilainya akan

mendekati nilai eksak atau dapat dikatakan errornya sangat kecil.

b. Jika akan menentukan hasil dari 𝑓(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏], maka tentukan

terlebih dahulu jarak di setiap partisinya yaitu ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, dengan 𝑖 =

1,2, … , 𝑛.

c. Tentukan nilai dari 𝑓(𝑥𝑖∗).

d. Gunakan konsep dari jumlahan luas persegi panjang yaitu

∑ 𝑓(𝑥𝑖∗𝑛

𝑖=1 )(∆𝑥𝑖).

(Dale dan Purcell, 2010)

Definisi 2. 10 Integral Tentu

Diketahui |𝑃| merupakan norma 𝑃 atau panjang partisi yang dirumuskan

dengan |𝑃| = 𝑚𝑎𝑘𝑠 {∆𝑥𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛}.


18

Andaikan 𝑓 merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup

[𝑎, 𝑏]. Jika terdapat nilai

lim|𝑃|→0

∑𝑓(𝑥𝑖∗

𝑛

𝑖=1

) △ 𝑥𝑖

Maka dapat dikatakan 𝑓 terintegralkan pada [𝑎, 𝑏], selanjutnya dapat

dinotasikan dengan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 yang disebut integral tentu fungsi 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏,

dapat didefinisikan

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

lim|𝑃|→0

∑𝑓(𝑥𝑖∗

𝑛

𝑖=1

) △ 𝑥𝑖

Pada ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, 𝑎 disebut dengan titik ujung bawah dan 𝑏 disebut dengan titik

ujung atas untuk integral. Pada definisi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, secara implisit dapat

diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏. Sehingga dapat juga dinotasikan

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

−∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎 > 𝑏𝑏

𝑎

Berdasarkan Teorema Dasar II Kalkulus, untuk menyelesaikan integral tentu

dengan menggunakan definisi dari integral tak tentu. (Dale dan Purcell, 2010)

Adapun contoh dari integral tentu sebagai berikut.

Contoh 2. 11

Tentukan hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2!

Penyelesaian:

Pertama, akan diselesaikan dengan menggunakan Definisi 2. 10, sebagai

berikut:


19

Apabila pada interval [2,4] dipartisi sebanyak 𝑛 bagian, maka diperoleh jarak

antar partisi ∆𝑥𝑖 =4−2

𝑛=

2

𝑛 dengan ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Dengan

partisi pada interval [𝑎, 𝑏] adalah 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏.

𝑥0 = 2

𝑥1 = 2 + ∆𝑥𝑖 = 2 +2

𝑛

𝑥2 = 2 + 2∆𝑥𝑖 = 2 + 2(2

𝑛)

⋮

𝑥𝑛−1 = 2 + (𝑛 − 1)∆𝑥𝑖 = 2 + (𝑛 − 1) (2

𝑛)

𝑥𝑛 = 2 + 𝑛∆𝑥𝑖 = 2 + 𝑛 (2

𝑛) = 4

Karena 𝑥𝑖∗ merupakan titik-titik di ujung sebelah kanan di setiap partisinya,

sehingga diperoleh 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖∗ = 2 + 𝑖 (

2

𝑛) dan 𝑓(𝑥𝑖

∗) = 𝑥𝑖∗ + 2 = (2 + 𝑖 (

2

𝑛)) +

2 = 4 + 𝑖 (2

𝑛). Sehingga diperoleh

∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2 = lim|𝑃|→0

∑ 𝑓(𝑥𝑖∗𝑛

𝑖=1 ) △ 𝑥𝑖

= lim|𝑃|→0

∑ (4 + 𝑖 (2

𝑛))𝑛𝑖=1 (

2

𝑛)

= lim|𝑃|→0

((∑ (8

𝑛)𝑛𝑖=1 ) + ((

4

𝑛2)∑ 𝑖𝑛𝑖=1 ))

= lim|𝑃|→0

((8

𝑛) 𝑛 + (

4

𝑛2) (1 + 2 + 3+. . . +𝑛))

= lim|𝑃|→0

((8

𝑛) 𝑛 + (

4

𝑛2) (

𝑛(𝑛+1)

2))

= lim|𝑃|→0

(8 + (2 (1 +1

𝑛)))

= 8 + 2

= 10


20

Jadi, hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2 menggunakan Definisi 2. 10 adalah 10 satuan luas.

Selanjutnya, ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2 akan dihitung menggunakan definisi dari integral tak

tentu berdasarkan Teorema Dasar II Kalkulus. Adapun penyelesaiannya adalah

sebagai berikut.

∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2

= [1

1 + 1𝑥1+1 +

2

0 + 1𝑥0+1]

2

4

= [

1

2𝑥2 + 2𝑥]

2

4

= (

1

242 + 2(4)) − (

1

222 + 2(2))

= (16) − (6)

= 10

Jadi, hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4

2 adalah 10. ∎

Setelah mempelajari teori himpunan dan kalkulus, dalam bab ini juga mempelajari

tentang teori peluang. Peluang merupakan kemungkinan yang mungkin terjadi dari

suatu peristiwa. Pada teori peluang ini akan dibahas mengenai ruang sampel,

kejadian, dan lain-lain. Adapun pembahasannya sebagai berikut.

C. Teori Peluang

Definisi 2. 11 Ruang Sampel

Ruang Sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari

suatu percobaan atau kejadian dan dinyatakan dengan simbol S. Banyaknya

anggota sampel dinotasikan dengan 𝑛(𝑆). (Walpole, 1997).

Contoh 2. 12

Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang akan

muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Walpole, 1997)


21

Ruang sampel S dari percobaan tersebut adalah

{1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝑛(𝑆) = 6.

Definisi 2. 12 Kejadian

Kejadian merupakan peristiwa dari suatu kemungkinan yang diharapkan.

Kejadian dapat dikatakan dengan himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh 2. 13

Sebuah dadu dilemparkan ke atas sekali, maka ruang sampel 𝑆 dari percobaan

tersebut adalah mata dadu 1, mata dadu 2, mata dadu 3, mata dadu 4, mata

dadu 5, mata dadu 6, sehingga dapat dituliskan 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}. Tentukan

kejadian munculnya mata dadu dengan angka prima.

Penyelesaian:

Misalkan 𝐴 merupakan suatu kejadian yang menyatakan munculnya mata dadu

dengan angka prima.

𝐴 = {2, 3, 5}

Sehingga, 𝐴 ⊆ 𝑆

Definisi 2. 13 Peluang

Peluang merupakan suatu konsep matematika yang digunakan untuk

menghitung kemungkinan yang muncul atau terjadi pada sebuah kejadian.

Diberikan ruang sampel S dan kejadian A dari S. Peluang dari A dinotasikan

dengan P(A) yang memenuhi (Walpole, 1997):

1. 𝑃(𝐴) ≥ 0

2. 𝑃(𝑆) = 1

3. Jika 𝐴1, 𝐴2, … adalah kejadian yang saling asing di S maka


22

𝑃(𝐴1⋃𝐴2⋃…) =∑𝑃(

∞

𝑖=1

𝐴1).

Definisi 2. 14 Peluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian 𝐴, merupakan banyak anggota kejadian 𝐴 dibanding

dengan banyak anggota ruang sampel dan dinotasikan dengan 𝑃(𝐴) (Walpole,

1997).

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

Keterangan:

Jika 𝑃(𝐴) = 0 berarti A adalah kejadian yang tidak akan terjadi (muncul).

Jika 𝑃(𝐴) = 1 berarti A adalah kejadian yang pasti terjadi

Contoh 2. 14

Tiga keping koin dilempar sebanyak 1 kali. Tentukan peluang munculnya 2 sisi

gambar!

Penyelesaian:

Misal: 𝐴 = menyatakan angka pada sisi koin

𝐺 = menyatakan gambar pada sisi koin

Ruang sampel dari koin (𝑆) tersebut adalah

{(𝐴𝐴𝐴), (𝐴𝐴𝐺), (𝐴𝐺𝐴), (𝐺𝐴𝐴), (𝐴𝐺𝐺), (𝐺𝐴𝐺), (𝐺𝐺𝐴), (𝐺𝐺𝐺)}

Maka, 𝑛(𝑆) = 8.

Misalkan 𝐵 merupakan kejadian yang menyatakan munculnya 2 sisi gambar,

sehingga 𝐵 = {(𝐴𝐺𝐺), (𝐺𝐴𝐺), (𝐺𝐺𝐴)}.

Jadi, 𝑃(𝐵) =1

6+1

6+1

6=

3

6=

1

2


23

Dari percobaan tersebut, nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dari sisi gambar yang

muncul, diberikan pada setiap titik sampel. Bilangan-bilangan tersebut

merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari hasil percobaan

tersebut. Nilai tersebut dapat dilihat sebagai nilai yang dapat diambil dari suatu

peubah acak atau variabel acak 𝑋 tertentu. Berikut merupakan definisi dari

variabel acak 𝑋.

Definisi 2. 15 Variabel Acak

Variabel acak merupakan suatu fungsi bernilai real (bilangan nyata) yang

nilainya ditentukan dari unsur-unsur yang ada dalam ruang sampel. Variabel

acak dapat dilambangkan dengan huruf capital yaitu X, Y, dan lain-lain.

(Walpole, 1997).

Berikut merupakan contoh dari varibel acak.

Contoh 2. 15

Dua buah bola diambil tanpa pengembalian dari sebuah kantong yang berisi 3

buah bola hijau dan 2 buah bola biru. Hasil-hasil percobaan yang mungkin, jika

variabel acak X menyatakan banyaknya bola berwarna biru terambil adalah

Misal: 𝐻 = menyatakan jumlah bola berwarna hijau

𝐵 = menyatakan jumlah bola berwarna biru

Ruang sampel S pada percobaan tersebut adalah

𝑆 = {𝐵𝐵, 𝐵𝐻,𝐻𝐵, 𝐻𝐻}

Nilai 0, 1, 2 diberikan pada setiap titik sampel yang merupakan besaran acak

yang nilainya ditentukan dari percobaan.


24

Gambar 2.7 Diagram Panah dari ruang sampel ke himpunan bilangan

Real

Definisi 2. 16 Variabel Acak Diskrit

Suatu variabel acak dikatakan sebagai variabel acak diskrit jika himpunan dari

suatu kemungkinan hasilnya adalah terbilang, atau dengan kata lain variabel

acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga. Jika

tidak memenuhi definisi tersebut, maka variabel acak tersebut disebut variabel

random kontinu. Variabel acak diskrit digunakan untuk data yang berupa

cacahan. Akan lebih dimudahkan bila semua peluang suatu peubah acak

dinyatakan dalam sebuah rumus. Rumus tersebut merupakan fungsi nilai-nilai

𝑥, oleh karena itu dilambangkan dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), 𝑟(𝑥), dan sebagainya.

Jadi, 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥). (Walpole, 1997)

Berikut contoh dari variabel acak diskrit

Contoh 2. 16

Percobaan pelemparan sebuah mata uang logam yang dilempar sebanyak 3

kali. Tentukan variabel random diskritnya!

Penyelesaian:

Misalkan:

𝐺 = menyatakan gambar dari sisi uang logam

𝐴 = menyatakan angka dari sisi uang logam

BB

BH

HB

HH

0

1

2

S ℝ


25

𝑆= Ruang sampel dari pelemparan uang logam sebanyak 3 kali.

𝑆 = {𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺}

Variabel random diskritnya:

𝑋 =banyaknya sisi G yang tampak dari 3 kali pelemparan

𝑋(𝐴𝐴𝐴) = 0, 𝑋(𝐺𝐴𝐴) = 1, 𝑋(𝐴𝐺𝐴) = 1, 𝑋(𝐴𝐴𝐺) = 1,

𝑋(𝐺𝐺𝐴) = 2, 𝑋(𝐺𝐴𝐺) = 2, 𝑋(𝐴𝐺𝐺) = 2, 𝑋(𝐺𝐺𝐺) = 3

Definisi 2. 17 Fungsi Probabilitas Diskrit

Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑦) merupakan suatu fungsi probabilitas diskrit

𝑋 untuk setiap kemungkinan nilai 𝑥, jika:

1. 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥 𝜖 ℝ..

2. ∑ 𝑃(𝑥) = 1.𝑥

Contoh 2. 17

Dari Contoh 2. 15Contoh 2. 13, tentukan fungsi probabilitas banyaknya bola

biru terambil!

Jawab:

Nilai 𝑋 merupakan bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola biru

terambil

𝑃(𝑋 = 0) = (30)(22)

(52)

= 1

10

𝑃(𝑋 = 2) = (32)(20)

(52)

= 3

10

𝑃(𝑋 = 1) = (31)(21)

(52)

= 3

5

Fungsi peluang banyaknya bola biru yang terambil:

𝑥 0 1 2

𝑃(𝑋 = 𝑥) 1

10

3

5

3

10


26

Definisi 2. 18 Fungsi Probabilitas Kontinu

Fungsi 𝑓(𝑥) merupakan suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu

𝑋, jika memenuhi syarat (Walpole, 1997):

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ ℝ

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞

3. 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

Contoh 2. 18

Andaikan variabel acak kontinu 𝑋 yang mempunyai fungsi:

𝑓(𝑥) = {𝑥2

3 , −1 < 𝑥 < 2

0 , 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

a. Buktikan bahwa 𝑓(𝑥) merupakan fungsi probabilitas.

b. Hitunglah 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).

Penyelesaian:

Berdasarkan

a. Definisi 2. 18 (2) , jelas 𝑓(𝑥) ≥ 0,

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫𝑥2

3𝑑𝑥 =

2

−1

[𝑥3

9]−1

2

= 1

b. 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫𝑥2

3𝑑𝑥 =

1

0[𝑥3

9]0

1

=1

9

Definisi 2. 19 Distribusi Fungsi Kumulatif

Variabel acak diskrit dan kontinu mempunyai distribusi kumulatif sebagai

berikut (Walpole, 1997)


27

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =

{

∑ 𝑝(𝑥) , jika 𝑋 diskrit,

∀𝑋≤𝑥

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , jika 𝑋 kontinu.

∞

−∞

Nilai harapan dari peubah acak disebut juga dengan mean atau rata-rata

populasi. Nilai rata-rata distribusi peluang 𝑋 dilambangkan dengan 𝜇𝑥 atau 𝜇.

Berikut merupakan definisi dari nilai harapan tersebut.

Definisi 2. 20 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)

Diberikan suatu variabel acak 𝑋 dengan distribusi probabilitas yang diketahui.

Nilai harapan atau mean dari 𝑋 sebagai berikut:

1. 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) ,𝑥 jika 𝑋 merupakan variabel acak diskrit;

2. 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,∞

−∞ jika 𝑋 merupakan variabel acak kontinu.

Adapun contoh dari nilai harapan adalah sebagai berikut.

Contoh 2.19

Dalam sebuah kepanitiaan terdiri dari 7 orang yaitu 3 pria dan 4 wanita.

Tentukanlah nilai harapan banyaknya wanita yang terdiri dari 3 orang.

Penyelesaian:

Andaikan 𝑋 variabel acak yang menunjukkan banyaknya wanita dalam

kepanitiaan tersebut. Maka, fungsi probabilitas distribusi dari 𝑋 adalah sebagai

berikut

𝑓(𝑥) =(4𝑥)( 33−𝑥)

(73)

, untuk 𝑥 = 0, 1, 2, 3

Diperoleh,

𝑓(0) =1

35, 𝑓(1) =

12

35, 𝑓(2) =

18

35, 𝑓(3) =

4

35


28

Sehingga, nilai harapannya adalah

𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0)1

35+ (1)

12

35+ (2)

18

35+ (3)

4

35=12

7

Jadi, nilai harapan dari banyaknya wanita dalam kepanitiaan tersebut adalah 12

7.

Suatu populasi yang pengamatannya terdiri dari nilai-nilai peubah acak 𝑋, juga

memiliki ragam atau variansi yang dilambangkan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) atau 𝜎𝑥2 atau

𝜎2. Variansi merupakan ukuran penyebaran yang mengukur seberapa besar

data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran datanya maka akan

semakin baik. Berikut definisi dari variansi.

Definisi 2. 21 Variansi

Diketahui distribusi probabilitas variabel acak 𝑋 dengan mean 𝜇. Variansi dari

𝑋 adalah: (Walpole, 1997)

1. 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∑ (𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥) ,𝑥 jika 𝑋 variabel acak diskrit,

2. 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,∞

−∞ jika 𝑋 variabel acak kontinu.

√𝜎2 = 𝜎 merupakan standar deviasi dari 𝑋.

Contoh 2. 20

Perhatikan Contoh 2.19. Tentukan variansi dari 𝑋!

Penyelesaian:

Diketahui:

𝐸(𝑋) =12

7,

𝑓(0) =1

35, 𝑓(1) =

12

35, 𝑓(2) =

18

35, 𝑓(3) =

4

35;

Sehingga diperoleh variansi dari 𝑋 adalah


29

𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

𝑥

= (1 −

12

7)2

(1

35) + (1 −

12

7)2

(12

35) + (1 −

12

7)2

(18

35) + (1 −

12

7)2

(4

35)

=

25

49

Teorema 2. 1 Variansi dari Variabel acak 𝑿

Variansi dari variabel acak 𝑋 adalah

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2

Bukti:

1. Bila 𝑋 merupakan variabel acak diskrit, maka

𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

𝑥

Definisi 2. 21 (1))

= ∑(𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2)𝑝(𝑥)

𝑥

(Penjabaran(𝑥 − 𝜇)2)

=

∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −

𝑥

2𝜇∑𝑥 𝑝(𝑥)

𝑥

+ 𝜇2∑𝑝(𝑥)

𝑥

(Penjabaran)

= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −

𝑥

2𝜇(𝜇) + 𝜇2(1) Definisi 2. 20 (1))

= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −

𝑥

2𝜇2 + 𝜇2 (Hasil kali)

= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −

𝑥

𝜇2 (Hasil operasi)

= 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 Definisi 2. 21(1))

Jadi, terbukti bahwa Variansi dari variabel acak Diskrit adalah

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2

2. Bila 𝑋 merupakan variabel acak kontinu, maka


30

𝜎2 = ∫(𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

Definisi 2. 21 (2))

= ∫(𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∞

−∞

(Penjabaran(𝑥 − 𝜇)2)

= ∫ (𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

−∞2𝜇 ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +

∞

−∞∫ 𝜇2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞ (Penjabaran)

= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −

∞

−∞

2𝜇(𝜇) + 𝜇2(1) Definisi 2. 20 (2))

= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −

∞

−∞

2𝜇2 + 𝜇2 (Hasil kali)

= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −

∞

−∞

𝜇2 (Hasil operasi)

= 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 Definisi 2. 21(2))

Jadi, terbukti bahwa Variansi dari variabel acak Kontinu adalah

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2

D. Distribusi Eksponensial

Kegunaan dari distribusi eksponensial adalah untuk mencari selisih waktu yang

terjadi pada suatu peluang tertentu. Distribusi Eksponensial ini merupakan

distribusi kontinu yang digunakan untuk mencari atau mengolah data dengan

menggunakan variabel acak kontinu. Adapun ciri-ciri dari distribusi

eksponensial, antara lain (Kaharudin, 2018):

a. Nilai 𝑥 dimulai dari 0 sampai tak hingga, dan kurvanya memiliki ekor di

sebelah kanan.

b. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu

yang terjadi pada percobaan tersebut.


31

Definisi 2. 22 Distribusi Eksponensial

Variabel acak kontinu 𝑋 dikatakan berdistribusi eksponensial dengan

parameter 𝜆, dapat ditulis dengan (𝑥, 𝜆), bila memiliki fungsi densitas sebagai

berikut (Ross, 2019):

𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0

0 , lainnya

Setelah mengetahui definisi distribusi eksponensial, berikut dicantumkan

teorema dari nilai harapan distribusi eksponensial tersebut menggunakan

definisi yang sudah ada sebelumnya.

Teorema 2.2 Nilai Harapan atau Mean dari Distribusi Eksponensial

Nilai harapan atau mean dari suatu variabel acak kontinu berdistribusi

Ekponensial yaitu

𝐸(𝑋) =1

𝜆

Bukti:

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

= ∫ 𝜆𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

= 𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

Misalkan 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = −𝑒−𝜆𝑥

𝜆

𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0

= 𝑢𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢

= 𝜆 [−𝑥 𝑒−𝜆𝑥

𝜆]0

∞

−∫ −𝑒−𝜆𝑥

𝜆𝑑𝑥

∞

0

Misalkan 𝑢 = −𝜆𝑥, 𝑑𝑢 = −𝜆 𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = −1

𝜆𝑑𝑢


32

𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥

∞

0


𝜆]0

∞

−∫𝑒𝑢

𝜆2𝑑𝑢

∞

0


𝜆]0

∞

−1

𝜆2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢

∞

0


𝜆]0

∞

− [1

𝜆2𝑒𝑢]

0

∞

= [𝑥 𝑒−𝜆𝑥]0

∞− [𝑒−𝜆𝑥

𝜆2]0

∞

= [−(𝜆𝑥 + 1) 𝑒−𝜆𝑥

𝜆]0

∞

= lim𝑥→∞

−(𝜆𝑥 + 1)𝑒−𝜆𝑥

𝜆+(𝜆. 0 + 1) 𝑒−𝜆.0

𝜆

= 0+1

𝜆

= 1

𝜆

Jadi, terbukti bahwa Nilai harapan atau mean dari suatu variabel acak kontinu

berdistribusi Ekponensial yaitu

𝐸(𝑋) =1

𝜆

E. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson merupakan distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel acak

diskret yang banyaknya hasil percobaan terjadi dalam interval waktu tertentu

atau di daerah tertentu.

Definisi 2. 23 Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson 𝑋 yang menyatakan

banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval tertentu atau di

suatu daerah tertentu dapat didefinisikan sebagai berikut (Walpole, 1997):

𝑓(𝑥, 𝜆) =𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, 3, …


33

Keterangan:

𝜆 = rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi.

𝑡 = suatu interval tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Setelah mengetahui definisi distribusi poisson, berikut dicantumkan teorema

dari nilai harapan dan variansi distribusi poisson tersebut menggunakan

definisi yang sudah ada sebelumnya. Pertama, akan dibuktikan teorema nilai

harapan atau mean dari distribusi poisson.

Teorema 2.3 Nilai Harapan atau Mean dari Distribusi Poisson

Nilai harapan atau mean dari variabel acak diskrit 𝑋 distribusi poisson yaitu

𝐸(𝑋) = 𝜆

Bukti:

Dari Nilai harapan dari peubah acak disebut juga dengan mean atau rata-rata

populasi. Nilai rata-rata distribusi peluang X dilambangkan dengan μx atau μ.

Berikut merupakan definisi dari nilai harapan tersebut.

Dari Definisi 2. 20 (diskrit), maka diperoleh:

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑛𝑥=0

= ∑𝑥 𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!

𝑛𝑥=0

= ∑ 𝑥 𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆∑ 𝑥 𝜆𝑥

𝑥!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆∑ 𝑥 𝜆𝑥

𝑥(𝑥−1)!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆∑ 𝜆𝑥

(𝑥−1)!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆∑ 𝜆𝑥

(𝑥−1)!

𝑛𝑥=1

= 𝑒−𝜆(𝜆 + 𝜆2 +𝜆3

2!+𝜆4

3!+⋯)

= 𝑒−𝜆 (𝜆 (1 + 𝜆 +

𝜆2

2!+𝜆3

3!+⋯))


34

= 𝑒−𝜆 (𝜆(𝑒𝜆))

= 𝑒0𝜆

= 𝜆

Jadi, terbukti bahwa nilai harapan atau mean dari variabel acak diskrit 𝑋

ditribusi poisson adalah 𝐸(𝑋) = 𝜆

Selain menentukan nilai harapan dari distribusi poisson, berikut juga

dicantumkan teorema dari variansi distribusi poisson, karena distribusi ini

memiliki nilai variansinya. Berikut pembukyian dari teorema variansi

distribusi poisson.

Teorema 2.4 Variansi dari Distribusi Poisson

Variansi dari variabel acak diskrit 𝑋 berdistribusi poisson yaitu

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆

Bukti:

Kita cari terlebih dahulu 𝐸(𝑋2), yaitu

𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥2𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥2𝜆𝑥

𝑥!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥2𝜆𝑥

𝑥(𝑥−1)!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥𝜆𝑥

(𝑥−1)!

𝑛𝑥=0

= 𝑒−𝜆 (𝜆 + 2𝜆2 + 3𝜆3

2!+ 4

𝜆4

3!+⋯)

= 𝑒−𝜆 (𝜆(1 + 2𝜆 + 3𝜆2

2!+ 4

𝜆3

3!+⋯)

= 𝑒−𝜆𝜆 ((1 + 𝜆) (1 + 𝜆 +

𝜆2

2!+𝜆3

3!+⋯))

= 𝑒−𝜆𝜆(1 + 𝜆)𝑒𝜆


35

= 𝑒0𝜆(1 + 𝜆)

= 1(𝜆 + 𝜆2)

= 𝜆 + 𝜆2

Berdasarkan Teorema 2. 1, maka diperoleh:

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2

= (𝜆 + 𝜆2) − 𝜆2

= 𝜆

Jadi, terbukti bahwa variansi dari variabel acak diskrit 𝑋 berdistribusi poisson

yaitu 𝜆.

Pengujian statistika dapat dilakukan untuk mengetahui jenis dari karakteristik

data yang diperoleh. Pengujian data yang dilakukan untuk mengetahui apakah

data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak serta berdistribusi Eksponensial

atau tidak. Berikut merupakan penjelasannya.

F. Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari

Rusia yaitu A. N Kolmogorov pada tahun 1993. Uji Kolmogorov merupakan

salah satu uji statistik yang digunakan untuk mengetahui dan memberikan

kepastian data yang dimiliki berdistribusi tertentu atau tidak (Samsudin, 2007).

Uji statistik ini digunakan untuk mengetahui sampai sejauh mana suatu model

tersebut mampu mendekati situasi nyata yang digambarkan. Adapun prosedur

untuk melakukan uji Kolmogorov Smirnov ini secara manual adalah sebagai

berikut.

a. Menentukan hipotesis, yaitu:


36

𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)

𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)

b. Menentukan tingkat signifikansi yaitu 𝛼, dengan 𝛼 = 0,05

c. Menentukan wilayah kritis

d. Membandingkan uji yang sesuai dengan wilayah kritis, yaitu:

𝐻0 ditolak dan 𝐻1 diterima jika statistik uji berada di wilayah kritis

𝑠𝑖𝑔 < 𝛼. Artinya, data tersebut tidak berdistribusi Poisson atau

Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji.

𝐻0 diterima dan 𝐻1 ditolak jika statistik uji tidak berada di wilayah

kritis 𝑠𝑖𝑔 > 𝛼. Artinya, data tersebut berdistribusi Poisson atau

Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji

e. Membuat kesimpulan yaitu menyatakan kembali keputusan sebelumnya ke

dalam bentuk sederhana dan non-teknis.

Adapun prosedur untuk melakukan uji Kolmogorov-Smirnov dengan

menggunakan Software Statistical Package for the Social Sciences (SPSS),

sebagai berikut:

a. Masukan data dalam SPSS.

b. Klik Analyze > Nonparametric Test > Legacy Dialogs > 1-Sample K-S.

c. Pilih data yang akan diuji.

d. Pada pilihan Test Distribusi pilih distribusi yang akan diuji (Normal/

Poisson/ Uniform/ Eksponensial).

e. Klik OK.

f. Lihat nilai dari Asymp. Sig. (2-tailed).


37

𝐻0 ditolak dan 𝐻1 diterima jika statistik uji berada di wilayah kritis

𝑠𝑖𝑔 < 𝛼. Artinya, data tersebut tidak berdistribusi Poisson atau


𝐻0 diterima dan 𝐻1 ditolak jika statistik uji tidak berada di wilayah

kritis 𝑠𝑖𝑔 > 𝛼. Artinya, data tersebut berdistribusi Poisson atau



38

BAB III

TEORI ANTREAN

Bab ini mendiskusikan tentang teori antrean. Pembahasan dimulai dengan

pemaparan pengertian teori antrean dilanjutkan dengan elemen-elemen pokok yang

terdapat dalam antrean.

A. Pengertian Teori Antrean

Antrean merupakan suatu situasi atau kejadian dalam kehidupan sehari-

hari yang sering terjadi dimana beberapa orang menunggu giliran untuk

mendapatkan pelayanan tertentu dari fasilitas yang terbatas dan waktu yang

berbeda-beda. Rata-rata waktu tunggu dalam sebuah antrean tergantung pada

rata-rata kecepatan pelayanan. Semakin cepat pelayanan yang diberikan

kepada pelanggan, maka waktu tunggu juga akan semakin sedikit. Namun,

dalam banyak kasus, pelayanan kepada pelanggan tidak mungkin dipercepat.

Permasalahannya adalah bagaimana mempersingkat waktu tunggu meskipun

waktu pelayanan tidak mungkin lagi dipercepat.

Teori antrean dikemukakan dan dikembangkan oleh seorang

matematikawan Agner Krarup Erlang yang pada saat itu bekerja pada

Perusahaan Telepon Kopenhagen sebagai kepala laboratorium teknis (Boyd,

2014). Pada saat itu, sambungan telepon dari penelepon ke penerima dilakukan

secara manual. Penelepon menghubungi operator, lalu operator secara manual

menghubungkan dengan telepon penerima. Teknologi jaringan telepon pada

waktu itu masih analog sehingga satu saluran hanya bisa dipergunakan oleh

satu pelanggan. Kondisi ini menyebabkan adanya antrean pengguna telepon

yang akan mempergunakan saluran yang sama. Sebagai kepala laboratorium


39

sebuah perusahaan telepon, Erlang mendapat tugas untuk melakukan penelitian

dengan tujuan memperpendek waktu tunggu pelanggan yang akan

menggunakan saluran telepon. Dengan demikian teori antrean merupakan

sebuah teori yang bermanfaat bagi dunia usaha, terutama yang berkaitan

dengan lama waktu tunggu pelayanan. Tujuan teori antrean adalah optimalisasi

(mempersingkat) lama pelanggan dalam menunggu hingga mendapatkan

pelayanan. Proses antrean merupakan proses pada suatu fasilitas yang

berhubungan dengan kedatangan pelanggan, menunggu dalam barisan antrean,

mendapatkan pelayanan, dan terakhir keluar dari fasilitas tersebut setelah

mendapatkan pelayanan.

B. Elemen Pokok Antrean

Elemen sistem antrean merupakan suatu komponen yang merupakan bagian

atau anggota dari sistem antrean tersebut.

Gambar 3.1 Ilustrasi suatu Antrean

Dari Gambar 3.1, dapat dilihat bahwa individu atau barang atau benda

yang masuk dalam suatu sistem akan melewati tahap kedatangan lalu mereka

akan menunggu pada suatu antrean untuk mendapatkan pelayanan, berikutnya

mereka akan mendapatkan pelayanan sesuai dengan kebutuhan masing-

masing, dan terakhir akan keluar dari sistem/ pelayanan jika sudah

mendapatkan pelayanan.

Fasilitas/

pelayanan

Sumber

Kedatangan

Antrean Keluar


40

Sebuah sistem antrean yang paling sederhana memiliki dua bagian dasar

yaitu antrean tunggal dan fasilitas pelayanan tunggal. Sistem antrean memiliki

6 elemen pokok suatu antrean yaitu sebagai berikut. (Pangestu dkk, 2000)

1. Sumber Masukan.

Sumber masukan ini terdiri dari suatu populasi orang, barang atau

benda yang datang pada suatu sistem untuk dilayani. Populasi ini dapat

berupa populasi terbatas dan populasi tidak terbatas. Populasi terbatas

merupakan populasi yang dapat dilayani dalam sistem yang jumlahnya

tertentu sedangkan populasi tak terbatas merupakan populasi yang relatif

besar.

2. Laju Kedatangan.

Laju kedatangan merupakan rata-rata dari jumlah kedatangan

individu, barang ataupun benda yang datang dalam sistem antrean pada

waktu tertentu. Laju kedatangan suatu individu, barang atau benda dalam

memasuki sistem dapat dengan cara pelanggan yang datang secara acak

atau random maupun konstan yang berarti pelanggan yang datang setiap

periode tertentu. Suatu individu dapat datang satu per satu ataupun

berkelompok. Distribusi probabilitas yang digunakan dalam laju

kedatangan adalah distribusi Poisson. Sedangkan distribusi yang

digunakan untuk selisih antar waktu kedatangan adalah distribusi

Eksponensial.

3. Kapasitas Antrean.

Kapasitas antrean merupakan faktor yang membatasi besar kecilnya

jumlah individu yang dapat dilayani dalam suatu sistem. Bila faktor yang


41

membatasi besar kecilnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam

sistem, maka sistem tersebut mempunyai kapasitas antrean yang terbatas,

namun sebaliknya bila kapasitas antrean bukan faktor yang membatasi

besar kecilnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem, maka

sistem tersebut mempunyai kapasitas antrean yang tidak terbatas.

4. Laju pelayanan.

Pelayanan merupakan suatu kegiatan yang dilakukan kepada

pelanggan sebagai usaha untuk mencapai kepuasan pelanggan. Sedangkan

kata “melayani” berarti membantu menyiapkan yang diperlukan oleh

orang lain. Laju pelayanan merupakan rata-rata jumlah individu, barang

ataupun benda yang dilayani dalam periode tertentu. Laju pelayanan dalam

sistem antrean dibagi dua jenis, yaitu satu layanan dan beberapa layanan.

Sebuah pelayanan dikatakan sebagai suatu laju satu layanan jika pelayanan

kepada individu selesai dalam satu kali proses pelayanan. Misalnya,

pelayanan dalam suatu bank. Individu dapat langsung meninggalkan

fasilitas pelayanan setelah proses transaksi selesai. Sedangkan, sebuah

pelayanan dikatakan suatu laju beberapa layanan jika pelayanan kepada

individu tidak dapat diselesaikan dengan satu kali proses. Dengan kata

lain, individu harus memenuhi beberapa proses untuk menyelesaikan

segala kepentingannya. Misalnya, pelayanan di rumah sakit saat

melakukan uji laboratorium, dimana pelayanan yang satu dengan yang

lainnya saling berkaitan, mulai dari pendaftaran, pemeriksaan dokter, uji

laboratorium, pembayaran, hasil uji laboratorium, pengambilan obat, dan

akhirnya keluar.


42

5. Disiplin Antrean.

Disiplin antrean merupakan suatu pedoman yang digunakan untuk

mengatur individu-individu dalam sebuah antrean untuk mendapat

pelayanan terlebih dahulu. Adapun macam-macam disiplin antrean adalah

sebagai berikut. (Kakiay, 2004)

a. First-come first-served (FCFS), yang artinya merupakan individu yang

terlebih dahulu datang, maka akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,

antrean pembayaran belanja di swalayan.

b. Last-come first-served (LCFS), yang artinya merupakan individu yang

tiba paling akhir didahulukan dalam pelayanannya. Misalnya, sistem

antrean dalam lift untuk lantai yang sama, yaitu pengguna lift yang

masuk terakhir akan keluar terlebih dahulu.

c. Service in random order (SIRO), yang artinya sistem pelayanan

dengan individu akan dilayani secara acak atau tanpa memperdulikan

siapa yang datang terlebih dahulu untuk dilayani. Misalnya,

penerimaan telepon pada suatu operator ketika banyak telepon yang

masuk.

d. Priority service (PS), yang artinya merupakan prioritas pelayanan akan

diberikan kepada individu yang memiliki prioritas lebih tinggi,

meskipun sudah datang terlebih dahulu, jika prioritasnya lebih rendah

maka akan dilayani setelah individu yang memiliki pelayanan lebih

tinggi. Misalnya, pada antrean rumah sakit di UGD, ketika pasien

dilihat darurat, maka akan dilayani terlebih dahulu.


43

6. Keluar (Exit).

Sesudah seseorang individu mendapatkan pelayanan, maka dia akan

keluar dari suatu sistem tersebut. Individu tersebut meninggalkan suatu

sistem dapat kembali ke dalam populasi asalnya ataupun pada populasi

yang lebih kecil lagi.

C. Model-model Teori Antrean

Teori Antrean memiliki dua sistem notasi yang dipergunakan yaitu

Notasi Kendal dan Notasi Persamaan.

a. Notasi Kendall

Notasi Kendal merupakan notasi yang dipergunakan untuk

menyatakan model Teori Antrean berdasarkan banyaknya layanan (counter

atau channel) dan banyaknya tahapan (phase). Notasi ini untuk pertama

kali dikembangkan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Inggris

bernama David G. Kendall (Kendall, 1953). Pada awalnya, Kendall

mengusulkan notasi A/S/c untuk model Teori Antrean. Huruf “A”

menyatakan waktu antar kedatangan (time between arrival), “S”

menyatakan distribusi waktu pelayanan (service time distribution), dan “c”

banyaknya layanan (counter) dalam sistem tersebut. Notasi tiga huruf

tersebut kemudian dikembangkan oleh Alec M. Lee (Lee, 1966) dengan

menambahkan tiga notasi lagi menjadi (A/S/c):(K/N/D). Huruf “K”

dipakai untuk menyatakan disiplin antrean, “N” adalah kapasitas

pelayanan, dan “D” adalah sistem layanan atau laju pelayanan. Notasi

(A/S/c):(K/N/D) diterangkan dalam tabel berikut.


44

Tabel 3. 1 Simbol-Simbol Pengganti Notasi Kendal-Lee

Notasi

Kendall

Notasi

Lee

Keterangan

A dan S M Markov menyatakan kedatangan dan

kepergian berdistribusi Poisson (waktu

antar kedatangan berdistribusi

Eksponensial).

D Deterministik menyatakan waktu antar

kedatangan atau waktu pelayanan

konstan

𝐸𝑘 Waktu antar kedatangan atau waktu

pelayanan berdistribusi eksponensial

GI Distribusi independen umum dari

kedatangan (waktu antar kedatangan)

G Distribusi umum dari keberangkatan

(waktu pelayanan)

K FCFS First Come First Served

LCFS Last Come First Served

SIRO Service in Random Order

PS Prioruty Service

GD General Discipline (disiplin umum)

dalam antrean (FCFS, LCFS, SIRO, PS)

c, N, D 1, 2, 3, … , ∞

Sebagai contoh, suatu parkiran kendaraan hanya memiliki satu pintu

masuk, yaitu saat orang mengambil tiket masuk. Sistem ini termasuk dalam

kategori satu layanan – satu tahapan (single channel – single phase) dan

diberi notasi (M/M/1):(GD/∞/∞). Jenis antrean lain adalah yang dijumpai

di kasir department store. Kasir department store biasanya memiliki lebih

dari satu layanan (counter). Sistem ini termasuk dalam model beberapa

layanan dan diberi notasi (M/M/c):(GD/∞/∞).

b. Notasi Persamaan

Notasi persamaan adalah notasi yang dipergunakan dalam

pemodelan matematis Teori Antrean. Nilai untuk variabel-variabel dalam


45

pemodelan ini diperoleh baik dari pengamatan maupun perhitungan.

Notasi-notasi tersebut adalah sebagai berikut.

𝜆 = Laju kedatangan (arrival rate), yaitu jumlah individu yang masuk

ke dalam pelayanan per satuan waktu (individu/waktu). Cara

menentukan laju kedatangan untuk melakukan sebuah

perhitungan awal adalah

𝜆 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝜇 = Laju pelayanan (service rate), yaitu jumlah individu per satuan

waktu (unit/waktu). Cara menentukan laju pelayanan untuk

melakukan sebuah perhitungan awal adalah

𝜇 =𝑘𝑒𝑚𝑎𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑖

𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Sedangkan ukuran yang akan digunakan dalam ukuran performa di

suatu antrean adalah sebagai berikut:

𝑛 = jumlah individu dalam sistem

𝐿𝑞 = rata-rata jumlah individu dalam antrean (individu)

𝐿𝑠 = rata-rata jumlah individu dalam pelayanan (individu)

𝑊𝑠 = rata-rata waktu tunggu dalam pelayanan (jam)

𝑊𝑞 = rata-rata waktu tunggu dalam antrean (jam)

𝑃𝑛 = probabilitas terdapat n individu dalam pelayanan

𝑃0 = probabilitas tidak ada individu dalam pelayanan

𝑃𝑤 = probabilitas fasilitas layanan sibuk

𝑟 = tingkat kegunaan fasilitas pelayanan atau utilitas (rasio)

𝑐 = banyaknya pelayanan


46

Definisi 3. 1 Ukuran Steady-State

Steady-State merupakan kondisi sewaktu sifat-sifat suatu sistem

tidak berubah dengan berjalannya waktu (konstan). Dari sebab itu, dapat

didefinisikan bahwa probabilitas fasilitas layanan sibuk (𝑃𝑤) merupakan

perbandingan antara laju kedatangan (𝜆) dengan laju pelayanan (𝜇).

𝑃𝑤 =𝜆

𝜇 3. 1

Semakin tinggi laju kesibukan dalam pelayanan akan semakin

rendah probabilitas kekosongan sistem (tidak ada individu/ pelanggan

dalam sistem). Sebaliknya, semakin rendah laju kesibukan dalam

pelayanan, akan semakin tinggi probabilitas kekosongan sistem. Dimana 𝑐

merupakan banyaknya fasilitas pelayanan yang tersedia dalam suatu

fasilitas pelayanan, dapat ditulis sebagai berikut.

𝑃𝑤 =𝜆

𝑐𝜇

Kondisi Steady-State ini akan terpenuhi jika nilai 𝑃𝑤 < 1 yang

berarti bahwa 𝜆 < 𝑐𝜇.

Setelah mengetahui kondisi Steady-State di atas, dalam menyatakan suatu

probabilitas terdapat 𝑛 individu dalam pelayanan dapat dibuktikan melalui

teorema berikut, dengan menggunakan definisi yang sudah ada

sebelumnya.

Teorema 3.1 Probabilitas Terdapat 𝒏 Individu dalam Pelayanan

Probabilitas terdapat n individu dalam pelayanan, diberi notasi 𝑃𝑛,

adalah


47

𝑃𝑛 = (1 −𝜆

𝜇) (𝜆

𝜇)𝑛

.

Bukti:

Misalkan 𝑃0 menyatakan probabilitas terdapat 0 (tidak ada) individu

dalam pelayanan. Maka laju rata-rata pada proses meninggalkan keadaan 0

adalah 𝜆𝑃0, dengan 𝜆 adalah laju kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).

Di lain pihak, keadaan 0 hanya dapat dicapai dari keadaan 1 melalui sebuah

keberangkatan. Jika ada satu pelanggan dalam sistem menyelesaikan

layanannya, maka sistem tersebut menjadi kosong.

Sistem ini mengikuti steady-state, yaitu, untuk 𝑛 > 0 laju

kedatangan sama dengan tingkat arus keluar. Karena laju pelayanan adalah

𝜇 dan probabilitas tepat 1 pelanggan dalam pelayanan adalah 𝑃1, maka laju

rata-rata memasuki keadaan 0 adalah 𝜇𝑃1 (Ross, 2007). Karena dalam

proses ini berlaku prinsip steady-state, maka didapatkan persamaan:

𝜆𝑃0 = 𝜇𝑃1 3. 2

Sekarang perhatikan keadaan (state) 1. Pada keadaan ini, proses

meninggalkan sistem ditentukan baik oleh laju kedatangan (𝜆) dan oleh

keberangkatan (yang ditentukan oleh laju pelayanan 𝜇). Dengan kata lain,

proses meninggalkan sistem ditentukan oleh 𝜆 + 𝜇. Dengan demikian,

tingkat arus keluar pada keadaan 1 adalah (𝜆 + 𝜇)𝑃1. Di sisi yang lain,

keadaan 1 dapat dimasuki dari keadaan 0 melalui kedatangan dan dari

keadaan 2 dari keberangkatan. Dengan demikian, laju proses memasuki

keadaan 1 adalah 𝜆𝑃0 + 𝜇𝑃2.


48

Secara umum, laju meninggalkan keadaan 𝑛 ditentukan oleh laju

kedatangan (𝜆) dan laju pelayanan (𝜇), sedangkan kelakuan memasuki

keadaan 𝑛 ditentukan oleh laju meninggalkan pada keadaan 𝑛 + 1 dan laju

kedatangan pada keadaan 𝑛 − 1. Berdasarkan prinsip steady-state,

kesamaan laju meninggalkan dan laju memasuki, diperoleh persamaan

berikut.

Keadaan

(State)

Laju meninggalkan sistem

= Laju memasuki sistem

3. 3

0 𝜆𝑃0 = 𝜇𝑃1

𝑛, 𝑛 ≥ 1 (𝜆 + 𝜇)𝑃𝑛 = 𝜆𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑃𝑛+1

Dari 3. 3, maka diperoleh:

𝑃1 =𝜆

𝜇𝑃0

3. 4

𝑃𝑛+1=𝑃𝑛 +𝜆

𝜇(𝑃𝑛 − 𝑃𝑛−1), 𝑛 ≥ 1

3. 5

Untuk 𝑛 = 1,

𝑃𝑛+1 = 𝜆

𝜇𝑃𝑛 + (𝑃𝑛 −

𝜆

𝜇𝑃𝑛−1) 3. 5

𝑃1+1 = 𝜆

𝜇𝑃1 + (𝑃1 −

𝜆

𝜇𝑃1−1) Substitusi 𝑛 = 1

𝑃2 = 𝜆

𝜇𝑃1 + (𝑃1 −

𝜆

𝜇𝑃0) Hasil dari substitusi

𝑃2 = 𝜆

𝜇𝑃1 + (𝑃1 − 𝑃1) 3. 4

𝑃2 = 𝜆

𝜇𝑃1 Hasil pengurangan


49

𝑃2 = (𝜆

𝜇)2

𝑃0 3. 4

Maka, diperoleh:

𝑃2 = (𝜆

𝜇)2

𝑃0 3. 6

Untuk 𝑛 = 2,

𝑃𝑛+1 = 𝜆

𝜇𝑃𝑛 + (𝑃𝑛 −

𝜆

𝜇𝑃𝑛−1) 3. 5

𝑃2+1 = 𝜆

𝜇𝑃2 + (𝑃2 −

𝜆

𝜇𝑃2−1) Substitusi 𝑛 = 2

𝑃3 = 𝜆

𝜇𝑃2 + (𝑃2 −

𝜆

𝜇𝑃1) Hasil dari substitusi

𝑃3 = 𝜆

𝜇𝑃2 + (𝑃2 − 𝑃2) Penjabaran dari 3. 6

𝑃3 = 𝜆

𝜇𝑃2 Hasil pengurangan

𝑃3 = (𝜆

𝜇)3

𝑃0 3. 6

Maka, diperoleh:

𝑃3 = (𝜆

𝜇)3

𝑃0

3. 7

⋮

Dengan menggunakan langkah yang sama, diperoleh:

𝑃𝑛 = (𝜆

𝜇)𝑛

𝑃0

3. 8

Maka, diperoleh 𝑃𝑛 = (𝜆

𝜇)𝑛

𝑃0

Selain itu, dapat juga dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika,

sebagai berikut.


50

Akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑛= (𝜆

𝜇)𝑛

𝑃0.

Bukti:

1. Untuk 𝑛 = 1, maka

𝑃𝑛 = (𝜆

𝜇)𝑛

𝑃0 3. 5

𝑃1 = (𝜆

𝜇)1

𝑃0 Substitusi 𝑛 = 1

𝑃1 = 𝜆

𝜇𝑃0 Hasil substitusi

2. Diasumsikan bahwa 3. 5 berlaku untuk 𝑛 = 𝑘, maka

𝑃𝑘= (𝜆

𝜇)𝑘

𝑃0

3. Akan dibuktikan persamaan 3. 5 berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

Yaitu:

𝑃𝑘+1= (𝜆

𝜇)𝑘+1

𝑃0

Substitusikan 3. 8 ke dalam 3. 5, dengan 𝑛 = 𝑘 + 1, maka diperoleh

𝑃𝑘+2 =𝜆

𝜇(𝜆

𝜇)𝑘+1

𝑃0 + (𝜆

𝜇)𝑘+1

𝑃0 −𝜆

𝜇(𝜆

𝜇)𝑘

𝑃0

𝑃𝑘+2 = (𝜆

𝜇)𝑘+2

𝑃0 + (𝜆

𝜇)𝑘+1

𝑃0 − (𝜆

𝜇)𝑘+1

𝑃0

𝑃𝑘+2 = (𝜆

𝜇)𝑘+2

𝑃0

Jadi, terbukti bahwa persamaan 3. 5 berlaku 𝑛 = 𝑘 + 1. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa 𝑃𝑛= (𝜆

𝜇)𝑛

𝑃0

Kar

penerapan teori antrean pada loket pengisian bahan bakar … · bahan bakar motor pertalite di...

Documents