penerapan metode bisection dan secant.pdf

Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695

68

PENERAPAN METODE BISECTION DAN METODE SECANT DALAM REKAYASA SIPIL

(Studi Kasus Pembuatan Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang)

Oleh :

Oni Guspari

Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Padang Kampus Limau Manis Padang

ABSTRAK Terdapat banyak cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan non linier, antara lain metode bisection dan metode secant yang dapat dipakai untuk menyelesaikan beberapa persamaan rekayasa sipil. Pada tulisan ini akan di tinjau sebuah kolom beton bertulang dengan dimensi 30 x 50 cm yang diberi tulangan 625, yaitu 3 pada masing-masing sisi yang kecil.Tegangan leleh baja tulangan dan tegangan beton masing-masing adalah 4000 dan 300 kg/cm

2. Metode bisection dan metode secant akan digunakan untuk mencari akar fungsi

gaya dalam normal P(c) yang bekerja pada penampang beton sehingga dapat ditenentukan letak garis netral penampang kolom (c), selanjutnya harga c tersebut digunakan untuk membuat diagram interaksi kolom. Setelah dikalkulasikan, jarak garis netral (c)pada penampang tersebut adalah 64.959 mm . Hasilnya sama untuk kedua metoda, akan tetapi dengan jumlah iterasi yang berbeda

PENDAHULUAN

Didalam usaha mendapatkan penyelesaian

matematika yang menjabarkan model dari

suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering

solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x

sedemikian rupa sehingga terpenuhi

persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam

model. Dalam beberapa kasus, melalui

faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh

penyelesaian seperti yang diinginkan, akan

tetapi lebih banyak jabaran persamaan dalam

model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga

teknik analisa matematika murni tidak dapat

memberikan solusi

Persamaan non linier sebagai model

matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil

dengan menggunakan metode numerik

merupakan salah satu alternatif prosedur

pemecahan yang digunakan apabila tidak

dimungkinkan perolehan bentuk closed form

dari pemodelan. Persamaan non linier akan

selalu ditemui pada hampir seluruh bidang

kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh:

Persamaan frekuensi alami dari getaran

balok uniform yang terjepit pada salah satu

ujungnya dan bebas pada ujungnya yang

lain untuk bidang teknik struktur

Persamaan kelengkungan jalan untuk

bidang teknik transportasi

Persamaan koefisien gesek untuk aliran

turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang

teknik tumber air

Persamaan untuk menentukan kedalaman

pemancangan akibat pengaruh tekanan

tanah aktif dan pasif untuk bidang

geoteknik

Perhitungan tentang kebutuhan akan

produksi optimal suatu komponen struktur

untuk bidang manajemen konstruksi

Metode bisection dan metode secant

merupakan salah satu alternatif untuk

menyelesaikan persamaan-persamaan non

linier pada bidang rekayasa sipil


69

TINJAUAN PUSTAKA

Metode Bisection

Metoda bisection adalah salah satu cara

mencari akar persamaan non linier yang

termasuk kategori pengelompokan. Akar suatu

fungsi f(x) pada suatu interval yang

diperkirakan ada akar diperkirakan dahulu

dengan dua bilangan a dan b, syarat pemilihan

ini adalah nilai fungsi di a, f(a) dan nilai fungsi di

b, f(b) harus berbeda tanda ( f(a) * f(b) < 0 ).

Syarat ini wajar sebab dengan kondisi demikian

tentunya ada suatu nilai dimana f(x) = 0.

Langkah berikutnya adalah memasukkan

harga diantara [a,b], (dinamakan m) atau m =

(a-b)/2. Jika f(m) = 0 maka x = m adalah akar

yang dicari. Jika f(m) = 0 maka di cek apakah

nilai m berada dalam interval [a,m] atau interval

[m,b]

Jika f(a) dan f(m) berbeda tanda maka akar

ada di [a,m], jadi m menggantikan b untuk

proses selanjutnya

Jika f(a) dan f(m) tandanya sama maka

akar ada di [m,b], jadi m menggantikan a

untuk proses selanjutnya

Proses diteruskan sampai memenuhi toleransi

yang ditentukan. Toleransi dapat dinyatakan

sebagai nilai absolut (a-b) dan nilai f(m),

misalnya toleransi 0,1% (0,001)

Suplemen dari metoda ini untuk mempercepat

proses dikenal dengan nama regula falsi.

Regula falsi adalah suatu sarana untuk mencari

nilai m dengan capat yang didefinisikan sebagai

)()(

)(*)(

afbf

bfabbm

Proses selanjutnya dilakukan dengan metode

bisection

Metode Secant

Metoda secant yang diawali dengan

metoda Newton Rhapson adalah metoda

pencarian akar suatu fungsi yang termasuk

golongan iterasi. Jika kita mempunyai fungsi

f(x) yang ingin dicari akarnya maka metoda

iterasi mengharuskan fungsi tersebut ditulis

sebagai:

f(x) = x g(x) = 0, sehingga = g()

x k-1 = g(xk)

k = 0,1,2,.....sampai memenuhi iterasi

Pada metode Newton Rhapson fungsi g(x)

tersebut dinyatakan sebagai

')(

x

x

f

fxg

Sehingga nilai percobaan berikutnya adalah

,......2,1,0...........)(

)('1

kxf

xfxx

k

k

kk

Kekurangan metode ini adalah harus mencari

f(x) serta ada kemungkinan divergen.

Suplemen dari metode ini adalah Metode

Secant, dimana setelah didapat nilai pertama

dari metode Newton Rhapson, nilai ketiga dan

seterusnya dapat ditentukan dengan formula:

)]()([

][*)(

1

11

12

kk

kkk

kkxfxf

xxxfxx

Bagan alir metoda bisection dan metoda secant

dapat ditampilkan sebagai berikut:


70

Tulis

Fa*Fb >0

BAGAN ALIR METODA BISECTION

MULAI

DEFINISIKAN

FUNGSI

Baca

a, b, tol

iter_max

Iter =0

Fa = f(a)

Fb = f(b)

Fa * Fb > 0

Iter =Iter + 1

M = (a+b)/2

Fm = f(m)

Im-aI < tol Iter > Iter_max

Fa * Fm < 0

Tulis hasil

m, F(m)

a = m

Fa = Fm

b = m

Fb = Fm

Ya

Tidak

Tidak

Tidak

Ya

Ya

SELESAI

MULAI

DEFINISIKAN FUNGSI

Baca

x0, x1, tol

Iter_max

Iter = 0

Iter = Iter + 1

xb = x1 f(x1) . [x1 x0] / [f(x1) f(x0)]

lxb-x0l < tol Iter > Iter_max

x0 = xb

Tulis hasil

xb, F(xb)

SELESAI

Tidak

Ya

BAGAN ALIR METODA SECANT


71

Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang

Diagram interaksi kolom mendeskripsikan

kekuatan nominal kolom terhadap beban

sentris dan eksentris dengan menggunakan

grafik/diagram, yang biasa disebut diagram P-M

dan secara umum dapat di deskripsikan

sebagai berikut:

Gambar 1 Diagram Interaksi

Masing-masing titik pada kurva mewakili satu

kombinasi nominal load strength (Pn) dan

nominal moment strength (Mn) yang tergantung

pada letak garis netral. Diagram interaksi

terbagi atas bagian tension control dan

compression control yang dibatasi oleh

balanced condition pada titik C.

Studi Kasus

Akan ditentukan letak garis netral pada sebuah

kolom pendek dengan menggunakan metode

bisection dan metode secant . Setelah letak

garis netral diperoleh dilanjutkan dengan

pembuatan gambar diagram interaksi. Dimensi

kolom adalah 30 x 50 cm dan diberi tulangan

625 seprti pada gambar 2. Tegangan leleh

baja direncanakan fy = 4000 kg/cm2, sedangkan

tegangan tekan beton fc = 300 kg/cm2. Jarak

tepi luar beton ke inti tulangan adalah 5 cm.

Gambar 2 Penampang kolom, Regangan dan Tegangan

Dalam perumusan, notasi-notasi yang dipakai

adalah sebagaiberikut:

b : lebar penampang (mm)

h : tinggi penampang (mm)

c : lokasi garis netral dari serat atas (mm)

dcs : jarak tulangan tekan dari serat atas (mm)

dts : jarak tulangan tarik dari serat atas (mm)

ecs : regangan tulangan tekan

ets : regangan tulangan tarik

ey : regangan leleh baja (0.002)

a : kedalaman stress block (mm)

Cc :gaya tekan yang disumbangkan

penampang beton (N)

Cs :gaya tekan yang disumbangkan tulangan

tekan (N)

Ts :gaya tekan yang disumbangkan tulangan

tarik (N)

Acs : luas tulangan tekan (mm2)

Ats : luas tulangan tarik (mm2)

lcc : jarak titik berat stress block ke plastic

centre penampang (mm)

lcs : jarak tulangan tekan ke plastic centre

penampang (mm)

lts : jarak tulangan tarik ke plastic centre

penampang (mm)

fy : tegangan leleh tulangan (MPa)

fc : tegangan karakteristik penampang (MPa)

P : gaya dalam normal yang bekerja pada

penampang (N)

A

D

C

E

B

Mn

Compressi

on

failure Tension

failure

Y

X

0.003 0.85 fc

Cs

Cc

Ts

c

b

h


72

M : momen lentur yang bekerja pada

penampang (Nmm) terhadap plastic centroid

kolom

E : modulus elastisitas baja (= 200000 MPa)

Gaya dalam P dan M pada penampang dapat

diturunkan sebagai fungsi dari c. Komponen

komponen yang menyumbangkan P dan M

berasal dari gaya tekan beton serta gaya

tulangan tekan dan tarik. Sera umum

perumusannya adalah

P = Cc + Cs + Ts

M = Cc*lcc + Cs*lcs + Ts*lts

Komponen Cc, Cs, Ts dan lcc merupakan fungsi

dari c, sedangkan lcs dan lts merupakan

konstanta, sehingga persamaan tersebut dapat

juga ditulis:

P = Cc ( c ) + Cs ( c ) + Ts ( c )

M = Cc ( c )*lcc ( c ) + Cs*lcs + Ts*lts

Asumsi-asumsi yang dipakai pada kondisi

batas adalah:

1. Regangan tekan batas adalah 0.003

2. Hukum Navier-Bernauli berlaku,

sehingga diagram regangan berbentuk

segitiga dapat dipakai

3. Distribusi tegangan beton pada kondisi

batas berbentuk segi empat, yang

besarnya adalah 0.85fc dengan tinggi

block a

Perumusan gaya sumbangan beton Cc (c),

gaya sumbangan tulangan tarik Ts(c), gaya

sumbangan tulangan tekan Cs(c) dan jarak titik

berat stress block ke plastic centre penampang

(lcc) dapat di formulasikan berdasarkan kondisi-

kondisi yang lazim. Formula yang didapat

adalah sebagai berikut:

P (c) = 6502 c + (c-50)/c * (882000) 625485

M (c) = (6502 c 37845 ) ( 250 0.85c/2) + (c-

50)/c * (882000)(200) (-588200)(200)

PENCARIAN AKAR DENGAN METODE

BISECTION + REGULA FALSI

P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) -

625485

P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2

M( c ) = (6502 c - 37845)( 250 - 0.85c/2) + ( c-

50)/c * (882000)*(200) - (-

588200)*(200)

PENCARIAN AKAR DENGAN METODE

NEWTON RAPHSON + SECANT

P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000)

625485

P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2

M( c ) = (6502 c - 37845) 250 - 0.85c/2) + ( c-

50)/c * (882000)*(200) - (-

588200)*(200)

c = 64.959 mm

M(c ) = 243.816 kNm


73

Setelah terdefinisinya komponen komponen

Cc(c), Ts(c), Cs(c) dan lcc(c) sebagai fungsi c,

maka P(c) dan M(c) dapat didefinisikan sebagai

fungsi c. Masing-masing komponen mempunyai

pernyataan fungsi yang interval domainnya

terbagi-bagi, sehingga jika digabungkan. P(c)

dan M(c) pun mempunyai interval domain yang

terbagi-bagi. Ada 9 interval c yang

menghasilkan formulasi fungsi yang berbeda-

beda, hasilnya ditabelkan sebagai berikut:

No a b m P(a) P(b) P(m) P(a)*P(b) P(a)*P(m) a-b

Rem

ark

s:

(b-a

)

penerapan metode bisection dan secant.pdf

Documents