PENERAPAN BUKTI TANPA KATA PADA BIDANG

MATEMATIKA

skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

oleh

Prahetsy Two Era Putri 4150405507

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2011 

ii

PENGESAHAN Skripsi yang berjudul

Penerapan Bukti Tanpa Kata pada Bidang Matematika

disusun oleh

Nama : Prahetsy Two Era Putri

NIM : 4150405507

telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada

tanggal 27 Januari 2011.

Panitia: Ketua

Dr. Kasmadi Imam S., M.S. NIP. 195111151979031001 Ketua Penguji

Dr. Rochmad, M.Si NIP. 195711161987011001 Anggota Penguji/ Pembimbing Utama

Prof. Dr. YL. Sukestiyarno NIP. 195904201984031002

Sekertaris

Drs. Edy Soedjoko, M.Pd NIP. 195604191987031001

Anggota Penguji/ Pembimbing Pendamping

Drs. Sugiman, M.Si NIP. 196401111989011001

iii

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa isi skripsi ini tidak terdapat karya yang

pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi,

dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya yang diterbitkan oleh orang

lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam skripsi ini dan disebutkan dalam

daftar pustaka.

Semarang, Januari 2011

Prahetsy Two Era Putri NIM 4150405507

iv

MOTO DAN PERSEMBAHAN

Moto:

Keutamaan akal ialah hikmah kebijaksanaan dan keutamaan hati ialah

keberanian. (M. Ryan Saputra)

Harta yang paling menguntungkan ialah SABAR. Teman yang paling

akrab adalah AMAL. Pengawal peribadi yang paling waspada DIAM.

Bahasa yang paling manis SENYUM. Dan ibadah yang paling indah

tentunya KHUSYUK. (M. Ryan Saputra)

Keberhasilan seseorang jangan hanya dilihat dari hasilnya saja tetapi

lihatlah seberapa besar usaha yang dilakukan olehnya.

Persembahan:

Skripsi ini kupersembahkan kepada:

1. Ayah dan Ibu tercinta, atas semua doa, kasih sayang dan

motivasi sepanjang nafasku berhembus.

2. Kakak-adikku (Prashida & Pratidina) yang selalu

kukangeni dan selalu bisa membuat indah setiap suasana.

3. Semua Keluarga besarku yang senantiasa medoakan &

memberiku semangat.

4. Mohamad Afiffudin yang selalu mendoakan, memberi

semangat dan menemaniku disaat suka maupun duka.

5. Teman-teman Kost Langgeng selalu menjadi keluarga

dalam diri dan hatiku, yang mampu memberikan surga

seindah surgaku kala aku di rumah.

6. Teman-teman MatPar’05 yang tak hanya memberiku

kebahagiaan dan kenyamanan ketika aku belajar, tetapi

juga membuka mataku betapa indahnya kebersamaan.

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi

rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “Penerapan Bukti Tanpa Kata pada Bidang Matematika” ini dengan baik.

Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana

Sains pada Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam, Universitas Negeri Semarang.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada

pihak-pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Dalam

kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Negeri

Semarang.

2. Dr. Kasmadi Imam S, M.Si, selaku Dekan FMIPA UNNES.

3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Negeri Semarang.

4. Prof. Dr. YL. Sukestiyarno, Pembimbing utama yang telah sabar dalam

memberikan petunjuk, dorongan dan semangat sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

5. Drs. Sugiman, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah sabar dalam

memberikan petunjuk, dorongan dan semangat sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

vi

6. Bapak/Ibu dosen yang telah membantu dan menularkan ilmunya sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7. Bapak, Ibu dan kakak-adikku tercinta yang telah memberikan dukungan, kasih

sayang dan do’anya kepada penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.

8. Teman-temanku Math’05

9. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu proses terselesaikannya

skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Manusia tidaklah ada yang sempurna, karena kesempurnaan hanyalah milik

Tuhan YME. Sebagai mahluk yang lemah penulis menyadari bahwa dalam

penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan.

Untuk itu masukkan berupa kritik, saran dan pendapat yang bersifat membangun

sangat penulis harapkan demi kemajuan pendidikan khususnya matematika.

Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi penulis khususnya,

rekan-rekan, mahasiswa, para pemerhati matematika dan kepada pembaca pada

umumnya.

Semarang, Januari 2011

Penulis

vii

ABSTRAK

Putri, Prahetsy Two Era. 2011. Penerapan Bukti Tanpa Kata pada Bidang Matematika. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA UNNES. Prof. Dr. YL. Sukestiyarno dan Drs. Sugiman, M.Si Kata kunci: Aritmatika, Aljabar, Geometri, Trigonometri, Bukti Tanpa Kata

Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Bukti bukanlah sesuatu yang mudah karena lebih banyak melibatkan simbol dan penyataan logika dari pada berhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana penggunaan bukti tanpa kata untuk memperoleh ide, gagasan, dan intuisi dalam rangka pembuktian secara deduktif pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

Teorema-teorema yang dibuktikan di dalam penelitian ini meliputi bidang aritmatika: 1) Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

. 2) Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 = n2. Bidang aljabar: 1) Untuk x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2. 2) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2). 3) (a+b+c)2 + (a+b-c)2 + (a-b+c)2 + (a-b-c)2 = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2. Bidang geometri: 1) Jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o. 2) pada segitiga siku-siku, kuadrat hipotenusa (sisi miring) adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi yang saling tegak lurus). 3) teorema perbandingan perpotongan garis berat pada satu segitiga. Bidang trigonometri: 1) sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y. 2)

. 3) . Beberapa teorema

tersebut dibuktikan dengan menggunakan bukti tanpa kata, yang pembuktiannya dengan menggunakan gambar-gambar, sesuai dengan bentuk teorema yang akan dibuktikan.

Hasil yang didapat dalam penelitian bukti tanpa kata pada bidang aritmetika didasarkan pada pembuktian sederhana yaitu fubini, bukti tanpa kata pada bidang aljabar didasarkan pada operasi penjumlahan dan pengurangan luas bangun, bukti tanpa kata pada bidang geometri didasarkan pada definisi kesejajaran, pembuktian teorema pythagoras dengan cara kesebangunan, dan pembuktian teorema garis berat, garis bagi, dan garis tinggi pada segitiga, dan bukti tanpa kata pada bidang trigonometri didasarkan pada operasi pengurangan, pembagian, dan teorema pythagoras pada fungsi trigonometri. Dari hasil pembuktian tanpa kata tersebut sebagian bukti sebagai bukti alternatif pembuktian disamping pembuktian secara analitis.

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i PENGESAHAN .................................................................................................. ii PERNYATAAN ................................................................................................ iii MOTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................... iv KATA PENGANTAR ........................................................................................ v ABSTRAK .......................................................................................................vii DAFTAR ISI .................................................................................................... viii BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 ........................................................................................................ L

atar Belakang Masalah ......................................................................... 1

1.2 ........................................................................................................ P

ermasalahan ......................................................................................... 6

1.3 ........................................................................................................ P

embatasan Masalah .............................................................................. 6

1.4 ........................................................................................................ T

ujuan .................................................................................................... 6

1.5 ........................................................................................................ M

anfaat Penelitian .................................................................................. 6

1.6 ........................................................................................................ S

istematika Skripsi ................................................................................. 7

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 ........................................................................................................ B

idang Ilmu Matematika ........................................................................ 9

2.2 ....................................................................................................... T

eorema dalam Matematika ................................................................. 21

2.3 ....................................................................................................... Pe

mbuktian Teorema ............................................................................ 24

2.4 ....................................................................................................... T

opik Penelitian ................................................................................... 36

ix

2.5 ....................................................................................................... K

erangka Berfikir ................................................................................. 38

BAB 3 METODE PENELITIAN

3.1 ....................................................................................................... M

enemukan Masalah............................................................................. 41

3.2 ....................................................................................................... M

erumuskan Masalah .......................................................................... 41

3.3 ....................................................................................................... St

udi Pustaka ........................................................................................ 42

3.4 ....................................................................................................... A

nalisis dan Pemecahan Masalah.......................................................... 43

3.5 ....................................................................................................... Pe

narikan Kesimpulan .......................................................................... 44

BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

4.1 ....................................................................................................... H

asil Penelitian ..................................................................................... 45

4.2 ....................................................................................................... Pe

mbahasan ........................................................................................... 67

BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN

5.1 ....................................................................................................... Si

mpulan ............................................................................................... 69

5.2 ....................................................................................................... Sa

ran ..................................................................................................... 70

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 71

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif

mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor

intuisi dan pola berfikir induktif banyak berperan pada proses awal dalam

merumuskan suatu konjektur (conjecture) yaitu dugaan awal dalam matematika.

Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur,

contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya semua informasi dan

fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk

kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan

kebenarannya, maka selanjutnya ia menjadi suatu Teorema.

Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan

pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa

implikasi, biimplikasi, negasi atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika

seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, bimplikasi juga sering termuat dalam suatu

pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain

adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. (Baeti, 2010: 1)

Pada tahap awal, pekerjaan memahami bukti bukanlah sesuatu yang

mudah karena pembuktian lebih banyak melibatkan simbol dan penyataan logika

dari pada berhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai

2

karakter matematika. Kenyataan inilah menjadikan seseorang malas untuk

memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan

membuktikan dianggap lebih sulit dan kurang menarik. Padahal banyak manfaat

yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya adalah

melatih logically thinking dalam belajar matematika.

Dalam pembuktian matematika terdapat beberapa metode pembuktian

sederhana dengan menggunakan aturan-aturan logika dasar. Metode pembuktian

yaitu memainkan peranan penting dalam matematika, misalnya bukti langsung,

bukti tak langsung, bukti dengan kontradiksi, bukti ketunggalan, penyanggahan

bukti dengan counter example, bukti dengan induksi matematika, bukti

biimplikasi. Selain metode-metode tersebut, dalam matematika juga terdapat

metode pembuktian yang jarang dijumpai dalam pembuktian-pembuktian pada

teorema-teorema, yaitu bukti tanpa kata-kata.

Sebuah bukti tanpa kata dapat dianggap sebagai ’bukti’ yang

menggunakan visual representasi, yaitu gambar atau visual lainnya. Berarti untuk

menunjukkan ide matematika, persamaan atau teorema dalam rangka pembuktian

secara deduktif. Tidak mengandung kata-kata apapun selain simbol numerik dan

geometris gambar. Pada umumnya, bukti tanpa kata-kata adalah gambaran atau

diagram yang membantu pembaca melihat mengapa suatu pernyataan matematis

mungkin benar.

Menafsir sebuah bukti tanpa kata-kata memerlukan penjelasan yang

menarik karena diberbagai gagasan matematika tidak selalu jelas dengan bukti

tanpa kata-kata. Dalam penelitian ini akan dibahas bagaimana cara membuktikan

3

teori-teori yang ada dalam matematika dengan bantuan gambar. Metode ini

dilakukan semata-mata hanya untuk memperoleh ide, gagasan, dan intuisi dalam

rangka pembuktian secara deduktif. Metode ini disebut pembuktian tanpa kata.

Bukti tanpa kata-kata dapat digunakan dibanyak bidang matematika. Di

sini yang akan dibahas tentang penerapan bukti tanpa kata di berbagai bidang

matematika antara lain aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

Aritmetika atau aritmatika atau dulu disebut Ilmu Hitung merupakan

cabang tertua (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar

bilangan. Oleh orang awam, kata “aritmetika” sering dianggap sebagai sinonim

dari Teori Bilangan. Operasi dasar aritmetika adalah penjumlahan, pengurangan,

perkalian dan pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih

(seperti persentase, akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga

dimasukkan ke dalam kategori ini. Perhitungan dalam aritmetika dilakukan

menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi aritmetika yang mana

lebih dulu dilakukan. Aritmetika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional,

dan bilangan real umumnya dipelajari oleh anak sekolah yang mempelajari

algoritma manual aritmetika. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka

menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk

melakukan perhitungan aritmetika. (Wikipedia bahasa Indonesia, Ensiklopedia

bebas).

Sedangkan kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari

pengaturan objek-objek. Solusi yang diperoleh dengan kombinatorial ini jumlah

cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam kumpulannya. Secara umum,

4

terdapat dua kaidah utama dalam kombinatorial, yaitu kaidah perkalian dan kaidah

penjumlahan.

Bukti kombinatorial metode yang didasarkan pada dua prinsip perhitungan

sederhana yaitu (1) jika akan menghitung benda-benda disatu set dalam dua cara

yang berbeda, maka akan diperoleh hasil yang sama atau disebut prinsip fubini,

contoh: Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, (2)

jika dua set objek berada dalam keadaan satu ke satu atau korespondensi satu-satu

maka akan memiliki jumlah elemen yang sama disebut prinsip cantor, contoh:

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, . Untuk bukti

tanpa kata yang membuktikan beberapa torema tentang angka, seperti pada deret

aritmetika. Wawasan dapat diperoleh dengan mewakili angka sebagai set objek.

Dalam bukti tanpa kata, biasanya menggunakan titik, kotak, bola, kubus, dan

benda-benda yang lain.

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan",

"hubungan" atau "perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan

sebagai generalisasi dari bidang aritmetika. Aljabar juga merupakan nama sebuah

struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Ada beberapa jenis

aljabar yaitu (1) Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan real,

menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan

variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis

yang melibatkan simbol-simbol tersebut; (2) Aljabar abstrak, yang secara

aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok

matematika, cincin matematika dan matematika bidang; (3) Aljabar linear, yang

5

mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks); (4) Aljabar

universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar; (5)

Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda

matematis.

Geometri adalah bagian dari matematika yang mengambil berat persoalan

mengenai size, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri

lahir sebagai salah satu sumber dari beberapa matematika terapan yang ada selama

ini. Pada mulanya, geometri hanya dipergunakan sebagai ilmu praktis dan

keahlian teknik. Diantaranya seperti pada masyarakat Babilonia dan Mesir yang

menggunakan geometri sebagai pengukuran praktis pada pertanian kemudian

diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, mencari luas dan menghitung isi

atau volume benda tertentu. Selanjutnya geometri terus berkembang menjadi

pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. (Wallance, 1972: 1).

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonom = tiga sudut dan metro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut

segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri

memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa

hubungannya. Bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

(Wikipedia bahasa Indonesia, Ensiklopedia bebas). Dengan inilah penulis

bermaksud untuk meneliti bagaimanakah penggunaan bukti tanpa kata yang

diterapkan pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

6

1.2 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini

adalah: bagaimana penggunaan bukti tanpa kata yang diterapkan pada bidang

matematika antara lain aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri?

1.3 Pembatasan Masalah

Untuk membatasi ruang lingkup permasalahan pada penulisan skripsi ini,

diberikan batasan bahwa masalah yang akan dikaji adalah teorema deret

aritmetika pada bidang aritmetika; teorema penjumlahan luas bangun datar pada

bidang aljabar; teorema jumlah sudut dalam segitiga, pythagoras, dan

perbandingan perpotongan garis berat dalam saru segitiga pada bidang geometri;

dan teorema sudut dan fungsi trigonometri pada bidang trigonometri.

1.4 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dalam penelitian ini

adalah membuktikan teorema pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan

trigonometri dengan menggunakan bukti tanpa kata.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.5.1 Bagi Mahasiswa

1. Dapat mengembangkan teori yang didapatkan dibangku kuliah.

2. Mengetahui berbagai macam metode pembuktian yang digunakan dalam

matematika.

7

3. Mengetahui bahwa teorema dalam matematika juga dapat dibuktikan dengan

menggunakan bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri tanpa

kata.

1.5.2 Bagi Pembaca

1. Memperoleh informasi yang berkaitan dengan kemajuan pengetahuan

matematika.

2. Masukan bagi pembaca bahwa dalam membuktikan suatu teorema tidak

hanya dapat dibuktikan dengan bukti aljabar, tetapi juga dapat digunakan

bukti tanpa kata.

1.5.3 Bagi Universitas

Sebagai sarana untuk penelitian dan pengembangan, terutama yang

berkaitan dengan tugasnya sebagai lembaga pendidikan.

1.6 Sistematika Skripsi

Penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian yaitu

bagian awal, bagian isi dan bagian akhir.

Bagian awal memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,

halaman motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar

gambar, dan daftar lampiran.

Bagian inti terdiri dari lima bab, adapun kelima bab tersebut adalah

sebagai berikut.

1. Bab 1 Pendahuluan

Pada bab pendahuluan ini berisi alasan pemilihan judul, permasalahan, tujuan

dan manfaat penelitian, dan garis besar sistematika skripsi.

8

2. Bab 2 Landasan Teori

Landasan teori merupakan teori-teori yang mendasari pemecahan masalah

yang disajikan.

3. Bab 3 Metode Penelitian

Bab ini meliputi empat hal, yaitu studi literatur dan studi kasus, analisis

pengumpulan data, analisis data dan penarikan kesimpulan.

4. Bab 4 Hasil Penelitian dan Pembahasan

Pada bab ini berisi pembahasan dari permasalahan yang disajikan yang

terbagi menjadi dua sub bagian, yaitu hasil penelitian dan pembahasan.

5. Bab 5 Penutup

6. Pada bab ini memuat simpulan dan saran. Bagian akhir skripsi ini berisi daftar

pustaka dan lampiran-lampiran.

Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-

lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.

9

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Bidang Ilmu Matematika

Kata “matematika” berasal dari kata máthema dalam bahasa Yunani yang

diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar” juga mathematikós yang

diartikan sebagai “suka belajar”. Disiplin utama dalam matematika didasarkan

pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan

memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum

berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang

struktur, ruang dan perubahan. (http://www.google.matematika.com)

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang

sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi

arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan

bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-

metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar

abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang

menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor,

digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linear, yang termasuk

dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan

trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi

10

lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang

memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan

rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori

Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar

menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial menekankan

pada konsep fungsi, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri

aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan

polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan

menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan

studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat

dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus

dibangun sebagai alat untuk tujuan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk

menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang

berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju

perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari

persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan

real, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai real dikenal

sebagai analisis real. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan

bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional

11

memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi,

meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting

dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori

kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini

banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis.

Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan

matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang

menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu,

analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis

bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam

masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan

menyeluruh ke dalam laporan.

Definisi memainkan peranan penting dalam matematika. Topik-topik baru

matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori

fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1.

Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah Teorema beserta akibat-akibatnya.

teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangakala

teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu

juga sebaliknya. Dalam membuktikan sebuah teorema dapat digunakan berbagai

macam cara sesuai dengan bentuk teorema yang akan dibuktikan. Metoda

pembuktian dalam matematika yang biasa digunakan yaitu bukti langsung, bukti

12

tak langsung, bukti dengan kontradiksi, bukti ketunggalan, penyanggahan bukti

dengan counter example, bukti dengan induksi matematika, bukti biimplikasi dan

juga bukti tanpa kata. Bukti tanpa kata sudah lama muncul, tetapi jarang

digunakan untuk membuktikan sebuah teorema karena kebanyakan orang

membuktikan teorema dengan bukti aljabar. Selanjutnya, untuk memahami materi

selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika.

Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah

terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam

matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan

terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.

Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-

contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai

kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah

ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun

1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka

tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka

tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800

SM). (http://www.google.matematika.com)

Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang

biasa dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil

pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika

dasar dan geometri.

13

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada

umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer

yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan

sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari

bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar:

tambah, kurang, kali dan bagi.

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan

sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar

yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa

sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari

matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan

untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu

lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni,

dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar

matematika hanya sebagai hobi tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya

untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang

matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai

ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir. Cabang matematika tersebut

diantaranya adalah aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

2.1.1 Aritmetika

Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika) (dari kata bahasa

Yunani arithnos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau

14

pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang

awam, kata "aritmetika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.

Operasi dasar aritmetika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase,

akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan ke dalam

kategori ini. Perhitungan dalam aritmetika dilakukan menurut suatu urutan operasi

yang menentukan operasi aritmetika yang mana lebih dulu dilakukan.

Aritmetika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan

real umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual

aritmetika. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-

alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan

aritmetika.

Perkembangan terakhir di Indonesia berkembang mempelajari aritmetika

dengan bantuan metoda jarimatika, yakni menggunakan jari-jari tangan untuk

melakukan operasi kali-bagi-tambah-kurang.

2.1.1.1 Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua

suku yang berurutan selalu tetap.

Bentuk umum:

U1, U2, U3, . . ., Un atau

a, (a +b), (a + 2b), . . ., (a + (n - 1)b)

Pada barisan aritmetika, berlaku Un – Un – 1 = b sehingga Un = Un – 1+ b

Suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n - 1)b

15

Penjumlahan sebanyak n suku

dimana Un = Suku ke-n

a = suku pertama, b = beda dan n = banyaknya suku.

2.1.1.2 Deret Aritmetika

Jika diketahui U1, U2, U3, . . ., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan

aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + . . . +Un disebut deret aritmetika, dengan Un =

a + (n – 1)b.

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.

Bentuk umum:

U1 + U2 + U3 + . . . +Un atau

a +(a + b) +(a + 2b) +. . . +(a + (n – 1)b)

jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika, maka rumus

umum untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Sn = U1 + U2 + U3 + . . . +Un

Maka

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) +. . . +(a + (n – 1)b)

Sn = Un +( Un – b ) +( Un – 2b ) +. . . + a

2 Sn = (a+Un ) + (a+Un ) + (a+Un ) + ….+ (a+Un )

2 Sn = n(a+Un ) → Sn = (a+Un )

Sn = [a + (a + (n – 1)b)]

Sn = [2a + (n – 1)b]

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:

+

16

Sn = [2a + (n – 1)b].

dimana Un = Suku ke-n

a = Suku pertama

b = beda

n = banyaknya suku

(Noormandiri, 2006:249)

2.1.2 Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan",

"hubungan" atau "perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan

sebagai generalisasi dari bidang aritmetika. Aljabar juga merupakan nama sebuah

struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Ada beberapa jenis

aljabar yaitu (1) Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan real,

menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan

variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis

yang melibatkan simbol-simbol tersebut; (2) Aljabar abstrak, yang secara

aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok

matematika, cincin matematika dan matematika bidang; (3) Aljabar linear, yang

mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks); (4) Aljabar

universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar; (5)

Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda

matematis.

17

2.1.3 Geometri

Geometri adalah bagian dari matematika yang mengambil persoalan

mengenai size, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah/kesalahan dan sifat ruang.

Geometri lahir sebagai salah satu sumber dari beberapa matematika terapan yang

ada selama ini. Pada mulanya, geometri hanya dipergunakan sebagai ilmu praktis

dan keahlian teknik. Diantaranya seperti pada masyarakat Babilonia dan Mesir

yang menggunakan geometri sebagai pengukuran praktis pada pertanian

kemudian diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, mencari luas dan

menghitung isi atau volume benda tertentu. Selanjutnya geometri terus

berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis.

(Wallance, 1972: 1).

Sudut dalam geometri adalah besaran rotasi suatu ruas garis dari satu titik

pangkalnya ke posisi yang lain. Selain itu, dalam bangun dua dimensi yang

beraturan, sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua buah ruas garis

lurus yang saling berpotongan. Jumlah sudut pada lingkaran 360°. jumlah sudut

pada segitiga siku-siku 180°. Besar sudut pada persegi/segi empat 360°.Untuk

mengukur sudut dapat digunakan busur derajat. (Mulyati, 1996: 32).

Teorema konkruensi ( ) sudut siku-siku:

Jika diketahui siku-siku dan siku-siku maka

18

Bukti:

Diketahui siku-siku maka menurut definisi = 900.

Demikian pula diketahui siku-siku maka = 900.

Menggunakan sifat simetris: karena = 900 maka 900 = .

Karena = 900 dan 900 = menurut sifat transitif relasi “=” maka

= , sehingga menurut definisi konkruensi sudut disimpulkan

.

Teorema konkruensi segitiga siku-siku:

Dua segitiga siku-siku disebut konkruen jika terdapat korespondensi satu-

satu antara titik sudut-titik sudutnya, sehingga hipotenusa dan salah satu kakinya

pada segitiga pertama konkruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada

segitiga kedua.

Diketahui siku-siku di B, siku-siku di E, ,

Dibuktikan:

19

Bukti:

Menurut aksioma konstruksi sudut di A terdapat .

Menurut aksioma dapat diperpanjang sehingga .

Menurut aksioma melalui P dan C ada . Pandang dan , karena

(diketahui), (dibuat), dan (dikonstruksi)

maka menurut aksioma Ss.Sd.Ss . Akibatnya .

20

Diketahui siku-siku di E sehingga m = 900. Karena

maka = 900.

Menurut aksioma dapat dibuat garis melalui B dan P, kemudian perhatikan

. Karena dan diketahui sehingga maka

menurut Teorema segitiga samakaki .

Diketahui siku-siku di B maka = 900, sehingga

demikian pula .

Pandang karena maka menurut convers Teorema segitiga

samakaki .

Perhatikan dan , karena , , dan

maka (aksioma Ss.Sd.Ss).

Karena dan maka .

2.1.4 Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonom = tiga sudut dan metro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut

segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri

memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa

hubungannya. Bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Hubungan fungsi trigonometri

�

�

Penjumlahan

21

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B

cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B

cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

�Rumus setengah sudut

��

�

� 2.2 Teorema dalam Matematika

Teorema adalah pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya. Dengan

menggunakan definisi dan asumsi sebagai alasan, kita mendeduksi atau

membuktikan teorema-teorema dasar. Setiap menggunakan teorema baru untuk

membuktikan lebih banyak teorema lagi, proses deduksi akan terus berkembang.

Namun demikian, jika suatu teorema baru digunakan untuk membuktikan teorema

sebelumnya, urutan logika akan menjadi tidak sistematis.

Teorema “jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 1800”

digunakan untuk membuktikan “jumlah ukuran sudut-sudut suatu pentagon adalah

5400”. Selanjutnya, hal ini membuat orang bisa membuktikan bahwa “setiap sudut

suatu pentagon beraturan berukuran 1080”. Namun demikian, urutan logika akan

22

menjadi kacau jika kita mencoba untuk menggunakan teorema terakhir untuk

membuktikan Teorema yang pertama atau Teorema yang kedua.

Dalam bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri terdapat

banyak torema yang pembuktiannya digunakan dengan metoda pembuktian

matematika dan juga dapat dibuktikan dengan bukti tanpa kata.

Beberapa teorema pada matematika biasanya dibuktikan dengan bukti

langsung, bukti tak langsung, bukti dengan kontradiksi, bukti ketunggalan,

penyanggahan bukti dengan counter example, bukti dengan induksi matematika,

bukti biimplikasi, tetapi tidak semua teorema pada matematika dapat dibuktikan

dengan bukti tanpa kata, disini akan disajikan beberapa teorema pada bidang

aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri yang dapat dibuktikan dengan

bukti tanpa kata.

2.2.1 Teorema untuk Bidang Aritmetika antara lain:

Teorema 1.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, (Alsina, C

& Nelsen, R. 2010: 72)

Teorema 2.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

Teorema 3.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 = n2.

(Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 74)

23

2.2.2 Teorema untuk Bidang Aljabar antara lain:

Teorema 1.

Buktikan x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2. (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 19)

Teorema 2.

Buktikan (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2). (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 20)

Teorema 3.

Buktikan (a+b+c)2 + (a+b-c)2 + (a-b+c)2 + (a-b-c)2 = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2. (Alsina,

C & Nelsen, R. 2010: 21).

2.2.3 Teorema untuk Bidang Geometri antara lain:

Teorema 1.

Buktikan jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o. (Alsina, C & Nelsen, R.

2010: 14)

Teorema 2.

Pada segitiga siku-siku, buktikan c2 = a2 + b2. (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 8)

C

A B

c2

b2

a2

24

Teorema 3.

1. Buktikan perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya 2:1.

(Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 13)

2.2.4 Teorema untuk Bidang Trigonometri antara lain:

Teorema 1.

Buktikan sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y. (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 30)

Teorema 2.

Buktikan . (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 35)

Teorema 3.

Buktikan

. (Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 31)

2.3 Pembuktian Teorema

Pembuktian Teorema disini dilakukan dengan 2 (dua) cara yaitu dengan

cara matematis dan dengan bukti tanpa kata atau pembuktian dengan gambar.

2.3.1 Bukti dengan Cara Matematis

Bukti dengan cara matematis yaitu pembuktian secara berurutan

menggunakan bukti langsung maupun menggunakan teori-teori sebelumnya.

2.3.1.1 Pembuktian Teorema secara Matematis untuk Bidang Aritmetika.

1. Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

25

Bukti:

Untuk n = 1

Jelas p(1) = 1 = 12

Jadi p(1) benar.

Misal p(k) benar.

Jadi p(k) = 1 + 3 + ... + (2k -1) = k2

Jelas p(k+1) = 1 + 3 + 5 + .... + (2k-1) + (2(k+1) – 1)

= k2 + 2k + 2 – 1

= k2 + 2k + 1

= (k+1)2

Jadi p(k+1) benar apabila p(k) benar.

2. Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

Bukti:

Untuk n = 1

Jelas p(1) = 2 = 12 + 1

Jadi p(1) benar.

Misal p(k) benar.

Jadi p(k) = 2 + 4 + 6 + ... +(2k) = k2 + k

Jelas p(k+1) = 2 + 4 + 6 + .... + (2k) + (2(k+1))

= k2 + k + 2k + 2

= k2 + 3k + 2

= (k+1)2 + (k+1)

Jadi p(k+1) benar apabila p(k) benar.

26

3. Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 = n2.

Bukti:

Untuk k = 1

Jelas p(1) = 12 + 1

Jadi p(1) benar.

Misal p(k) benar.

Jadi p(k) = 1+2+ …+(k– 1)+ k + (k – 1) + 2 + 1 = k2

Jelas p(k+1) = 1 + 2 + …+(k – 1) + k + (k – 1) + … + 2 + 1 + (k+1) + k

= k2 + k + 1 + k

= k2 + 2k + 1

= (k+1)2

2.3.1.2 Pembuktian Teorema secara Matematis untuk Bidang Aljabar.

1. Buktikan x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2

Bukti:

27

2. Buktikan

Bukti:

(a+b) (a+b) + (a-b) (a-b) =

=

=

3. Buktikan

Bukti:

2.3.1.3 Pembuktian Teorema secara Matematis untuk Bidang Geometri.

1. Buktikan jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 1800.

Bukti:

28

Lihat

Jelas = 1800 –

Jelas = 1800

= 180 – (180

=

Lihat

Jelas = 1800 –

Jelas = 1800

= 180 – (180

=

Jelas =

=

=

Jelas + + = 180

2. Pada segitiga siku-siku, buktikan

29

C

A B

Bukti:

Lihat

=

AC2 = BC * NC ........................ (i)

Lihat

=

AB2 = BC * BN ......................... (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

= BC * NC + BC * BN

= BC (NC + BN)

= BC * BC

=

(terbukti).

c2

b2

a2

30

3. Buktikan perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya 2:1.

Bukti:

Lihat dan

=

=

Lihat dan

=

2AF = FB

AF : AB = 1 : 3

AF = .

2.3.1.4 Pembuktian Teorema secara Matematis untuk Bidang Trigonometri.

1. Buktikan sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y.

31

Bukti:

Sin(x-y) =

=

ED =

Jelas sin (x-y) =

=

=

=

=

= sin x cos y – cos x sin y.

2. Buktikan .

32

Bukti:

Lihat dan

(siku-siku)

(berimpit)

Jadi

Akibatnya

Pada (i)

Pada (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh .

3. Buktikan

Bukti:

33

2.3.2 Pembuktian dengan Gambar (Bukti Tanpa Kata)

Di dalam matematika terdapat teorema-teorema yang perlu dibuktikan.

Untuk membuktikannya dapat digunakan beberapa metode yang pembuktiannya

dengan menggunakan aljabar. Pembuktian dengan menggunakan aljabar sudah

banyak digunakan dan sudah tidak asing lagi bagi orang-orang awam. Oleh karena

itu dalam penelitian ini akan menggunakan sebuah metode pembuktian yang baru

agar tidak membosankan yaitu bukti tanpa kata.

Bukti tanpa kata yaitu bukti yang dibatasi dengan menggunakan gambar

atau visual lainnya. Berarti untuk menunjukkan ide matematika, persamaan atau

teorema. Tidak mengandung kata-kata apapun selain simbol numerik dan

geometris gambar. (C. Alsina & R. Nelsen, 2010: 119)

Pada umumnya, bukti tanpa kata-kata adalah gambaran atau diagram yang

membantu pembaca melihat mengapa suatu pernyataan matematis mungkin benar.

Bukti tanpa kata-kata memerlukan penjelasan yang menarik diberbagai gagasan

matematika tidak selalu jelas dengan bukti tanpa kata-kata. Dalam penelitian ini

akan dibahas bagaimana cara membuktikan teori-teori yang ada dalam

matematika dengan bantuan gambar. Metode ini dilakukan semata-mata hanya

34

untuk memperoleh ide, gagasan, dan intuisi dalam rangka pembuktian secara

deduktif.

Pada dasarnya tujuan pembuktian baik dengan menggunakan bukti aljabar

ataupun dengan bukti tanpa kata adalah sama, yaitu membuktikan sebuah teorema

menjadi benar. Tujuan digunakannya bukti tanpa kata adalah untuk memperoleh

ide, gagasan, dan intuisi yang dapat mempermudah dalam melakukan pembuktian

secara deduktif. Sebagai masukan bagi pembaca bahwa dalam membuktikan suatu

teorema tidak hanya dapat dibuktikan dengan bukti aljabar, tetapi juga dapat

digunakan bukti tanpa kata.

Hubungan bukti aljabar dengan bukti tanpa kata adalah seiring atau

beriringan, karena beberapa teorema dalam matematika dapat dibuktikan dengan

kedua metode tersebut. Yang membedakan hanyalah cara pembuktiannya, pada

bukti aljabar yaitu membuktikan Teorema dengan menguraikan beberapa kata

atau kalimat, yang biasanya diawali dengan kata “dipunyai, ambil sembarang,

tulis, maka, jelas, dan lain-lain”. Sedangkan pada bukti tanpa kata, bukti cukup

dengan gambar yang menjelaskan.

2.3.2.1 Bukti Tanpa Kata pada Bidang Aritmetika Teorema 1.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

(Alsina, C & Nelsen, R. 2010: 119)

Bukti: Diberikan dua bukti kombinatorial pada gambar berikut.

35

Gambar 2

Pembuktian Teorema 2 menggunakan bukti kombinatiorial tanpa kata

dengan bentuk bola-bola. Pada Gambar 2a, menghitung bola digunakan dua cara,

pertama sebagai persegi panjang bola dan yang kedua menghitung jumlah bola

disetiap L-wilayah yang berbentuk bola dan berwarna sama (prinsip fubini).

Pada Gambar 2a terlihat bahwa bola-bola disusun persegi dan diberi warna

berbeda serta diberi garis siku atau berbentuk L-wilayah sesuai dengan warna

masing-masing bola. Sehingga dapat diketahui jika setiap bentuk L dijumlahkan

maka akan menghasilkan n2 bola. Misalnya: penjumlahan 2 bentuk L, yaitu 1 bola

ditambah 3 bola maka akan menghasilkan 4 bola = 22 bola yang berbentuk persegi

dengan ukuran sisinya 2 bola. Penjumlahan 3 bentuk L, yaitu 1 bola + 3 bola + 5

bola maka akan menghasilkan 9 bola = 32 bola yang berbentuk persegi dengan

ukuran sisinya 3 bola. Penjumlahan 3 bentuk L, yaitu 1 bola + 3 bola + 5

bola + 7 bola maka akan menghasilkan 16 bola = 42 bola yang berbentuk persegi

dengan ukuran sisinya 4 bola dan penjumlahan- penjumlahan bentuk L seterusnya.

Jadi jika 1 bola+ 3 bola+ 5 bola + 7 bola +…+ (2n bola – 1 bola) = n2 bola.

Jadi bilangan ganjil positif jika dijumlahkan akan menghasilkan n2.

Jadi terbukti bahwa .

36

Gambar 2b, terlihat korespondensi satu-satu (diilustrasikan oleh warna

bola) antara panjang segitiga bola dalam baris dengan banyak bola 1, 3, 5, …,

(2n – 1) bola yang jika dijumlahkan akan menghasilkan n2 bola dan sebuah

panjang persegi bola. Kedua cara ini biasa disebut prinsip cantor.

Jadi .

2.4 Topik Penelitian

Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai pembuktian tanpa kata pada 4

(empat) bidang matematika yaitu aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

Pada keempat bidang penelitian tersebut akan dibahas beberapa teorema untuk

masing-masing bidang penelitian diantaranya adalah teorema pada bidang

aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri.

2.4.1 Aritmetika

Teorema bidang aritmetika yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut.

1. Buktikan untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

2. Buktikan untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2

+ 1 = n2.

2.4.2 Aljabar

Teorema bidang aljabar yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut.

1. Buktikan x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2

2. Buktikan (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

37

3. Buktikan (a+b+c)2 + (a+b-c)2 + (a-b+c)2 + (a-b-c)2 = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2

2.4.3 Geometri

Teorema bidang geometri yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut.

1. Buktikan jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o.

2. Pada segitiga siku-siku, buktikan c2 = a2 + b2

C

A B

3. Buktikan perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya 2:1.

2.4.4 Trigonometri

Teorema bidang trigonometri yang akan dibahas dalam penelitian ini

adalah sebagai berikut.

1. Buktikan sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y.

2. Buktikan .

3. Buktikan

c2

b2

a2

38

2.5 Kerangka Berfikir dan Hipotesis

Metoda pembuktian dalam matematika terdiri dari beberapa macam

metode, salah satunya bukti tanpa kata. Bukti tanpa kata sudah lama muncul,

tetapi tidak sering digunakan untuk membuktikan bahkan tidak ada orang yang

membuktikan suatu teorema dengan bukti tanpa kata. Sekarang kebanyakan

teorema-teorema dibuktikan dengan menggunakan bukti aljabar atau dengan

penjabaran-penjabaran. Bukti dengan menggunakan aljabar artinya teorema

dibuktikan dengan menggunakan metoda pembuktian matematika, misalnya bukti

langsung, bukti tak langsung, induksi matematika, dan lain-lain.

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan dalam membuktikan

suatu teorema matematika. Diantaranya bukti kombinatorial (aritmetika), aljabar,

geometri, dan trigonometri tanpa kata. Metode bukti tanpa kata yaitu bukti yang

dibatasi dengan menggunakan gambar atau visual lainnya biasanya menggunakan

titik, kotak, bola, kubus dan benda-benda yang mudah diambil.

39

Secara bagan proses penelitiannya sebagai berikut:

Dalam tulisan ini akan digunakan bukti tanpa kata dalam membuktikan

teorema pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri. Teorema-

teorema pada penelitian ini dibatasi hanya pada teorema-teorema berikut.

1. Pada bidang aritmetika:

a. Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

Pemilihan permasalahan pada setiap bidang

Penjelasan bukti teorema sesuai b

Visualisasi teorema dengan menggunakan gambar

Pembuktian teorema secara gambar

Pembuktian teorema secara i

40

b. Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 =

n2.

2. Pada bidang aljabar:

a. Buktikan x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2.

b. Buktikan (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2).

c. Buktikan (a+b+c)2 + (a+b-c)2 + (a-b+c)2 + (a-b-c)2 = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2

3. Pada bidang geometri:

a. Buktikan jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o.

b. Pada segitiga siku-siku, buktikan c2 = a2 + b2.

c. Buktikan perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya

2:1.

4. Pada bidang trigonometri:

a. Buktikan sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y.

b. Buktikan .

c. Buktikan

.

41

BAB 3

METODE PENELITIAN

Untuk dapat mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan dan agar

penelitian berjalan dengan lancar maka metode dan peracangan penelitian

memegang peranan yang sangat penting sebab dengan metode penelitian akan

diperoleh data yang lengkap untuk memecahkan masalah yang dihadapi.

3.1 Menemukan Masalah

Dalam tahap ini dicari pustaka dan dipilih bagian dari sumber pustaka

sebagai suatu masalah.

3.2 Merumuskan Masalah

Masalah yang dipilih harus “researchable” dalam arti masalah tersebut

dapat diteliti, masalah perlu dirumuskan secara jelas, karena dengan perumusan

yang jelas, penelitian diharapkan dapat mengetahui variabel-variabel apa yang

akan diukur dan apakah alat-alat ukur yang sesuai untuk mencapai tujuan

penelitian. Dengan rumusan masalah yang jelas, akan dapat dijadikan penuntun

bagi langkah-langkah selanjutnya. Salah satu karakteristik formulasi pertanyaan

penelitian yang baik yaitu pertanyaan penelitian harus clear. Artinya pertanyaan

penelitian yang diajukan hendaknya disusun dengan kalimat yang jelas, artinya

membingungkan. (Fraenkel dan Wallen, 1990:23). Dengan pertanyaan yang jelas

42

akan mudah mengidentifikasi variabel-variabel apa yang ada dalam pertanyaan

penelitian. Dalam mengidentifikasi istilah tersebut dapat dengan:

1. Constitutive Definition, yakni dengan pendekatan kamus (dictionary

approach),

2. Contoh atau by example

3. Operational Definition, yakni mendefinisikan istilah atau variable penelitian

secara spesifik, rinci dan operasional.

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: bagaimana penggunaan

bukti tanpa kata yang diterapkan pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan

trigonometri.

Sebuah bukti tanpa kata dapat dianggap sebagai ’bukti’ yang

menggunakan visual representasi, yaitu gambar atau visual lainnya. Berarti untuk

menunjukkan ide matematika, persamaan atau teorema. Tidak mengandung kata-

kata apapun selain simbol numerik dan geometris gambar. Dalam bukti tanpa kata

biasanya menggunakan titik, kotak, bola, kubus dan benda-benda yang lain.

Dalam matematika biasanya teorema-teorema dibuktikan dengan

menggunakan bukti aljabar. Disini akan ditunjukan bahwa beberapa teorema pada

bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri dapat dibuktikan dengan

bukti tanpa kata.

3.3 Studi Pustaka

Jurnal-jurnal penelitian merupakan laporan hasil-hasil penelitian yang

dapat dijadikan sumber masalah, karena laporan penelitian yang baiknya tentunya

mencantumkan rekomendasi untuk penelitian yang lebih lanjut, yang berkaitan

43

dengan penelitian tersebut. Suatu penelitian sering tidak mampu memecahkan

semua masalah yang ada, karena keterbatasan penelitian. Hal ini menuntut adanya

penelitian lebih lanjut dengan mengangkat masalah-masalah yang belum dijawab.

Selain jurnal penelitian bacaan lain seperti buku-buku juga dapat dijadikan

sumber masalah.

3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah

3.4.1 Sumber Data

Sumber data primer merupakan data yang diperoleh langsung dari

sumbernya dicermati dan dicatat pertama kalinya.

Data sekunder merupakan data yang tidak di usahakan sendiri oleh peneliti

tetapi diperoleh oleh pihak lain.

Dalam penelitian ini data diperoleh dari jurnal yang menjelaskan tentang

bukti tanpa kata-kata, yaitu membuktikan suatu teorema pada bidang aritmetika,

aljabar, geometri, dan trigonometri dengan menggunakan bukti tanpa kata.

3.4.2 Analisis Data

Langkah-langkah yang dilakukan dalam menganalisis data dapat dilakukan

dengan memadukan teori-teori yang ada dalam buku dengan pengerjaan dengan

cara lain.

Dalam bukti-bukti pada matematika terdapat beberapa metode yang

pembuktiannya dengan menggunakan uraian atau aljabar. Disini teorema-teorema

khususnya pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri akan

dibuktikan dengan bukti tanpa kata yang pembuktiannya dengan menggunakan

bukti visual representasi, yaitu gambar atau visual lainnya.

44

3.4.3 Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan dilaksanakan setelah penelitian ini dilakukan.

3.5 Penarikan Simpulan

Dari sekumpulan analisis yang dilakukan sebelumnya, maka dapat ditarik

sebuah simpulan, penarikan simpulan ini berdasarkan penelitian yang dilakukan.

45

BAB 4

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penelitian

Hasil-hasil yang didapat dalam penelitian ini diperoleh dengan

membuktikan beberapa teorema pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan

trigonometri. Teorema pada bidang aritmetika, aljabar, geometri, dan trigonometri

adalah salah satu sebagai panggilan untuk bukti yang menjelaskan yaitu sebuah

representasi visual atau bukti tanpa kata-kata. Untuk menemukan sebuah solusi

teorema di bukti tanpa kata-kata, maka digunakan suatu gambar yang berfungsi

untuk meyakinkan atau untuk mencerahkan. Sehingga bukti tanpa kata dapat

disebut bukti dengan gambar sebagai penjelasan.

Ini ditunjukkan pada pembuktian dengan menggunakan gambar-gambar

seperti: titik, kotak, bola-bola, kubus, limas segitiga, bentuk piramida, segitiga dan

bentuk benda-benda lainnya. Penggunaan bentuk-bentuk gambar tersebut

tergantung pada bentuk teorema yang akan dibuktikan. Sehingga teorema tersebut

dijelaskan dengan menggunakan gambar yang sesuai.

4.1.1 Bukti Tanpa Kata pada Bidang Aritmetika

Teorema 2.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

46

Bukti: Diberikan bukti kombinatorial pada gambar berikut.

Pembuktian Teorema 2 di atas menggunakan bukti kombinatiorial tanpa

kata dengan bentuk bola-bola. Pada gambar di atas, menghitung jumlah bola

disetiap L-wilayah yang berbentuk bola dan berwarna sama (prinsip fubini).

Pada Gambar di atas terlihat bahwa bola-bola disusun dalam bentuk

persegi panjang dan diberi warna berbeda serta diberi garis siku atau berbentuk L-

wilayah sesuai dengan warna masing-masing bola. Sehingga dapat diketahui jika

setiap bentuk L dijumlahkan maka akan menghasilkan n2+n bola. Misalnya:

penjumlahan 2 bentuk L, yaitu 2 bola ditambah 4 bola maka akan menghasilkan 6

bola = 22 + 2 bola yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran sisinya 2 bola

dan 2 + 1 bola. Penjumlahan 3 bentuk L, yaitu 2 bola + 4 bola + 6 bola maka

akan menghasilkan 12 bola = 32 + 3 bola yang berbentuk persegi panjang dengan

ukuran sisinya 3 bola dan 3 + 1 bola. Penjumlahan 4 bentuk L, yaitu 2 bola + 4

bola + 6 bola + 8 bola maka akan menghasilkan 20 bola = 42 + 4 bola yang

berbentuk persegi panjang dengan ukuran sisinya 4 bola dan 4 + 1 bola, dan

penjumlahan- penjumlahan bentuk L seterusnya.

Jika 2 bola+ 4 bola+ 6 bola + 8 bola +…+ (2n bola) = n2 + n bola.

Maka bilangan genap positif jika dijumlahkan akan menghasilkan n2 + n.

Jadi terbukti bahwa .

47

Teorema 3.

Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 = n2.

Bukti: Diberikan bukti kombinatorial tanpa kata pada gambar berikut.

Gambar 3

Pada Gambar 3a, jelas terdapat empat buah bola yang disusun dalam

bentuk persegi dengan panjang sisinya dua bola. Pada persegi tersebut diberi

garis-garis diagonal, sehingga diperoleh jumlah bola 1, 2 dan 1. Jika bola

dijumlahkan akan menghasilkan 1 + 2 + 1 = 4 = 22.

Gambar 3b, persegi dengan panjang sisinya tiga buah bola dan pada

persegi tersebut diberi garis-garis diagonal sehingga diperoleh jumlah-jumlah bola

1, 2, 3, 2 dan 1. Jika bola-bola tersebut dijumlahkan akan menghasilkan 1 + 2 +

3 + 2 + 1 = 9 = 32.

1 + 2 +1 = 22

1 + 2 + 3 + 2 +1 = 32

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42

(a)

(b)

(c)

48

Gambar 3c, persegi dengan panjang sisinya empat buah bola dan pada

persegi tersebut diberi garis-garis diagonal sehingga diperoleh jumlah-jumlah bola

1, 2, 3, 4, 3, 2 dan 1. Jika bola-bola tersebut dijumlahkan akan menghasilkan 1 + 2

+ 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 42.

Untuk persegi dengan panjang sisi lima buah bola, maka dihasilkan 1 + 2 + 3 + 4

+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 52. Pola berlaku seterusnya untuk n bilangan bulat

positif.

Demikian geometris pembenaran dalam hal daerah persegi dengan ukuran

panjang sisinya merupakan jumlah bola yang menjelaskan pernyataan,

1+2 + …+ (n – 1) + n + (n – 1) + 2 + 1 = n2.

4.1.2 Bukti Tanpa Kata pada Bidang Aljabar

Teorema 1.

Buktikan x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2

49

Bukti:

Dipunyai:

+ = + =

Pada gambar di atas luas persegi dengan panjang sisi x ditambahkan

dengan persegi panjang dengan panjang x dan lebar a, hasilnya sama dengan luas

persegi dengan panjang sisi x ditambahkan dengan persegi panjang dengan

panjang sisi x dan lebar a yang dibagi menjadi 2 (dua) bagian sama dengan luas

persegi dengan panjang sisi dikurangi .

50

Teorema 2.

Buktikan (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

Bukti:

Dipunyai:

Gambar pada pembuktian Teorema 2 di atas menjelaskan tentang luas

persegi dengan panjang sisi jika ditambahkan dengan luas persegi

dengan panjang sisi , maka hasilya sama dengan 2 (dua) kali luas persegi

dengan panjang sisi a ditambah luas persegi dengan panjang sisi b atau

.

51

Teorema 3.

Buktikan

Bukti:

Dipunyai:

52

Gambar (ii)

53

Gambar (ii) di atas menjelaskan tentang hasil dari jumlahan keempat luas

persegi yang memiliki panjang sisi (a+b+c), (a+b-c), (a-b+c), dan (a-b-c) yang

hasilnya sama dengan luas persegi dengan panjang sisi 2a ditambah luas persegi

dengan panjang sisi 2b ditambah luas persegi dengan panjang sisi 2c atau secara

gambar yaitu dengan memindahkan persegi dengan panjang sisi (a+b-c) ke ruas

kiri kemudian persegi dengan panjang sisi 2b dikeluarkan. Persegi dengan panjang

sisi (a-b+c) diletakkan di bagian kanan atas menggantikan posisi persegi dengan

panjang sisi 2c. Terakhir memindahkan persegi dengan panjang sisi (a-b-c) tepat

di bawah persegi dengan panjang sisi (a-b+c). Pada gambar (ii) terlihat bahwa

luas persegi yang memiliki panjang sisi (a+b+c), (a+b-c), (a-b+c), dan (a-b-c) atau

4.1.3 Bukti Tanpa Kata pada Bidang Geometri

Teorema 1.

Buktikan jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o.

Bukti:

54

55

Penjelasan dari gambar Teorema 1 bidang geometri di atas yaitu untuk

menentukan jumlah sudut dalam segitiga dibuktikan dengan cara membuat garis

melalui H sejajar AE pada gambar bintang namakan k dengan tujuan untuk

memindahkan dan . Kemudian untuk memindahkan dan buat garis

melalui F sejajar CI namakan l. Setelah keempat sudut dipindahkan lalu buat 1

garis lagi melalui G sejajar EI namakan m dengan tujuan untuk memindahkan

ke dalam garis m tersebut tentunya dengan definisi sudut

sehadap dan sudut bertolak belakang.

Teorema 2.

Pada segitiga siku-siku, buktikan

C

A B

c2

b2

a2

56

Bukti:

Untuk membuktikan Teorema 2 di atas secara gambar dilakukan dengan cara

kesebangunan sebagai berikut:

Dari gambar di atas diperoleh luas gambar I = luas gambar II (i)

57

Dari gambar di atas diperoleh luas gambar II = luas gambar V (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh luas gambar I = luas gambar V (iii)

Dari gambar di atas diperoleh luas gambar VI = luas gambar VII (iv)

Dari gambar di atas diperoleh luas gambar VII = luas gambar X (v)

Dari (iv) dan (v) diperoleh luas gambar VI = luas gambar X (vi)

Dari (iii) dan (vi) diperoleh:

58

Jadi atau

Teorema 3.

Buktikan perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya 2:1.

Bukti:

59

60

Untuk mengetahui dapat dibuktikan dengan cara menarik garis

DG dan GB sehingga ADGB belah ketupat karena AD = DG = GB = BA (jari-

jari). Karena ADGB belah ketupat, maka AE = EG. Kemudian tarik garis dari G

sejajar CE pada namakan GH. Jelas FI = IB karena dan CH = HB

(EGHC jajargenjang). Jelas AF = FI karena dan AE = EG. Jadi AF = FI

= IB atau .

61

4.1.4 Bukti Tanpa Kata pada Bidang Trigonometri

Teorema 1.

Buktikan sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y.

Bukti:

B A

C

ED

C

62

Penjelasan dari gambar Teorema 1 bidang trigonometri di atas yaitu untuk

membuktikan sin (x-y) dengan cara membagi ED dengan AD. Untuk mencari

panjang ED dilakukan kesebangunan . Karena

, maka dan ED = (a sin x-b

sin y) cos x. Jadi sin (x-y) = .

Teorema 2.

Buktikan .

Bukti:

63

64

Penjelasan dari gambar Teorema 2 bidang trigonometri di atas yaitu

dengan menyebangunkan . Karena

, maka .

Jadi .

Teorema 3.

Buktikan

.

65

Bukti:

66

Pembuktian secara gambar pada Teorema 2 di atas ditunjukkan dengan

cara menarik garis dari pada namakan AD. Kemudian pindahkan

AD pada sisi AC namakan AE. AD = AE = karena berada di depan .

67

Jelas DB = karena CB = a dan CD = . Jadi

.

4.2 Pembahasan

Dari hasil penelitian di atas terlihat bahwa bukti tanpa kata mampu

memberi gambaran pada kita untuk dapat menentukan strategi apa yang tepat

digunakan dalam membuktikan suatu teorema secara deduktif. Selain bukti tanpa

kata lebih menarik dipahami, pembuktian yang secara garis besar menekankan

pada aspek visualisasi secara ilmiah mampu meningkatkan intuisi, peningkatan

intuisi diyakini dapat mempermudah proses pembuktian teorema secara deduktif.

Beberapa teorema yang dibuktikan menggunakan bukti tanpa kata,

sebagian masih tetap menggunakan keterangan analitis, fakta ini dapat dilihat

pada pembuktian teorema bidang trigonometri. Hal inilah yang merupakan

kelemahan pembuktian teorema menggunakan bukti tanpa kata. Secara hirarki

pembuktian tanpa kata berada pada level 1 tingkatan pembuktian. Bukti tanpa kata

termasuk dalam bukti secara induktif yang menekankan pembuktian dengan

membuat pola-pola tertentu selanjutnya digeneralisasikan menjadi rumus umum

seperti yang terlihat pada pembuktian teorema penjumlahan n bilangan bulat

positif pertama. Pada teorema tersebut, proses pembuktian dimulai dengan

mentransformasi nilai bilangan ke dalam pola gambar yang jumlahnya sesuai

dengan nilai dari bilangan tersebut, setelah diperbanyak pola tersebut membentuk

persegi panjang dengan panjang n+1 dan lebar n sehingga banyaknya n bilangan

genap positif pertama adalah n * (n + 1) = n2 + n.

68

Dalam membuktikan jumlah sudut puncaknya, pembuktikan tanpa kata

dilakukan dengan memanfaatkan hubungan sudut dalam dalam dengan sudut luar

segitiga dan teorema kesejajaran garis lurus pada R2. Langkahnya adalah

mengumpulkan kelima sudut puncak pada gambar bintang dalam satu segitiga tepi

gambar bintang tersebut, karena kelima sudut puncak tersebut termuat dalam satu

segitiga utuh, maka jumlah sudut puncak bintang = 1800.

Dalam membuktikan teorema Pythagoras pembuktikan tanpa kata

dilakukan dengan memanfaatkan aturan kesebangunan segitiga, dan penjumlahan

luas bangun persegi yang panjang sisinya sama dengan panjang sisi-sisi segitiga

siku-siku selanjutnya membentuk jajargenjang yang panjang alas dan tingginya

sama dengan panjang sisi-sisi tegak dalam segitika siku-siku. Dengan

menyamakan luas persegi dengan luas jajar genjang yang ada panjang sisinya

sama dengan panjang sisi-sisi tegak segitiga siku-siku, diperoleh hasil jumlah luas

persegi yang panjang sisinya sama dengan panjang sisi-sisi tegak dalam segitiga

siku-siku sama dengan luas persegi yang terbentuk dari sisi miring segitiga siku-

siku yang sama. Matematika yang pada dasarnya merupakan pelayan bagi semua

ilmu pengetahuan sudah sepantasnya wajib diketahui oleh seluruh pemburu ilmu

pengetahuan dalam bidang apapun. Dengan kata lain matematika wajib diketahui,

dimengerti, dan dipahami oleh semua kalangan. Hasil yang tertuang dalam hasil

penelitian ini membuktikan bahwa metode pembuktian tanpa kata merupakan

solusi alternatif untuk dijadikan sebagai cara membuktikan teorema-teorema

matematika agar dapat dipahami oleh semua orang dari berbagai macam bidang

ilmu.

69

BAB 5

SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada skripsi ini, maka dapat diambil

simpulan sebagai berikut.

Bukti tanpa kata pada bidang aritmetika didasarkan pada pembuktian

sederhana yaitu fubini, misalnya:

1) Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1,

2) Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, 1+2+ …+(n – 1)+ n + (n – 1) + 2 + 1 = n2.

Bukti tanpa kata pada bidang aljabar didasarkan pada operasi penjumlahan

dan pengurangan luas bangun, misalnya:

1) x2 + ax = (x + a/2)2 – (a/2)2.

2) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2).

3) (a+b+c)2 + (a+b-c)2 + (a-b+c)2 + (a-b-c)2 = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2.

Bukti tanpa kata pada bidang geometri didasarkan pada penjumlahan

sudut, pembuktian teorema pythagoras dengan cara kesebangunan, dan

pembuktian teorema garis berat, garis bagi, dan garis tinggi pada segitiga,

misalnya:

1) Jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o.

70

2) Pada segitiga siku-siku, kuadrat hipotenusa (sisi miring) adalah sama dengan

jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi yang saling tegak lurus).

3) Perpotongan garis berat dalam satu segitiga perbandingannya 2:1.

Bukti tanpa kata pada bidang trigonometri didasarkan pada operasi

pengurangan, pembagian, dan teorema pythagoras pada fungsi trigonometri,

misalnya:

1) sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y.

2) .

3)

.

5.2 Saran

Sebaiknya jika memungkinkan sebelum melakukan pembuktian secara

deduktif, maka di awali dengan pembuktian tanpa kata karena langkah ini terbukti

dapat meningkatkan ide, gagasan, dan intuisi yang pada nantinya dapat

mempermudah pembuktian secara deduktif.

71

DAFTAR PUSTAKA

Alsina and Nelsen, R.B. 2010. An Invitation to Proofs Without Words. European Journal Of Pure And Applied Mathematics

Vol. 3, No. 1, 2010, 118-127 ISSN 1307-5543 – www.ejpam.com Baeti, Nur. 2010. Skripsi Bukti Kombinatorial Tanpa Kata. Semarang. Barttle, Robet G and Serbet, D.R. 1994. Intrduction to real analysis, second

editon, Jhon Willey & sons, New York. Faires, Douglas. 2007. Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika

Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika. Bandung: Pakar Raya Pustaka.

Gierdien, M.F. 2007. From ‘proofs without words’ to ‘proofs that explain’ in

secondary mathematics. Stellenbosch University. Hernadi, Julan. 2009. Metoda Pembuktian Dalam Matematika.

http://julanhernadi.files.wordpress.com/2009/12/method-of-proof.pdf ( 16 April 2010).

Iskandar, Kasir. 1956. Seri Buku Schaum Teori & Soal-soal Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

Kusni. 2003. Geometri. Semarang: UNNESPRESS Mulyati, Sri. 1996. Geometri Euclid. Malang: Universitas Negeri Malang.

Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

Nelsen, R. 1993. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Mathematical Association of America, Washington. http://www.xiaoe.org/data/2009-10-06/prfwithout.pdf (17 Juli 2010).

Siang, Jong Jek. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.

Yogyakarta: Andi. Wallance. 1972. Geometri.

72

http://Wallance.files.wordpress.com/1972/1/geometri.doc (12 Desember

2010)