PENDUGAAN DAN PENGUJIAN PARAMETER SATU POPULASI

Tahapan didalam pengambilan keputusan secara Statistika dapat

dinyatakan dalam : pengambilan sampel, pendugaan parameter populasi dan

pengujian parameter populasi. Setelah mempelajari modul ini di harapkan

mahsiswa dapat melkukan pendugaan dan pengujian parameter satu populasi

dengan bantuan program paket Statistika.

a. Pendugaan Parameter Satu Populasi

Klasifikasi pendugaan parameter untuk ukuran pemusatan dan penyebaran

satu populasi yang berdistribusi normal dapat dinyatakan dalam tabel berikut :

No. Parameter Statistik Confidence interval Perintah MINITAB

1 tak diketahui

Onet c1

2 diketahui

Onez c1;sigma=

3 %varia.txt c1

Di dalam program paket MINITAB tidak tersedia secara langsung fasilitas

untuk menentukan confidence interval untuk varians, untuk mengatasi hal ini

dapat diselesaikan dengan cara membuat macro MINITAB.

Dalam praktek pengolahan data untuk penentuan confidence interval,

asumsi kenormalan tidak selalu dapat dipenuhi, untuk mengatasi hal ini dapat

dilakukan penggunaan metode bootstrap. Algoritma dari metode bootstrap

adalah sebagai berikut :

1

1. Mulai2. Lakukan pengambilan sampel dari populasi : x1, x2, …, xn

3. b=10004. i=05. i=i+16. Lakukan pengambilan sampel ke-i lagi dari sampel yang ada sebanyak n7. Tentukan nilai statistik 8. JIka i<b pergi ke 5

9. Tentukan nilai statistik dan standard error dengan cara : dan

10.Tentukan bootstrap confidence interval melalui nilai persentil dari yaitu P100( dan P100(1-)

11.Selesai

Selain dengan mengunakan metode bootstrap penentuan confidence

interval dapat juga menggunakan metode nonparametrik yang lain yaitu tanda

(sign) dan Wilcoxon, confidence interval untuk median dengan menggunakan

dua metode ini adalah :

Nomor Metode Perintah Minitab1 Tanda sinterval 95 c12 Wilcoxon winterval 95 c1

b. Pengujian Parameter Populasi

Pengujian ukuran pemusatan populasi dapat diklasifikasikasikan menjadi

dua kelompok yaitu :

a. Asumsi distribusi normal terpenuhi dan pengujiannya dilakukan

terhadap rata-rata populasi serta statistik ujinya adalah t untuk varians

populasi tak diketahui dan z untuk varians populasi diketahui

b. Asumsi distribusi normal tak terpenuhi, pengujiannya dilakukan

terhadap median dan statistik ujinya adalah uji tanda ataupun uji

Wilcoxon

2

Perintah MINITAB untuk dua macam klasifikasi di atas adalah :

No. Syarat Hipotesis nol

Statistik uji Perintah MINITAB

1 Normal,

Tak diketahui

Onet c1;Test

2 Normal,

Diketahui Onez c1;

Sigma ;Test

3 Simetri Median=M0 Tanda Stest M0 C14 Simetri Median=M0 Wilcoxon Wtest Mo C1

Selain dengan mengunakan cara di atas, pengujian hipotesis dapat juga

deilakukan dengan menggunakan metode bootstrap, jika nilai atau M0 termuat

di dalam bootstrap confidence interval maka hipotesis nol diterima yang berarti

nilai rata-rata populasi tidak berbeda dengan atau nilai median populasi tidak

berbeda dengan M0.

Kegiatan Praktikum

1. Tentukan confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians harapan

hidup perempuan di region Asia

2. Ujilah pernyataan yang menyatakan bahwa rata-rata harapan hidup

perempuan di region Asia adalah 65 tahun.

3. Tentukan confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians

pendapatan per-kapita di region Asia

4. Tentukan confidence interval 95 % untuk rata-rata pendapatan per-kapita

di region OECD

3

Penyelesaian

1. confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians harapan hidup

perempuan di region Asia

Untuk menyelesaiakan masalah ini, dibutuhkan tahapan

- Pemilihan Negara-negara di region Asia, yang diluar region Asia

dihapus, [klik Data+Select Cases]

sehingga yang tersisa adalah hanya 17 negara di region Asia/Pasifik

4

- Simpan data dalam format dbf [klik File+Sae As]

- Buka data Asia.dbf dengan bantuan MINITAB [Klik File+open worksheet]

5

- Uji kenormalan variabel harapan hidup perempuan dengan Kolmogorov

Smirnov [klik Stat+Basic Statistics+normality test]

dan hasilnya adalah :

p-value> sehingga harapan hidup perempuan berdistribusi normal

6

- Penentuan confidence interval rata-rata :[klik stat+basic stat+1 sample t]

dan hasilnya adalah :

One-Sample T: LIFEEXPF

Variable N Mean StDev SE Mean 95.0% CI LIFEEXPF 17 67.41 10.89 2.64 ( 61.81, 73.01)

Harapan hidup perempuan di Asia berkisar antara 61.81 tahun sampai

dengan 73 tahun dengan peluang sebesar 95%

- Confidence interval untuk varians adalah :

MTB > %varia.txt c6 95

lower 65.7339upper 274.495

Varians harapan hidup perempuan Asia berkisar antara 65 sampai

dengan 274 dengan peluang 95%.

7

2. Rata-rata harapan hidup perempuan di region Asia adalah 65 tahun.

Karena harpan hidup perempuan berdistribusi normal, maka

pengujian rata-ratanya dapat dilakukan dengan menggunakan stastik uji t

sebagai berikut : [klik stat+basic statistics+1 sample t]

dan hasilnya adalah :

One-Sample T: LIFEEXPF

Test of mu = 65 vs mu not = 65

Variable N Mean StDev SE MeanLIFEEXPF 17 67.41 10.89 2.64

Variable 95.0% CI T PLIFEEXPF ( 61.81, 73.01) 0.91 0.375

p-value(0.375)> dan confidence interval memuat 65 sehingga H0

diterima yang berarti rata-rata harapan hidup perempuan Asia masih dapat

dianggap sama dengan 65 tahun pada

8

3. Confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians pendapatan per-kapita

di region Asia

Untuk menyelesaikan permasalahan ini dibutuhkan informasi tentang

kenormalan variabel pendapatan per-kapita. Hasil pengujian kenormalan

dengan menggunakan statisitik uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai

berikut :

p-value <sehingga tolak H0 yang berarti pendapatan perkapita

negara-negara Asia tidak berdistribusi normal sehingga confidence interval t

tidak dapat digunakan, Pada kasus ini dapat digunakan sign confidence

interval atau wilcoxon confidence interval sebagai alternatif jika pendapatan

perkapita berdistribusi simetri. Histogram dari pendapatan perkapita adalah :

9

Dari histogram di atas dapat disimpulkan bahwa pendapatan perkapita

berdistribusi tidak simetri. Untuk menjawab permasalahan data yang tidak

berdistribusi normal dan tidak simetri, metode bootstrap dapat digunakan

dengan cara :

MTB > bootmean.txt c11

dan hasilnya adalah :

stat_b 4242.74se_b 1508.60lower 1549.71upper 7467.06Rata-rata pendapatan perkapita untuk Negara-negara Asia adalah

4242.74 dengan standard error 1508. Rata-rata pendapatan perkapita ini

berkisar dari 1549 sampai dengan 7467 dengan peluang 95%. Sedangkan

varians pendapatan perkapita adalah :

MTB > %bootvar.txt c11

stat_b 36838694se_b 14993480lower 6298082upper 64034876Varians pendapatan perkapita Negara-negara Asia berkisar dari

6298082 sampai dengan 64034876 dengan peluang 95%.

10

4. confidence interval 95 % untuk rata-rata pendapatan perkapita di OECD

Confidence interval untuk rata-rata dapat diselesaikan dengan

confidence interval t jika data berdistribusi normal dan dapat diselesaikan

dengan sign confidence interval atau wilcoxon confidence interval jika data

berdistribusi simetri. Histogram dan hasil pengujian Kolmogorov Smirnov

untuk variabel ini adalah :

Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa pendapatan perkapita

berdistribusi simetri tetapi tidak normal (p-value<5%) sehingga sign atau

wilcoxon confidence interval dapat dipergunakan.

MTB > sinterval c11

Achieved N Median Confidence Confidence interval PositionGDP_CAP 21 17245 0.9216 ( 15974, 17912) 7 0.9500 ( 15942, 18031) NLI 0.9734 ( 15877, 18277) 6

Median pendapatan perkapita berkisar diantara urutan data 7 terkecil

sampai dengan 7 data terbesar dengan peluang sebesar 0.9216

Median pendapatan perkapita berkisar dari 15942 sampai dengan 18031

dengan peluang sebesar 0.95.

MTB > winterval c11

Estimated Achieved N Median Confidence Confidence IntervalGDP_CAP 21 17126 94.8 ( 15146, 18093)

Pendapatan perkapita Negara-negara OECD berkisar dari 15146

samapi dengan 18093 dengan peluang sebesar 94.8%

11

Lampiran 1. Macro MINITAB untuk menentukan confidence interval varians

macro varia y cimconstant i n var lower upper ci chis1 chis2 alpha alpha1 alpha2 dfmcolumn ylet n=count(y)let df=n-1let alpha=1-ci/100let alpha1=alpha/2let alpha2=1-alpha1let var=stde(y)*stde(y)invcdf alpha1 chis2; chis df.invcdf alpha2 chis1; chis df.let lower=df*var/chis1let upper=df*var/chis2print lower upperendmacro

Lampiran 2. Macro MINITAB untuk Menentukan Bootstrap Confidence Interval untuk Rata-rata dan Varians

macrobootmean xmconstant i n b lower upper stat_b se_bmcolumn x y statlet n=count(x)let b=1000do i=1:b sample n x y; replacement. let stat(i)=mean(y)enddolet stat_b=mean(stat)let se_b=stde(stat)histo statsort stat statlet lower=stat(25)let upper=stat(975)print stat_b se_b lower upperendmacro

macrobootvar xmconstant i n b lower upper stat_b mconstant se_bmcolumn x y statlet n=count(x)let b=1000do i=1:b sample n x y; replacement. let stat(i)=stde(y)*stde(y)enddolet stat_b=mean(stat)let se_b=stde(stat)histo statsort stat statlet lower=stat(25)let upper=stat(975)print stat_b se_b lower upperendmacro

12