Bagian 11 1

PendahuluanAda tiga hal yang diperlukan dalam perancangan sistem kontrol umpan balik :• respon transien• stabilitas• steady-state error

Sejauh ini, telah dibahas mengenai respon transien. Pada bagian ini, akan dibahasmengenai stabilitas, dengan bagian-bagian sebagai berikut :

• Menentukan stabilitas untuk sistem linier invarian-waktu dan melihat bahwa suatu sistem yang memiliki pole-pole di sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang-s bersifat stabil.

• Menentukan instabilitas dan melihat bahwa sistem menjadi tidak stabil jika iamemiliki pole di sebelah kanan sumbu imajiner pada bidang-s atau ia memi-liki pole-pole dengan struktur tertentu pada sumbu imajiner

• Menentukan stabilitas marginal dan melihat bahwa sistem memiliki stabilitasmarginal jika ia memiliki pole pada sumbu imajiner

• Mengembangkan uji stabilitas, tanpa harus menentukan lokasi pole sistemterlebih dahulu.

Bagian 11 2

6. Stabilitas

Stabilitas merupakan spesifikasi sistem yang paling penting. Jika suatu sistem tidak stabil,kinerja transien dan steady-state errors menjadi inti masalah. Sistem yang tidak stabiltidak dapat didisain agar memiliki respon-transien dan steady-state errors tertentu.

6.1 Apakah stabilitas itu ?

Terdapat banyak definisi stabilitas, yang tergantung pada jenis sistem atau sudut pandangyang digunakan. Pada bagian ini digunakan batasan stabilitas untuk sistem liner invarian-waktu / linear time-invariant systems (LTI's)

Ingat kembali respon sistem LTI : c(t) = cforced (t) + cnatural(t)

Bagian 11 3

• LTI dikatakan stabil jika respon natural mendekati nol pada waktu yang tak terhingga :cnatural(t)|t = 0

Hanya forced response yang tersisa pada t

c(t)|t = cforced(t)

• Sistem instabil memiliki respon natural yang membesar tanpa batas, sehingga :

cnatural(t)|t = Oleh karena itu

c(t)|t =

• Sistem yang memiliki kestabilan marginal memiliki respon natural yang tidakbertambah maupun berkurang pada t , tapi tetap berosilasi atau diam padasatu nilai konstan.

Bagian 11 4

6.2 Bagaimana cara mengetahui apakah suatu sistem stabil ?

6.2.1 Stabilitas closed-loopSistem kontrol closed-loop adalah stabil jika seluruh pole berada pada bidang kiri

Contoh 6.1 :Tentukan stabilitas sistem kontrol closed-loop seperti pada gambar berikut ini.

Jawab :Fungsi transfer closed-loop adalah

Pole-pole dan zeros (akar-akar) dari persamaan karakteristik closed-loop (CLCE)

Jadi :

Bagian 11 5

Bagian 11 6

6.2.2 Instabilitas

Sistem dapat dinyatakan tidak stabil (instabil) jika fungsi transfernya paling tidak memiliki satu pole di bidang kanan dan/atau pole dengan nilai > 1 pada sumbuimajiner.

Contoh 6.2Hitung kestabilan sistem kontrol closed-loop pada gambar berikut ini :

Jawab :Fungsi transfer closed-loop sistem :

Pole-nya sekarang adalah : s = -3.087, +0.0434 j 1.505Karena terdapat dua pole pada bidang kanan, maka respon sistem instabil.Jika terdapat dua atu tiga pole di sumbu imajiner, bentuk respon adalah :Atn cos(t + ); n = 1,2, ... . Respon seperti ini juga terus membesar, karena tn jika t

Bagian 11 7

Bagian 11 8

6.2.3 Stabilitas Marginal

Sistem yang memiliki sepasang pole pada sumbu imaginer, atau pole tunggal padatitik origin, disebut sebagai sistem stabil marginal. Sistem ini memiliki responsnatural yang terdiri dari osilasi tanpa redaman atau nilai konstan pada t

6.3 Uji Stabilitas

Dalam sekilas, pengujian stabilitas sistem terlihat mudah, yaitu cukup melalui pencarian lokasi pole fungsi transfer. Namun, kenyataannya tidak selalu mudah.

Bagian 11 9

Contoh 6.3Tentukan kestabilan sistem closed-loop pada gambar di bawah ini :

Jawab :Fungsi transfer closed-loop adalah :

Menemukan lokasi pole sistem open-loop di sini bukan merupakan masalah. Tapitidak demikian dengan pole sistem closed-loop. Tidak ada cara analitis yang bisa digunakan untuk mencari akar CLCE. Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan algoritma "roots" yang ada di Matlab.Cara lain untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan metodeyang dinamakan "tes Hurwitz".

Bagian 11 10

6.4 Kriteria HurwitzJika terdapat polinom karakteristik closed-loop dalam bentuk terfaktorisasi sbb. :

dengan pi adalah zero P(s) (yaitu akar CLCE). Jika seluruh pole berada di LHP(left-half plane), maka faktornya akan memiliki bentuk (s + pi) (karena setiap pi

akan memiliki bagian real yang negatif). Dengan demikian, koefisien polinomterekspansi hanya akan memiliki tanda positif. Hal ini tetap berlaku, walaupun beberapa faktor pi merupakan bilangan kompleks.

Karena faktor kompleks selalu muncul dalam bentuk pasangan konyugasi, maka :

yang juga memiliki koefisien positif. Di sini tidak boleh ada koefisien yang hilang, karena akan mengubah akar positif dan negatif, atau akar-akar pada sumbu imajiner.Jadi, hal yang penting bagi suatu sistem untuk menjadi stabil adalah seluruh koefisienCLCE-nya dalam bentuk sn,sn-1,...,s0 ada dan bernilai positif.

Bagian 11 11

Dalam bentuk yang lebih formal :

Kriteria Hurwitz Kriteria Hurwitz menyatakan bahwa sebuah sistem disebut instabil jika terdapat banyak koefisien negatif atau koefisien hilang pada persamaan karakteristik closed-loop.

Uji stabilitas yang dinamakan Tes Hurwitz ini sangat mudah untuk digunakan :

• s3 + 27s2 - 26s + 24 bersifat instabil karena koefisien salah satu sukunya negatif.• s3 + 27s2 + 26s bersifat instabil karena suku s0 nya hilang, tetapi• s3 + 27s2 + 26s + 24 bisa jadi stabil

Permasalahan yang ada pada kriteria Hurwitz ini adalah sistem yang lolos uji Herwitzbelum tentu bersifat stabil, seperti contoh di atas. Dengan demikian Tes Hurwitz efektif untuk mengidentifikasi sistem yang instabil, namun tidak cukup untuk meng-identifikasi sistem yang stabil.

Proses uji yang lebih efektif adalah kriteria Routh-Hurwith, yang dinamakan Routh Test.Metode ini menggunakan Routh Array yang berisi koefisien karakteristik polinom.