pemodelan dan model matematis -...

Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN

5 Solusi PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) dengan HARGA AWAL dan KONDISI BATAS dalam

PEMODELAN dan MODEL MATEMATIS

Bentuk umum : Persamaan Diferensial Biasa (PDP) linier order 2 yang

paling umum dalam 2 variabel bebas dapat dituliskan

sebagai,

)y,x(g)y,x(fy

c)y,x(fyx

b)y,x(fx

a =∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

dapat diklasifikasikan sebagai :

1. PDB ‘Hiperbolik’, yaitu jika 042 >− cab2. PDB ‘Parabolik’, yaitu jika 042 =− cab3. PDB ‘Eliptik’, yaitu jika 042 <− cab

Beberapa Notasi Penulisan :

1. )y,x(fx

fx ∂∂

=

2. )y,x(fy

f y ∂∂

=

3. )y,x(fyx

fxy ∂∂∂

=2

4. )y,x(fx

fxx 2

2

∂∂

=

5. )y,x(fy

f yy 2

2

∂∂

=

Beberapa contoh PDP yang terbentuk :

1. Persamaan Laplace (eliptik) : 0=+ yyxx ff

2. Persamaan gelombang (hiperbolik) : 02 =− yyxx fcf

3. Persamaan difusi (parabolik) : 0=− yyx ff D

Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (1)


Notasi atau kemungkinan konfigurasi PDP lain :

• Persamaan Tricomi (mixed type) : 0=+ yyxx ffy

– berbentuk hiperbolik, bila : 0<y – berbentuk parabolik, bila : 0=y – berbentuk eliptik, bila : 0>y

Perbedaan PDB dengan PDP :

PDB PDP

• Primitif persamaan merupakan persamaan aljabar dengan satu variabel bebas dan beberapa variabel tak bebas.

• Persamaan berbentuk suatu turunan hanya terhadap satu variabel bebas.

• Domain solusi atau penyelesaiannya berdimensi satu yang dapat sangat presisi : hanya bergantung pada pemilihan langkah (step) variabel bebas.

• Solusi numerik berupa IVP.

• Primitif persamaan berupa persamaan aljabar dengan beberapa variabel yang dapat saling berkaitan.

• Persamaan berupa turunan parsial terhadap variabel-variabelnya.

• Domain solusi atau penyelesaiannya berdimensi dua : bergantung pada pemilihan langkah (step) variabel-variabelnya.

• Berbentuk solusi IVP dan atau BVP.

Gambar 1. (a). BVP-IVP dan (b). BVP



- ‘Grid’ pada arah-x :

==

=−=

+

+

101

11

1

N

ii

x,xN,,i,xxh K

Strategi Solusi PDP :

A. Persamaan-persamaan yang berbentuk eliptik dapat diselesaikan dengan pemilihan beberapa metode yang sesuai : diskretisasi ‘Rectangular Mesh’ dengan diferensial hingga (finite differences), finite volume dan finite element.

B. Solusi persamaan-persamaan yang berbentuk hiperbolik dapat berupa metode : diskretisasi ‘Rectangular Mesh’ dalam diferensial hingga (finite differences), persamaan-persamaan diferensial-hingga pendekatan (Skema Padé dan Skema Crank-Nicolson), bentuk reduksi menjadi sistem PDB, dan metode karakteristik.

C. Persamaan-persamaan yang berbentuk parabolik dapat diselesaikan dengan pemilihan beberapa metode : diskretisasi dalam ‘grid segi-4’ atau pendekatan diferensial hingga eksplisit, MOL, metode Crank-Nicolson implisit, dan eliminasi Gauss (persamaan implisit).

BEBERAPA CONTOH JENIS SOLUSI PDP

Kasus #1 (Solusi PDP bentuk Parabolik) :

konstanta

0102

2

=

><<∂

∂=

∂∂

D

D t,x,x

)t,x(ft

)t,x(f

Secara ringkas, beberapa metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #1 ini adalah sbb :

(a). MOL (Method Of Lines)

- Diskretisasi : [ ]

≅

+−= −+

)t,x(f)t(u

uuuhdt

du

i

iiii

112 2D

- Jenis kondisi batas :

=β+α•

=•

=•

)t(g)t,(f)t,(f:Robin)t(g)t,(f:Neumann

)t(g)t,(f:Dirichlet

x

x

3

2

1

001

0

(b). Diferensial Hingga (Low-Order Time Approximation)

- ‘Grid’ pada arah-x :

==

−=

+

+ =00 11

1 1N

ii

u,u,xxh N,,i K



- Diskretisasi :

[ ]

[ ]

+−=∆

−

=∆=≅

+−=

−++

−+ =

j,ij,ij,ij,ij,i

jjjj,i

iiii

uuuht

uu

,,j,tjt),t,x(fu

,uuuhdt

du N,,i

1121

112

2

22

sehingga10

D

D

K

K

- Implementasi : Eliminasi Gauss atau TDM.

(c). Metode Crank-Nicolson

- Pendekatan diskretisasi: 21

21

2

2

++

∂

∂=

∂∂

j,ij,i x)t,x(f

t)t,x(f

dengan

+−

++−

=− −++−++++

211

211111

211 22

huuu

huuu

kuu j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i

memberikan

j,ij,ij,ij,ij,ij,i uru)r(ururu)r(ur 1111111 2222 +−++++− +−+=−++−

dengan

2h/kr =

- Secara umum, sisi kiri dari persamaan di atas mengandung 3 besaran tak diketahui, dan di sisi kanan 3 besaran diketahui, dari besaran u , seperti digambarkan di bawah ini :

Catatan : langkah waktu (time step) kt =δ haruslah sangat kecil, karena

proses tersebut hanya berlaku untuk 212 << h/k0 dan

xh δ= harus dipertahankan kecil.



Kasus # 2 (Solusi PDP bentuk Hiperbolik) :

nyata)dan(positifkonstanta

000

=

>>=∂

∂+

∂∂

a

t,x,x

)t,x(fat

)t,x(f

• kondisi awal (initial condition) :

00 ≥= x),x(g),x(f

• kondisi batas (boundary condition) :

00 >= t),t(b)t,(f

Secara ringkas, salah satu metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #2 ini adalah :

(#). Backward Difference dan Sistem PDB :

- Pendekatan ‘backward difference’ untuk turunan x (x-derivative) pada titik (x,t) dengan formula :

)h(Oh

)t,hx(f)t,x(fxf

+−−

=∂∂

- Dengan menganggap x tetap pada suatu posisi tertentu, PDP di atas dapat dituliskan sebagai suatu PDB :

[ ] )h(O)t,hx(f)t,x(fha

t)t(f

+−−−=∂

∂

- Dengan menuliskan PDB di atas pada grid dengan N buah titik ( x ), sepanjang bidang-waktu t, akan diperoleh suatu harga yang merupakan harga pendekatan dari yang berjumlah

N,,i,hii K1==)t(V i )t(fi

N buah persamaan :

[ ]

[ ]

[ ]1

122

11

−−−=

−−=

−−=

NNN VV

ha

dtdV

VVha

dtdV

)t(bVha

dtdV

M

Kasus #3 (Solusi PDP bentuk Eliptik) :

000002

2

2

2

≤≤≤≤=∂

∂+

∂∂ y,x,

y)y,x(f

x)y,x(f

Secara ringkas, salah satu metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #1 ini adalah :



(#). Diskretisasi dalam grid segi-4 :

- Pendekatan ‘grid bujur-sangkar’ sehingga diperoleh :

hyx =∆=∆

- Jika 1=Nh , makam jumlah ‘titik grid internal’ adalah ( 21 )N −

- Maka diskretisasi diferensial hingga untuk persamaan order-2 di atas adalah :

0]2[]2[ 112)(

1112)(

1 =+−++− −+∆−+∆ j,ij,ij,iyj,ij,ij,ixuuuuuu

dengan

hjyhix

)y,x(fu

j

i

jij,i

=

=

≅

- Karena , maka persamaan diskretisasi di atas dapat dituliskan sebagai :

yx ∆=∆

04 1111 =++−+ +−+− j,ij,ij,ij,ij,i uuuuu

dengan ketelitian atau akurasi sebesar O . )h( 2

- Membentuk SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPAL).

- Penyelesaian akhirnya akan sangat bergantung pada jenis kondisi batasnya : Dirichlet Problem, Neumann Problem atau Robin Problem.

BEBERAPA CONTOH PENYELESAIAN PDP

Contoh #1 (Penyelesaian PDP bentuk Parabolik) :

Selesaikan PDP di bawah ini :

2

2

xU

tU

∂∂

=∂

∂

• yang memenuhi kondisi awal berikut :

1=U untuk pada saat 10 ≤≤ x 0=t

• dan kondisi batas berikut :

UxU

=∂∂ pada , untuk setiap 0=x t

UxU

−=∂∂ pada , untuk setiap 1=x t

menggunakan ‘metode diferensial-hingga eksplisit’ dan mengimplementasikan ‘central-differences’ untuk kondisi batasnya.



Jawab :

Representasi ‘diferensial-hingga’ dari PDP di atas adalah :

jtix,x

uuut

uu j,ij,ij,ij,ij,iaa dan2

111

)(2δ

+−=

δ

− +−+ ’

atau bentuk eksplisitnya :

( )

2

111

)(

2

xt

uuuuu j,ij,ij,ij,ij,i

δδ

=ρ

+−ρ+= +−+

dengan (1)

Pada saat , 0=x

( )j,j,j,j,j, uuuuu 101010 2 +−ρ+= −+ (2)

Penulisan formulasi kondisi batas pada 0=x dalam term ‘central-differences’ adalah sebagai berikut :

j,j,j, u

xuu

011

2=

δ

− − (3)

Penyisihan ‘nilai imejiner’ u dalam persamaan (2) dengan (3) di atas : j,1−

[ ]( )j,j,j,j, uxuuu 01010 12 δ+−ρ+=+ (4)

Jika diambil δ . Sehingga, pada saat 10,x = 1=x , persamaan (1) di atas menjadi :

( )j,j,j,j,j, uuuuu 1110910110 2 +−ρ+=+ (5)

dan formula kondisi batasnya adalah :

j,j,j, u

xuu

10911

2−=

δ

− (6)

Penyisihan ‘nilai fiktif’ u pada persamaan (5) dengan bantuan persamaan

(6) di atas, diperoleh : j,11

[ ]( )j,j,j,j, uxuuu 10910110 12 δ+−ρ+=+ (7)

Dari persamaan (4) dan (7) di atas, dapat disimpulkan bahwa terdapat suatu ‘simetri’ pada saat .x 2

1=

Salah satu syarat yang perlu diketahui, dalam skema solusi ini adalah bahwa :

xhrδ+

≤ 21

Jika dipilih =r ¼, maka persamaan-persamaan (4) dan (1) di atas dapat dituliskan sebagai :



( )( ) ),4321(2

41

90

111

1021

10

,,,iuuuu

,uu,u

j,ij,ij,ij,i

j,j,,

=++=

+=

+−+

dan pada titik simetri, dapat dituliskan (tanpa perlu menuliskan formula penuh seprti persamaan (7)) :

+ += j,j,j, uuu 5441

15 22

Karena harga awal adalah 1=u , maka nilai-nilai u pada akhir ‘time-step’ pertama bila ( ) 400

12 =δρ= xt , adalah :

( )( ) ,uuuuu

,,u

,,,,,

,

1514131241

11

21

10

1121

950190

=====++=

=+=

dan nilai-nilai pada akhir ‘time-step’ kedua adalah :

( )( )( ) .uuuu

,,u

,,,u

,,,,

,

,

25242341

22

41

21

21

20

1121

9875012950

92750195090

====++=

=++=

=+×=

Dan seterusnya, dan hasil-hasilnya disajikan sebagai berikut :

i = 0 x = 0

1 0,1

2 0,2

3 0,3

4 0,4

5 0,5

t = 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0025 0,9500 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

t = 0,0050 0,9275 0,9875 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0075 0,9111 0,9756 0,9969 1,0000 1,0000 1,0000 0,0100 0,8978 0,9648 0,9923 0,9992 1,0000 1,0000 0,0125 0,8864 0,9549 0,9872 0,9977 0,9998 1,0000 0,0150 0,8764 0,9459 0,9818 0,9956 0,9993 0,9999 0,0175 0,8673 0,9375 0,9762 0,9931 0,9985 0,9996 0,0200 0,8590 0,9296 0,9708 0,9902 0,9974 0,9991

… … 0,1000 0,7175 0,7829 0,8345 0,8718 0,8942 0,9017 0,2500 0,5542 0,6048 0,6452 0,6745 0,6923 0,6983 0,5000 0,3612 0,3942 0,4205 0,4396 0,4512 0,4551 1,0000 0,1534 0,1674 0,1786 0,1867 0,1917 0,1933



P

Representasi ‘Grid’ atau ‘Mesh’ Segi-4 dari PDP Parabolik di atas :

(N,10)

(N,4)(N,2) (N,3) (N,1)(N,0)

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9) (0,10)

(1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10)

(2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9)

(N,5) (N,6) (N,7) (N,8) (N,9)

j

Bidang Simetri

(2,10)

t∆

t∆

i

x∆ x∆ x∆

Solusi Analitis dari PDP Parabolik dengan kondisi-kondisi batas daawal seperti di atas adalah :

( ) ( ) ( ,xxcosesec

Un

nt

n

n n 1041

24

243

21

2

<<

−αα+α

= ∑∞

=

α− )

dengan α adalah akar-akar positif dari persamaan berikut : n

21=αα tan

roperty of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP

n kondisi

Halaman (9)


Harga-harga dari hasil solusi analitis seperti di atas dapat ditabelkan sebagai berikut :

U

x = 0 x = 0,1 x = 0,2 x = 0,3 x = 0,4 x = 0,5

t = 0,0025 0,9460 0,9951 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 0,0050 0,9250 0,9841 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 0,0075 0,9093 0,9730 0,9950 0,9994 1,0000 1,0000 0,0100 0,8965 0,9627 0,9905 0,9984 0,9998 1,0000 0,0125 0,8854 0,9532 0,9855 0,9967 0,9994 0,9999 0,0150 0,8755 0,9444 0,9802 0,9945 0,9988 0,9996 0,0175 0,8666 0,9362 0,9748 0,9919 0,9979 0,9992 0,0200 0,8585 0,9286 0,9695 0,9891 0,9967 0,9985

… … 0,1000 0,7176 0,7828 0,8342 0,8713 0,8936 0,9010 0,2500 0,5546 0,6052 0,6454 0,6747 0,6924 0,6984 0,5000 0,3619 0,3949 0,4212 0,4403 0,4519 0,4558 1,0000 0,1542 0,1682 0,1794 0,1875 0,1925 0,1941

Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan diferensial-hingga (DH) dan solusi analitis dapat dibandingkan seperti ditabelkan di bawah ini :

Solusi DH (pada x = 0,2)

Solusi Analitis (pada x = 0,2)

Persentase Galat

t = 0,005 1,0000 0,9984 0,16 0,050 0,9126 0,9120 0,07 0,100 0,8345 0,8342 0,04 0,250 0,6452 0,6454 -0,03 0,500 0,4205 0,4212 -0,16 1,000 0,1786 0,1794 -0,45


Selesaikan PDP di bawah ini (sama seperti soal sebelumnya) :

2

2

xU

tU

∂∂

=∂

∂

• yang memenuhi kondisi awal berikut :





UxU


UxU


menggunakan ‘metode Crank-Nicholson’ dan aplikasi ‘central-differences’ pada kondisi-kondisi batasnya.

Jawab :

Representasi ‘diferensial-hingga’ dari PDP di atas adalah :

jtix

xuuu

xuuu

tuu j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i

aa dan

δ

+−+

δ

+−=

δ

− −++−++++2

112

111111

)(2

)(2

21

’

dapat dituliskan kembali sebagai :

( ) ( ) j,ij,ij,ij,ij,ij,i uuuuuu 12211112211 +−++++− ρ+ρ−+ρ=ρ−ρ++ρ− (1)

dengan : ( )2x

tδ

δ=ρ

Representasi ‘central difference’ dari kondisi batas pada : 0=x

j,j,j, u

xuu

02

11 =δ

− −

sehingga kedua persamaan berikut memenuhi kondisi di atas,

j,j,j, uxuu 011 2 ⋅δ−=− dan

.uxuu j,j,j, 101111 2 +++− ⋅δ−=

Kedua persamaan terakhir di atas dapat digunakan untuk mengganti term-term u dan u pada persamaan (1), pada saat j,1− 11 +− j, 0=i .

Dengan cara yang sama, kondisi batas pada 1=x dapat diturun-kan seperti di atas, namun akan lebih mudah untuk menggunakan ‘prinsip simetri’ pada

21=x , dalam hal ini :

j,j, uu 46 =

Skema penyelesaian metode ini secara umum berlaku untuk sembarang nilai nyata , namun demikian akan lebih baik jika harga ρ ρ ini dipertahankan masih cukup kecil agar supaya solusinya lebih dekat pada solusi analitis PDP.



Pilih dan 1=ρ 10,x =δ . Maka akan diperoleh suatu SPAL yang representatif untuk ‘nilai-nilai pivotal’ di atas, yaitu yang diwakili oleh besaran-besaran

, sebagai berikut : 15 +j,11 +j, ,u10 +j, u,,u K

j,j,j,

,,,j,ij,ij,ij,ij,i

j,j,,j,j,,

uuuiuuuuu

,uuuu

41514

432111111411

1010111012

2)(

=+−

=+=−+−

+−=−

++

+−++++−

++

Sehingga pada ‘time-step’ yang pertama akan diperoleh SPAL :

0120240240240249012

54

543

432

321

210

10

,uu,uuu,uuu,uuu,uuu,uu,

=+−

=−+−

=−+−

=−+−

=−+−

=−

Bentuk SPAL yang didapat adalah (Bentuk TDM) :

=

⋅

−−−

−−−−

−−−

010202020290

210000141000

0141000014100001410000112

5

4

3

2

1

0

,,,,,,

uuuuuu,

Hasil dari penyelesaian SPAL untuk beberapa ‘time-step’ disajikan pada tabel berikut :

i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5

t = 0,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,01 0,8908 0,9707 0,9922 0,9979 0,9994 0,9997 0,02 0,8624 0,9293 0,9720 0,9900 0,9964 0,9979 0,10 0,7179 0,7834 0,8349 0,8720 0,8944 0,9018 0,25 0,5547 0,6054 0,6458 0,6751 0,6929 0,6989 0,50 0,3618 0,3949 0,4212 0,4404 0,4520 0,4559 1,00 0,1540 0,1680 0,1793 0,1874 0,1923 0,1940



Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan metode Crank-Nicolson (C-N) dan solusi analitis bila dibandingkan akan diperoleh data seperti ditabelkan di bawah ini :

Solusi C-N (pada x = 0,2)


Persentase Galat

t = 0,01 0,9922 0,9905 0,17 0,05 0,9131 0,9120 0,12 0,10 0,8349 0,8342 0,08 0,25 0,6458 0,6454 0,06 0,50 0,4212 0,4212 0,00 1,00 0,1793 0,1794 -0,06


Selesaikan PDP berikut (masih sama seperti soal sebelumnya) :

2

2

xU

tU

∂∂

=∂

∂ D

• dengan kondisi awal berikut :



UxU


UxU


menggunakan ‘Method Of Lines (MOL)’ dan aplikasi ‘central-differences’, bila D , pada kondisi-kondisi batasnya. 01,=

Jawab :

Representasi bentuk MOL (solusi dalam ‘sistem PDB’) dengan formula ‘diferensial-hingga’, pada ‘time step j’ dari PDP di atas :

[ ] jtix,uuudt

duj,ij,ij,ix

j,iaa dan112)(

2 +−∆+−=

D

atau dalam formula lebih sederhana, untuk sembarang : j

[ 11)(1 22 +−∆

+−= iiixi uuu

dtdu ] (1)

• Penerapan kondisi awal :

Pada saat t , atau , semua harga 0= 0=j 1=u



• Penerapan kondisi batas :

Representasi ‘central difference’ pada 0=x , atau 0=i :

,uuux

02

11 =−

∆

−

sehingga diperoleh PDB pada kondisi batas ini :

( )[ ]101)(

202 uu

dtdu

xx

+−= ∆+∆

Jika diambil , maka sama seperti pada problem solusi sebelumnya, yaitu terdapatnya ‘bidang simetri’ pada , atau

10 ,x =∆50 ,x = 5=i ,

dalam hal ini :

0246

50

=−

=∂∂

∆=

xj,j,

,x

uuxu

sehingga

j,j, uu 46 =

sehingga diperoleh PDB pada ‘bidang simetri ini’ adalah:

[ ]54)(25

2 uudt

dux

−=∆

Secara keseluruhan keenam PDB yang terbentuk dapat dituliskan sebagai berikut :

( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]54)(25

543)(14

432)(13

321)(12

210)(11

101)(

20

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

uudt

du

uuudt

du

uuudt

du

uuudt

du

uuudt

du

uudt

du

x

x

x

x

x

xx

−=

+−=

+−=

+−=

+−=

+−=

∆

∆

∆

∆

∆

∆+∆

Bentuk sistem PDB di atas dapat diselesaikan dengan metode Runge-Kutta yang telah dipelajari (termasuk RKG, RKM, RKF45).



Hasil integrasi dengan metode RKG ( 000010 ,h = ) disajikan sebagai berikut :

i = 0 x = 0

1 0,1

2 0,2

3 0,3

4 0,4

5 0,5

t = 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0025 0.9614 0.9956 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 0,0050 0.9358 0.9867 0.9980 0.9998 1.0000 1.0000 0,0075 0.9173 0.9765 0.9950 0.9991 0.9999 0.9997 0,0100 0.9038 0.9674 0.9914 0.9981 0.9996 0.9993 0,0125 0.8926 0.9587 0.9873 0.9967 0.9990 0.9984 0,0150 0.8828 0.9505 0.9828 0.9949 0.9982 0.9972 0,0175 0.8733 0.9421 0.9778 0.9926 0.9970 0.9953 0,0200 0.8645 0.9341 0.9725 0.9898 0.9952 0.9928

… … 0,1000 0.7069 0.7697 0.8156 0.8434 0.8527 0.8433 0,2500 0.5077 0.5528 0.5858 0.6058 0.6125 0.6057 0,5000 0.3090 0.3365 0.3566 0.3688 0.3729 0.3687 1,0000 0.1145 0.1247 0.1321 0.1367 0.1382 0.1366

Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan ‘Method Of Lines’ dan solusi analitis bila dibandingkan akan diperoleh data seperti ditabelkan di bawah ini :

Solusi MOL (pada x = 0,2)


Persentase Galat

t = 0,01 0,9914 0,9905 0,09 0,05 0,9105 0,9120 -0,16 0,10 0,8156 0,8342 -2,28 0,25 0,5858 0,6454 -10,17 0,50 0,3566 0,4212 -18,11 1,00 0,1321 0,1794 -35,80

Contoh #4 (Penyelesaian PDP bentuk Eliptik) :

Suatu pelat logam bujur-sangkar ( ){ }1010 ≤≤≤≤= y,x:y,xR dipanaskan kedua sisinya, dengan suhu berbeda) sampai tercapai kondisi tunak. Pada keadaan ini persamaan konduksi panas tersebut dapat dinyatakan sebagai :

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT



• dengan kondisi-kondisi batas berikut :

( ) 10 Ty,T = pada sisi pemanasan (suhu tetap)

( ) 21 Ty,T = pada sisi lawan/seberangnya (suhu tetap)

( ) 00 =∂∂ ,x

yT (permukaan yang diisolasi secara sempurna)

( ) ( )[ 211 T,xTk,xyT

−=∂∂ ] (panas terkonveksi sepanjang ) 1=y

dengan T , T , dan adalah tetap dan 1 2 k ( ) 21 Ty,xT ≥≥T .

Selesaikan PDP eliptik di atas, untuk menghitung perkembangan suhu atau pemanasan permukaan sepanjang sumbu x dan , dengan memperhatikan kondisi-kondisi batasnya.

y

Jawab :

Representasi ‘grid’ dari PDP perpindahan panas pada pelat logam di atas dapat digambarkan dalam suatu domain , sedemikian rupa sehingga,

(dalam hal ini R

hixi = hjy j = yx ∆=∆ ) dan 1=hN . Dalam hal ini, untuk setiap tempat kedudukan ‘titik interior’ dalam grid berlaku persamaan :

04 1111 =++−+ +−+− j,ij,ij,ij,ij,i uuuuu (1)

dengan

( )jij,i y,xTu ≈

• Pada daerah-daerah batas 0=x dan 1=x berlaku kondisi-kondisi batas

menurut Dirichlet, yaitu :

,Tu j, 10 = untuk 110 −= N,,,j K (2) ,Tu j,N 2= untuk 110 −= N,,,j K (3)

• Pada daerah , permukaan yang diisolasi sempurna mengarahkan

pada kondisi Neumann, yang berarti dapat didiskretisasi dengan ‘central

difference’ sebagai berikut :

0=y

,uu ,i,i 011 =−− untuk 110 −= N,,, Ki (4)

• Dan pada daerah , merupakan kondisi batas menurut Robin, yaitu : 1=y

[ ,Tukh

uuN,i

N,iN,i2

2

11 −=− +− ] untuk 110 −= N,,,i K (5)



y1,4 4,4 3,4 2,4

1,3 4,3 3,3 2,3

1,2 4,2 3,2 2,2

1,1 4,1 3,1 2,1

4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

2TT =

( )2TTkyT

−=∂∂

1TT =

0,4

0,3

0,2

0,1

x

0=∂∂

yT

Persamaan-persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) di atas, jika disus

solusi untuk titik-titik interior di dalam representasi grid di atas

diperoleh SPAL sebagai berikut :

( )

( )

( )

=

⋅

−−

−−

−−

−−

−−

−−

+−

+−

+

43

42

41

33

32

31

23

22

21

13

12

11

03

02

01

24

24

24

102110201002100410101014101

10140011004101

10141011014001

10041011014101

1014001200410

201412014

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

kh

kh

kh

uuuuuuuuuuuuuuu

⇒ Periksalah jumlah elemen matriks yang berharga 0 !

Property of Setijo Bismo

un sebagai

maka akan

( )

( )

+−

+−

−

−

−

−

−

−

−

−

221

22

221

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0

TkhT

Tkh

TkhT

T

T

T

T

T

T

T

T

pemodelan dan model matematis -...

Documents