PELOKASIAN AKARdisusun guna memenuhi tugas mata kuliah Metode NumerikDosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.SiRombel 3

kelompok 1:1. Nindya Ayu Saputri (4101410022)2. Endang Nurliastuti(4101410031)3. Leni Wulandari(4101410034)4. Tika Harmasari(4101410067)5. Ika Fujiati(4101410072)6. Laylya Afryany(4101410104)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2012PELOKASIAN AKAR

Untuk memperoleh tebakan awal, terlebih dahulu disellidiki lokasi akar persamaan tersebut, yaitu mencari selang-selang yang mengandung akar. Ada dua cara :a. Cara Grafik : diterapkan untuk persamaan yang mudah digambar grafiknya. Grafik ini dibedakan ada grafik tunggal dan grafik ganda. Contoh :

(i) YCara Grafik Tunggal

(0,1)

akar

X

(1,0)0

(ii) YX(0,1)0Cara Grafik Ganda

f1(x) = e-xf2(x) = xf2(x)f1(x)

Akar(1,0)

b. Cara Tabulasi : nilai-nilai fungsi pada selang yang diminati dihitung menggunakan suatu lebar selang tertentu.Contoh : Selesaian :xF(x)

0,01,000

02Terdapat akar pada ( 0,4 ; 0,6 )0,619

0,40,270

0,6-0,251

0,8-0,351

1,0-0,632

Persoalanmencarisolusipersamaan nonlinear dapatdirumuskansecarasingkatsebagai berikut:tentukannilai yang memenuhi persamaan yaitunilaisedemikiansehinggasamadengan nol.

A. MetodePencarianAkarDalam metode numerik, pencarian akar dilakukan secara iterative.Sampaisaatinisudahbanyakditemukanmetodepencarianakar.Secaraumum, semuametodepencarianakartersebutdapatdikelompokkanmenjadiduagolonganbesar:1. Metode Tertutup atau metode pengurung (bracketing method) Mencari akar persamaan tak linear yang memenuhi fungsi kontinu pada selang [a,b] dan . Keuntungan : selalu konvergen ( behasil menemukan akar).Hal ini dijamin oleh teorema : jika dan kontinu pada selang maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan di dalam selang . Kerugian : relatif lambat konvergen. Metode tertutup meliputi : Metode Biseksi / Bagi dua (Bisection Method) dan metode Regulasi Falsi (False Position Method).

2. Metode Terbuka Tidak memerlukan selang yang memuat akar. Digunakan nilai akar, kemudian dengan proses iterasi digunakan untuk mendapatkan hampiran akar yang baru. Keuntungan : cepat konvergen. Kerugian : tidak selalu konvergen (bisa divergen).

B. MenentukanAkar-akarPersamaanKuadratPersamaankuadrat dapatdiselesaikandengancaramenentukannilaipengganti yang memenuhipersamaanitu. Nilaipenggantitersebutmengubahkalimatterbuka (dalamhaliniadalahpersamaankuadrat) menjadisebuahpernyataan yang bernilaibenar. Nilaipengganti yang memenuhipersamaankuadratdisebutpenyelesaianatausolusiatauakardaripersamaankuadratyangbersangkutan.Untukmenyelesaikan (menentukanakar-akar) persamaankuadratadabeberapacara, diantaranyaadalahsebagaiberikut :1. Memfaktorkan2. Melengkapkankuadratsempurna3. MenggunakanrumuskuadratC. MenentukanAkar-akarPersamaan1. MenentukanAkar-akarPersamaanKuadratdenganMemfaktorkanMenentukanakar-akarpersamaankuadratdengancaramemfaktorkan menggunakansebuahsifat yang berlakupada sistem bilangan real. Sifatitudapatdinyatakansebagaiberikut.Penerapannyaadalahdengan mengubah (memfaktorkan) bentukpersamaan menjadibentuk , lalumenyelesaikanbentukterakhirmenggunakansifatperkalian.2. MenentukanAkar-akarPersamaanKuadratdenganMelengkapkanKuadratSempurnaBentuk-bentukseperti merupakanbeberapacontohbentukkuadratsempurna. Padahakikatnya, tiapbentukkuadratdapatdimanipulasisecaraaljabarmenjadibentukkuadratsempurna. Manipulasialjabar yang diperlukandalam proses pengubahanituadalahdenganmenambahsuatukonstantapadakeduaruaspersamaan.3. MenentukanAkar-akarPersamaanKuadratdenganMenggunakanRumusKuadratKita ketahuibahwamenentukanakar-akarpersamaankuadratdenganmelengkapkankuadratsempurnaselaluberhasil. Kita dapatmemangkaslangkah langkahmelengkapkankuadratdanlangsungmendapatkanakar-akarpersamaankuadratdenganmensubstitusikannilai , dan kerumus yang telahkitaperolehyaitusebagaiberikut.

Rumus di atasseringdisebutrumusabc. Algoritmarumusitu(MenentukanAkar-akarPersamaanKuadratdenganMenggunakanRumusKuadrat). Algoritmarumusitu (denganmelengkapkan kuadratsempurna) dipakai computer ataukalkulatordalam program menemukanakar-akarpersamaankuadrat. disebutdiskriminanpersamaankuadrat , ditandaioleh D. Ada baiknyajikanilai D dihitungterlebihdahulu, laludisubstitusikanpadarumusabc.Uraiandi atasmembuktikanberlakunyasifatberikut. PengertianBilanganImajinerAkarpangkatduadarisuatubilangannegatif, seperti31 disebutbilangankhayalataubilanganimajiner. Denganmendefinisikansatuanimajiner ,makasetiapbilanganimajinerdapatditulisdenganmenggunakansatuan imajiner . PengertianBilanganKompleksBentukumumbilangankompleks, dilambangkanadalah , dengandan . Bagian disebutbagian real dan disebutbagianimajiner.Apabila bilangankompleksdisebutbilanganimajinermurni. Apabila ,bilangankompleksmenjadibilangan real. DiskriminanPersamaanKuadratDari rumuskuadrattampakbahwapenyelesaianatauakar-akarsuatupersamaankuadratsangatditentukanoleh nilai . Bentuk disebutdiskriminandaripersamaankuadrat , dandilambangkandengan huruf , sehingga . Pemberiannamadiskriminan masukakal, sebabnilai inilah yang membedakan (mendiskriminasikan)jenisakar-akarsuatupersamaankuadrat.

D. SifatJenis-jenisAkarPersamaanKuadratdengan Nilai DiskriminanyaPersamaankuadrat dengannilaidiskriminan memiliki komposisi akar :a. Jika , makapersamaankuadrat mempunyaiduaakar realyangberlainan.b. Jika , makapersamaankuadrat mempunyaiduaakarreal yang samaataukembar.c. Jika , makapersamaankuadrat tidakmempunyaiakar real, melainkanakar-akarnyaadalahbilanganimajiner.Dengandemikian, untukmemeriksajenis-jenisakarpersamaankuadrat (real atautidak, samaatautidak) tidakperlumenentukanakar-akarpersamaankuadrattersebuttetapicukupmenghitungnilaidiskriminan .

E. ALGORITMA1. [Membaca variabel (koefisien); D (determinan); (akar-akar) bertipe real]Var , : real;Syarat : 2. [Masukkan input dan membaca input ]Read(); jika input nilai maka ulangi input.3. [Hitung Determinan ];4. [Mencari akar-akar fungsi kuadrat]Jika , maka, Jika, maka dan Jika , maka hitung dan 5. [Tulis hasil]Untuk , tulis Akar-akarnya sama yaitu Untuk D, tulis Akar-akarnya yaitu dan Untuk , tulis Akar-akarnya imajiner yaitu dan 6. [Mengakhiri algoritma]7. End.

F. Diagram Alur (Flow Chart)

Mulai

SelesaiTulis Hasil D=0D>0Hitung diskriminanInputDidefinisikanfungsi , YATIDAKTIDAKYA

DAFTAR PUSTAKA

Munir,Rinaldi.2006.Metode Numerik.Bandung : INFORMATIKA.Susila, I Nyoman.1994.Dasar-Dasar Metode Numerik.Jakarta : Dirjen Dikti.Rosyida, Isnaini.2009.Bahan Ajar Metode Numerik.Semarang : Word Press Jurusan Matematika UNNES.

7 | Pelokasian Akar