Fungsi muncul bilamana satu besaran tergantung pada yang lain.

• Luas daerah A lingkaran tergantung pada

jari-jari r lingkaran tersebut. Aturan yang

mengkaitkan r dan A diberikan oleh2.A r

• Populasi manusia di dunia tergantung

pada waktu t. Tabel disamping adalah

taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t.

TahunPopulasi

(juta)

1900 1650

1910 1750

1920 1860

1930 2070

1940 2300

1950 2520

1960 3020

1970 3700

1980 4450

1990 5300

1996 5770

• Biaya sms C tergantung pada banyaknya

karakter w.

BAB 1 Fungsi dan Model Matematika

Misalkan A dan B dua buah

himpunan. Fungsi dari A ke B

adalah aturan memasangkan

(memadankan) setiap elemen

di A dengan satu elemen di B.

A BJika elemen A lebih banyak dari pada elemen B, dapatkah kita membuat fungsi?

Sebuah fungsi disebut fungsi real apabila .B R

Pembahasan selanjutnya akan dibatasi , .A B R

Pengertian Fungsi

Notasi fungsi: y = f(x), dengan x elemen A, f(x) aturan pengaitannya,

dan y elemen B yang merupakan pasangan dari x.

Daerah definisi (daerah asal / wilayah / domain) dari suatu fungsi f,

dinotasikan Df adalah himpunan semua bilangan real yang

menyebabkan aturan fungsi berlaku / terdefinisi.

Daerah nilai (daerah hasil / jelajah / range) dari suatu fungsi f,

dinotasikan | ( ),f fR y y f x x D

Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut,

( , ) | ( ), fx y y f x x D

y = f(x)

daerah asal

dae

rah

has

il

x

y

Terdapat empat cara untuk menyajikan suatu fungsi :

secara verbal (melalui uraian kata-kata)

secara numerik (melalui tabel nilai)

secara aljabar (melalui rumus eksplisit)

secara visual (melalui grafik/kurva kontur)

Penyajian Fungsi

CONTOH-CONTOH :

1. Suhu air T yang mengalir pada keran panas tergantung pada

berapa lama air mengalir. Bagaimana grafik fungsi waktu

sejak keran dibuka.

0 t

T

t C(t)

0 0,0800

2 0,0570

4 0,0408

6 0,0295

8 0,0210

2. Tabel disamping berasal dari percobaan

laktonisasi asam hidroksivaleri pada

25oC. Tabel menunjukkan konsentrasi

C(t) dari asam ini (dalam mol per liter)

setelah t menit. Berapa tingkat

konsentrasi setelah 5 menit?

0 2 4 6 8 t

C(t)

0,035

0,02

0,04

0,06

0,08

5

3. Kotak penyimpan tanpa tutup mempunyai isi 10 m3. Panjang

alasnya dua kali lebarnya. Biaya bahan untuk alas adalah 10

ribu per meter persegi; bahan untuk sisi 6 ribu per meter

persegi. Nyatakan biaya bahan sebagai fungsi lebar alas.

2w

w

h

10 (2 )V w w h 2

5h

w

210(2 ) 6[2( ) 2(2 )]C w wh wh

220 36w wh

2 180( ) 20 , 0C w w w

w

CONTOH

Carilah daerah Df, Rf dan grafik setiap fungsi berikut.

1. ( )f x x x

22. ( ) , 1 1f x x x

2 , 03. ( )

1, 0

x xf x

x

4. ( )f x x

5. ( )f x x

bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil, atau sama

dengan x.

Uji Garis Tegak Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi

x jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong

kurva lebih dari satu.

0 x

y

a

x = a

(a,b)

0 x

y

a

x = a

(a,b)

(a,c)

F U N G S I BUKAN FUNGSI

Model Matematika

Model matematika adalah uraian secara matematika (menggunakan

fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata, seperti kecepatan

benda jatuh, konsentrasi hasil dalam reaksi kimia, atau biaya reduksi

emisi.

Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan mungkin

membuat perkiraan tentang perilaku di masa depan.

Terdapat banyak jenis fungsi berlainan yang dapat digunakan

memodelkan hubungan yang diamati di dunia nyata.

Proses Pemodelan

Persoalan dunia nyata

Modelmatematika

Kesimpulan matematika

Perkiraan dunia nyata

Rumuskan

Pecahkan

Tafsirkan

Uji

Model Linear

y = f (x) = mx + b

Model ini mengunakan fungsi linear, yang jika digambarkan berupa garis lurus.

Bentuk umumnya adalah

dengan m kemiringan/gradien garis dan b perpotongan dengan sumbu-y.

CONTOH 1

(a) Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memui dan mendingin. Jika suhu

permukaan tanah 20oC dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10oC,

nyatakan suhu T (dalam oC) sebagai fungsi tinggi h (dalam km).

(b) Gambarkan grafik fungsi di bagian (a). Apa yang dinyatakan oleh

kemiringan?

(c) Berapa suhu pada ketinggian 2,5 km?

CONTOH 2

Jika tidak ada kaidah atau prinsip fisika untuk membantu merumuskan model,

kita buat mdel empiris berdasarkan data yang terkumpul.

Tahun Tingkat CO2

(ppm)

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

327,3

330,0

332,0

335,3

338,5

341,0

344,3

347,0

351,3

354,0

Tabel samping memuat rata-rata tingkat CO2 di atmosfer,

diukur dalam “ppm-part per million” di Mauna Loa

Observatory sejak 1972 – 1990.

(a)Gunakan data dalam tabel untuk mencari model tingkat

CO2.

(b)Gunakan model yang diperoleh dalam (a) untuk

menaksir rata-rata CO2 pada tahun 1987 dan untuk

memperkirakan tingkat CO2 untuk tahun 2005.

(c)Menurut model ini, kapan tingkat CO2 melampaui 400

ppm?

19 75 19 80 19 85 19 90t

33 0

33 5

34 0

34 5

35 0

35 5

C

Polinom

Bentuk Umum :

11 1 0( ) n n

n np x a x a x a x a

dengan :

n bilangan asli

0 1, , , na a a bilangan real (disebut koefisien dari polinom)

x bilangan real yang belum diketahui (variabel / peubah)

Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.

Polinom biasanya untuk memodelkan beragam besaran yang terdapat di

ilmu alam dan sosial. Misalnya, para ekonom menggunakan polinom

untuk menyatakan fungsi produksi.

CONTOH 3

Waktu(detik)

Tinggi (meter)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

450

445

431

408

375

332

279

216

143

61

Bola dijatuhkan dari pelataran atas menara yang

tingginya 450 m diatas tanah, dan ketinggian bola

di atas tanah, h dicatat pada selang waktu 1 detik di

tabel samping. Carilah model untuk mencocoki

data tersebut dan gunakan model itu untuk

memperkirakan waktu ketika bola membentur

tanah.

2 4 6 8t

10 0

20 0

30 0

40 0

h

Fungsi Pangkat

( ) af x xBentuk Umum :

dengan a bilangan rasional. Fungsi ini sering muncul dalam fisika dan kimia

dalam kaitannya dengan Hukum Boyle, yang menyatakan bahwa jika suhu

tetap maka volume gas berbanding terbalik terhadap tekanan

V = C/P

dengan C konstanta.

Fungsi Rasional

( )( )

( )

p xf x

q x

Bentuk Umum :

dengan p dan q polinom. Contoh, 4 2 1

( )4

x xf x

x

Fungsi yang diperoleh dari operasi aljabar (penambahan, pengurangan,

perkalian, pembagian, dan penarikan akar) terhadap polinom. Contoh,

Fungsi Aljbar

0

2 2( )

1

mf v

v c

v kecepatan partikel, m0 massa, dan c kecepatan cahaya di ruang hampa.

Jenisnya :

Fungsi sinus dan cosinus fungsi periodik dengan periode 2,

sin( 2 ) sinx x

sin x, cos x, tan x, dll

cos( 2 ) cosx x

sintan

cos

xx

x

Fungsi tangen mempunyai periode ,

tan( ) tanx x

Fungsi Trigonometri

Banyak ditemui pada pertumbuhan populasi (a > 0) dan peluruhan radioaktif

(a < 0).

Bentuk Umum :

( ) , 0xf x a a

0 x

y

1

y

1

0 x

2xy (1/ 2)xy

Fungsi Eksponensial

Invers dari fungsi eksponensial.

Bentuk Umum :

( ) log , 0af x x a

0 x

y

1

Fungsi Logaritma

Fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup

fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma, dll.

Fungsi Transenden

Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Transformasi Fungsi

Pergeseran/translasi Jika c > 0, maka untuk memperoleh grafik:

y = f (x) + c geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke atas.

y = f (x) – c geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke bawah.

y = f (x – c) geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kanan.

y = f (x + c) geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kiri.

Peregangan dan pencerminan Jika c > 1, maka untuk memperoleh grafik:

y = cf (x) regangkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c.

y = (1/c)f (x) mampatkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c.

y = f (cx) mampatkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan faktor c.

y = f (x/c) regangkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan faktor c.

y = – f (x) cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-x.

y = f (– x) cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-y.

CONTOH 4

Diberikan grafik , gunakan transformasi untuk menggambarkan grafik :y x

2,y x 2,y x ,y x 2 ,y x .y x

CONTOH 5

Gambarkan sketsa grafik fungsi:

(a) f (x) = x2 + 6x + 10,

(b) y = sin 2x,

(c) y = 1 – sin x,

(d) y = |x2 – 1|.

Kombinasi Fungsi

Misalkan f dan g fungsi dengan daerah asal Df dan Dg

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

( )( ) ( ) ( )fg x f x g x

( / )( ) ( ) / ( )f g x f x g x

( ) ( ) ( ) ( )n

n

f x f x f x f x faktor

f g f gD D D

f g f gD D D

fg f gD D D

/ | ( ) 0f g f gD D D x g x

n ffD D

CONTOH 6

( )f x xJika dan , tentukan f +g , f – g, fg, f/g, f 5 beserta

daerah definisinya.

2( ) 4g x x

Peta/Image dan Prapeta/Preimage

Misalkan f fungsi dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf.

Misalkan fA D dan B R

• Peta dari A oleh f adalah

• Prapeta dari B oleh f adalah

( ) | ( ),ff A y R y f x x A

1( ) | ( )ff B x D f x B

CONTOH 7

Misalkan f (x) = x2. Tentukan f ([0,1]), f ([-1/2,1], f -1([0,1]), f -1([-1,1]), dan

f -1({-1}).

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi fog dari f dan g didefinisikan sebagai fungsi

(fog)(x) = f (g(x)).

Jika dan , carilah masing-masing fungsi berikut

dan daerah definisinya

(a) fog (b) gof (c) fof (d) gog

CONTOH 8

( )f x x ( ) 2g x x

CONTOH 9

Diketahui F(x) = cos2(x + 9), carilah fungsi f, g, dan h sehingga F = fog oh.