Tugas Matakuliah Fisika Kuantum

KELOMPOK II

PERSAMAAN SCHRDINGER BERGANTUNG WAKTU,

KEKEKALAN PELUANG, NILAI HARAP DAN

OPERATOR

Oleh:

1. I GEDE TINO PURNAMANTHA (0513021034)

2. NI LUH PUTU SONIYANI (0513021036)

3. GUSTI AYU DEWI WISMAYANI (0513021042)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

SINGARAJA

2008

1

PERSAMAAN SCHRDINGER BERGANTUNG WAKTU, KEKEKALAN

PELUANG, NILAI HARAP DAN OPERATOR

I. PERSAMAAN SCHRODINGER BERGANTUNG WAKTU

Dalam teori kuantum, keadaan partikel dinyatakan sebagai fungsi gelombang

),( tr

, yang merupakan konsekuensi berlakunya asas Ketidakpastian Heisenberg. Hal

ini karena posisi partikel yang mikroskopik tidak dapat diketahui secara pasti

(indeterministik), yang bisa dinyatakan hanya kebolehjadian. Fungsi gelombang untuk

menyatakan kebolehjadian terbesar (jenis posisi) dimana partikel itu berada dapat

dinyatakan dengan amplitude terbesar 2

),( tr

.

Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika

kuantum adalah persamaan gelombang dalam variabel . Jika suatu gelombang

merambat ke sumbu x dengan kelajuan v, maka persamaan gelombangnya dapat

dinyatakan dengan :

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

(1)

Dalam kasus gelombang pada tali yang terbentang, y menyatakan simpangan tali

dari sumbu x. Pada gelombang bunyi y menyatakan perbedaan gelombang tekan,

sedangkan pada gelombang cahaya y menyatakan besarnya medan listrik atau magnet

Ada yang menyatakan sederetan gelombang superposisi yang mempunyai amplitudo

dan panjang gelombang yang sama, suatu gelombang berdiri pada tali yang kedua

ujungnya terikat, dan sebagainya semua pemecahan tersebut harus berbentuk :

v

xtFy (2)

Dengan F merupakan fungsi yang dapat dideferensiasikan.

Pemecahan

v

xtF menyatakan gelombang yang berjalan dalam arah x .

Pemecahan

v

xtF menyatakan gelombang yang berjalan dalam arah x .

Untuk gelombang yang ekivalen dengan partikel bebas (partikel yang tidak

mengalami gaya sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan)

mempunyai pemecahan umum yang setara untuk gelombang harmonik monokromatik

2

tak teredam dengan frekuensi sudut konstan dan amplitudo konstan A dalam arah

x .

vxtiAey (3)

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang analogi dengan variabel gelombang y

dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak dapat diukur seperti y sehingga

berupa besaran yang kompleks. dalam arah x dinyatakan dengan persamaan :

)/(),( vxtiAetx (4)

Dimana 2 dan .v sehingga persamaan (4) menjadi:

xtiAetx 2),(

)/(2),( xvtiAetx (5)

Hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E yang digambarkan oleh ,

yaitu:

hE (6)

Hubungan antara dan dinyatakan dalam momentum p dari partikel yang

digambarkan oleh , yaitu:

hp (7)

Dimana

22

hh

sehingga persamaan (6) dan (7) menjadi:

2

2E

E (8)

p

p

22 (9)

Sehingga persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai :

22

2

),(

pxt

Ei

Aetx

))(/(),( pxEtiAetx (10)

Untuk memperoleh persamaan Schrodinger, persamaan (10) didiferensialkan dua kali

terhadap x, sehingga diperoleh :

p

iAe

x

tx xptEi

.),(

3

xptEi

Aepi

x

tx

.

),(

xptE

i

Aeip

x

tx

2

2

2

2 ),(

xptE

i

Aep

x

tx

2

2

2

2 ),(

2

222

2

2

2

2 ),(),(),(

),(

x

txtxptx

p

x

tx

(11)

Jika persamaan (10) didiferensialkan sekali terhadap t, diperoleh

)12(),(

),(),(),(

),(

.),(

t

tx

itxEtx

iE

t

tx

AeiE

t

tx

Ei

Aet

tx

xptEi

xptEi

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya. Energi total partikel sama dengan

jumlah energi kinetic (K) dan energi potensial V, dengan V(x,t) merupakan fungsi dari

kedudukan x dan waktu t. Secara matematis hubungan ketiganya dirumuskan dengan

persamaan:

VKE

Vm

vmE

VmvE

2

2

1

22

2

)13(),(2

2

txVm

pE

Apabila kedua ruas pada persamaan (13) sama-sama dikalikan dengan fungsi

gelombang ( ) akan menghasilkan persamaan:

E ),( tx = m

p

2

2

),( tx + V(x) ),( tx (14)

Dengan mensubstitusikan persamaan (11) dan persamaan (12) ke persamaan (14)

diperoleh persamaan berikut;

),(),(),(

2

),(2

22

txtxVx

tx

mt

tx

i

4

),(),(),(

2

),(2

22

txtxVx

tx

mt

txi

(15)

Persamaan (15) merupakan persamaan Schrodinger yang gayut (bergantung) waktu.

Dimana

ii

i

ii

. Persamaan Schrodinger yang gayut waktu dalam 3

dimensi dirumuskan dengan:

),(),(),(),(),(

2

),(2

2

2

2

2

22

trtrVz

tr

y

tr

x

tr

mt

tri

(16)

Di mana

zk

yj

xi

2..

zk

yj

xi

zk

yj

xi

22

2

2

2

2

2

zyx (17)

2 merupakan operator laplacean dalam sistem koordinat Cartesan

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) ke persamaan (16) maka diperoleh persamaan

berikut.

),(),(),(2

),( 22

trtrVtrmt

tri

(18)

Dengan energi potensial V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

II. KEKEKALAN PELUANG

Persamaan schrodinger secara umum merupakan persamaan schrodinger gayut

waktu. Jika fungsi gelombang tr ,

dinyatakan sebagai perkalian fungsi posisi,

misalnya r

dan (t), maka trtr

, sehingga persamaan (18) menjadi:

dt

tdrirttrVrt

m

,

2

22

(19)

Karena termasuk gaya konservatif maka fungsi V-nya adalah fungsi posisi saja.

dt

tdrirtrVrt

m

2

2

2 (20)

Jika kedua ruas pada persamaan (20) dibagi )()( tr

diperoleh:

5

dt

td

tirVr

rm

11

2

22

(21)

dt

td

tirVr

rm

11

2

22

(22)

Pada ruas kanan persamaan (22) merupakan fungsi t, sedangkan pada ruas kiri

merupakan fungsi r. Suku kedua diruas kiri adalah energi potensial maka suku-suku

lainnya baik diruas kiri maupun diruas kanan harus berdimensikan energi. Karena ruas

kiri tersebut menyatakan jumlah energi kinetik ditambah energi potensial maka tetapan

yang digunakan memiliki arti fisik sebagai energi total yang dilambangkan dengan E.

Sehingga ruas kanan diselesaikan untuk E maka diperoleh:

iEt

o

iEt

oo

iEt

o

o

t

t

t

t

t

t

ett

et

t

t

te

t

t

i

Et

tti

Et

tdt

dti

E

tt

idtE

t

t

t

iE

o o

o o

ln

lnln

1)(

)(

(23)

Karena 1,1 2 iAo dan

22hE , jadi persamaannya menjadi:

)25(1

)24(

2

2

otiti

ti

iti

eeet

et

et

Apabila persamaan (24) disubstitusikan maka fungsi gelombangnya menjadi :

trtr

, (26)

tiertr

, (27)

Sehingga fungsi rapat peluangnya menjadi :

6

222222 |)(|1|)(||)(||),(| rrtrtr

(28)

Ini berarti bahwa rapat peluang global tidak tergantung pada waktu.

Fungsi rapat peluang yang diasosiasikan dengan fungsi gelombang sebagai

),(),(),( * trtrtr sedemikian rupa sehingga xdtr 3),( menyatakan besarnya

peluang menemukan partikel di dalam unsur volume xd 3 di sekitar r pada saat t.

Persamaan rapat arus peluang ternormalkan:

1,3xdtrV (29)

Persamaan (29) menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran partikel keseluruh

ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya pasti mendapatkan

partikel tersebut. Persamaan itu juga menunjukkan bahwa rapat peluang global

(dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini

berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal (tidak bergantung waktul.

Sebaliknya jika rapat peluang tersebut dihitung secara lokal (meliputi ruang

yang terbatas, maka rapat peluang lokal bergantung waktu. Adapun penurunannya

sebagai berikut.

Rapat peluang lokal, dinyatakan dengan trtrtr ,,, *

, kita

derivatifkan terhadap waktu t. Hasil penderivatifan tersebut adalah

t

tr

t

tr

t

tr

,,, **

(30)

Menurut persamaan Schrdinger t

tritrtrVtr

m

,,,,

2

22

, kedua

derivatif fungsi gelombang terhadap waktu diruas kanan persamaan (30) tersebut

masing-masing menghasilkan

),(),(),(

2

, 2 trtrVi

trm

i

t

tr

dan (31)

),(),(),(

2

, **2*

trtrVi

trm

i

t

tr

Subtitusi persamaan (31) ke dalam persamaan (30) maka menghasilkan

***22*22

,

m

i

m

i

t

tr

(32)

7

dengan menyatakan vektor operator (nabla) yang dalam sistem koordinat Cartesan

berbentuk z

ky

jx

i

. Persamaan (32) dapat diubah menjadi

0,J

,

tr

t

tr

(33)

dengan vektor rapat arus peluang tr ,J

didefinisikan sebagai

**2

,J mi

tr

(34)

Persamaan (33) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kontinuitas yang sudah

kita kenal dalam fisika klasik. Sebagai misal, dalam elektrodinamika berlaku persamaan

kontinuitas

trJt

tr,

,

, dengan rapat muatan (persatuan volume) dan

J

vektor rapat arus muatan (persatuan luas). Persamaan kontinuitas ini menyatakan

bahwa jika rapat muatan dalam suatu volume tertutup berubah (berkurang atau

bertambah) terhadap waktu maka harus ada aliran muatan (keluar atau masuk) yang

menembus luasan yang membatasi ruang tertutup tersebut secara tegak lurus.

Persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika ini merupakan manifestasi dari hukum

kekekalan muatan listrik.

Pemaknaan secara fisik persamaan (33) tersebut dapat dilakukan dengan

mengambil analogi dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika. Jika dalam

ektrodinamika sebagai rapat muatan dan J

sebagai vektor rapat arus muatan,

maka dalam kontek persamaan (33) sebagai rapat peluang dan J

sebagai vektor

rapat arus peluang (sebagai hasil analogi).

Sehingga pada persamaan (33) dinyatakan bahwa rapat peluang lokal

bergantung pada waktu. Selain itu persamaan (33) juga menunjukkan bahwa jika rapat

peluang dalam suatu volume terbatas berubah terhadap waktu maka harus ada aliran

peluang yang menembus secara tegak lurus luasan yang membatasi volume tadi. Analog

dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika, jadi persamaan (33) dapat juga

dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal.

8

III. NILAI HARAP DAN OPERATOR

NILAI HARAP

Nilai harap hasil pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan

sebagai fungsi gelombang didefinisikan sebagai berikut.

Dalam ruang posisi satu dimensi didefinisikan sebagai

dx

dxAA

*

^*

)( (35)

Dan dalam ruang momentum satu dimensi didefinisikan sebagai

dp

dpAA

~~

~~

)(*

^*

~ (36)

Tanda bintang menyatakan konjugat kompleks dari, artinya * adalah konjugat

kompleks dari . Penulisan lambang nilai harap dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu

(A) atau ~

)(A .

Jika fungsi gelombang sudah ternormalkan, yaitu integral ke seluruh ruang dari

kuadrat modulusnya bernilai satu, maka penyebut pada kedua persamaan terakhir tadi

bernilai satu. Dengan demikian, jika fungsi gelombang telah ternormalkan,

penghitungan nilai harap tadi menjadi:

dxAA ^

*)(

Atau

dpAA ~~)(

^*

~

Nilai harap operator hermitan

Nilai harap sebarang operator , pada sistem yang menduduki keadaan

ternormalkan , didefinisikan sebagai:

dxAA

^* (37)

Konjugat kompleks nilai harap tersebut adalah

9

dxAdxAA *^

*^

**

)( (38)

Jika merupakan operator hermitan maka ruas kanan persamaan (38) sama dengan ruas

kanan persamaan (37). Ini berarti kedua ruas kiri persamaan tersebut sama. Jadi:

Jika hermitan maka

*^^

AA

OPERATOR

a. Operator posisi

Dalam ruang posisi, di mana fungsi gelombang berbentuk ),( tr , operasi

operator posisi dipostulatkan sebagai berikut.

),(),( tt rrrR (39)

Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan vektor posisi r. Dalam bentuk

komponen-kompenen cartesannya dapat dinyatakan sebagai berikut.

),(),( txtX rr

),(),( tytY rr

),(),( tztZ rr

Jadi, cara kerja operator komponen vektor posisi dalam ruang posisi adalah mengalikan

fungsi gelombang dengan komponen vektor posisi pada arah yang bersesuaian.

Dalam ruang momentum, fungsi gelombang berbentuk ),(~

tp yang merupakan

transform Fourier dari ),( tr . Dengan demikian, operasi operator posisi dalam ruang

momentum dituliskan secara ),(~ tpR . Untuk penyederhanaan, tanpa mengurangi

generalisasinya, kita gunakan kasus satu dimensi sehingga operasi tersebut dapat

dituliskan secara ),(~ tpX . Dengan menggunkan transformasi Fourier, sehingga dapat

diubah menjadi;

dxtxeXtpX ipx ),(2

1),(~ /

dxtxXeipx ),(

2

1 /

10

pi R

zpiZ

dxtxxe ipx ),(2

1 /

(40)

Integran dalam integral tersebut dapat diubah menjadi ),(/ txep

i ipx

, sebab

),(/),( // txeixtxZep

ipxipx

. Sehingga persamaan (40) menjadi

dxtxep

itpX ipx ),(2

1),(

~ /

),(~

tpp

i

(41)

Persamaan di atas menyatakan bahwa dalam ruang momentum, operator posisi

berbentuk p

i

.

Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hanya: operator

yang mewakili komponen vektor posisi dalam ruang momentum masing-masing

berbentuk:

xpiX

ypiY

(42)

Dalam bentuk vektor:

(43)

Dengan )///( zyxp ppp kji

b. Operator Momentum Linear

Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelombang berbentuk ),(~

tp , operasi

operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut.

),(~

),(~ tt ppP (44)

Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Dalam bentuk

komponen-komponen Cartesian yang dinyatakan sebagi berikut:

),(~

),(~ tptP xx pp

),(~

),(~ tptP yy pp

),(~

),(~ tptP zz pp

11

Jadi, cara kerja operator komponen vektor momentum linear dalam ruang momentum

adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah

yang bersesuaian.

Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk ),( tr . Sehingga operator

momentum dalam ruang posisi dituliskan secara ),( trP .

Karena ),( tr , merupakan pasangan Fourier dari ),(~

tp , yaitu

-

p.r rrp 3/2/3 ),()2(),( dtet i

dan (45)

-

p.r ppr 3/2/3 ),(~

)2(),( dtet i

Dengan zyx dpdpdpddandzdydxd pr33 , maka dengan prosedur yang sama

dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang momentum,

kita peroleh hubungan

),(),( tit r rrP (46)

Dengan )///( zyxr kji . Ini berarti, dalam ruang posisi, operator

momentum berbentuk:

ri P (47)

Dalam bentuk komponen-komponen Cartesannya:

xiPx

yiPy

ziPz

c. Operator Hermitan

Perkalian skalar antara fungsi dan A' (dalam urutan yang demikian)

menghasilkan bilangan kompleks

dxAA *),( (48)

Jika urutannya dibalik kita dapatkan bilangan

dxAA *)(),( (2)

Yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya persamaan (48).

Jika kedua bilangan itu sama untuk sebarang fungsi , operator yang muncul pada

12

persamaan itu dikatakan bersifat hermitan. Jadi jika merupakan operator hermitan

maka berlaku hubungan:

dxAdxA *)(* (49)

Untuk sebarang fungsi yang square integrable.

13

DAFTAR PUSTAKA

Arthur, Beiser. 1987. Konsep Fisika Modern (Edisi keempat). Jakarta: Erlangga.

Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Jakarta: Universitas Indonesia.

Sutopo. 2004. Pengantar Fisika Kuantum. Malang: Universitas Negeri Malang.