mulai

KELAS XI SEMESTER GENAP

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi

Kompetensi dasar

Indikator

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

1. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan enggunakan konsep turunan pertama.

2. Menggambarkan sketsa grafik fungsi dengan menggunakan ifat-sifat turunan.

3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi4. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi.

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x= xo, jika untuk h positip dancukup kecil, f(x0 – h) ≤ f(xo) ≤ f(xo + h), suatu fungsi f(x) dikatakan turun di x=xo jika untuk h positip dan cukup kecil, f(x0 – h) > f(xo) > f(xo + h), Jika f’(xo)>0, maka f(x) adalah fungsi naik di x=xo;

Jika f’(xo)<0, maka f(x) adalah fungsi turun di x=xo;

Jika f’(xo)=0, maka f(x) adalah fungsi stasioner di x=xo;

Perhatikan gambar di bawah ini :

A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)

Dekati titik-titik pada kurva dengan mouse





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada selang a<f(x)<b fungsi f(x) naik ,di titik A garis singgungPada kurva condong ke kanan (mempunyaiGradien positip),m=f ’(x)>0





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada titik B yaitu pada x=b fungsi f(x) stasioner ,di titik B garis singgungPada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol),m=f ’(x)=0,Titik B disebut titik puncak





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada titik C yaitu pada x=c fungsi f(x) stasioner ,di titik C garis singgungPada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol),m=f ’(x)=0,Titik C disebut titik belok





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada selang c<f(x)<e fungsi f(x) turun ,di titik D garis singgungPada kurva condong ke kiri (mempunyaiGradien negatip),m=f ’(x)<0





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada titik E yaitu pada x=e fungsi f(x) stasioner ,di titik E garis singgungPada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol),m=f ’(x)=0,Titik E disebut titik puncak





A

BC

D

E

F

a b c d e f

f(x)


Pada titik F yaitu pada x=f fungsi f(x) stasioner ,di titik F garis singgungPada kurva sejajar sb. x (mempunyai Gradien nol),m=f ’(x)=0,Titik F disebut titik belok

Contoh Soal :

Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan

1. Y = 3x2 + x -2 di titik x= 4

2. Y = x3 - 2x2 - 1 di titik x= 1

4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½

Jawab .

1. y = 3x2 + x -2 di titik x= 4y ’ = 6x + 1

y ‘ = 25 > 0 karena y ‘ > 0 maka fungsi di

titik x = 4 merupakan fungsi naik

2. Y = x3 - 2x2 - 1 di titik x= 1 y ’= 3x2 - 4x y ‘ = -1 < 0 karena y ‘ < 0 maka fungsi di

titik x = 1 merupakan fungsi turun

3. Y = ½.x4 - 4x2 - 7 di titik x= 1

Jawab .

3. y = ½.x4 - 4x2 - 7 di titik x= 2 y ’ = 2x3 - 8x y ‘ = 0 karena y ‘ = 0 maka fungsi di

titik x = 2 merupakan fungsi stasioner

4. Y = sin 2x + cos x di titik x = ½ y ’= 2cos 2x – sin x

y ‘= -3 < 0 karena y ‘ < 0 maka fungsi di

titik x = 1 merupakan fungsi turun

Latihan soal :

Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan

1. y = 5x2 + x - 7 di titik x= 1

2. Y = 2x3 - 5x2 - 1 di titik x= 1

4. Y = cos 2x + sin x di titik x = ½

3. Y = 2.x4 - 4x3 - 7 di titik x= 1

Pengujian turunan pertama :

1. Pecahkan f ’(x)= 0 untuk mendapatkan harga kritis

2. Gambarkan harga kritis tersebut pada garis bilangan, dengandemikian terbentuk sejumlah selang

3. Tentukan tanda f ‘ (x) pada tiap selang

4. Misalkan x bertambah setelah tiap harga kritis x=xo; maka

f(x) mempunyai harga maksimum (=f(xo) jika f ‘ (x) berubah dari + ke -

f(x) mempunyai harga minimum (=f(xo) jika f ‘ (x) berubah dari – ke +

f(x) tidak mempunyai mempunyai harga maksimum maupun minimum di (x=xo) jika f ‘ (x) tidak mengalami perubahan tanda

Contoh 1 :

Diketahui y = carilah : 862

1

3

1 23 xxx

a. Titik titik kritis

b. Selang dimana y bertambah dan berkurang

c. Harga harga y maksimun da minimumJawab :

y ’ = x2 + x - 6 = ( x – 2 )( x + 3 )

Dengan mengambil y ‘ = 0 diperoleh harga-harga x = -3, 2.Titik titik kritis adalah (-3, 43/2) , (2, 2/3)

a.

b. Gambar garis bilangan untuk menentukan selang fungsi naik atau fungsi turun

x=-3 x=2x=-4 x=0 x=3

y ‘ = 6 >0 y ‘ = -6 < 0 y ‘ = 6 >0

Untuk x<-3 fungsi naik

Untuk -3<x<2 fungsi turun

Untuk x>2 fungsi naik

Jawab :y =

Untuk y ‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x=pc.

y ‘ = 0 untuk x = -3 dan x = 2

862

1

3

1 23 xxx

Untuk x = -3 maka nilai stasioner y = 43/2

f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner

tersebut merupakan nilai maksimum relatif

Untuk x = 2 maka nilai stasioner y = 2/3

f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner

tersebut merupakan nilai minimum relatif

Substitusikan nilai x = -3 dan x = 2 pada fungsi :

y = 862

1

3

1 23 xxx

Jawab :y = sin x + cos x

Untuk y ‘= 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada x=pc.

y ‘ = 0 untuk x = dan x =

Untuk x = maka nilai stasioner y =

f ‘(x) berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner

tersebut merupakan nilai maksimum relatif

Untuk x = maka nilai stasioner y =

f ‘(x) berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner

tersebut merupakan nilai minimum relatif

Substitusikan nilai x = dan x = pada fungsi :

y = sin x + cos x

4

54

4

4

5

4

4

5

2

2

Contoh 2.

Ditentukan fungsi y = sin x + cos x carilah :



c. Harga harga y maximun da minimum

Jawab :

y ‘= cos x – sin x nilai stasioner diperoleh jika y ‘ = 0

Cos x – sin x = 0

Tgn x = 0 diperoleh nilai 4

5

4

xataux

a

b

4

4

56

2

3Untuk x< fungsi naik

Untu <x< fungsi turun

Untuk x> fungsi naik4

4

4

54

5

Tentukan :



c. Harga harga y maksimun da minimum

a. y = x2 – 4x

b. y =

c. y =

d. y = x4 + 2x3 -3x2 -4x + 4

724

1 24 xx

32 2221 xxx

Untuk fungsi fungsi dibawah ini :

e. y = ( 2 – x )3

f. y = (x-4)4(x-3)3

g. y =

h. y = cos 2x untuk ½ ≤ x ≤ 3/2

xx

482

Contoh soal :

Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum

Jawab.

Keliling kandang = 2P + 2L

2P + 2L = 200 P + L = 100 P = 100 - L

Luas kandang = p x L

Luas = P.LLuas = ( 100 – L). LLuas = 100L – L2

Nilai stasioner dicari dengan Luas ‘ = 0Luas ‘ = 100 – 2L

100 – 2L = 0 2L = 100 L = 50

50

40 60

Luas ‘ = 100 – 2.40 = 20 > 0

Luas ‘ = 100 – 2.60 = -20 < 0

Untuk L = 50 maka nilai stasioner y = 50 x 50 = 2500 Luas ‘ berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

Contoh soal :

Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum

Jawab.

Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30;a = 30 – b, misal Hasil kali kedua bilangan = PP = a x b = (30 – b)xb = 30b – b2

15Nilai stasioner jika P’ = 0P’ = 30 – 2b30 – 2b = 02b = 30 b = 15

10 20

P’ = 30 – 2bP’ = 10

P’ = 30 – 2bP’ = -10

Untuk b = 15 maka nilai stasioner y = 15 x 15 = 225 hasil kali antara a dan b berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

Soal Latihan :1. Dari suatu karton persegi panjang yang sisinya 24 cm, akan

dibuat suatu kotak tanpa tutup dengan jalan memotong pada keempat sudut persegi panjang tersebut dengan sisi x cm tentukan x agar sisi kotak maksimum.

2. Segitiga siku siku AOB terbentuk dari sumbu X, sumbu Y, dan sisi AB dengan persamaan y = 10 – 2x. Dari titik C(x,y) yang terletak pada AB, dibuat garis tegak lurus sumbu sumbu koordinat sehingga terjadi persegi panjang dengan diagonal OC.

3.Jumlah dua bilangan adalah 40. tentukan masing masing bilangan tersebut agar hasil kali antara bilangan yang satu dengan kuadrat yang lainnya maksimum.

4. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas persegi berisi x cm dan tinggi t cm. isi kotak tersebut 2.000 cm3. tentukan ukuran kotak agar bahan untuk membuat kotak minimum.( cari luas permukaan kotak minimum).

5.Suatu tangki air berbentuk silinder lingkaran tegak dengan diameter alasnya 1 m. apabila tinggi air dalam tangki x cm, tentukan laju perubahan volume v terhadap penambahan tinggi x, ketika air diisikan ke dalam tangki tersebut

mulai

Documents