momentum sudut

11
FISIKA KUANTUM [1] BAB VI MOMENTUM SUDUT Dalam portulat Bohr untuk menerangkan model atomnya, telah nampak peranan momentum sudut lintasan/orbital dalam menemukan keadaan sistem atom Hidrogen (elektron dalam atom Hidrogen). Bahkan dalam atom model Sommerfield, momentum sudut juga menentukan tenaga sistem, melalui bilangan kuantuk azimuth. Dalam mekanika kuantum, momentum sudut ikut menentukan bentuk fungsi gelombang sistem. Dalam bab ini akan ditelaah operator momentum sudut dengan sifat-sifatnya dan persamaan eigen nilai momentum sudut dengan penyelesaiannya. 6.1 Operator Momentum sudut (Orbital) Momentum sudut suatu partikel sebagai suatu observabel klasik didefinisikan sebagai ܮ = ݎ Ԧ (6.2) Dengan ݎ adalah vektor posisi dan Ԧ adalah momentum linear partikel. Komponen-komponen momentum sudut pada sumbu-sumbu kartesian berbentuk ܮ= ݕ ݖ ܮ= ݖ ݔ ܮ= ݔ ݕ (6.2) Dalam fisika (mekanika) kuantum, komponen-komponen momentum sudut berupa operator-operator yang berbentuk

Upload: wildan-hasyim-amin

Post on 29-Nov-2015

46 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

  • FISIKA KUANTUM

    [1]

    BAB VI

    MOMENTUM SUDUT

    Dalam portulat Bohr untuk menerangkan model atomnya, telah nampak peranan

    momentum sudut lintasan/orbital dalam menemukan keadaan sistem atom Hidrogen

    (elektron dalam atom Hidrogen). Bahkan dalam atom model Sommerfield, momentum

    sudut juga menentukan tenaga sistem, melalui bilangan kuantuk azimuth. Dalam

    mekanika kuantum, momentum sudut ikut menentukan bentuk fungsi gelombang sistem.

    Dalam bab ini akan ditelaah operator momentum sudut dengan sifat-sifatnya dan

    persamaan eigen nilai momentum sudut dengan penyelesaiannya.

    6.1 Operator Momentum sudut (Orbital)

    Momentum sudut suatu partikel sebagai suatu observabel klasik didefinisikan

    sebagai

    = (6.2)Dengan adalah vektor posisi dan adalah momentum linear partikel.

    Komponen-komponen momentum sudut pada sumbu-sumbu kartesian berbentuk

    = = = (6.2)

    Dalam fisika (mekanika) kuantum, komponen-komponen momentum sudut

    berupa operator-operator yang berbentuk

  • FISIKA KUANTUM

    [2]

    = = (6.3) =

    Yang mana dalam koordinat bola berbentuk

    =

    +

    =

    +

    =

    (6.4)

    Komponen-komponen momentum sudut pada pers (6.3) dan (6.4) mempunyai hubungan

    komutasi sebagai berikut

    ,= ,= ,= (6.5)

    Yang berarti bahwa antara , bersifat saling tidak komut. Sifat komutasitersebut menunjukan bahwa tidak mungkin menemukan eigen fungsi operator , yang

    artinya eigen fungsi , dengan eigen nilai yang tidak nol

  • FISIKA KUANTUM

    [3]

    Walaupun tdak dapat ditemukan eigen fungsi operator dari ,namun dapat dicari eigenfungsi bersama dari salah satu operator komponen momentum sudut (bisa dipilih )

    dengan operator yang berbentuk

    = + + (6.6)Karena dengan (juga dengan ) be operatorsifat komut. Operator

    dalam koordinat bola berbentuk

    =

    +

    (6.7)

    6.2 Persamaan Eigen Nilai Operator-Operator Momentum Sudut (Dalam Koordinat

    Bola)

    Untuk operator , perrsamaan eigen nilainya berbentuk

    () = (), (6.8)

    Dengan penyelesaian ternoemalisirnya berbentuk

    () =

    exp( ) (6.9)Agar () memenuhi syarat berharga tunggal, maka m harus berharga bulat, yaitu

    m=0, 1,2,3,. . . . . . (6.10)

    dengan eigen fungsi tersebut, pers 6.8 memeberikan harga eigen nilai operator sebesar

    = (6.11)

  • FISIKA KUANTUM

    [4]

    Dalam hal ini jelas bahwa terkuantisasi sebesar , seperti pada postulat momentum

    sudut Bohr.

    Selanjutnya, akan ditelaah terlebih dahulu persamaan nilai eigen operator ,

    yang mempunyai eigen fungsi simultan dengan operator , persamaan eigen nilai

    berbentuk

    +

    (,) = (,), (6.12)

    Dengan sebagai eigen nilai operator ,. Dai ungkapan 6.12 akan dilakukan

    pemisahan variabel dengan mengambil bentuk

    (,) = ()() (6.13)Lalu disubtitusikan ke dalam persamaan 6.12 kemudian dibagi dengan ()() ,sehingga memberikan dua persamaan yang masing-masing dengan dua variabel dan ,

    yaitu

    () + () = 0 (6.14)

    Dan

    +

    () = 0 (6.15)

    Dengan m dan yang harus ditentukan kemudian. Ungkapan 6.14 mempunyai

    penyelesaian umum berbentuk

    () = exp ) (6.16)Yang mana sebentuk dengan eigen fungsi operator .

  • FISIKA KUANTUM

    [5]

    Untuk ungkapan 6.15, penyelesaiannya dapat diubah kedalam bentuk yang lebih

    sederhana dan khusus dengan mensubtitusikan variabel berikut ini

    (6.17)

    Sehingga pers. 6.15 dapat dituliskan dalam bentuk

    (1 )

    +

    () = 0 (6.18)

    Ungkapan 6.18 adalah persamaan diferensial khusus yang disebut persamaan diferensial

    Legendre sekawan, dengan syarat

    = (+ 1) | | , (6.19)Untuk = 0, 1, 2, 3, . . . . . persyaratan dalam pers 6.19 berguna untuk memenuhi syarat

    fisis yang menyatakan bahwa (,) = ()() harus berhingga dan berhargatunggal. Penyelesaian umum untuk 6.18 adalah

    () = (1 )

    () (6.20)

    Yang disebut dengan Legendre sekawan, dengan

    () = ( 1) (6.21)Disebut fungsi Legendre orde

    Dengan demikian telah didapatkan eigen fngsi operator (juga eigen fungsi operator )

    yang berbentuk

    (.) = , ( ) exp( ), (6.22)

    Dengan

  • FISIKA KUANTUM

    [6]

    , = ( | |(| | (6.23)Sebaga faktor normalisasi. Dengan harga = (+ 1) pers 6.19, maka didapatkan hargaeigen nilai operator berbentuk

    = (+ 1) (6.24)Akhirnya, bentuk persamaan eigen nilai operator dapat dituliskan sebagai berikut

    | (,) = (+ 1)| (,) (6.25)Eigen fungsi (,) dikenal sebagai fungsi harmonik bola yang merupakan faktorfungsi gelombang dengan variabel sudut dan (bagian angular) dari sstem yang

    potensialnya bersimetri bola, seperti pada analisis atom Hidrogen yang akan dikaji dalam

    bab selanjutnya. Tabel 6.1 menyajikan beberapa bentuk fungsi (,) secara eksplisituntuk beberapa harga l dan m.

  • FISIKA KUANTUM

    [7]

    Tabel 6.1 : Fungsi eksplisit Harmonik bola, (,)untuk beberapa harga l dan m

    (,)0

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    0

    -1

    2

    1

    0

    -1

    -2

    = 1

    4 = 38exp( ) =

    34 = 38exp( ) = 1532exp( 2) =

    158exp( ) = 516(3 1) = 158exp( ) = 1532 exp( 2)

  • FISIKA KUANTUM

    [8]

    Contoh Soal

    Fungsi gelombang sudut elektron dalam atom dinyatakan dengan eigen fungsi dari

    operator dan yang bebentuk

    (,) = exp( ).

    a. Tentukan nilai konstanta A !

    b. Tentukan harga bilangan kuantum orbital ( ) dan magnetik ( ) dari fungsigelombang tersebut !`

    Jawab

    a. Untuk menentukan harga konstanta A digunakan persamaan ternormalisir

    berbentuk

    (,) (,)= 1, = ,

    Sehingga didapatkan

    (1 ) = 1

    Dapat dituliskan dalam bentuk

    2 (1 )

    = 1

  • FISIKA KUANTUM

    [9]

    Dengan mengambil =( ), maka integral dalam tanda [ ] bernilai (-4/15),sehingga didapatkan

    815= 1 = 158b. Untuk menentukan harga bilangan kuantum orbitalnya dapat diperoleh dari

    persamaan eigen nilai operator , yaitu

    (,) = (+ 1) (,)

    +

    + 1

    (,) = (+ 1) (,)Didapatkan juga turuna dari

    (,) = 2exp( )

    (,) = 2exp( )

    (,) = exp( )

    (,) = exp( )

    Sehingga didapatkan hasil sebagai berikut

    1 4

    1

    (,) = (+ 1) (,)

    {1 1 4} (,) = (+ 1) (,)

  • FISIKA KUANTUM

    [10]

    Dari persamaan di atas diperoleh kaitan berikut(+ 1) = 6 + 6 = 0 = 2 dan = 3

    Untuk = 3 tidak memenuhi syarat fisis 0, sehingga didapatkan harga bilangan

    kuantum orbitalnya sebesar = 2Untuk = 2, kemungkinan harga bilangan kuantum megnetiknya adalah

    = 2, 1, 0,1,2

    Dan untuk menentukannya digunkakan persamaan eigen nilai operator , yaitu

    (,) = (,)

    (,) = (,)

    (,) = (,)

    sehingga digunakan bilangan kuantum orbitalnnya sebesar = 1selanjutnya untuk operator , penurunan eigen nilainya lebih mudah dengan cara

    tdak langsung (tidak dari persamaan eigen nilainya). Dalam hal ini, disusun suatu

    operator baru, yang didefinisikan sebagai

    + Dan

  • FISIKA KUANTUM

    [11]

    Kedua operator tersebut bersifat tidak Helmitian. Kajian tentang operator

    tidak dikajji dalam bab ini, tetapi bagi para pembaca yang berminat dapat membacanya

    dalam literatur lain.