FISIKA KUANTUM

[1]

BAB VI

MOMENTUM SUDUT

Dalam portulat Bohr untuk menerangkan model atomnya, telah nampak peranan

momentum sudut lintasan/orbital dalam menemukan keadaan sistem atom Hidrogen

(elektron dalam atom Hidrogen). Bahkan dalam atom model Sommerfield, momentum

sudut juga menentukan tenaga sistem, melalui bilangan kuantuk azimuth. Dalam

mekanika kuantum, momentum sudut ikut menentukan bentuk fungsi gelombang sistem.

Dalam bab ini akan ditelaah operator momentum sudut dengan sifat-sifatnya dan

persamaan eigen nilai momentum sudut dengan penyelesaiannya.

6.1 Operator Momentum sudut (Orbital)

Momentum sudut suatu partikel sebagai suatu observabel klasik didefinisikan

sebagai

= (6.2)Dengan adalah vektor posisi dan adalah momentum linear partikel.

Komponen-komponen momentum sudut pada sumbu-sumbu kartesian berbentuk

= = = (6.2)

Dalam fisika (mekanika) kuantum, komponen-komponen momentum sudut

berupa operator-operator yang berbentuk

FISIKA KUANTUM

[2]

= = (6.3) =

Yang mana dalam koordinat bola berbentuk

=

+

=

+

=

(6.4)

Komponen-komponen momentum sudut pada pers (6.3) dan (6.4) mempunyai hubungan

komutasi sebagai berikut

,= ,= ,= (6.5)

Yang berarti bahwa antara , bersifat saling tidak komut. Sifat komutasitersebut menunjukan bahwa tidak mungkin menemukan eigen fungsi operator , yang

artinya eigen fungsi , dengan eigen nilai yang tidak nol

FISIKA KUANTUM

[3]

Walaupun tdak dapat ditemukan eigen fungsi operator dari ,namun dapat dicari eigenfungsi bersama dari salah satu operator komponen momentum sudut (bisa dipilih )

dengan operator yang berbentuk

= + + (6.6)Karena dengan (juga dengan ) be operatorsifat komut. Operator

dalam koordinat bola berbentuk

=

+

(6.7)

6.2 Persamaan Eigen Nilai Operator-Operator Momentum Sudut (Dalam Koordinat

Bola)

Untuk operator , perrsamaan eigen nilainya berbentuk

() = (), (6.8)

Dengan penyelesaian ternoemalisirnya berbentuk

() =

exp( ) (6.9)Agar () memenuhi syarat berharga tunggal, maka m harus berharga bulat, yaitu

m=0, 1,2,3,. . . . . . (6.10)

dengan eigen fungsi tersebut, pers 6.8 memeberikan harga eigen nilai operator sebesar

= (6.11)

FISIKA KUANTUM

[4]

Dalam hal ini jelas bahwa terkuantisasi sebesar , seperti pada postulat momentum

sudut Bohr.

Selanjutnya, akan ditelaah terlebih dahulu persamaan nilai eigen operator ,

yang mempunyai eigen fungsi simultan dengan operator , persamaan eigen nilai

berbentuk

+

(,) = (,), (6.12)

Dengan sebagai eigen nilai operator ,. Dai ungkapan 6.12 akan dilakukan

pemisahan variabel dengan mengambil bentuk

(,) = ()() (6.13)Lalu disubtitusikan ke dalam persamaan 6.12 kemudian dibagi dengan ()() ,sehingga memberikan dua persamaan yang masing-masing dengan dua variabel dan ,

yaitu

() + () = 0 (6.14)

Dan

+

() = 0 (6.15)

Dengan m dan yang harus ditentukan kemudian. Ungkapan 6.14 mempunyai

penyelesaian umum berbentuk

() = exp ) (6.16)Yang mana sebentuk dengan eigen fungsi operator .

FISIKA KUANTUM

[5]

Untuk ungkapan 6.15, penyelesaiannya dapat diubah kedalam bentuk yang lebih

sederhana dan khusus dengan mensubtitusikan variabel berikut ini

(6.17)

Sehingga pers. 6.15 dapat dituliskan dalam bentuk

(1 )

+

() = 0 (6.18)

Ungkapan 6.18 adalah persamaan diferensial khusus yang disebut persamaan diferensial

Legendre sekawan, dengan syarat

= (+ 1) | | , (6.19)Untuk = 0, 1, 2, 3, . . . . . persyaratan dalam pers 6.19 berguna untuk memenuhi syarat

fisis yang menyatakan bahwa (,) = ()() harus berhingga dan berhargatunggal. Penyelesaian umum untuk 6.18 adalah

() = (1 )

() (6.20)

Yang disebut dengan Legendre sekawan, dengan

() = ( 1) (6.21)Disebut fungsi Legendre orde

Dengan demikian telah didapatkan eigen fngsi operator (juga eigen fungsi operator )

yang berbentuk

(.) = , ( ) exp( ), (6.22)

Dengan

FISIKA KUANTUM

[6]

, = ( | |(| | (6.23)Sebaga faktor normalisasi. Dengan harga = (+ 1) pers 6.19, maka didapatkan hargaeigen nilai operator berbentuk

= (+ 1) (6.24)Akhirnya, bentuk persamaan eigen nilai operator dapat dituliskan sebagai berikut

| (,) = (+ 1)| (,) (6.25)Eigen fungsi (,) dikenal sebagai fungsi harmonik bola yang merupakan faktorfungsi gelombang dengan variabel sudut dan (bagian angular) dari sstem yang

potensialnya bersimetri bola, seperti pada analisis atom Hidrogen yang akan dikaji dalam

bab selanjutnya. Tabel 6.1 menyajikan beberapa bentuk fungsi (,) secara eksplisituntuk beberapa harga l dan m.

FISIKA KUANTUM

[7]

Tabel 6.1 : Fungsi eksplisit Harmonik bola, (,)untuk beberapa harga l dan m

(,)0

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

0

-1

2

1

0

-1

-2

= 1

4 = 38exp( ) =

34 = 38exp( ) = 1532exp( 2) =

158exp( ) = 516(3 1) = 158exp( ) = 1532 exp( 2)

FISIKA KUANTUM

[8]

Contoh Soal

Fungsi gelombang sudut elektron dalam atom dinyatakan dengan eigen fungsi dari

operator dan yang bebentuk

(,) = exp( ).

a. Tentukan nilai konstanta A !

b. Tentukan harga bilangan kuantum orbital ( ) dan magnetik ( ) dari fungsigelombang tersebut !`

Jawab

a. Untuk menentukan harga konstanta A digunakan persamaan ternormalisir

berbentuk

(,) (,)= 1, = ,

Sehingga didapatkan

(1 ) = 1

Dapat dituliskan dalam bentuk

2 (1 )

= 1

FISIKA KUANTUM

[9]

Dengan mengambil =( ), maka integral dalam tanda [ ] bernilai (-4/15),sehingga didapatkan

815= 1 = 158b. Untuk menentukan harga bilangan kuantum orbitalnya dapat diperoleh dari

persamaan eigen nilai operator , yaitu

(,) = (+ 1) (,)

+

+ 1

(,) = (+ 1) (,)Didapatkan juga turuna dari

(,) = 2exp( )

(,) = 2exp( )

(,) = exp( )

(,) = exp( )

Sehingga didapatkan hasil sebagai berikut

1 4

1

(,) = (+ 1) (,)

{1 1 4} (,) = (+ 1) (,)

FISIKA KUANTUM

[10]

Dari persamaan di atas diperoleh kaitan berikut(+ 1) = 6 + 6 = 0 = 2 dan = 3

Untuk = 3 tidak memenuhi syarat fisis 0, sehingga didapatkan harga bilangan

kuantum orbitalnya sebesar = 2Untuk = 2, kemungkinan harga bilangan kuantum megnetiknya adalah

= 2, 1, 0,1,2

Dan untuk menentukannya digunkakan persamaan eigen nilai operator , yaitu

(,) = (,)

(,) = (,)

(,) = (,)

sehingga digunakan bilangan kuantum orbitalnnya sebesar = 1selanjutnya untuk operator , penurunan eigen nilainya lebih mudah dengan cara

tdak langsung (tidak dari persamaan eigen nilainya). Dalam hal ini, disusun suatu

operator baru, yang didefinisikan sebagai

+ Dan

FISIKA KUANTUM

[11]

Kedua operator tersebut bersifat tidak Helmitian. Kajian tentang operator

tidak dikajji dalam bab ini, tetapi bagi para pembaca yang berminat dapat membacanya

dalam literatur lain.