Farid Ma’ruf Khoiriyah, SPd

MODUL 1

Statistika1. Pendahuluan

Modul ini adalah modul pertama mata pelajaran Matematika XI, isinya membahas tentang Penyajian Data, Penyajian Data Statistik, Penyajian Data Ukuran Menjadi Data Statistik Diskriptif.

Tujuan dari modul ini adalah Anda harus mampu melaukan pengolahan, penyajian dan penafsiran data dengan cara membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkran,dan ogive serta pemaknaannya, dan menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya.

2. Satandar Kompetensi1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang

dalam pemecahan masalah.

3. Kompetensi Dasar1.1 Membaca data dalam bentuk tabel, dan diagram batang, garis, lingkaran, dan

ogive 1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran,

dan ogive serta penafsirannya1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data,

serta penafsirannya.

4. Indikator1. Membaca sajian data dalam bentuk diagram garis, diagram lingkaran, dan

diagram batang2. Mengidentifikasi nilai suatu data yang ditampilkan dalam pada tabel dan

diagram3. Menyajikan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive

serta penafsirannya

4. Menafsirkan data dalam bentuk diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive

5. Membaca sajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram

6. Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.7. Menentukan rataan, median, dan modus.

8. Memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan

9. Menentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku

1

5. Kegiatan Belajar1. Penyajian Data2. Penyajian Data Statistik3. Penyajian Data Ukuran menjadi Data Statistik Diskriptif

Untuk mempermudah Anda mempelajari modul Statistik perhatikan diagram alur berikut ini.

2

Statistika

Data

Pengumpulan PenyajianPengolaha

n

Tabel Diagram

Garis

Lingkaran

Batang

Ukuran Penyebaran Ukuran Letak Ukuran

Pemusatan

Mean

Median

Modus

Pencilan DesilSimpangan Rata-rata

Ragam

Simpangan Baku

Simpangan kuartil

Jangkauan

Jangkauan Antar Kuartil

Kegiatan Belajar

Penyajian DataStatistika termasuk cabang matematika termuda dan paling luas penerapannya. Kajian tentang Statistika dimulai oleh seorang berkebangsaan Inggris yang bernama John Graunt (1620-1674).

A. Penyajian DataStatistika berkaitan erat dengan data, oleh karena itu dalam pembahasan

satistika ini dimulai dari pengertian data datum dan data.1. Pengertian Datum dan Data

Di SMP Anda telah mempelajari pengertian datum dan data, perhatikan contoh pengukuran berat badan dan kesehatan dari lima siswa berikut ini.Misalkan diperoleh hasil pengukuran 44 kg, 50 kg, 48 kg, 52 kg, dan 40 kg, dan kondisi kesehatan: baik, baik, buruk baik, baik, buruk. Hasil pengukuran berat badan tersebut dinamakan fakta dalam bentuk angka, dan hasil kesehatan dinamakan fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya fakta tunggal dinamakan data dan kumpulan datum dinamakan data.

2. Pengertian Populasi dan SampelMisalkan seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan siswa SMA se

Kabupaten Lumajang tahun Pelajaran 2007/2008. Untuk keperluan itu tentu memerlukan waktu lama dan biaya mahal, karena keterbatasan waktu dan biaya maka hanya diambil beberapa SMA yang mewakili SMA se Kabupaten Lumajang. Data tentang tinggi badan siswa seluruh SMA se Kabupaten Lumajang dinamakan populasi sedang data tinggi badan siswa yang diambil sebagai wakil dinamakan sampel

3. Pengumpulan DataDari segi bentuknya, data dapat dibedakan sebagai berikut :a). Data kuantitatif, yaitu data yang berbentuk bilangan. Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan, data tentang upah buruh, dll. b). Data kualitatif, yaitu data yang tidak berbentuk bilangan. Misalnya data tentang pekerjaan orang tua murid, data tentang mutu barang,

(apakah kualitasnya tinggi, sedang atau rendah ).

Macam – macam cara pengumpulan data, antara lain:a). Penelitian lapangan (pengamatan langsung ) atau observasi.

Pengumpulan data dilakukan langsung mengadakan penelitian ke lapangan atau laboratorium terhadap suatu objek penelitian.

b). Wawancara (interview).

3

1

Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara langsung kepada objek atau kepada orang yang mengetahui persoalan objek.

c). Angket (kuesioner).Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan daftar isian atau suatu daftar pertanyaan yag telah disiapkan dan disusun oleh peneliti sedemikian rupa sehingga nantinya di dapatkan jawaban atau isian yang dikehendaki.

d). Media cetak atau elektronika, dll.

4. Datum Terkecil, Datum Terbesar, Kuartil Bawah, Median, dan Kuartil Atas

Data di bawah ini adalah data tentang nilai matematika dari 20 orang siswa.71 65 80 69 76 77 72 76 89 8554 81 67 74 78 63 92 67 75 68

Dari data tersebut Anda dapat mengetahui hal-hal berikut.a) nilai yang paling rendah adalah 54b) nilai yang paling tinggi adalah 92

Jika data tersebut diurutkan menurut besarnya akan diperoleh data sbb.54 63 65 67 67 68 69 71 72 7475 76 76 77 78 80 81 85 89 92

Dari data tersebut dapat diketahui bahwa:a) 50 % dari kedua puluh siswa tersebut nilainya tidak lebih dari 74,5b) 25 % dari kedua puluh siswa tersebut nilainya tidak lebih dari 67,5c) 75 % dari kedua puluh siswa tersebut nilainya tidak lebih dari 78,5

Bagaimanakah cara menentukan angka-angka tersebut?Perhatikan uraian berikut ini.54 63 65 67 67 68 69 71 72 74 75 76 76 77 78 80 81 85 89 92 Median

adalah kuartil bawah adalah kuartil tengah yang juga disebut median adalah kuartil atas

Untuk menentukan terlebih dahulu data diurutkan menurut besarnya, kemudian ditentukan , selanjutnya baru ditentukan Perhatikan beberapa contoh berikut ini.a. 4 4 6 6 7 7 7 8 8 9 9 (median) b. 12 12 14 15 15 17 18 19 20 21

Kuartil akan membagi data yang sudah diurutkan menjadi empat bagian yang sama.

4

Kesimpulan:Misalkan diketahui data terurut:

, dengan n banyaknya datum

1. Untuk n genap, maka mediannya

2. Untuk n ganjil, maka mediannya

3. Menentukan (kuartil bawah) dengan membagi dua bagian yang sama banyak data di bawah

4. Menentukan (kuartil atas) dengan membagi dua bagian yang sama banyak data di atas

5. Data statistik disebut statistik lima serangkai.

Latihan 1Tentukan statistik lima serangkai dari data berikut inia. 46 54 65 67 82 84 75 78 90 94 87

79b. 6 5 6 4 8 7 8 5 9 7 6c. 154 167 164 170 167 159 160 162 175 155

5. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, dan Simpangan Kuartil

a. Jangkauan DataJangkauan data atau rentang data adalah selisih datum terbesar dan datum

terkecil. Jika jangkauan data dinotasikan J, datum terbesar , datum terkecil , maka

Jangkauan antar kuartil atau disebut juga rentang antar kuartil (RAK) adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

b. Pencilan (Outlier)Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antar kuartil (RAK) dapat

dipergunakan untuk memperoleh gambaran penyebaran suatu data. Untuk keperluan tersebut didefinisikan pengertian Langkah (L) sebagai berikut.Satu Langkah adalah satu setengah kali panjang jangkauan antar kuartil (RAK), dan secara matematis ditulis

5

Nilai yang letaknya satu langkah dibawah dinamakan pagar dalam (PD) dan nilai yang letaknya satu langkah di atas dinamakan pagar luar (PL)

Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar dinamakan pencilan. Jadai pencilan adalah datum yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya.

Latihan 2

Berikut ini ini adalah data tentang hasil ulangan matematika dikelas XI IPA 1, dari data tersebut tentukan:a. Jangkauanb. Kuartil bawah, median dan kuartil atasc. Jangkauan antar kuartil d. Pagar dalam dan pagar luare. Pencilan atau Outlier

45 64 56 66 76 87 90 67 76 7572 86 55 71 69 63 54 40 76 7285 81 90 49 71 73 67 75 69 8081 77 78 72 71 67

6

Kegiatan Belajar

Penyajian Data Statitik

B. Penyajian Data StatistikData dapat disajikan dalam bentuk daftar (tabel) atau gambar. Gambar

meliputi kartogram (peta) dan diagram. Maksud dari penyajian data adalah untuk mempermudah membaca data. Kegunaan diagram antara lain untuk memperjelas dan mempertegas penyajian data

1. Penyajian Data dalam Bentuk TabelPenyajian data dalam bentuk tabel seperti contoh berikut ini

Nilai (x) Frekwensi (f)3 24 35 26 57 88 129 410 1

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagrama. Diagram Batang

Diagram batang dilengkapi dengan skala dan kata-kata yang jelas sehingga ukuran ukuran data yang bersangkutan dapat dibaca dari diagram. Ada dua jenis diagram batang, yaitu: 1) diagram batang vertikal, dan 2) diagram batang horisontal

Jumlah produksi Susu Perbandingan Jumlah Banyaknya Mobil Jumlah Kasus Remidi 2001 - 2004 Guru 2001-2003 50 50 A 50 40 40 B 40 25 30 20 20 C

01 02 03 04 SD SMP 10 20 30 40 01 02 03 04

2001 2003 Pribadi belum tuntas

2002 Angkot tuntas

diagram batang tunggal diagram batang berganda diagram batang horizontal diagram batang bersusun

Gambar 1.1

7

2

b. Diagram Garis Diagram garis dipergunakan untuk menggambarkan perkembangan

(pertumbuhan) suatu hal (kegiatan) dari waktu ke waktu secara terus-menerus. Melalui diagram garis ini kita sering melakukan interpolasi dan ekstrapolasi. Interpolasi adalah memperkirakan nilai diantara dua nilai. Eekstrapolasi adalah memperkirakan nilai yang akan datang.

Gambar 1.2 c. Diagram Lingkaran

Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan lebih tepat disajikan dengan diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring.Contoh

Data berikut ini menunjukkan banyaknya siswa sekolah negeri di Kabupaten Lumajang menurut jenjang sekolah tahun 2004Jenjang Pendidikan Banyaknya siswa

SD 2750SMP 2050SMA 1200

Jumlah 6000Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut

Siswa SD:

Siswa SMP:

Siswa SMA:

8

20

30

40

50

Ayam petelur

2001 2002 2003 2004

Ayam buras

2005

Gambar 1.3

3. Tabel Distribusi Frekwensi, Frekwensi Relatif dan Komulatif, Histogram, Poligon Frekwensi, dan Ogive

a. Tabel 1.1 Tabel Distribusi Frekwensi

Apabila terdapat data yang jumlahnya cukup banyak maka akan lebih efektif dan simple jika penyajiannya dalam tabel distribusi frekuensi Data dikelompokkan dalam beberapa kelas/interval di mana dalam satu interval memuat/mengandung beberapa data tunggal

Interval Frekwensi41 – 50 631 – 40 321 – 30 711 – 20 41 – 20 10

30

Agar mudah memperoleh keterangan dari data Ada beberapa cara menyatakan sekumpulan data dalam Distribusi frekuensi, sbb:1) Distribusi frekuensi tunggal Berikut adalah nilai matematika pada Raport Semester 2 dari 40 siswa Kelas X:4 5 6 7 8 6 7 6 8 8 9 7 5 6 6 7 6 7 6 5 7 5 6 6 7 5 5 6 7 7 5 7 7 8 8 7 8 4 9 6

Jika data itu akan di susun dalam daftar distri busi frekuensi tunggal, caranya: 1. Nilai diurutkan dari terendah s/d tertinggi. 2. Data diitulis dalam kolom nilai yang biasa nya dinyatakan dengan variabel x 3. Dengan pertolongan turus (tally) dapat di - tentukan frekuensi masing-masing nilai.

9

SMA20 % SD

45,83 %

SMP34,18 %

Tabel 1.2 Tabel Distribusi Frekwensi Tunggal Nilai (X) Turus/Tally f

4 II 25 .....6 .................... .....7 .................... 128 .................... .....9 .................... .....

40

Lengkapilah daftar distribusi frekwensi tersebut!

2) Distribusi frekuensi berkelompok.

Berikut ini adalah data tentang berat jeruk (dalam kg) yang dijual oleh seorang petani selama 50 hari.

152 108 145 161 170 164 47 84 76 98 119 136 89 82 93 124 127 109 120 131 102 124 97 79 100 92 69 69 117 74 50 113 137 123 115 72 126 113 129 106 177 168 86 81 139 78 53 58 96 119

Dari data itu diperoleh ukuran paling rendah (minimal ) 47dan ukuran paling tinggi (maksimal) 177

Selisih ukuran tertinggi dengan ukuran terendah disebut Jangkauan (range, rentang (J) = 177 – 47 = 130

Jika data akan di susun dalam tabel distribusi frekuensi, anda ikuti langkah sbb:

1). Semua ukuran harus termuat dalam kelas-kelas interval. Ukuran minimum termuat dalam kelas-kelas interval terendah (tidak perlu menjadi batas bawah), Ukuran maksimum termuat dalam kelas interval tertinggi (tidak perlu menjadi batas atas).

2). Tentukan range / jangkauan (J) = nilai maksimum – nilai minimum.

3). Tentukan banyaknya kelas interval dengan rumus k = 1 +3,3 log n; n = banyak ukuran (data) ,k = banyak kelas.

4). Tentukan lebar kelas dengan rumus i =

Data itu disusun dalam tabel sebagai berikut.: Jangkauan = 130Banyaknya kelas interval : k = 1 + 3,3 log (50)

= 1 + 3,3 (1,6990) = 1 + 5,6967 = 6,6967 7

Lebar kelas ( i ) =

Tabel 1.3 Tabel Distribusi Frekwensi Data Berkelompok

10

Nilai (X) Turus (Tally) Nilai Tengah Frekuensi ( f )47 – 6566 – 84 ............................... ....... .......85 - 103 ............................... ....... .......104 - 122 ...............................123 - 141 ............................... ....... .......142 - 160 ............................... ....... .......161 - 179 .......

Cobalah Anda lengkapi data tersebut, mintalah petunjuk guru jika kurang

jelas!

Dari kelas interval 1: 47 – 65 dapat diidentifikasi beberapa hal, sbb:47 disebut batas bawah kelas , 65 disebut batas atas kelas.

46,5 disebut tepi bawah kelas. 65,5 disebut tepi atas kelas.

b. Frekwensi Relatif dan Komulatif1) Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif.

Jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari batas nyata (tepi atas) suatu inteval tertentu disebut frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari). Jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari batas bawah tepi (tepi bawah) interval tertentu disebut frekuensi kumulatif lebih dari (fklebih dari).Dari data yang tertera pada Tabel 1.3 dapat disusun menjadi tabel distribusi frekwensi komulatif berikut ini.

Tabel 1.4 Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif

Nilai (x) Frek. (f) Tepi atas (U) Tepi bawah (L) fk U fk L

40 – 48 3 48,5 39,5 3 5049 – 57 4 57,5 48,5 7 4758 - 66 6 66,5 57,5 13 4367 - 75 19 75,5 66,5 32 3776 - 84 13 84,5 75,5 45 1885 -93 5 93,5 84,5 50 5

Jika dalam penelitian memerlukan frekuensi kumulatif dalam prosentase, maka fk

dibagi dengan f kemudian dikalikan 100%. Frekuensi kumulatif seperti itu dinamakan frekuensi kumulatif relatif.

Dari data yang tertera pada Tabel 1.4 dapat disusun menjadi tabel distribusi frekwensi komulatif relatif berikut ini.

11

Tabel 1.5 Tabel Distribusi Frekwensi komulatif relatif

c. Histogram dan Poligon FrekwensiSuatu diagram yang menyajikan data yang disusun dalam kelas-kelas

interval (distribusi frekuensi) dalam bentuk batangan persegi panjang disebut Histogram. Jika titik-titik tengah sisi atas persegi panjang pada histogram di hubungkan, maka diperoleh sebuah poligon frekuensi. Agar poligonnya tertutup, maka sebelah kiri dan kanan histogram ditambahkan dengan satu kelas interval lagi dengan frekuensi nol.Perhatikan contoh berikut ini:Berikut ini adalah data tentang berat badan dari sekelompok siswa

Nilai Frekwensi45 – 53 454 – 62 563 - 71 873 - 81 1782 - 90 1091 - 99 6Jumlah 50

Histogram dan poligon frekwensi dari data tersebut adalah:

12

Nilai(x)

Frekuensi kumulatif Frekuensi kumulatif relatif (%)

39,5 0 50 0 10048,5 3 47 6 9457,5 7 43 14 8666,5 13 37 26 7475,5 32 18 64 3684,5 45 5 90 1093,5 50 0 100 0

d. Ogive (Ogif )Grafik yang menunjukkan frekwensi komulatif kurang dari atau frekwensi komulatif lebih dari dinamakan poligon komulatif. Untuk populasi yang besar, poligon memiliki banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekwensi komulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogive. Ada dua macam ogive yaitu:1). Ogive dari frekwensi komulatif kurang dari disebut ogive positif.2). Ogive dari frekwensi komulatif lebih dari disebut ogive negatif.

Nilai (x) (f) Tepi atas (U) Tepi bawah (L) fk U fk L

40 – 48 3 48,5 39,5 3 5049 – 57 4 57,5 48,5 7 4758 - 66 6 66,5 57,5 13 4367 - 75 19 75,5 66,5 32 3776 - 84 13 84,5 75,5 45 1885 -93 5 93,5 84,5 50 5

13

f

56

10

17

Nilai

S

O

4

8

Histogram

Poligon Frekwensi

Latihan 31. Buatlah daftar distribusi frekwensi dari data berikut.

79 15 90 84 76 89 78 60 43 74 62 88 72 64 54 83 71 41 67 81 98 80 25 78 75 64 10 52 76 55 85 92 65 95 81 77 80 24 60 79 32 57 74 52 70 82 36 46 53 49a. Buatlah daftar distribusi frekwensi b. Gambar histogram dari data tersebutc. Buatlah daftar distribusi frekwensi komulatif kurang dari dan lebih darid. Gambarkan ogive positif dan ogive negatif

14

39,5 48,5 57,5 66,5 75,5 84,5

73

32

4550

93,5

13

Ogive positif

39,5 48,5 57,5 66,5 75,5 84,5

18

5

4347

50

93,5

37Ogive negatif

2. Misalkan berat badan seorang bayi mulai usi 6 bulan tampak pada tabel berikut ini.

Umur 6 7 8 9 10 11 12 13Berat 5,6 5,9 6,4 6,9 7,5 7,9 8,7 9,4

Buatlah digram garis dari data tersebut3. Gambarkan diagram lingkaran dari data hasil panen padi di suatu desa se

Kecamatan SukajayaDesa A B C DHasil Panen

120 ton 100 ton 150 ton 80 ton

Gambarkan diagram lingkaran dari data tersebut

15

Kegiatan Belajar

Penyajian Data Ukuran menjadi Data Statitik Diskriptif

C. Penyajian Data Ukuran Menjadi Data Statistik Diskriptif1. Rataan Hitung (Mean)Mean atau nilai rata-rata hitung ( ), yaitu Jumlah semua ukuran dibagi

banyaknya ukuran. a). Mean data tunggal:

n

i

n

n

x

n

xxxxxxMean

1

14321 .........

Keterangan : x = Nilai rata-rata hitung (mean)n = banyak nilai (ukuran) , xi = data ke- i

Contoh :Tentukan mean dari : 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7, 13

Penyelesaian:

b). Mean data kelompok:Pada tabel distribusi frekuensi berkelompok, kita hanya dapat mengetahui frekwensi untuk masing-masing kelas interval. Kita menganggap bahwa frekuensi di dalam setiap interval tersebar merata. Dengan demikian , perhitungan pada data berkelompok tidak seteliti sebagaimana dengan data tunggal.Masing-masing kelas interval diwakili oleh titik tengahnya. Mean dari data berkelompok sama dengan data mean dari titik-titik tengah interval kelas yang dapat dihitung seperti pada data tunggal, dengan aturan:

(1). Mean ( ) =

Contoh:

16

Tentukan mean dari data kelompok yang

Berat (Kg)

f

Datanya terlihat pada tabel ! 50 – 52 553 – 55 1756 - 58 1459 – 61 1062 - 64 4

50

3

Penyelesaian:

Tabel berat badan siswa

Berat (kg) Titik tengah Interval (x1) Frekuensi (f) f . x1

50 – 52 51 5 25553 – 55 54 17 91856 - 58 57 14 79859 – 61 60 10 60062 - 64 63 4 252

50 2823

Mean ( ) =

2. Menghitung Rataan Hitung dengan Rataan Hitung Sementara

Hasil yang diperoleh dengan cara ini, mungkin masih mengandung kesalahan karena bilangannya besar. Untuk memperkecil kesalahan ditempuh cara dengan menggunakan rata-rata sementara. Dari tabel ditentukan rata-ata sementara yaitu titik tengah interval, misalnya Ms= 57.

Mean ( ) =

Untuk mempermudah kolom simpangan(d) dapat diganti:

17

Berat (kg) Titik Tengah (x1)

Frekuensi (f)

Simpangand = xi - Ms

f . d

50 – 52 51 5 -6 -3053 – 55 54 17 -3 -5156 - 58 57 = Ms 14 0 059 – 61 60 10 3 3062 - 64 63 4 6 24

50 -27

Akibatnya, Mean ( ) = Ms + i

Gunakan rumus tersebut untuk melengkapi tabel, jika kurang jelas mintalah petunjuk dari guru!

Mean ( ) = ....... +

3. Modus, Median, Kuaril, dan DesilModus (Mo) :

a. Modus (Mo)

Modus adalah nilai atau ukuran yang paling sering terdapat (muncul).

a). Modus data tunggal:

Contoh:Tentukan modus dari : 6, 8, 5, 6, 7, 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7, 13

Penyelesaian:

Data diurutkan: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9,9, 910, 11,12, 12, 13

Nampak bahwa Modusnya: 9

b. Modus data kelompok:Untuk menentukan modus data berkelompok ada beberapa cara pendekatan, antara lain:

18

Berat(x)(kg)

Titik (x1)

Frekuensi(f)

f.d’

50 – 52 51 5 -2 .......53 – 55 ............. 17 ..... -1756 - 58 ............. = Ms 14 0 .......59 – 61 ............. 10 ..... .......62 - 64 63 4 ..... .......

50 -9

1). Modus besar, yaitu nilai titik tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Kelas interval yang memilki frekuensi terbanyak disebut kelas modus. Pendekatan ini jarang digunakan sebab penyimpangannya terlalu besar. 2). Dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari histogram. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. Tabel berat badan 50 siswa

a. Modus besar = 54 ( adalah titik tengah kelas modus [53 – 55] )

c. Menggunakan rumus.Perhatikan histogram dari dat

a berat badan 50

siswa di atas.

19

Berat(x)(kg)

Titik tengah interval(x1)

Frekuensi(f)

50 – 52 53 – 55 56 – 58 59 – 6162 – 64

515457 60 63

5171210650

56

10

12

17

f

Berat badan

D C

P

SQ

A BoM

R

O

T

Rumus modus:

Modus (Mo) = Lo + . I

Lo = Tepi bawah kelas modus I = Interval kelas = lebar kelas d1 = Selisih fekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya. d2 = Selisih fekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.

Contoh:Berikut ini ini adalah data tentang tinggi badan dari 40 siswa, hitunglah modus data tersebutTinggi Badan (cm) Frekwensi

145 - 151 2152 - 158 7159 - 165 14166 - 171 22172 - 178 10179 - 185 5

60

20

b. Median dan Kuartil

Median adalah nilai atau ukuran yang membagi ukuran–ukuran yang telah diurutkan menurut besarnya menjadi dua bagian yang sama banyaknya.

Median adalah ukuran yang ditengah-tengah jika banyaknya data ganjil, atau rata– rata kedua nilai tengah jika banyaknya data genap.

1). Median data tunggal (untuk diingat kembali)

Jika n ganjil, median :

Jika n genap, median:

Contoh:

Tentukan mean, median, dan modus dari : 11, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 9, 7Penyelesaian :

n = 9 (ganjil)

Untuk mencari median, ukuran diurutkan: 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 12

Median :

Modus (Mo) = 9 (sebab frekuensinya paling banyak, yaitu tiga).

ContohTentukan mean, median, dan modus dari data yangada pada tabel berikut.

21

Penyelesaian :

Mean ( ) =

Median : = 7

Modus (Mo) = 7 (karena frekuensinya paling besar, yaitu 13)

Catatan :Suatu distribusi frekuensi mungkin tidak ada modusnya (bila mana distribusi tidak mempunyai modus?) Jika hanya ada satu modus dinamakan unimodal.Jika ada dua modusnya dinamakan bimodal. Jika mempunyai lebih dari dua modus dinamakan multimodal.

2). Median data kelompok:

Ada beberapa cara menentukan median dari data berkelompok antara lain:a). Menggunakan ogive. c). Mungunakan rumus.b). Mengunakan histogram. Contoh:

Berat (x)(kg)

F

50 -5253 – 5556 – 5859 – 6162 - 64

5171410450

Tentukan median-nya !

Penyelesaian:

Berat (x) (Kg)

FTepi Atas

( U )fk

Tepi Bawah( L )

fk

22

x F f.x456789

27101362

83560914818

50 – 52 5 52,5 5 49,5 5053 – 55 17 55,5 22 52,5 4556 – 58 14 58,5 36 55,5 2859 – 61 10 61,5 46 58,5 1462 - 64 4 64,5 50 61,5 4

50

a). Menggunakan ogive.

Median adalah ukuran tengah. Kita tentukan n pada sumbu frekuensi kumulatif,

yaitu 25

Dari titik 25 ditarik garis mendatar 50memotong ogive di titik A, kemudi- 45an dari titik A ditarik tegak lurus memotong sumbu ukuran berat di M. 36Dengan anggapan bahwa penye-baran ukuran di 55,5-58,5 merata, 25 Amaka: 22

Median = 55,5 +14

3(58,5 – 55,5) 5

= 55,5 + 0,64 = 56,14

52,5 55,5 58,5 61,5 64,5

b). Menggunakan histogram.

Median adalah suatu ukuran (nilai) yang membagi data menjadi dua bagian yang sama frekuensinya. Luas persegi panjang pada histo-gram sebanding dengan frekuensi. Jadi median dapat digambarkan Suatu titik M pada sumbu menda-tar (sumbu berat). Garis MN membagi luas bidang DCUL berbanding 3 :11, sehing- ga luas bidang persegi panjang seluruhnya menjadi dua bagian

yang sama luasnya.

23

UL M

CND

4

5

10

14

17

0

Median mempunyai nilai: Md = 55,5 + = 56,14

Keterangan : L = Tepi bawah kelas, U = Tepi atas kelas dan M= median

c). Menggunakan rumus.

Dengan mengikuti langkah-langkah cara menentukan (mencari) median menggunakan histogram, kita dapat menemukan rumus untuk mencari median sebagai berikut.

Banyaknya ukuran (frekuensi) = n. Tentukan nilai n untuk menentukan kelas

median, yaitu kelas terletaknya median. fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median. fm = Frekuensi kelas median. L = Tepi bawah kelas median U = Tepi atas kelas median

Perhatikan gambar histogram pada gambar Histogram:LM : LU = Luas LMND : Luas LUCD

LM : i =

m

k

mk f

fnLMffn

2

1

:2

1 x i

Jadi: Median (Md) = L + . I

Lihat tabel : ½ n = 25, i = 3 , fk = 22 , L = 55,5 dan f m = 14

Jadi, Median (Md) = 55,5 + x 3 = 55,5 +0,64 = 56,14

Latihan 4:

Tentukan mean, modus dan median dari data di bawah ini!

1. a. 3, 4, 6, 7, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7 b. 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8, 3

2. a. Ukuran SepatuSiswa Kelas X

Frekuensi b. Upah Buruh

Ribuan (Rp)Frekuensi

32 2 40 – 48 733 2 49 – 57 1134 6 58 – 66 1735 10 67 – 75 1436 5 76 – 84 937 2 85 – 93 538 2 94 – 102 2

24

39 1 65

30

3. Kuartil (Q):

Suatu data dapat diurutkan dari yang terkecil s/d terbesar, sehingga Jika banyaknya ukuran lebih dari atau sama dengan 4 , maka dapat ditentukan tiga ukuran yang membagi kelompok data yang telah diurutkan menjadi empat kelompok data yang sama banyaknya.Ketiga ukuran (nilai) yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian sama banyak tersebut disebut kuartil, diberi lambang Q1, Q2 dan Q3.

Q1 = Kuartil bawah , Q1 membagi kelompok ukuran menjadi bagian dengan

nilai

ukuran dari Q1 dan bagian dengan nilai lebih dari Q1.

Q2 = Kuartil tengah [median (Md) ] , Q2 membagi kelompok ukuran menjadi

nilai kurang dari Q2 dan bagian dengan nilai lebih dari Q2.

Q3 = Kuarti atas , Q3 membagi kelompok ukuran mejadi bagian dengan nilai

kurang dari Q3 dan bagian dengan nilai lebih dari Q3.

Kuartil bukan ukuran yang ada hubungannya dengan niai rata-rata, melainkan hanya sebagai ukuran lokal.

a. Kuartil data tunggal (Untuk diingat kembali):

Ukuran-ukuran diurutkan menurut besarnya mulai dari yang terkecil. Mula-mula ditentukan Q2 (median), kemudian tentukan Q1, yaitu nilai tengah dari bagian I (kiri), kemudian tentukan Q3 , yaitu nilai tengah dari bagian II (kanan).

Q1 Q2 = Md Q3

Contoh:Nilai raport seorang siswa kelas XI untuk 9 bidang mata pelajaran adalah sebagai berikut : 8, 7, 7, 6, 5, 6, 8, 6, 7. Tentukanlah: Q1, Q2 , Q3. !Penyelesaian : Ukuran (data) diurutkan dahulu dengan n = 9. 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 Q1 Me = x5 = 7 Q3

25

Bagian I ( kiri dari Q2) ada 4 ukuran, maka Q1 =

Bagian II (kanan dari Q2) ada 4 ukuran, maka Q3 =

Contoh:Tabel berikut adalah tabel hasil ulangan 40 siswa di suatu sekolah.

Nilai frekuensi456789

1619941

Tentukanlah nilai dari kuartil: Q1, Q2 = Md dan Q3 !

Penyelesaian :Jumlah data (frekuensi) n = 40

Md = Q2 =

Sebelum ada 20 data, maka

Q1 =

Sesudah ada 20 data yaitu data ke 21 s/d data ke 40

Q3 =

b). Kuartil data Kelompok:

Seperti menetukan median (Q2) pada data berkelompok, menentukan kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) -pun dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu : 1). Dengan ogive. 2). Dengan histogram. 3). Dengan rumus

Khusus untuk langkah menggunakan Ogive dan histogram tidak jauh berbeda dengan langkah-langkah menentukan Median data kelomppok.Dapat pula kita gunakan rumus untuk menentukan Kuartil bawah (Q1) dan kuiartil atas (Q3) sebagai berikut:

Q1 = L1 + . i dan Q3 = L3 + . i

Dimana : L1 = tepi bawah kelas Q1 , L3 = tepi bawah kelas Q3

f = frekuensi kelas sebelum kelas Q1

26

f = frekuensi kelas sebelum kelas Q3

f = frekuensi kelas yang memuat Q1

f = frekuensi kelas yang memuat Q3

Contoh:

Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah Upah (Rp) fBuruh pada suatu perusahaan. 40 – 48 7 fk1

Tentukan Nilai Kuartil bawah, dan atas ! 49 – 57 10 fq1

58 – 66 15Penyelesaian : 67 – 75 12 fk3

Dari data didapat: Lebar kelas (i) = 9 76 – 84 9 fq3

Kelas Q1 : 49 – 57 L1 = 48,5 , fq1 = 10 85 – 93 5 fk1 = 7 94 - 102 2Kelas Q3 : 76 – 84 L3 = 75,5 , fq3 = 9 60 fk3 = 44

Jadi:

Q1 = L1 + . i = 48,5 +

Q3 = L3 + . i = 75,5 +

Latihan 5

1. Tentukan kuartil bawah dan kuartil atas dari data berikut inia. 4,4,5,9,7,4,8,7,8,9,7,8,9,5,6,7,6,98b. 10,12,15,23,34,23,37,48,35,45,46,57,37,48,37

2. Berikut ini adalah data tentang hasil ulangan statistika dari suatu kelasNilai Frekwensi

46 - 50 251 - 54 455 - 59 660 - 64 1265 - 69 1570 - 74 975 - 79 880 - 84 585 - 89 390 - 94 2

Hitung kuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut

3.

27

41,5 46,5 56,551,5 61,5 66,5 71,5

4

1516

8

27

Buatlah daftar distribusi frekwensi dari histogram tersebut, kemudian tentukan kuartilnya.

Ukuran PenyebaranPengertian ukuran penyebaran (dispersi).

Ukuran pemusatan (tendensisentral) seperti mean, mdian, dan modus merupakan ukuran yang dapat dipakai sebagai wakil dari sekumpulan data (ukuran). Tetapi, gambaran yang diberikan kadang-kadang tidak jelas dan kurang banyak memberikan arti. Oleh karena itu, perlu diberikan keterangan mengenai penyebaran ukuran itu sendiri yang disebut ukuran penyebaran (dispersi). Ukuran dispersi ada beberapa macam, diantaranya adalah :

a. Jangkauan atau range (J):Jangkauan atau range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana. Range sekumpulan data dirumuskan sebagai selisih nilai tertinggi (nilai maksimum) dan nilai terendah (nilai terendah) data tersebut. a.1. Range dari data tunggal (untuk diingat):

J =

Contoh:Tentukanlah range dari nilai : 6, 8, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 7, 7, 9, 10

Penyelesaian:

J = 10 - 3 = 7

a.2. Range dari data kelomppok:

Range dari data berkelompok dapat ditentukan dengan 3 cara:1). Range = selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.2). Range = selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah. 3). Range = selisih batas atas kelas tertinggi dengan batas bawah kelas terendah

28

Contoh:Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah Upah (Rp) fBuruh pada suatu perusahaan. 40 – 48 7Tentukan Nilai jangkauan atau range ! 49 – 57 10

58 – 66 15Penyelesaian : 67 – 75 121. J = Xin – Xi1 = 98 - 44 = 54 76 – 84 9 85 – 93 52. J = = 102,5 – 39,5 = 63 94 - 102 2

603. J = Bn – Bo = 102 - 40 = 62

b. Jangkauan semi–inter kuartil (simpangan kuartil) (Qd) :

Range dapat dugunakan sebagai ukuran penyebaran dari nilai data. Akan tetapi range merupakan ukuran penyebaran yang kurang baik karena range hanya ditentukan ekstrim saja. Selain pengertian range diatas ada bentuk range yang laihn yang bisa di pakai sebagai ukuran penyebaran, yaitu jangkauan semi–interkuartil.Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah (Q3– Q1)

Hal ini menunjukkan bahwa 50% dari data terletak antara Q3 dan Q1.

Pada umumnya orang lebih suka menggunakan Jangkauan semi-interkuartil yang

dirumuskan dengan Qd = (Q3 – Q1)

Tugas 14:

Tabel berikut adalah distribusi frekuensi upah

Upah (Rp)

f fk

Buruh pada suatu perusahaan. 1 – 10 7 7Tentukan Nilai jangkauan atau range ! 11 – 20 9 16

21 – 30 12 28

Penyelesaian : 31 – 40 21 49

41 – 50 39 88 Q1

= 40,76 51 – 60 44 132

61 - 70 29 161 Q3

= 65,02 71 – 80 18 17981 - 90 14 193

29

Jadi : 91 - 100 7 200

= 12,13 200

c. Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR) :

Simpangan rata-rata adalah ukuran dispersi yang menyatakan penyebaran nilai-nilai terhadap mean. Dispersi suatu data akan kecil jika nilai-nilai tersebut terkonsentrasi pada rata-ratanya. Sebaliknya, dispersi akan besar jika nilai-nilai (data) tersebar dari rata-ratanya. c.1. Simpangan rata-rata untuk data tunggal:

Pada data: x1, x2 , x3 , x4 ,.................., xn memiliki rata-rata hitung (mean) = , maka simpangannya dapat dinyatakan dengan:

(x1 - ), (x2 - ), (x3 - ), (x4 - ),........., (xn - )

Jumlah harga mutlak untuk simpangan-simpangan itu adalah :+ + + +...................+

sehingga simpangan rata-rata seluruh data dapat dirumuskan sebagai :

SR = atau SR =

Jika suatu data : x1, x2, x3 , x4, .................., xk dengan masing-masing frekuensi f1, f2, f3, f4, ............, fk disusun dalam bentuk distribusi frekuensi, maka simpangan rata-rata dapat dirumuskan sebagai :

SR = fi atau SR =

dengan n =

Simpangan rata-rata dari suatu data adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya.

Contoh:tentukan simpangan rata –rata dari : 3, 4, 6, 8, 9.

Penyelesaian:

30

=

SR =

=

c.2. Simpangan rata-rata untuk data kelompok:

Pada data berkelompok setiap kelas diwakili oleh titik-titik tengahnya. Simpangan rata-rata pada data berkelompok adalah simpangan rata-rata titik-titik tengah interval kelas terhadap mean dari data itu.

Contoh:Tentukan simpangan rata-rata dari data yang terdapat pada tabel berikut jika diketahui rata-rata hitung tinggi siswa adalah = 149,5.Hasil pengukuran tinggi badan siswa kelas II.

No NilaiTitik tegah

(xi)f f.

1 130 - 134 132 1 17,5 17,52 135 - 139 137 2 12,5 253 140 - 144 142 5 7,5 37,54 145 - 149 147 6 2,5 155 150 - 154 152 10 2,5 256 155 - 150 157 6 7,5 457 160 - 164 162 2 12,5 25

32 190

Penyelesaian:n = , , = 149,5.

SR = =

31

d. Simpangan baku ( Deviasi standar ) ( S ):

Simpangan baku dari suatu data ialah akar dari jumlah kuadrat simpangan dibagi dengan banyak data, atau akar dari nilai rata-rata deviasi standar. Jika data-nya : x1, x2, x3, x4, ......, xn , maka simpangan bakunya dirumuskan sebagai :

S = atau S =

Jika datanya terdiri atas sekelompok ukuran : x1, x2, x3, x4, ......xk, dan masing-masing frekuensi f1, f2, f3, f4, ...... , fk, maka :

S = atau S = ,dengan n =

ContohLihat tabel berikut. Tabel ukuran jari tengah.

Ukuran Jari

Tengah

Frekuensi(f) 2

f. 2

f. 2

8,0 1 -1,8 ............ 3,248,5 6 ............ ............ ............9,0 9 ............ ............9,5 20 -0,3 0,09 1,810 27 ............ ............ ............

10,5 8 ............ ............ ............ 11,0 7 ............ ............ ............ 11,5 2 1,7 ............ 5,78

80 ............

Isilah tabel tersebut, mintalah petunjuk guru jika kurang jelas

Penyelesaian:

S = = = = .............. = ..........

Penyederhanaan rumus simpangan baku:

Rumus simpangan baku dapat disederhanakan menjadi S =

32

Bukti:

Jadi

Jika frekuensi untuk masing –masing nilai dinyatakan dengan f1, f2, f3, ......, fn

(bila data tunggal berbobot), maka:

S =

Untuk menghindari bilangan-bilngan besar, digunakan deviasi sementara (simpangan sementara ) sehingga rumus simpangan menjadi

S =

Cobalah menghitung simpangan baku data di atas dengan dua rumus terakhir, mintalah petunjuk guru jika belum jelas.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Hasil pengamatan suatu jenis barang C sebanyak 40 kotak tercatat dalam Kg yang terdekat adalah sebagai berikut:127, 146, 143, 119, 152, 146, 159, 147, 164, 137, 149, 139, 142, 159, 151, 139, 130, 135,177, 145, `32, 156, 135, 144, 14\52, 167, 157, 162, 140, 134, 140, 145, 149, 166, 171, 156, 125, 176, 154, 146.Tentukan : a. Range d. Buat kurva ogive-nya.

b. Tabel distribusi frekuensinya. e. Nilai dari Kuartil c. Simpangan kuartil.

2. Diketahui data tunggal: 10, 9, 8, 10, 12, 15, 6, 10Tentukan nilai dari:a. Jangkauan c. Simpangan rata-ratab. Simpangan kuartil d. Simpangan baku.

3. Dari tabel distribusi berkelompok Interval F

33

berikut, tentukanlah:a. Jangkauan (Range). 80 – 84 2b. Simpangan kuartil. 75 – 79 3c. Simpangan rata-rata. 70 – 74 6d. Simpangan baku. 65 – 69 11

60 – 64 1255 – 59 450 – 54 345 – 49 240 – 44 135 – 39 230 – 34 125 - 29 1

48

34