BAB I

SISTIM PERSAMAAN LINIER

1. Pengantar Sistim-Sistim Persamaan Linier

Sebuah garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh

sebuah persamaan yang berbentuk :

a1x + a2y = b

Persamaan ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan y

Secara umum Persamaan Linier dalam n variabel x1, x2, x3, …, xn adalah

sebuah persamaan yang dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b

dimana a1, a2, a3, …, an dan b konstanta riil.

Contoh 1 : persamaan linier :

x + 3y = 7 ; x1 - 2x2 - 3x3 + x4 = 7y = 2x + 3z + 1 ; x1 + x2 + …+ xn = 1

Pers. Linier tidak melibatkan hasil perkalian atau akar variabel. Sebuah variabel

hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai

argumen fungsi trigonometri, fungsi logaritmik dan fungsi eksponensial.

Yang berikut bukan persamaan linier :

x + 3y2= 7 ; 3x + 2y – z + xy = 4

y – Sin x = 0 ; √ x1 + 2x2 + x3 = 1

Sebuah Pemecahan ( solution) persamaan linier :

a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b

adalah sebuah urutan n bilangan s1, s2, s3, … , sn sehingga persamaan tersebut

dipenuhi bila mensubstitusikan x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3 , … , xn = sn .

Himpunan semua pemecahan pers. Linier tsb. dinamakan Himpunan Pemecahan

(Hp).

1

Contoh 2 :

Cari Hp persamaan berikut :

(1) 4x – 2y = 1 ; (2) x1 - 4x2 + 7x3 = 5

Jawab :

(1) Kita dapat menetapkan nilai sembarang untuk x dan mencari nilai y, atau

menetapkan nilai sembarang untuk y dan mencari nilai x.

Jika kita tetapkan nilai sembarang untuk x adalah t , maka diperoleh

pemecahan untuk pers (1) adalah x = t ; y = 2t - ½

Rumus ini menggambarkan Hp – nya dalam parameter t . Pemecahan

numerik khusus diperoleh dengan menetapkan nilai t tertentu, misalnya

t = 3 maka menghasilkan pemecahan x = 3 ; y = 11/2.

Jika kita tetapkan nilai sembarang untuk y adalah t , maka diperoleh

pemecahan untuk pers (1) adalah y = t ; x = ½t + ¼

Rumus ini menghasilkan himpunan pemecahan yang sama jika t berubah

pada semua bilangan riil yang mungkin. Misal t = 11/2 maka

pemecahannya y = 11/2 ; x = 3

(2) Mencari Hp. Pers. (2) dengan menetapkan nilai-nilai sembarang untuk setiap

dua variabel dan mencari nilai variabel ketiga. Misalkan kita menetapkan

nilai s dan t untuk variabel x2 dan x3 dan memecahkan pers tersebut

dengan mencari nilai x1, maka diperoleh : x1 - 4x2 + 7x3 = 5

x1 = 5 + 4s - 7t ; x2 = s ; x3 = t

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam variabel

x1, x2, x3, …, xn dinamakan Sistim Persamaan Linier (SPL). Sebuah urutan

bilangan bilangan s1, s2, s3, … , sn dinamakan sebuah pemecahan sistim tersebut

jika x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3 , … , xn = sn adalah pemecahan dari tiap-tiap

persamaan dalam Sistim Pers. Linier tersebut. Misalnya sistim pers. linier :

4x1 - x2 + 3x3 = -1

3x1 + x2 + 9x3 = -4

2

Mempunyai pemecahan x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1, karena nilai ini memenuhi

kedua persamaan tesebut. Tetapi x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 bukan sebuah

pemecahan karena nilai-nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama saja.

Tidak semua SPL mempunyai pemecahan. Contoh :

x + y = 4

2x + 2y = 6

Dengan mengalikan pers. kedua dengan ½ , diperoleh SPL :

x + y = 4

x + y = 3

kedua persamaan ini saling bertentangan satu sama lain , ini beararti tidak ada

pemecahannya.

Sebuah SPL yang tidak mempunyai pemecahan dinamakan Tak Konsisten

(inconsistent). Jika SPL itu mempunyai setidak-tidaknya satu pemecahan.

Tinjaulah sistim umum dari SPL berikut dalam varabel x dan y

a1x + b1y = c1 ( a1, b1 kedua-duanya tidak nol )

a2x + b2y = c2 ( a2, b2 kedua-duanya tidak nol )

Grafiknya persamaan-persamaan ini adlah garis-garis, misal garis I1 dan garis

I2. sebuah titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika nilai x dan y

memenuhi persamaan garis tersebut. Pemecahan sistim pers. tersebut

bersesuaian dengan titik potong garis I1 dan I2, ada tiga kemungkinan yaitu :

y y I1 y

x x x

I2 I2 I1 & I2

I1

(a) (b) (c)

(a) Garis I1 dan I2 sejajar, menunjukan tak ada pemecahan

(b) Garis I1 dan I2 berpotongan pada satu titik , menunjukan satu pemecahan

(c) Garis I1 dan I2 berimpit (tak hingga banyaknya titik potong), menunjukan tak

terhingga banyaknya pemecahan

3

Sebuah SPL dengan m persamaan dan n variabel ditulis sbb :

a11x1 + a12x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1

a21x1 + a22x2 + a23 x3 + … + a2n xn = b2

… … … … …

am1x1 + am2x2 + am3 x3 + … + amn xn = bm

Dalam bentuk Matriks yang diperbesar sistim persamaan linier tersebut ditulis

sbb. :

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

a31 a32 a33 . . . a3n b3

... … … . . . …

am1 am2 am3 . . . amn bm

Contoh :

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

Dalam bentuk matriks yang diperbesar ditulis :

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Bila membentuk Matriks yang diperbesar, maka variabel-variabel harus ditulis

dalam urutan yang sama dalam setiap SPL.

Untuk memecahkan SPL dapat dilakukan dengan memakai tiga jenis operasi

untuk mengeleminasi variabel secara sistimatis, yaitu :

4

1. Kalikanlah sebuah persamaan dengan sebuah konstanta yang tidak nol.

2. Pertukarkan dua persamaan.

3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan kepada persamaan yang lain.

Karena baris dalam sebuah matriks yang diperbesar bersesuaian dengan SPL

yang diasosiasikan dengan baris yang bersesuaian, maka ketiga operasi tsb

bersesuaian dengan operasi pada matriks yang diperbesar sbb :

1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak nol.

2. Pertukarkan dua baris.

3. Tambahkan kelipatan dari satu baris kepada baris yang lain.

Operasi-opersi ini dinamakan operasi baris elementer.

Contoh 3 :

Dari contoh ini pada sebelah kiri penyelesaian SPL dengan operasi pada

persamaan di dalan sistim tsb, dan sebelah kanan memecahkan SPL dengan

operasi baris elementer dari matriks yang diperbesar :

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y - 5z = 0 3 6 -5 0

Tambahkan - 2 kali pers. pertama Tambahkan - 2 kali baris pertama

pada pers. kedua, diperoleh pada baris kedua, diperoleh

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2y – 7z = -17 0 2 -7 -17

3x + 6y - 5z = 0 3 6 -5 0

Tambahkan - 3 kali pers. pertama Tambahkan - 3 kali baris pertama

pada pers. ketiga, diperoleh pada baris ketiga, diperoleh

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2y – 7z = -17 0 2 -7 -17

3y - 11z = -27 0 3 -11 -27

Kalikan pers. kedua dengan ½, Kalikan baris kedua dengan ½,

diperoleh diperoleh

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

y – 7/2z = -17/2 0 1 -7/2 -17/2

5

3y - 11z = -27 0 3 -11 -27

Tambahkan - 3 kali pers. kedua Tambahkan - 3 kali baris kedua

pada pers. ketiga, diperoleh pada baris ketiga, diperoleh

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

y – 7/2z = -17/2 0 1 -7/2 -17/2

-1/2z = -3/2 0 0 -1/2 -3/2

Kalikan pers. ketiga dengan -2, Kalikan baris ketiga dengan -2,

diperoleh diperoleh

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

y – 7/2z = -17/2 0 1 -7/2 -17/2

z = 3 0 0 1 3

Tambahkan - 1 kali pers. kedua Tambahkan - 1 kali baris kedua

pada pers. pertama, diperoleh pada baris pertama, diperoleh

x + 11/2 z = 35/2 1 0 11/2 35/2

y – 7/2 z = -17/2 0 1 -7/2 -17/2

z = 3 0 0 1 3

Tambahkan - 11/2 kali pers. ketiga Tambahkan - 11/2 kali baris ketiga

pada pers. pertama, dan tambahkan pada baris pertama, dan tambahkan 7/2

7/2 kali pers. ketiga pada pers. kedua, kali baris ketiga pada baris kedua, di

diperoleh peroleh

x = 1 1 0 0 1

y = 2 0 1 0 2

z = 3 0 0 1 3

jadi penyelesaiannya adalah : x = 1, y = 2, z = 3

LATIHAN :

1. Yang mana dari persamaan berikut merupakan persamaan linier dalam : x1,

x2, dan x3

a. x1 + 2x1 x2 + x3 = 9 d. x1 + x2 + x3 = sin k. k= konstanta

b. x1 - 4x2 - 3√x3 = 1 e. x1 = (√2) x3 - x2 + 7

c. 3x1-1 + 6x2 - 5x3 = 5 f. x1 = x3

2. Carilah himpunan pemecahan untuk setiap sistim persamaan berikut :

6

a. 6x - 7y = 3 b. 2x1 + 4x1 - 7x3 = 8

c. -3x1 + 4x2 - 7x3 + 8x4 = 5 d. 2v – w + 3x + y – 4z = 0

3. Carilah Matriks diperbesar untuk setiap SPL berikut :

a. x1 - 2x2 = 0 b. x1 + x3 = 1

3x1 + 4x2 = -1 -x1 + 2x2 - x3 = 3

2x1 - x2 = 3

c. x1 + x3 = 1 d. x1 = 1

2x2 - x3 + x5 = 2 x2 = 2

2x3 + x4 = 3

4. Carilah sebuah sistim per. Linier yang bersesuaian dengan matriks yang

diperbesar berikut :

a. 1 0 -1 2 b. 1 0 0

2 1 1 3 0 1 0

0 -1 2 4 1 -1 1

c. 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

5. Jika SPL :

x - y = 3

2x - 2y = k

Tentukan nilai konstanta k agar SPL :

a. Tidak mempunyai pemecahan

b. Mempunyai satu pemecahan

c. Tak terhingga banyaknya pemecahan.

6. Tinjaulah sistim persamaan :

ax + by = k

cx + dy = l

ex + fy = m

Jelaskan kedudukan relatif dari garis-garis ax + by = k ; cx + dy = l ;

ex + fy = m, agar sistim persamaan tersebut :

7

a. Tidak mempunyai pemecahan

b. Mempunyai satu pemecahan

c. Tak terhingga banyaknya pemecahan.

2. ELIMINASI GAUSS

Eliminasi Gauss adalah sebuah prosedur yang sistimatis untuk memecahkan

sistim persamaan linier. Prosedur ini dilakukan dengan mereduksi matriks yang

diperbesar dari SPL tsb menjadi sebuah bentuk eselon baris yang direduksi.

Dari contoh 3 didapat matriks yang diperbesar :

1 0 0 1

0 1 0 2 (1.1)

0 0 1 3

Matriks (1.1) adalah contoh matriks dalam bentuk eselon baris yang direduksi.

Sebuah matriks yang diperbesar dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris

yang direduksi, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat :

1. Jika sebuah baris tidak terdiri dari seluruhnya nol, maka bilangan tak nol

pertama dalam baris itu adalah 1. ( disebut 1 Utama)

2. Jika ada satu baris yang seluruhnya nol, maka semua baris itu

dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Di dalam sembarang dua baris yang berurutan yang tidak terdiri dari

seluruhnya nol, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat

lebih jauh ke kanan dari 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai nol di tempat

lain.

Sebuah matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 dikatakan di dalam bentuk

eselon baris.

Contoh 4.

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris yang direduksi :

1 0 0 4 1 0 0 0 1 -2 0 1 0 0

0 1 0 7 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0

8

0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 0 0

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris :

1 4 3 7 1 1 0 0 1 2 6 0

0 1 3 -3 0 1 0 0 0 1 -2 0

0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 1

Catatan : Setiap matriks dalam bentuk eselon baris mempunyai nol di bawah 1

utama, dan Setiap matriks dalam bentuk eselon baris yang direduksi

mempunyai nol di atas maupun di bawah 1 utama.

Contoh 5 :

Sebuah matriks yang diperbesar dari SPL dengan operasi baris elementer dapat

direduksi menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi, seperti yang

diberikan di bawah ini dan pecahkan SPL tersebut.

a. 1 0 0 5 b. 1 0 0 4 -1

0 1 0 -2 0 1 0 2 6

0 0 1 4 0 0 1 3 2

c. 1 6 0 0 4 -2 d. 1 0 0 0

0 0 1 0 3 1 0 1 2 0

0 0 0 1 5 2 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

Pemecahan :

a. x1 = 5

x2 = -2

x3 = 4

b. x1 + 4x4 = -1

x2 + 2x4 = 6

x3 + 3x4 = 2

9

Karena x1, x2, x3 bersesuaian dengan 1 utama dalam matriks yang diperbesar

maka dinamakan variabel-variabel utama. Dengan memecahkan variabel

utama dalam x4 diperoleh :

x1 = -1 - 4x4

x2 = 6 - 2x4

x3 = 2 - 3x4

Jika x4 diberikan dengan sembarang nilai, misal t maka diperoleh tak

terhingga banyaknya pemecahan. Hp pemecahan diberikan oleh rumus

x1 = - 1 - 4t ; x2 = 6 - 2t ; x3 = 2 - 3t ; x4 = t

c. 1 6 0 0 4 -2

0 0 1 0 3 1

0 0 0 1 5 2

0 0 0 0 0 0

c. Sistim persamaan itu adalah :

x1 + 6x2 + 4x5 = -2

x3 + 3x5 = 1

x4 + 5x5 = 2

Karena x1, x3, x4 sebagai variabel utama. Dengan memecahkan variabel

utama dalam variabel lainnya, maka diperoleh :

x1 = -2 - 6x2 - 4x5

x3 = 1 - 3x5

x4 = 2 - 5x5

Jika x5 diberikan sembarang nilai t dan x2 diberikan nilai s , maka

diperoleh tak terhingga banyaknya pemecahan , Hp diberikan oleh rumus :

x1 = -2 - 6s - 4t ; x2 = s ; x3 = 1 - 3t ; x4 = 2 - 5t ; x5 = t

d. Coba cari pemecahannya !

10

3. Eleiminasi Gauss-Jordan

Adalah suatu prosedur mereduksi matriks yang diperbesar menjadi matriks

dalam bentuk eselon baris yang direduksi.

Contoh 6 :

Carilah matrik dalam bentuk eselon baris yang direduksi dari matriks yang

diperbesar berikut :

0 0 -2 0 7 12

2 4 -10 6 12 28

2 4 -5 6 -5 -1

Jawab :

Langkah1. Letakkanlah kolom yang paling kiri yang tidak terdiri dari seluruhnya nol.

0 0 -2 0 7 12

2 4 -10 6 12 28

2 4 -5 6 -5 -1

Kolom tak seluruhnya nol yang paling kiri

Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris lain, jika perlu membawa sebuah entri tak nol ke atas kolom yang di dapat di dalam langkah 1

2 4 -10 6 12 28 Baris pertama dan baris kedua

0 0 -2 0 7 12 ( matriks terdahulu ) dipertukarkan,

2 4 -5 6 -5 -1 diperoleh

Langkah 3 : Jika entri paling atas pada kolom adalah a, kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh sebuah 1 utama

11

1 2 -5 3 6 14 Baris pertama matriks terdahulu

0 0 -2 0 7 12 dikalikan ½. Diperoleh :

2 4 -5 6 -5 -1

Langkah 4 : Tambahkanlah kelipatan yang sesuaidari baris atas kepada baris-baris yang di bawah, sehingga entri di bawah 1 utama menjadi nol

1 2 -5 3 6 14 Tambahkanlah – 2 kali baris pertama

0 0 -2 0 7 12 pada baris ketiga matriks terdahulu.

0 0 5 0 -17 -29 diperoleh.

Langkah 5 : Sekarang tutuplah baris atas dalam matriks tersebut, mulai lah lagi dengan langkah 1 yang dipakai pada submatriks yang masih sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan matriks berada dalam bentuk eselon baris.

1 2 -5 3 6 14

0 0 -2 0 7 12 .

0 0 5 0 -17 -29

Kolom tak nol yang paling kiri dalam sub matriks

Baris kedua

dikalikan dengan -1/2 untuk mendapat 1 2 -5 3 6 14

sebuah 1 utama, diperoleh : 0 0 1 0 -7/2 -6

. 0 0 5 0 -17 -29

12

Tambahkan -5 kali baris kedua

pada baris ketiga untuk mendapat 1 2 -5 3 6 14

nol di bawah 1 utama, diperoleh : 0 0 1 0 -7/2 - 6

. 0 0 0 0 1/2 1

Baris atas dalam submatriks ditutupi

dan kita kembali lagi dengan langkah 1 1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -7/2 -6

. 0 0 0 0 1/2 1

Kolom tak nol yang paling kiri dalam submatriks baru

Baris ketiga dikalikan 2 untuk mendapat

sebuah 1 utama 1 2 -5 3 6 14

0 0 1 0 -7/2 -6

. 0 0 0 0 1 2

Keseluruhan matriks di atas dalam bentuk eselon baris, untuk memperoleh

matriks dalam bentuk eselon baris direduksi, langkah-langkahnya sbb :

Langkah 6 : Dengan memulai dari baris tak nol terakhir dan bekerja ke arah

atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari setiap baris kepada

baris-baris yang di atas untuk mendapatkan nol di atas 1 utama.

Tambahkan 7/2 kali baris ketiga pada

baris kedua untuk mendapat nol 1 2 -5 3 6 14

13

di atas 1 utama 0 0 1 0 0 1

. 0 0 0 0 1 2

Tambahkan -6 kali baris ketiga pada

baris pertama untuk mendapat nol 1 2 -5 3 0 2

di atas 1 utama 0 0 1 0 0 1

. 0 0 0 0 1 2

Tambahkan 5 kali baris kedua pada

baris pertama untuk mendapat nol 1 2 0 3 0 7

di atas 1 utama 0 0 1 0 0 1

. 0 0 0 0 1 2

Matriks yang terakhir berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi

Contoh 7 :

Pecahkanlah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.

x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

Jawab :

Matriks yang diperbesar SPL tersebut adalah

1 3 -2 0 2 0 0

2 6 -5 -2 4 -3 -1

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat, diperoleh

14

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 -1 -2 0 -3 -1

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

Kalikan baris kedua dengan -1

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

Tambahkan -5 kali baris kedua pada baris ketiga, dan tambahkan -4 kali

baris kedua pada baris keempat, diperoleh

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 6 2

Tukarkan baris ketiga dengan baris keempat

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 6 2

0 0 0 0 0 0 0

Kalikan baris ketiga dengan 1/6, diperoleh

1 3 -2 0 2 0 0 Matriks bentuk eselon baris

15

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 1/3

0 0 0 0 0 0 0

Tambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1/3

0 0 0 0 0 0 0

Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris pertama

1 3 0 4 2 0 0 Matriks dalam bentuk eselon

0 0 1 2 0 0 0 baris yang direduksi

0 0 0 0 0 1 1/3

0 0 0 0 0 0 0

Sistim persamaan linier yang bersangkutan adalah :

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 1/3

Karena x1, x3, dan x6 adalah variabel utama, maka dengan memecahkan variabel

utama diperoleh :

x1 = - 3x2 - 4x4 - 2x5

x3 = - 2x4

x6 = 1/3

Jika kita menetapkan nilai sembarang untuk x2, x4, dan x5 berturut-turut adalah

r, s, t. maka diperoleh himpunan pemecahan dengan rumus :

x1 = - 3r - 2s - 2t ; x2 = r ; x3 = - 2s ; x4 = s ; x5 = t ; x6 = 1/3

16

Contoh 8 : Penyelesaian soal contoh 7 dapat dilakukan cukup dengan mengubah

matriks yang diperbesar SPL tsb menjadi matriks bentuk eselon

baris tanpa kebentuk eselon baris direduksi, pemecahan

persamaannya dapat dilakukan dengan cara yang dinamakan

substitusi balik. Kita coba cara penyelesaian ini untuk contoh 7 di

atas, sbb :

Dengan cara yang sama telah diperoleh matriks dalam bentuk eselon baris dari

matriks yang diperbesar yaitu :

1 3 -2 0 2 0 0 Matriks bentuk eselon baris

0 0 1 2 0 3 1 dari contoh 7 di atas

0 0 0 0 0 1 1/3

0 0 0 0 0 0 0

Sistim pers. linier yang bersangkutan adalah :

x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 + 3x6 = 1

x6 = 1/3

Pecahkan pers. tsb. untuk variabel-variabel utamanya :

x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5

x3 = 1 - 2x4 - 3x6

x6 = 1/3

Dengan mensubstitusikan x6 = 1/3 pada pers. kedua diperoleh :

x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5

x3 = - 2x4

x6 = 1/3

Dengan mensubstitusikan x3 = - 2x4 pada pers. pertama diperoleh :

x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5 (*)

x3 = - 2x4

x6 = 1/3

17

Jika kita menetapkan nilai sembarang untuk x2, x4, dan x5 berturut-turut adalah

r, s, t. maka diperoleh himpunan pemecahan dengan rumus :

x1 = - 3r - 2s - 2t ; x2 = r ; x3 = - 2s ; x4 = s ; x5 = t ; x6 = 1/3

Hasil pemecahannya sama dengan Contoh 7

Metode pemecahan SPL dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi

matriks bentuk eselon baris dinamakan Eliminasi Gauss

Contoh 9 :

Pecahkan SPL berikut dengan eliminasi Gauss.

x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

Pemecahan : Matriks yang diperbesar

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Dengan metode sama seperti contoh 7 dan 8 diubah menjadi matrik bentuk

eselon baris, diperoleh

1 1 2 9

0 1 -7/2 -17/2

0 0 1 3

SPL yang bersesuaian dengan Matriks di atas :

x + y + 2z = 9

y - 7/2 z = -17/2

z = 3

Dengan pemecahan untuk variabel utama diperoleh

x = 9 - y - 2z

y = -17/2 + 7/2 z

z = 3

18

Dengan mensubstitusikan z = 3 pada persamaan pertama dan kedua diperoleh :

x = 3 - y

y = 2

z = 3

Dengan mensubstitusikan z = 3 dan y = 2 pada persamaan pertama diperoleh

penyelesaian :

x = 1 ; y = 2 ; z = 3

Penyelesaian ini sama dengan penyelesaian yang menggunakan metode pada

contoh 3 di atas

LATIHAN :

1. Yang manakah dari yang berikut dalam bentuk

eselon baris yang direduksi

a. 1 0 0 b. 0 1 0 c. 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

d. 1 2 0 3 0 e. 1 0 0 5 f. 1 0 3 1

0 0 1 1 0 0 0 1 3 0 1 2 4

0 0 0 0 1 0 1 0 4

0 0 0 0 0

2. Yang manakah dari yang berikut dalam bentuk eselon baris

a. 1 2 3 b. 1 -7 5 5 c. 1 3 0 2 0

0 0 0 0 1 3 2 1 0 2 2 0

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

19

d. 2 4 5

0 1 3

0 0 3

3. Matriks berikut adalah matriks bentuk eselon baris direduksi, yang direduksi

dari matriks yang diperbesar dari SPL. Pecahkanlah SPL tsb jika matriks

bentuk eselon baris yang direduksinya :

a. 1 0 0 4 b. 1 0 0 3 2

0 1 0 3 0 1 0 -1 4

0 0 1 2 0 0 1 1 2

c. 1 5 0 0 5 -1 d. 1 2 0 0

0 0 1 0 3 1 0 0 1 0

0 0 0 1 4 2 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

4 Matriks berikut adalah matriks bentuk eselon baris, yang

direduksi dari matriks yang diperbesar dari SPL. Pecahkanlah SPL tsb jika

matriks bentuk eselon barisnya :

a. 1 2 -4 2 b. 1 0 4 7 10

0 1 -2 -1 0 1 -3 -4 -2

0 0 1 2 0 0 1 1 2

c. 1 2 2 2

0 1 3 3

0 0 0 1

5. Pecahkanlah SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

a. x1 + x2 + 2x3 = 8 b. 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

20

- x1 - 2x2 + 3x3 = 1 -2x1 + 5x2 + 2x3 = 0

3x1 - 7x2 + 4x3 = 10 -7x1 + 7x2 + x3 = 0

c. x1 - x2 + 2x3 - x4 = -1

2x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = -2

-x1 + 2x2 - 4x3 + x4 = 1

3x1 - 3x4 = -1

6. Pecahkanlah setiap SPL no. 5 dengan metode Eliminasi Gauss.

7. Pecahkanlah SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan :

a. 2x1 - 3x2 = -2 b. 3x1 + 2x2 - x3 = -15

2x1 + x2 = 1 5x1 + 3x2 + 2x3 = 0

3x1 + 2x2 = 1 3x1 + x2 + 3x3 = 11

8. Pecahkanlah setiap SPL no. 7 dengan metode Eliminasi Gauss

9. Pecahkanlah SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

a. 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0 b. x1 - 2x2 + x3 - 4x4 = 1

- 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2

x1 - 12x2 -11x3 -16x4 = 5

10. Untuk nilai a manakah SPL berikut tidak mempunyai pemecahan :

x1 + 2x2 - 3x3 = 4

3x1 - x2 + 5x3 = 2

4x1 + x2 + (a2 – 14) x3 = a + 2

11. Pecahkanlah SPL berikut dengan sudut α, β, γ sebagai variabe dengan

0≤ α ≤ 2л ; 0≤ β ≤ 2л ; dan 0≤ γ ≤ 2л.

2 Sin α - Cos β + 3 tan γ = 3

4 Sin α + 2 Cos β - 2 tan γ = 2

6 Sin α - 3Cos β + tan γ = 9

12. Carilah suatu Polinomial

Y = ax3 + bx2 + cx +d yang mll (1,3) dengan kemiringan -5 dan

21

(3,-7) dng kemiringan -1

13. Sebuah perusahaan pembuat komputer menerima pesanan masing-masing

150 unit dari tiga toko di A,B, dn C.

Di Gudang Pittbuls tersimpan 150 unit komputer dan di gudang Houston

tersimpan 300 unit,

Biaya pengiriman dari Pittbuls ke toko A, B, dan C masing-masing $5,

$15, dan $20 unt.

Biaya pengiriman dari Houston ke toko A, B, dan C masing-masing $20,

$10, dan $5 perunit.

Bagaimana memenuhi pesanan tsb agar biaya minimum.

14. Bila Natrium Karbonat (Na2CO3) dengan uap Bromina (Br2) maka hasilnya

Natrium Bromia (NaBr), Natrium Bromat (NaBrO3) dan Karbon Dioksida

(CO2), Setimbangkanlah persamaan yang menggambarkan reaksi kimia

Na2CO3 + Br2 Na Br + Na Br O3 + CO2

Dalam hal ini belum menggambarkan jumlah relatif bahan kimia yang

digunakan, maka bahan kimiayang terlibat x1, x2, x3, x4, ... untuk masing-

masing bahan kimia. Tentukanlah :

a. Pers. Kimianya

b. x1, x2, x3, x4

15. Sebuah batang logam terisolasi dengan tempratur pada masing-masing titik

yang ditunjukan oleh t1, t2, dan t3, seperti nampak pada gambar :

90oC t1 t2 t3 40oC

Jika suhu pada titik-titik yang ditunjuk sama dengan rataan dua suhu pada titik terdekat, tentukan :a. SPL dalam variabel t1, t2, dan t3

b. Suhu pada t2.

22

23