modul matematika fungsi limit
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
1/9
LIMIT FUNGSI
A. Pengertian Limit
Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya
dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan
sebagai nilai pendekatan.
1. Pengertian limit secara intuitif
Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan
contoh berikut:
- Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real.
Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2?
Penyelesaian
Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita
pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari
kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat
pada tabel berikut:
X 1.
8
1.
9
1.9
5
1.9
6
1.9
7
1.9
8
1.9
9
2 2.0
1
2.0
2
2.0
3f(x
)
4.
6
4.
8
4.9 4.9
2
4.9
4
4.9
6
4.9
8
5 5.0
2
5.4 5.0
6
Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari
kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati
2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
2/9
Apabila kita lukis, grafik fungsi f(x) = 2x + 1, untuk
x mendekati 2 tampak seperti gambar berikut.
Ternyata nilai f(x) terus menerus mendekati 5 jika x
terus menerus mendekati 2. Di dalam matematika,
pernyataan tersebut dapat ditulis dengan
1lim
x(2x + 1) = 5
- Tentukan nilai1
limx
2 3
1
2 +
x x
x
Penyelesaian
Fungsi f(x) =2
31
2 +
x xx
terdefinisi untuk semua x bilangan
real, kecuali x = 1. Kita tentukan fungsi f(x)2 3
1
2 +
x x
x
untuk x mendekati 1 seperti pada tabel berikut:
x 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 1 1.1 1.2 1.32x2 + x
3
-
1.68
-
1.32
-0.92 -0.48 -
0.24
5
0 0.5
2
1.0
8
1.6
8
1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.1 0.2 0.32 3
1
2 +
x x
x
4.2 4.4 4.6 4.8 4.9 0
0
5.2 5.4 5.6
5
1
12
0 2X
Y
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
3/9
Dari tabel di atas tampak bahwa jika x mendekati 1 dari
kini, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kiri. Demikian pula x
mendekati 1 dari arah kanan, nilai f(x) mendekati 5 dari arah
kanan. Untuk x = 1, nilai f(x) =0
0(tidak tentu, atau tidak
terdefinisi). Oleh karena itu, dapat kita tulis1
limx
2 3
1
2 +
x x
x
= 5.
Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian
limit fungsi secara intuitif yaitu sebagai berikut:
Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah
bilangan real. Pernyataan
limx a
f(x) = L
Artinya untuk x mendekati a (tetapi x a), nilai f(x)
mendekati L.
2. Pengertian Limit secara aljabar
Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga
dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang
terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a
sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real.
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
4/9
Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x
mendekati a, ditulis limx a
f(x) = L jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan kecil > 0 terdapat bilangan > 0
sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a|
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
5/9
e. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga negatif jika limx a
f(x) = -
f. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga jika limx a
f(x) =
contoh:
Tentukan3
limx
1
3x
Penyelesaian:
Misalkan nilai-nilai x yang mendekati 3 (x3) adalah
2,85, 2,89, 2,95, 2,99atau 3,001, 3,01, 3,1
Dengan demikian, makin besar nilai x, nilai1
3xmakin besar.
Makin kecil nilai x, nilai1
3xmakin keci.
Jadi3
limx
1
3x=
B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat
menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi
limit secara umum maupun secara intuitif seperti di atas. Akan
tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk
menentukan limit, antara lain:
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
6/9
a. Substitusi;
b. Memfaktorkan
c. Merasionalkan penyebut
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
7/9
1. Menentukan limit dengan substitusi
Nilai suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan
real, dapat ditentukan dengan substitusi, yaitu mengganti
nilai x dengan a. namun apabila hasilnya0
0,
atau (-),
cara ini tidak dapat diterpakan secara langsung. Fungsi yang
diambil limitnya itu perlu disederhanakan lebih dahulu.
Perhatikan contoh berikut.
Hitunglah nilai limit fungsi berikut:
2lim
x
3 8
2
+
x
x
Penyelesaian
2lim
x
3
82
+
xx
=3
2 8 0 02 2 4
= =+
2. Menentukan limit dengan memfaktorkan
Misalkan terdapat bentuk( )
lim( )x a
f x
g x. Seperti yang telah
disinggung sebelumnya, apabila x = a disubstitusikan pada
fungsi yang diambil limitnya tersebut mengakibatkan
( ) 0
( ) 0=
f a
g a(tak tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan
secara langsung. Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
8/9
disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan f(x) dan
g(x) sehingga keduanya mempunyai faktor yang sama.
Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga
diperoleh bentuk yang lebih sederhana seperti berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = =
x a x a x a
f x x a P x P x P a
g x x a Q x Q x Q adengan Q (a) 0.
Contoh:
2
22 2 2
2 ( 2) 2 1lim lim lim
4 ( 2)( 2) 2 2 2 2
= = = =
+ + + x x x
x x x x x
x x x x
3. Menentukan limit dengan merasionalkan penyebut
Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai
limitnya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang
tidak rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih
dahulu. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah
kita pelajari di kelas 1, antara lain:
a. Pecahan berbentuka
bdikalikan dengan
b
bsehingga
diperoleh
= = =a a b a b ax bb bb b b
-
8/3/2019 Modul Matematika Fungsi Limit
9/9
b. Pecahan berbentuk+
c
a bdikalikan dengan
a b
a b
sehingga diperoleh
( ) = =
+ +
c c a b c a bx
a ba b a b a b
Contoh:
2
2 2 21 1
1 1 3 2lim lim
3 2 3 2 3 2
+ +=
+ + + +x x
x x xx
x x x
2
21
( 1)( 3 2)lim
3 4
+ +=
+ x
x x
x
2
21
( 1)( 3 2)lim
1
+ +=
x
x x
x
2
1
( 1)( 3 2)lim
( 1)( 1)
+ +=
+x
x x
x x
2
1
3 2lim
1
+ +=
+x
x
x
4 2
2
+=
= 2