Modul 1 (Pendukung Pert 1 dan 2)

Analisis Data

Orientasi

Statistika: suatu ilmu dan seni mengumpulkan dan menyajikan dan menginterpretasikan data untuk menguji teori dan membuat simpulan tentang seluruh fenomena.Ilmuan dan perekayasa menggunakan statistika untuk meringkaskan dan menginterpretasikan data sehingga dapat menarik simpulan. Kemasan perangkat lunak (software) statistika seperti MINITAB, SPSS, dan SAS dapat menghasilkan grafik dan diagram yang sangat berguna menggambarkan dan membuat interpretasi tentang data statistik. Hasil perhitungan atau grafik yang dihasilkan sebagai hasil olahan harus dimengerti dan dipahami oleh pemakai.

Peranan dan Jangkauan StatistikaStatistika digunakan para ilmuan dan perekayasa untuk membuat simpulan dari suatu teori melalui suatu eksperimen, pengamatan dan pencatatan nilai satu atau lebih variabel yang menjadi pokok perhatiannya.Contoh 1:Einstein (1905) membuat percobaan untuk membuktikan teori relativitas yang menyatakan bahwa kecepatan cahaya mempunyai nilai konstan, posisi bebas.

1

Miller (1924) membuat percobaan untuk me-nentukan kecepatan cahaya dan memperoleh hasil yang berbeda.

Contoh 2:Ahli pemuliaan tanaman Mendel membuat per-cobaan pada kacang dan membuat simpulan melalui sebaran frekuensi bahwa turunan kedua mempunyai sifat yang terdiri dari 4 kelompok dengan perbandingan 9 : 3 : 3 : 1

BulatBulathijau

3

Bulatkuning

9

MengkerutMengkerut

hijau1

Mengkerut kuning

3Hijau Kuning

Data Populasi

Populasi adalah himpunan yg biasa dilambangkan dengan S dan mempunyai anggota yang berbeda yang dilambangkan dengan s.Sampel adalah subhimpunan dari S dengan lambang A misalnya,

variabel populasi =X(s) dimana X adalah fungsi dari sampel sebagai domain (daerah asal).Contoh data sampel seperti pada Tabel 1 dan Tabel 2 berikut.

2

Tabel 1. Data radiasi yang dikeluarkan oleh kompor Mikrowave

0.15 0.09 0.18 0.10 0.05 0.12 0.080.05 0.08 0.10 0.07 0.02 0.01 0.100.10 0.10 0.01 0.10 0.01 0.40 0.100.05 0.03 0.05 0.15 0.10 0.15 0.090.08 0.18 0.10 0.20 0.11 0.30 0.020.20 0.20 0.30 0.30 0.40 0.30 0.05

Tabel 2. Lama hidup dua jenis Boltlamp A dan B

A B A B1293 1061 1643 11381380 1065 1466 11431614 1092 1627 10941497 1017 1383 12701340 1021 1711 1028

Data yang nilai variabelnya merupakan nilai yang bukan bilangan disebut data kategorik misalnya tingkat pendidikan, jenis kelamin, dsb.

Sebaran Frekuensi

Sebaran frekuensi adalah bentuk ringkasan data untuk keperluan penyajian data dalam tabel. Bentuk penyajian lain adalah gambar dan diagram seperti:

Diagram balok (bar charts) Diagram titik (dot plots) Diagram dahan-daun (stem-and leaf display) Histogram Diagram kotak-garis (box plots)

Untuk membuat gambar ini gunakan saja aplikasi program statistika (MINITAB, SPSS, SAS, dan lain-lain)

Pengorganisasian atau meringkas data:

3

Urutkan nilai pengamatan: menjadi misalnya Tabel 3 berikut:

Tabel 3. Data dari Tabel 1 diurutkan

0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.050.05 0.05 0.05 0.05 0.07 0.08 0.080.08 0.09 0.09 0.10 0.10 0.10 0.100.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.11 0.120.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.20 0.200.20 0.30 0.30 0.30 0.30 0.40 0.40

Perhatikan Tabel 3

4

Gambar 1. Tabel 3 disajikan dalam bentuk grafik (histogram) tabel frekuensi

Perhatikan tabel 3

5

Diagram Dahan dan Daun

Salah satu cara cepat untuk menggambarkan (mevisualisasikan) sebaran data adalah dengan diagram dahan dan daun. Anggaplah setiap nilai data Xi terdiri dari dua angka dimana sebagai dahan dan angka berikutnya sebagai daun. Sebagai contoh data pada Tabel 3, angka sebelum koma diabaikan dan hanya digunakan angka di-belakang koma, jadi

Secara lengkap hasilnya sebagai berikut:

Diagram Titik dan Diagram PencarDiagram titik menggambarkan nilai data sepanjang sumbu horizontal (datar) sedangakan pada sumbu tegak adalah frekuensi kemunculan nilai itu. Sebagai contoh diagram titik data dari Tabel 3.

Nilai Data Dipisah Dahan Daun0.15 1 | 5 1 50.09 0 | 9 0 90.10 1 | 0 1 0

Dahan Daun0 112223555557888991 00000000012555882 0003 0004 000

6

Diagram Pencar (Scarter Diagram)Diagram pencar berguna untuk mempelajari hubungan antara dua variabel X dan Y. Titik (Xi,Yi) digambarkan dengan sumbu mendatar X dan sumbu tegak Y.

Gambarkan Pencar dari 36 pasang pengamatan (X,Y)

Histogram

Histogram merupakan bentuk khusus dari diagram batang yang digunakan untuk memvisualisasikan sebaran data. Gambar histogram berikut adalah histogram data Tabel 3 dengan nilai kelas :

0,03 0,09 0,15 0,21 0,27 0,33 0,39

No. X Y No. X Y No. X Y1 85 34 13 72 19 25 63 242 74 34 14 78 27 26 70 143 64 25 15 77 35 27 51 404 87 43 16 73 29 28 80 455 87 40 17 71 25 28 75 296 83 37 18 60 20 30 96 387 81 33 19 79 36 31 94 258 74 37 20 63 32 32 82 349 72 21 21 80 42 33 82 3910 64 31 22 66 28 34 74 3511 72 29 23 65 38 35 90 3512 87 38 24 69 15 36 64 32

7

dengan interval (selang) kelas [0,00;0,06], [0,06;0,12], [0,12;0,18],...[0,36;0,42]Tanda selang [a;b]=

Untuk menggambarkan histogram secara manual harus dibuat tabel frekuensi terlebih dahulu dengan banyak kelas = k, dengan pedoman atau k=1+3,3log nTugas 1

8

Soal-soal buku 2 (Rosenkranz) 1.1; 1.3; 1.5; 1.7; 1.13 (tugas) dan soal-soal 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 1.10; 1.12; 1.14 (latihan)

Kuantil Suatu Sebaran

Kuantil p sebaran dengan 0<p<1 mempunyai hubungan dengan persentil 100p sebaran itu. Kuantil berguna untuk membandignkan dua sebaran melalui plot kuantil-kuantil atau Q-Q plots (plot peluang). Seperti diketahui bahwa persentil 50 = median.Median merupakan ukuran sebaran yang terletak pada pusat sebaran.

Contoh:Ada data dengan n=10 maka median . Jadi median adalah setengah dari jumlah nilai data urutan ke 5 dan data urutan ke 6.

9

Kuantil Fungsi Sebaran Empiris = Q(p)

Sifat-sifat Q(p): Sekurang-kurangnya 100p persen dari nilai data

lebih kecil atau sama dengan Q(p) dan Sekurang-kurangnya 100(1-p) persen dari nilai

data lebih besar atau sama dengan Q(p)

Contoh:Carilah median data radiasi Tabel 3 dari data fungsi sebaran empirisnya.

Jawab:Fungsi sebaran empiris data tersebut digambarkan sebagai berikut:

Perhatikan gambar diatas: koordinat (Q(0,5);0,5)= (0,10;0,5) sehingga medium==0,10

Q1 = kuartil bawahQ3 = kuartil atasQ1 = Q(0,25) dan Q3 = Q(0,75)

10

Contoh penggunaan rumus Q(p):Diketahui n=10 dan hitung Q(0,1)Jawab:n=10, p=0,1, maka np=10(0,1)=1 (bulat)

x(1) = nilai urutan pertamax(2) = nilai urutan kedua

Contoh lain:Diketahui n = 39 dan p = 0,25. Hitung Q(0,25)

Jawab:np = 39(0,25) = 9,97 (tidak bulat)r = 9 dan r+1 = 10 atau 9 < np = 9,97 < 10 maka Q(0,25) = X(r+1) = X(10) nilai data urutan ke 10.Cobalah sendiri menentukan Q3 = Q(0,75)

Statistik Urutan dan Kuantil

; X(i) = nilai data urutan ke i

Range Sampel dan Range Antar Kuartil

11

Rumus menghitung Q(p)hitung np1. jika np bulat Q(p) =

2. jika np tidak bulat dan r<np<r+1 maka Q(p)=X(r+1) dimana r dan r+1 ada dua urutan bulat

Range Sampel = X(n) - X(i)

Range Antar Kuartil = IQR = Q3 - Q1

Range 50% Tengahan = [Q3 - Q1]

Pagar dalam bawah = Q1 – 1,5 IQRPagar dalam atas = Q3 + 1,5 IQR

Data Pencilan atas > Q3 + 1,5 IQR atauData Pencilan bawah < Q1 - 1,5 IQR

Data Pencilan adalah nilai data disebelah luar pagar dalam

Contoh:Tentukan Q1, Q3, IQR, pagar dalam bawah, pagar dalam atas dan pencilan nilai ujian dari 36 mahasiswa berikut

25 30 58 69 80 9860 73 64 76 63 6865 80 71 78 67 7872 85 79 73 69 7274 76 82 81 83 8675 85 61 86 99 45

Jawab:Dahan Daun

2 53 04 55 86 034578997 12233345668898 0012355669 89

12

IQR = Q3 – Q1 = 80,5 – 66,5 = 14Pagar dalam bawah= Q1–1,5 IQR = 66,5–1,5(14) = 45,5Pagar dalam atas= Q3+1,5 IQR = 80,5+1,5(14) = 101,5Data pencilan adalah 25, 30 dan 45

Diagram Kotak Garis (Box Plot)

KeteranganQ1 = 0,05 , Q3 = 0,18 , =0,10Whisker sebelah kanan = mulai dari Q3 sampai dengan min (X(n), Q3 + 1,5IQR = 0,375)=0,375

Whisker sebelah kiri = mulai dari Q1 sampai dengan maks (X(i), Q1 - 1,5IQR)

Diagram kotak-garis: grafik yang menunjukkan median, kuartil, jangkauan antar kuanrtil (IQR), jangkauan contoh (sample range). Diagram kotak

13

garis digunakan untuk menunjukkan data pencilan (outliers) dan membandingkan dua populasi secara deskriptif.

Ukuran Pemusatan dan Variabilitas (Simpangan)Ukuran Pemusatan = rata-rata hitung contoh (sample)

x1, x2, ..., xn = nilai pengamatan contoh

Median dan Modus juga termasuk ukuran pemusatan

Ukuran Variabilitas/SimpanganS2 = ragam (variant) contohS = simpangan baku contoh

Data dengan frekuensi

xj x1 x2 ... xk

fj f1 f2 ... fk

14

Transformasi linear data Y = {y1, y2, ….. , yn}Y = Data hasil transformasiYi = g(xi) , I = 1, 2, ….. , n

Misal :Y = g(x) = ax + b ,

Sy2 = a2 Sx

2

Sy = IaI Sx

15

Contoh soal :x1 = 2 , x2 = 5 , x3 = 6 , x4 = 3 , x5 = 4Y = 2x + 10 , maka , Sx

2 = 2,5Y1 = 14 , Y2 = 20 , Y3 = 22 , Y4 = 16 , Y5 = 18SY

2 = 4 Sx2 = 4(2,5) = 10

16