MODEL MATEMATIKA RANTAI MAKANANTIGA SPESIES DENGAN PERSAINGAN

INTRASPESIFIK DAN PEMANENAN PADAPREDATOR

SKRIPSI

Amalia Zahra

11150940000067

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2020 M / 1441 H

MODEL MATEMATIKA RANTAI MAKANANTIGA SPESIES DENGAN PERSAINGAN

INTRASPESIFIK DAN PEMANENAN PADAPREDATOR

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Amalia Zahra

11150940000067

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2020 M / 1441 H

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

PERSEMBAHAN DAN MOTTO

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk orang-orang tersayang,

Ibu dan Bapak serta adik-adik.

MOTTO

”Dan bahwa manusia hanya memperoleh apa yang telah diusahakannya”

(Q.S. An-Najm 53:39)

iv

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb.

Segala puji bagi Allah SWT karena atas limpahan nikmat dan karunia dari-

Nya, baik itu berupa sehat fisik mauupun akal pikiran sehingga penulis mampu

menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Model Matematika Rantai Makanan Tiga

Spesies dengan Persaingan Intraspesifik dan Pemanenan pada Predator”. Shalawat

dan salam semoga tetap terlimpahkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah

dinanti-nantikan syafa’atnya di akhirat nanti.

Dalam menyelesaikan skripsi ini tentu tak lepas dari dukungan serta bimbing-

an dari berbagai pihak. Maka penulis mengucapkan rasa hormat dan terima kasih

kepada:

1. Ibu Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M.Env.Stud., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu

Irma Fauziah, M.Sc., selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Muham-

mad Manaqib, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing II yang telah menyediakan

waktunya untuk memberikan nasehat, pengarahan, serta saran-saran kepada

penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Ibu Yanne Irene, M.Si., selaku Dosen Penguji I dan Ibu Irma Fauziah M.Si.,

selaku Dosen Penguji II yang senantiasa memberikan kritik serta saran dalam

penyelesaian skripsi ini.

v

5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah mem-

berikan ilmu-ilmunya serta pengalaman yang bermanfaat selama masa per-

kuliahan.

6. Kedua orangtua penulis, Bapak Muhammad Makmun dan Ibu Sri Karyati

yang tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih sayang, serta dukungan

moril maupun materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

7. Kedua adik penulis, Reza Murtafa dan Raissa Shaleha yang telah memberik-

an doa dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Dhylah, Desi, Ridha, Amel, Azizah, Nia, Nanda, Filzha, Zuch, Aina, dan

Marwah yang telah membantu, memberikan saran, dan menyemangati penu-

lis selama penyusunan skripsi.

9. Wina, Vernia, Afra, Eka, Indri, Nanad, Early, Nengtya, Nurul, dan teman-

teman Matematika 2015 yang telah berjuang bersama penulis selama masa

perkuliahan serta memberikan semangat dan dukungan sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan.

10. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini

yang tidak dapat disebutkan satu-persatu tanpa mengurangi rasa hormat.

Penulis mohon maaf apabila ada kesalahan yang kurang berkenan, penulis me-

nyadari banyak kekurangan di dalamnya. Sehingga penulis sangat mengharapkan

kritik dan saran untuk kebaikan di masa yang akan datang. Semoga skripsi ini da-

pat bermanfaat dan menambah wawasan untuk kita semua. Aamiin.

Wassalamu’alaikum Wr.Wb.

Jakarta, Januari 2020

Penulis

vi

vii

ABSTRAK

Amalia Zahra, Model Matematika Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Persaing-an Intraspesifik dan Pemanenan pada Predator, dibawah bimbingan Dr. Suma’inna,M.Si dan Muhammad Manaqib, M.Sc.

Penelitian ini mengembangkan model matematika rantai makanan tiga spe-sies antara prey, predator, dan top predator dengan penambahan faktor persainganintraspesifik dan pemanenan. Interaksi antara prey dengan predator dan predatordengan top predator menggunakan Fungsi Respon Tipe II. Pembentukan modeldiawali dengan membuat diagram kompartemen alur rantai makanan tiga spesies.Kemudian dibentuk sistem persamaan diferensial nonlinear berdasarkan diagramkompartemen tersebut. Berdasarkan sistem tersebut diperoleh empat titik ekuilibri-um. Analisis kestabilan lokal pada titik ekuilibrium dengan linearisasi menunjukkanterdapat satu titik ekuilibrium bersifat tidak stabil dan tiga titik ekuilibrium bersifatstabil asimtotik lokal. Simulasi numerik pada titik-titik ekuilibrium menunjukkanhasil yang sama dengan hasil analisis. Kemudian simulasi numerik pada beberapavariasi parameter menunjukkan bahwa persaingan intraspesifik berpengaruh kecilpada perubahan populasi predator dan top predator. Sedangkan parameter pema-nenan predator berpengaruh terhadap populasi predator maupun top predator.

Kata kunci: model predator-prey, model rantai makanan, kestabilan titik ekuilibri-um, linearisasi, simulasi numerik.

viii

ABSTRACT

Amalia Zahra, Mathematical Model of Three Species Food Chain with Intraspe-cific Competition and Harvesting on Predator, under the guidance of Dr. Suma’inna,M.Si and Muhammad Manaqib, M.Sc.

This research develops a mathematical model of three speciec food chain be-tween prey, predator, and top predator by adding intraspecific competition and har-vesting factors. Interaction between prey with predator and interaction predator withtop predator use the functional respon type II. Model formation begins with creat-ing a diagram food chain of three species copartment. Then a nonlinear differentialequation system is formed based on the compartment diagram. Based on this systemfour equilibrium points are obtained. Analysis of local stability at the equilibriumpoints by linearization shows that there is one unstable equilibrium point and threeasymptotic stable local equilibrium points. Numerical simulations at equilibriumpoints show the same results as the results of the analysis. Then numerical simula-tions on several parameter variations show that intraspecific competition has littleeffect on population changes predator and top predator. While the harvesting pa-rameter predator affect the population of predator and top predator.

Keywords: predator-prey model, food chain model, equilibrium stability point, lin-earization, numerical simulation.

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iLEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiLEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . iiiPERSEMBAHAN DAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vLEMBAR PENYATAAN PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . viiABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiDAFTAR LAMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xivI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II DASAR TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Rantai Makanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Sistem Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Sistem Persamaan Diferensial Linear . . . . . . . . . . . . 72.2.2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear . . . . . . . . . . . 8

2.3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Kestabilan Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1. Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear . . . . . . 112.5.2. Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear . . . . . 12

2.6. Keberadaan Satu Akar Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7. Kriteria Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8. Model Dasar Predator-Prey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9. Model Pertumbuhan Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10. Fungsi Respon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.10.1. Fungsi Respon Tipe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

x

2.10.2. Fungsi Respon Tipe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10.3. Fungsi Respon Tipe III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III Model Matematika Rantai Makanan Tiga Spesies dengan PersainganIntraspesifik dan Pemanenan pada Predator . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Asumsi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Variabel dan Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Pembentukan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4. Titik Ekuilibrium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5. Kestabilan Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E1 = (0, 0, 0) . . . . 433.5.2. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E2 = (1, 0, 0) . . . . 443.5.3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E3 = (x, y, 0) . . . . 463.5.4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E4 = (x, y, z) . . . . 50

IV SIMULASI NUMERIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1. Nilai-nilai Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Simulasi pada Titik Ekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Simulasi untuk Variasi Beberapa Parameter . . . . . . . . . . . . . 64

V KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

REFERENSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A Program Maple untuk Gambar 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74B Program Maple untuk Gambar 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C Program Maple untuk Gambar 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76D Program Maple untuk Gambar 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78E Program Maple untuk Gambar 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80F Program Maple untuk Gambar 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81G Program Maple untuk Gambar 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82H Program Maple untuk Gambar 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83I Program Maple untuk Gambar 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84J Program Maple untuk Gambar 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xi

DAFTAR TABEL

3.1 Daftar variabel model rantai makanan tiga spesies dengan adanyapersaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator . . . . . . . 28

3.2 Daftar parameter model rantai makanan tiga spesies dengan persa-ingan intraspesifik dan pemanenan pada predator . . . . . . . . . . 28

4.1 Nilai-nilai parameter Sistem (3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

xii

DAFTAR GAMBAR

2.1 (a)Fungsi Respon Tipe I, (b)Fungsi Respon Tipe II, (c) Fungsi Res-pon Tipe III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Diagram transfer parameter model rantai makanan tiga spesies de-ngan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator . . . . 30

4.1 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E1 . . . . . . . . . . 574.2 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E2 . . . . . . . . . . 584.3 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E3 . . . . . . . . . . 604.4 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E4 . . . . . . . . . . 624.5 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, 56, h2 = 0 . . . . . . . . . . . . 654.7 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0, 0004 . . . . . . . . . . 664.8 Simulasi Variasi Parameter p = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0, dan p = 0 . . . . . . . . 674.10 Simulasi Variasi Parameter p = 0, 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xiii

DAFTAR LAMBANG

X(t) : Jumlah populasi prey pada waktu ke-t

Y (t) : Jumlah populasi predator pada waktu ke-t

Z(t) : Jumlah populasi top predator pada waktu ke-t

r : Laju pertumbuhan prey tanpa dipengaruhi lingkungan

K : Daya dukung lingkungan populasi prey

M1 : Koefisien interaksi antara prey dan predator

M2 : Koefisien interaksi antara predator dan top predator

A1 : Konstanta half-saturation pada predator

A2 : Konstanta half-saturation pada top predator

E1 : Pengubahan konsumsi prey ke kelahiran predator

E2 : Pengubahan konsumsi predator ke kelahiran top predator

D1 : Laju kematian predator

D2 : Laju kematian top predator

H1 : Tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi predator

H2 : Tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi top predator

q : Laju pemanenan predator

W : Usaha yang diperlukan untuk memanen predator

x : Rasio populasiprey

y : Rasio populasi predator

z : Rasio populasi top predator

a1 : Rasio interaksi antara prey dan predator

a2 : Rasio interaksi antara predator dan top predator

xiv

b1 : Rasio kejenuhan pemangsaaan oleh predator

b2 : Rasio kejenuhan pemangsaan oleh top predator

d1 : Rasio kematian predator

d2 : Rasio kematian top predator

h1 : Rasio persaingan antar makhluk hidup dalam populasi predator

h2 : Rasio persaingan antar makhluk hidup dalam populasi top predator

p : Rasio pemanenan predator

� : Akhir suatu bukti

xv

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Setiap makhluk hidup dan lingkungannya pada suatu ekosistem saling berin-

teraksi satu sama lain. Adanya interaksi tersebut akan menjaga keseimbangan, kes-

tabilan, dan produktivitas suatu ekosistem. Salah satu bentuk interaksi dalam suatu

ekosistem adalah predasi, yaitu interaksi antara mangsa (prey) dan pemangsa (pre-

dator). Salah satu tujuan interaksi ini adalah menstabilkan jumlah populasi prey dan

predator dalam suatu ekosistem. Tanpa predator, jumlah prey akan meningkat dan

akan merusak rantai makanan di bawahnya. Sebaliknya tanpa prey, suatu predator

akan kehilangan makanan untuk kelangsungan hidupnya. Sebagaimana Allah SWT

menegaskan dalam Al-Qur’an Surat Ali Imran (3:191) bahwa Dia telah menciptak-

an seluruh makhluk-Nya tanpa sia-sia dan memiliki manfaaat

“(yaitu) orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri, duduk atau dalam ke-

adaan berbaring, dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (se-

raya berkata), “Ya Tuhan kami, tidaklah Engkau menciptakan semua ini sia-sia;

Mahasuci Engkau, lindungilah kami dari azab neraka.” (Ali Imran (3:191))

Predasi dalam suatu ekosistem tidak hanya melibatkan dua spesies saja, mela-

inkan terdapat predasi yang melibatkan lebih dari dua spesies. Predasi yang meli-

batkan lebih dari dua spesies ini dikenal dengan rantai makanan. Rantai makanan

merupakan proses makan dan dimakan antar makhluk hidup. Salah satu contoh ran-

tai makanan terdapat pada ekosistem perairan laut. Predasi pada ekosistem tersebut

terjadi pada tingkat trofik II, III, dan IV. Pada tingkat trofik II merupakan hewan

1

herbivora yaitu Zooplankton, kemudian dimangsa oleh tingkat trofik III (preda-

tor) seperti Sarden, dan selanjutnya dimangsa oleh tingkat trofik IV (top predator)

seperti Lumba-Lumba[20]. Makhluk hidup pada tingkat trofik III yaitu Sarden me-

rupakan salah satu jenis ikan yang banyak diperjualbelikan sebagai bahan pangan

sehingga para nelayan melakukan pemanenan pada ikan tersebut.

Setiap populasi pemangsa (predator dan top predator) dalam kehidupan nyata

akan saling berinteraksi satu sama lain. Selain bekerja sama, dapat terjadi bahwa

makhluk hidup dalam populasi pemangsa akan bersaing dalam menangkap mang-

sanya. Persaingan antar makhluk hidup dalam satu populasi disebut persaingan in-

traspesifik. Interaksi ini juga dapat mempengaruhi efisiensi dalam menemukan dan

membunuh mangsanya yang dikenal dengan fungsi respon atau laju konsumsi da-

ri pemangsa. Gangguan persaingan intraspesifik ini dapat dibentuk dengan fung-

si respon tipe II, dimana diasumsikan bahwa setiap pertemuan antar pemangsa

merupakan waktu yang terbuang, hal ini sama dengan proses waktu penanganan

mangsa[26].

Penelitian mengenai predasi telah banyak dilakukan, tidak hanya dalam bi-

dang biologi, dalam bidang matematika juga telah dikembangkan sebuah Model

Predator-Prey. Model Predator-Prey pertama kali diperkenalkan oleh Alfred J. Lot-

ka dan Vito Volterra, sehingga sering disebut Model Lotka-Volterra. Sejumlah pene-

liti telah banyak mengembangkan Model Predator-Prey salah satunya adalah model

rantai makanan tiga spesies. Penelitian mengenai model rantai makanan tiga spe-

sies diperkenalkan oleh Hasting dan Powell[11] dan menyimpulkan bahwa terda-

pat chaos pada dinamika model yang mungkin umum terjadi pada rantai makanan.

Kemudian Klebanoff dan Hasting[14] mengembangkan penelitian tersebut dengan

menunjukkan keberadaan dinamika Chaos dimana tidak ditemukan spesies teratas

dalam rantai makanan di lingkungan kesetimbangan. Selanjutnya Chiu dan Hsu[7]

memodifikasi model rantai makanan tiga spesies dari Klebanoff dan Hasting[14]

dengan menggunakan Fungsi Lyapunov.

Modifikasi lain terkait model rantai makanan tiga spesies dilakukan Chen dkk[6]

yang meneliti tentang bifukrasi Horf pada model rantai makanan tiga spesies de-

2

ngan waktu tunda. Kooi dkk[15] mempelajari tentang model rantai makanan tiga

spesies dengan pemberian nutrisi dan membagi menjadi tiga wilayah penting yaitu

wilayah dimana predator akan punah, wilayah kesetimbangan stabil, dan wilayah

dimana terdapat siklus batas yang stabil. Kemudian Haque dkk[10] telah meneli-

ti model rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesifik pada kedua

predatornya yang dikembangkan dari penelitian Bazykin dkk[3] mengenai Model

Predator-Prey dua spesies dengan persaingan intraspesifik pada predator.

Selain itu, Mukhopadbyay dan Bhattacharyya [18] telah meneliti mengenai

adanya efek pemanenan predator pada model persaingan dua predator dengan satu

prey. Berdasarkan adanya pemanenan pada tingkat trofik III (predator) dalam eko-

sistem perairan laut dan persaingan intraspesifik dalam populasi pemangsa, maka

dalam penelitian ini akan dikembangkan model rantai makanan tiga spesies da-

ri model yang diperkenalkan oleh Haque dkk[10] dengan penambahan parameter

pemanenan yang diteliti oleh Mukhopadbyay dan Bhattacharyya [18] dan menggu-

nakan fungsi respon tipe II.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan diatas, maka permasalahan

pada penelitian ini adalah:

1. Bagaimana model rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesi-

fik dan pemanenan pada predator?

2. Bagaimana titik ekuilibrium dan kestabilan pada model rantai makanan tiga

spesies dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator?

3. Bagaimana simulasi numerik dari model rantai makanan tiga spesies dengan

persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator?

1.3. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar penelitian menjadi lebih fokus dan terarah makan

penulis memberikan batasan masalah, yaitu:

3

1. Model pada penelitian ini adalah model yang terjadi dalam ekosistem perair-

an laut.

2. Fungsi respon yang digunakan untuk kedua spesies predator tersebut adalah

fungsi respon tipe II.

3. Data total populasi prey menggunakan data Pantai Kartini, Kota Jepara.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu:

1. Mengetahui model rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspe-

sifik dan pemanenan pada predator.

2. Mengetahui titik ekuilibrium dan kestabilan pada model rantai makanan tiga

spesies dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator.

3. Mengetahui hasil simulasi numerik dari model rantai makanan tiga spesies

dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapatkan dalam penelitian ini, yaitu:

1. Diharapkan dapat membantu dan mengembangkan ilmu pengetahun terkait

rantai makanan tiga spesies.

2. Diharapkan dapat memberikan gambaran terkait kestabilan yang terjadi pa-

da rantai makanan tiga spesies dengan adanya persaingan intraspesifik dan

pemanenan pada predator.

4

BAB II

DASAR TEORI

2.1. Rantai Makanan

Rantai makanan merupakan hubungan makan dan dimakan antar makhluk hi-

dup. Rantai makanan menggambarkan perpindahan energi dengan setiap makhluk

hidup memakan dan memperoleh energi dari makhluk hidup sebelumnya. Suatu

rantai makanan memiliki tingkat makan yang disebut tingkat trofik.

Tingkat trofik terdiri dari produsen utama (tingkat I), konsumen primer (ting-

kat II), konsumen sekunder (tingkat III), dan konsumen tersier (tingkat IV). Produ-

sen utama memperoleh energi dari sinar matahari atau energi kimia yang tersimpan

dalam senyawa karbon, contoh produsen utama diantaranya tumbuhan, ganggang,

dan makhluk hidup yang memerlukan sinar matahari sebagai proses fotosistesis.

Konsumen yang menerima energi dari produsen utama adalah konsumen primer,

mencangkup hewan herbivora dan beberapa tumbuhan parasit seperti Mistletoe.

Makhluk hidup yang memakan konsumen primer adalah konsumen sekunder atau

hewan karnivora. Selanjutnya makhluk hidup yang memakan konsumen sekunder

yaitu konsumen tersier atau hewan karnivora sekunder[25].

Rantai makanan biasa terjadi pada suatu ekosistem, salah satunya ekosistem

pada perairan laut. Sebagian besar spesies perairan ini terikat dalam rantai makanan

sebagai berikut[20].

1. Tingkat I : Fotoautotrof

Tingkat pertama pada rantai makanan perairan sebagian besar tidak terlihat.

Makhluk hidup pada tingkat ini merupakan produsen utama karbon organik

yang dibutuhkan hampir semua hewan di jaring makanan laut untuk bertahan

hidup. Kebanyakan dari makhluk hidup ini bersel satu, yang disebut Fito-

plankton. Fitoplankton hidup di bagian atas laut yang diterangi oleh sinar

matahari. Tumbuhan dan bakteri ini menangkap energi matahari dan melalui

5

fotosintesis mengubah nutrisi dan karbon dioksida menjadi senyawa organik.

2. Tingkat II : Herbivora

Tingkat selanjutnya dari rantai makanan laut terdiri dari hewan yang meng-

onsumsi tanaman di laut. Hewan pada tingkat ini kebanyakan berada di per-

mukaan laut. Salah satu contoh hewan pada tingkat ini yaitu Zooplankton.

Tingkat II atau konsumen pertama ini menjadi makanan bagi hewan karnivo-

ra diatasnya pada rantai makanan.

3. Tingkat III : Predator

Pada tingkat III rantai makanan terdiri dari sekelompok besar karnivora kecil,

seperti Sarden. Tingkat ini juga mencangkup banyak ikan yang memakan

invertebrata kecil yang hidup di dekat pantai. Ikan-ikan kecil pada tingkat ini

menjadi mangsa bagi ikan-ikan besar.

4. Tingkat IV : Top Predator

Top predator yang terletak paling atas dalam rantai makanan perairan men-

cangkup berbagai macam hewan seperti Lumba-Lumba, Penguin, dan Anjing

Laut. Predator pada tingkat ini cenderung besar, cepat, dan sangat baik dalam

menangkap mangsanya.

2.2. Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang terdiri dari n(n ≥ 2)

buah persamaan diferensial. Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial dapat

dituliskan sebagai

x(t) = f(t, x) (2.1)

dengan

x(t) =dxdt

=

dx1

dtdx2

dt...dxndt

, f(t, x) =

f1(t, x1, x2, . . . , xn)

f2(t, x1, x2, . . . , xn)...

fn(t, x1, x2, . . . , xn)

(2.2)

6

dengan x1, x2, . . . , xn variabel tak bebas, dan t variabel bebas. Sistem (2.2) dika-

takan sistem persamaan autonomous jika t tidak dinyatakan secara eksplisit. Secara

matematis sistem persamaan autonomous dapat dituliskan dalam bentuk

x = f(x) (2.3)

dengan f fungsi yang tidak bergantung pada variabel bebas t, tetapi hanya bergan-

tung pada variabel x.

Sistem persamaan autonomous berdasarkan kelinearannya terbagi dua, yaitu

sistem persamaan diferensial autonomous linear dan sistem persamaan diferensial

autonomous non linear.

2.2.1. Sistem Persamaan Diferensial Linear

Jika untuk setiap fungsi f1, f2, . . . , fn pada Persamaan (2.2) adalah fungsi line-

ar dari variabel tak bebas x1, x2, . . . , xn, maka sistem persamaan tersebut dikatakan

sistem persamaan diferensial linear [4]. Bentuk umum dari sistem n persamaan di-

ferensial linear orde satu adalah

x1(t) = x′1(t) = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . .+ a1n(t)xn + g1(t)

x2(t) = x′2(t) = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . .+ a2n(t)xn + g1(t)...

xn(t) = x′n(t) = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . .+ ann(t)xn + gn(t)

(2.4)

Sistem (2.4) dapat dituliskan dalam bentuk matriksx1(t)

x2(t)...

xn(t)

=

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)

a21(t) a22(t) · · · a2n(t)...

... . . . ...

an1(t) an2(t) · · · ann(t)

x1

x2

...

xn

+

g1(t)

g2(t)...

gn(t)

(2.5)

yang dapat ditulis dalam bentuk

x(t) = A(t)x + g(t) (2.6)

7

dengan x variabel tak bebas dan t variabel bebas, A(t) koefisien dari x, serta g(t)

fungsi dari variabel bebas t. Sistem (2.6) dikatakan persamaan homogen jika g(t) =

0 sehingga dapat ditulis

x(t) = A(t)x

Jika A pada Sistem (2.6) merupakan suatu konstanta maka dapat ditulis dengan

x(t) = Ax

atau dalam matriksx1(t)

x2(t)...

xn(t)

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...

an1 an2 · · · ann

x1

x2

...

xn

(2.7)

Contoh sistem persamaan diferensial linear:

dx1

dt= 3x1 − 2x2

dx2

dt= 5x1 + 4x1 + 4

(2.8)

2.2.2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear

Jika untuk setiap fungsi f1, f2, . . . , fn pada Persamaan (2.2) adalah fungsi buk-

an linear dari variabel tak bebas x1, x2, . . . , xn, maka sistem persamaan tersebut

dikatakan sistem persamaan diferensial nonlinear [4]. Suatu persamaan diferensial

dikatakan nonlinear yaitu jika:

1. Variabel bebas dan dan turunannya berpangkat lebih dari satu.

2. Terdapat perkalian antara variabel tak bebas dengan variabel tak bebas, tu-

runan dengan turunan, atau variabel tak bebas dengan turunannya.

3. Terdapat fungsi transenden dari variabel tak bebas dan turunannya.

Sistem persamaan diferensial autonomous nonlinear orde satu dapat ditulis da-

lam bentuk

8

dx1

dt= f1(x1, x2, . . . , xn)

dx2

dt= f2(x1, x2, . . . , xn)

...dxndt

= fn(x1, x2, . . . , xn)

(2.9)

Contoh sistem persamaan diferensial nonliner:

dx1

dt= x1 − x1x2

dx2

dt= x2

1 + 4x2

(2.10)

2.3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.3.1 [2]

Jika A adalah sebuah matriks n×n maka sebuah vektor tak nol x pada Rn disebut

vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x;

jelasnya,

Ax = λx (2.11)

untuk skalar sembarang λ. Skalar λ disebut nilai eigen (eigenvalue) dari A, dan x

disebut sebagai vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.

Nilai eigen dari matriks A diperoleh dengan menuliskan kembali Persamaan

menjadi

Ax = λIx

atau

(λI − A)x = 0 (2.12)

dengan I adalah sebuah matriks identitas. Agar λ menjadi suatu nilai eigen, maka

dari Persamaan (2.12) harus terdapat satu solusi taknol. Persamaan (2.12) memiliki

solusi taknol jika dan hanya jika

det(λI − A) = 0 (2.13)

9

2.4. Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik yang konstan ketika terjadi perubahan wak-

tu. Artinya titik tersebut akan tetap ketika t = 1, 2, . . . , n.

Definisi 2.4.1 [21]

Diberikan suatu persamaan diferensial orde satu x = f(x), yang memiliki solusi,

dengan kondisi awal x(0) = x0. Vektor x yang memenuhi f(x) = 0 disebut titik

ekuilibrium.

Contoh 2.4.2 (Penentuan titik ekuilibrium)

Diberikan sistem persamaan nonlinear

x = −x,

y = 1− (x2 + y2).(2.14)

Titik ekuilibrium Sistem (2.14) diperoleh pada saat x = 0 dan y = 0. Sehingga

−x = 0

⇔ x = 0.

Jika x = 0, maka

1− (x2 + y2) = 0

⇔ 1− (0 + y2) = 0

⇔ 1− y2 = 0

⇔ (1− y)(1 + y) = 0

⇔ y = 1 dan y = −1

Maka titik ekuilibrium yang diperoleh adalah (0,1) dan (0,-1).

2.5. Kestabilan Titik Ekuilibrium

Ketika persamaan diferensial sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara eks-

plisit, maka persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan

analisis kualitatif yaitu dengan menganalisis kestabilannya untuk mengetahui peri-

laku dari titik ekuilibrium x pada Sistem (2.3) [8].

10

Definisi 2.5.1 [21]

Diberikan suatu persamaan diferensial orde satu x = f(x), yang memiliki solusi,

dengan kondisi awal x(0) = x0. Titik ekuilibrium x dikatakan

1. Stabil, jika ∀ε > 0,∃δ > 0, sedemikian sehingga, jika ‖ x0 − x ‖< δ, maka

‖ x(t, x0)− x ‖< ε,∀t > 0.

2. Stabil asimtotik, jika stabil dan ∃δ1 > 0 sedemikian sehingga limt→∞‖ x(t, x0)−

x ‖= 0 berlaku ‖ x0 − x ‖< δ1.

3. Tidak stabil, jika tidak memenuhi (1).

2.5.1. Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear

Kestabilan dari Sistem (2.7) dapat ditentukan dengan menganalisis bagian real

dari nilai eigen matriks. Nilai eigen suatu matriks ditentukan berdasarkan persama-

an karakteristik suatu matriks.

Definisi 2.5.2 [2]

Polinomial karakteristik dari sebuah matriks A berukuran n × n memiliki bentuk

det(λI − A) = λn + c1λn−1 + . . .+ cn (2.15)

dengan koefisien variabel λn adalah 1. Selanjutnya,

λn + c1λn−1 + . . .+ cn = 0 (2.16)

disebut persamaan karakteristik yang memiliki sebanyak-banyaknya n solusi yang

berbeda, sehingga matriks A memiliki sebanyak-banyaknya n nilai eigen yang ber-

beda.

Teorema 2.5.3 [21]

Jika A matriks n× n dari sistem x = Ax dengan nilai eigen λ1, λ2, . . . , λm(m 6 n)

dan Re(λi) adalah bagian real dari nilai eigen λi, maka kestabilan titik ekuilibrium

x dikatakan

1. Stabil asimtotik, jika Re(λi) < 0, ∀i = 1, 2, . . . ,m.

11

2. Tidak stabil, jika terdapat Re(λi) > 0, untuk suatu i ∈ {1, 2, . . . ,m}.

3. Stabil, jika Re(λi) ≤ 0, ∀i = 1, 2, . . . ,m.

Contoh 2.5.4 Diberikan sistem persamaan diferensial linear

x1 = 4x1 + 2x2

x2 = −3x1 − x2

(2.17)

akan ditentukan kestabilan dari titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial ter-

sebut.

Persamaan (2.17) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut. x1

x2

=

4 2

−3 −1

x1

x2

Dimisalkan matriks A sebagai

A =

4 2

−3 −1

Berdasarkan Definisi 2.5.2 maka

det(λI − A) = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣ 4− λ 2

−3 −1− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ λ2 − 3λ+ 2 = 0

⇔ (λ− 2)(λ− 1) = 0

Sehingga diperoleh nilai eigen yaitu λ1 = 2 dan λ2 = 1. Berdasarkan Teorema

2.5.3 maka titik ekuilibrium dari Sistem (2.17) tidak stabil.

2.5.2. Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear

Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem (2.9) dapat ditentukan dengan mela-

kukan linearisasi di sekitar titik ekulibriumnya. Linearisasi hanya dapat dilakukan

pada titik ekuilibrium hiperbolik.

12

Definisi 2.5.5 [22]

Diberikan x = (x1, . . . , xn) titik ekuilibrium sistem nonlinear. Titik x = (x1, . . . , xn)

disebut titik ekuilibrium hiperbolik jika bagian real dari semua nilai eigen J(x1,x2,...,xn)

tidak nol. Selanjutnya w = J(x1,x2,...,xn)w disebut linearisasi dari sistem x = f(x)

pada x.

Linearisasi dari sistem persamaan diferensial nonlinear f = (f1, f2, f3, . . . , fn)

dapat dilakukan menggunakan Deret Taylor di sekitar ekuilibrium hiperbolik x =

(x1, x2, . . . , x2) sebagai berikut.

dx1

dt= f1(x) +

∂f1(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂f1(x)

∂xn(xn − xn)+

1

2!

∂2f1(x)

∂x21

(x1 − x1)2 + . . .

dx2

dt= f2(x) +

∂f2(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂f2(x)

∂xn(xn − xn)+

1

2!

∂2f2(x)

∂x21

(x1 − x1)2 + . . .

...dxndt

= fn(x) +∂fn(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂fn(x)

∂xn(xn − xn)+

1

2!

∂2fn(x)

∂x21

(x1 − x1)2 + . . .

(2.18)

Linearisasi Sistem (2.18) dilakukan dengan cara mengabaikan suku-suku no-

nlinearnya. Sehingga diperoleh

dx1

dt= f1(x) +

∂f1(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂f1(x)

∂xn(xn − xn)

dx2

dt= f2(x) +

∂f2(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂f2(x)

∂xn(xn − xn)

...dxndt

= fn(x) +∂fn(x)

∂x1

(x1 − x1) + . . .+∂fn(x)

∂xn(xn − xn)

(2.19)

13

Dimisalkan

u1 = x1 − x1

u2 = x2 − x2

...

un = xn − xn

(2.20)

Sehingga derivatifnya diperoleh

du1

dt=

dx1

dtdu2

dt=

dx2

dt...dundt

=dxndt

(2.21)

Dengan mensubtitusikan (2.20) dan (2.21) maka Sistem (2.19) menjadi

du1

dt= f1(x) +

∂f1(x)

∂x1

u1 +∂f1(x)

∂x2

u2 + . . .+∂f1(x)

∂xnun

du2

dt= f2(x) +

∂f2(x)

∂x1

u1 +∂f2(x)

∂x2

u2 + . . .+∂f2(x)

∂xnun

...dundt

= fn(x) +∂fn(x)

∂x1

u1 +∂fn(x)

∂x2

u2 + . . .+∂fn(x)

∂xnun

(2.22)

Sistem (2.22) dapat dituliskan dalam bentuk

du1

dtdu2

dt...dundt

=

f1(x)

f2(x)...

fn(x)

+

∂f1(x)

∂x1

. . .∂f1(x)

∂xn∂f2(x)

∂x1

. . .∂f2(x)

∂xn... . . . ...∂fn(x)

∂x1

. . .∂fn(x)

∂xn

u1

u2

...

un

(2.23)

Berdasarkan Definisi 2.4.1, f(x) = 0. Sehingga Persamaan (2.23) menjadi

du1

dtdu2

dt...dundt

=

∂f1(x)

∂x1

. . .∂f1(x)

∂xn∂f2(x)

∂x1

. . .∂f2(x)

∂xn... . . . ...∂fn(x)

∂x1

. . .∂fn(x)

∂xn

u1

u2

...

un

(2.24)

14

atau

u = J(x1,x2,...,xn)u (2.25)

dengan J(x1,x2,...,xn) adalah matriks Jacobian disekitar titik ekuilibrium hiperbolik

x = (x1, . . . , xn). Berdasarkan Definisi 2.5.5 Persamaan (2.25) adalah linearisasi

dari Sistem (2.9) di sekitar titik ekuilibrium hiperbolik x.

Berikut teorema yang menjelaskan perilaku dari kestabilan titik ekuilibrium

sistem nonlinear (2.9) yang dikaitkan dengan matriks Jacobian J(x1,x2,...,xn).

Teorema 2.5.6 [22]

Diberikan matriks Jacobian J(x1,x2,...,xn) dari Sistem nonlinear (2.9),

1. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks J(x1,x2,...,xn) bernilai negatif,

maka titik ekuilibrium x = (x1, x2, . . . , xn) dari Sistem nonlinear (2.9) stabil

asimtotik lokal.

2. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks J(x1,x2,...,xn) yang

bagian realnya bernilai positif, maka titik ekuilibrium x = (x1, x2, . . . , xn)

dari Sistem nonlinear (2.9) tidak stabil.

Contoh 2.5.7 Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear (2.14). Berdasark-

an Contoh 2.4.2, diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu (0, 1) dan (0,−1). Selanjut-

nya akan dilakukan linearisasi disekitar titik ekuilibrium tersebut untuk menentukan

sifat kestabilannya. Matriks hasil linearisasi disekitar titik ekuilibrium (x, y) adalah

J(x,y) =

∂

∂xx

∂

∂yx

∂

∂xy

∂

∂yy

(x,y)=(x,y)

=

∂

∂x(−x)

∂

∂y(−x)

∂

∂x(1− (x2 + y2))

∂

∂y(1− x2 + y2)

(x,y)=(x,y)

=

−1 0

−2x −2y

(x,y)=(x,y)

15

1. Linearisasi disekitar titik ekuilibrium (0, 1) dx

dtdy

dt

= J(0,1)

x

y

Matriks Jacobian J(0,1) disekitar titik ekuilibrium (x, y) = (0, 1) yaitu

J(0,1) =

−1 0

0 −2

Persamaan karakteristik untuk J(0,1) adalah

|J(0,1) − λI| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣ −1− λ 0

0 −2− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ (−1− λ)(−2− λ) = 0

Diperoleh λ1 = −1 dan λ2 = −2 maka Re(λ1) < 0 dan Re(λ2) < 0.

Sehingga, berdasarkan Teorema 2.5.3 titik ekuilibrium (0, 1) stabil asimtotik

lokal.

2. Linearisasi di sekitar titik ekuilbrium (0,−1) dx

dtdy

dt

= J(0,−1)

x

y

Matriks Jacobian J(0,−1) disekitar titik ekuilibrium (x, y) = (0,−1) yaitu

J(0,−1) =

−1 0

0 2

Persamaan karakteristik untuk J(0,−1) adalah

|J(0,−1) − λI| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣ −1− λ 0

0 2− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ (−1− λ)(2− λ) = 0

Diperoleh λ1 = −1 dan λ2 = 2 maka Re(λ1) < 1 dan Re(λ2) > 0. Sehingga,

berdasarkan Teorema 2.5.6 titik ekuilibrium (0,−1) tidak stabil.

16

2.6. Keberadaan Satu Akar Positif

Pada penelitian Haque, dkk(2013)[10] telah mengasumsikan terdapat satu akar

positif dalam persamaan berderajat lebih dari dua dengan mengabaikan kemungkin-

an lain. Beberapa persamaan yang diasumsikan adalah sebagai berikut.

1. Diasumsikan terdapat akar kompleks γ dengan akar konjugetnya γ∗ pada su-

atu polinomial berderajat tiga yaitu

A0 + A1x+ A2x2 + A3x

3 = 0

atau dapat ditulis

3∑i=0

Aixi = 0. (2.26)

Pasangan akar kompleks tersebut membentuk persamaan kuadrat dengan disk-

riminan negatif x2 +bx+d = (x−γ)(x−γ∗) = x2−2Re(γ)x+ |γ|2, dimana

b dan d adalah bilangan real dengan d = |γ|2 > 0. Maka Persamaan (2.26)

memiliki faktorisasi

3∑i=0

Aixi = A3(x+ α)(x2 + bx+ d)

= A3[x3 + (b+ α)x2 + (bα + d)x+ dα], (2.27)

dimana α akan ditentukan. Sehingga dengan menyamakan koefisien pada

persamaan di sebelah kiri dan kanan, diperoleh

b+ α =A2

A3

, d+ bα =A1

A3

, dα =A0

A3

,

maka

α =A0

A3d=

A0

A3|γ|2.

Sehingga akar lain dari Persamaan (2.27) yaitu x = −α, dengan kondisi

α < 0 diperoleh x > 0.

17

2. Diasumsikan terdapat dua akar kompleks δ dan η dengan masing-masing

konjugetnya δ∗ dan η∗ pada suatu polinomial berderajat enam yaitu

D0 +D1x+D2x2 +D3x

3 +D4x4 +D5x

5 +D6x6 = 0

atau dapat ditulis

6∑i=0

Dixi = 0. (2.28)

Kemudian δ dengan δ∗ membentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan

negatif

x2 +mx+ n = (x− δ)(x− δ∗)

= x2 − 2Re(δ)x+ |δ|2,

dimana m dan n adalah konstanta bilangan real dengan n = |δ|2 > 0. Begitu

pula η dengan η∗ membentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif

x2 + rx+ s = (x− η)(x− η∗)

= x2 − 2Re(η)x+ |η|2,

dimana r dan s adalah konstanta bilangan real dengan s = |η|2 > 0. Maka

Persamaan (2.28) memiliki faktorisasi

7∑i=0

Dixi = D6(x2 +mx+ n)(x2 + rx+ s)(x2 + px+ q)

= D6[x6 + (m+ r + p)x5 + (q + pm+ pr + n+mr + s)x4

+(qm+ qr +ms+ nr + pn+ pmr + ps)x3

+(qn+ qmr + qs+ pms+ pnr)x2 + (qms+ qnr + pns)x

+nsq], (2.29)

dimana p dan q yang akan ditentukan. Sehingga dengan menyamakan koefi-

18

sien pada persamaan kiri dan kanan pada Persamaan (2.29), diperoleh

m+ r + p =D5

D6

,

q + p(m+ r) +mr + s =D4

D6

,

q(m+ r) + (ms+ nr) + p(n+mr + s) =D3

D6

,

q(n+mr + s) + ns+ p(ms+ nr) =D2

D6

,

q(ms+ nr) + pns =D1

D6

,

qns =D0

D6

.

(2.30)

Berdasarkan (2.30), maka

p =D5

D6

− (m+ r) =D5

D6

+ 2Re(δ) + 2Re(η),

q =D0

D6ns=

D0

D6|δ|2|η|2.

Dua akar lain dari Persamaan (2.29) yaitu

x1 =−p+

√p2 − 4q

2, x2 =

−p−√p2 − 4q

2.

Pada kondisi q < 0 dan p > 0, diperoleh x1 > 0.

Contoh 2.6.1 Diberikan persamaan berderajat tiga,

6x3 + 6x2 + 36x+ 432 = 0. (2.31)

Diasumsikan terdapat akar kompleks ρ dengan akar konjuget ρ∗ pada Persamaan

(2.31). Pasangan akar kompleks tersebut membentuk persamaan kuadrat,

x2 + bx+ d = (x− ρ)(x− ρ∗)

= x2 − 2Re(ρ)x+ |ρ|2.

Persamaan (2.31) memiliki faktorisasi,

6x3 + 6x2 + 36x+ 432 = 6(x+ α)(x2 + bx+ d)

= 6[x3 + (b+ α)x2 + (bα + d)x+ dα].

19

Diperoleh

b+ α = 1

b = 1− α, (2.32)

bα + d = 6, (2.33)

dα = 72

d =72

α. (2.34)

Kemudian dengan mensubtitusikan (2.32) dan (2.34) ke Persamaan (2.33) diperoleh

72

α+ α(1− α) = 6

⇔ α3 − α2 + 6α− 72 = 0

⇔ (α− 4)(α2 + 3α + 18) = 0. (2.35)

Sehingga berdasarkan Persamaan (2.35) diperoleh α yang positif yaitu α = 4.

2.7. Kriteria Routh-Hurwitz

Berdasarkan Teorema 2.5.3 dan 2.5.6, untuk menentukan perilaku dari kesta-

bilan titik ekuilibrium x diperlukan nilai-nilai eigen dari persamaan karakteristik

suatu matriks. Kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan sebagai alternatif dalam

menentukan tanda dari nilai-nilai eigen tersebut.

Definisi 2.7.1 [5]

Diberikan polinomial

F (s) = a0sn + a1s

n−1 + . . .+ an−1s+ an (2.36)

dengan a0 = 1 dan k bilangan real, dimana k = 1, 2, . . . , nMatriks Routh-Hurwitz

20

untuk polinomial didefinisikan sebagai

H =

a1 a0 0 0 . . . 0 0

a3 a2 a1 a0 . . . 0 0

a5 a4 a3 a2 . . . 0 0...

......

... . . . ......

0 0 0 0 . . . an−1 an−2

0 0 0 0 . . . 0 an

(2.37)

Determinan matriks ke-k dinotasikan sebagai 4k, untuk k = 1, 2, . . . , n yang di-

bentuk dari matriks Routh-Hurwitz (2.37). Jika semua 4k bernilai positif, maka

semua akar-akar karakteristik dari Polinomial (2.36) mempunyai bagian real ne-

gatif.

Contoh 2.7.2 Diberikan polinomial pangkat tiga

F (s) = s3 + 11s2 + 6s+ 6 (2.38)

Nilai41 adalah

41 = |a1| = 11

Nilai42 adalah

42 =

∣∣∣∣∣∣ a1 a0

a3 a2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣ 11 1

6 6

∣∣∣∣∣∣= (6)(11)− (1)(6)

= 60

Nilai43 adalah

43 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a0 0

a3 a2 a1

0 0 a3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣11 1 0

6 6 11

0 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 360

21

Karena41 > 0,42 > 0, dan43 > 0, maka semua akar karakteristik dari Polino-

mial (2.38) bernilai negatif.

2.8. Model Dasar Predator-Prey

Model Predator-Prey adalah model yang menggambarkan interaksi antara po-

pulasi mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Model ini pertama kali diperke-

nalkan oleh Lotka (1925) dan Volterra(1926) sehingga sering disebut sebagi Model

Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra merupakan model Predator-Prey paling se-

derhana yang melibatkan dua spesies yaitu satu spesies predator yang memangsa

spesies yang lain (prey).

Dinotasikan X dan Y adalah populasi prey dan predator dengan waktu t. Mo-

del Lotka-Volterra dibangun dengan asumsi [4]:

1. Tanpa adanya predator, pertumbuhan populasi prey meningkat cepat dise-

babkan pertumbuhan populasi prey sebanding dengan populasinya pada saat

ini. Dengan demikian

dX

dt= bX, (2.39)

dengan b adalah laju pertumbuhan prey (b > 0). Persamaan (2.39) mempu-

nyai solusiX(t) = kebt dengan k suatu konstanta, sehingga Persamaan (2.39)

disebut model pertumbuhan eksponensial.

2. Tanpa adanya prey, predator akan punah. Hal ini disebabkan adanya asumsi

bahwa pertumbuhan predator bergantung pada prey sebagai sumber maka-

nannya. Dengan demikian

dY

dt= −cY, (2.40)

dengan c adalah laju kematian dari predator (c > 0).

3. Adanya interaksi pemangsaan antara predator dan prey berpengaruh dalam

mendorong pertumbuhan predator dan menghambat pertumbuhan prey. De-

ngan demikian laju pertumbuhan predator meningkat dituliskan γXY dan

22

laju pertumbuhan prey menurun dituliskan −γXY , dengan γ merupakan ko-

efisien interaksi antara prey dan predator.

Sehingga berdasarkan asumsi tersebut, model Lotka-Volterra dapat dituliskan

dX

dt= bX − γXY,

dY

dt= −cY + γXY.

(2.41)

2.9. Model Pertumbuhan Logistik

Populasi tidak selamanya meningkat secara eksponensial seperti yang dikemu-

kakan oleh Lotka dan Volterra pada populasi prey dalam Persamaan (2.39). Namun,

dapat terjadi ketika jumlah populasi meningkat, laju pertumbuhan cenderung turun.

Hal ini dikarenakan area dan fasilitas hidup yang terbatas. Verhulst (1830) serta Pe-

arl dan Reed (1920) menemukan suatu model yang menyatakan hubungan antara R

(laju pertumbuhan populasi) dan N (kepadatan populasi) dalam bentuk persamaan

linear

R(N) = r − αN, (2.42)

sehingga dalam persamaan diferensial nonlinear orde satu menjadi

dN

dt= N(r − αN), (2.43)

dengan r dan α bernilai positif. Persamaan (2.43) disebut Persamaan Logistik de-

ngan konstanta r adalah laju pertumbuhan tanpa dipengaruhi lingkungan dan α

adalah efek naiknya kepadatan populasi. Persamaan (2.43) seringkali dituliskan

dN

dt= rN

(1− N

K

), (2.44)

dengan K =r

α.

Populasi dengan laju pertumbuhan sama dengan nol(dN

dt= 0

)disebut po-

pulasi ekuilibrium. Hal ini dalam Persamaan (2.44) terjadi padaN = 0 danN = K.

Populasi ekuilibriumN = 0 artinya tidak ada lagi kehidupan spesies tersebut. Teta-

pi ketika populasi ekuilibriumN = K (populasi taknol) terjadi, maka populasi pada

23

suatu spesies merupakan populasi maksimal yang dapat bertahan sehingga disebut

kapasitas batas (carrying capacity). Populasi taknol juga sering disebut tingkat je-

nuh (saturation level), karena untuk populasi yang cukup besar angka kematian

lebih banyak daripada angka kelahiran [9].

2.10. Fungsi Respon

Fungsi respon dalam ekologi merupakan fungsi laju konsumsi predator terha-

dap kepadatan prey yang berbeda-beda. Holling [13] mengkategorikan fungsi res-

pon dalam tiga tipe yaitu fungsi respon linear (tipe I), fungsi respon hiperbolik (tipe

II), dan fungsi respon sigmoida (tipe III).

Gambar 2.1 (a)Fungsi Respon Tipe I, (b)Fungsi Respon Tipe II, (c) Fungsi Respon Tipe III

2.10.1. Fungsi Respon Tipe I

Pada tipe ini laju konsumsi predator meningkat secara linear, yaitu ketika po-

pulasi prey mengalami peningkatan maka laju konsumsi predator terhadap prey

semakin meningkat. Akan tetapi, fungsi ini akan konstan ketika predator berhenti

memangsa. Fungsi respon tipe I menggambarkan predator yang bersifat pasif atau

lebih suka menunggu mangsanya, seperti contohnya laba-laba.

Berdasarkan Model Lotka-Volterra pada Sistem (2.41), respon yang terjadi

merupakan fungsi respon tipe I. Sehingga dapat dituliskan kembali

f(X) = aX, (2.45)

dengan amerupakan efek interaksi antara prey dan predator, f(X) adalah laju kon-

sumsi predator, dan X adalah kepadatan populasi prey.

24

2.10.2. Fungsi Respon Tipe II

Fungsi respon hiperbolik (tipe II) adalah fungsi respon dimana laju konsum-

si meningkat tetapi terjadi penurunan yang terus menerus. Artinya, laju konsumsi

predator meningkat seiring dengan meningkatnya populasi prey tetapi akan menu-

run ketika predator mendekati kenyang. Hal ini disebabkan ketika populasi prey

sedikit, sebagian waktu predator dihabiskan untuk mencari mangsa. Sedangkan

ketika populasi prey banyak, predator menghabiskan waktu yang tersedia untuk

menangani dan mencerna prey bukan untuk mencarinya, akibatnya laju konsum-

si akan lebih rendah. Sehingga menyebabkan laju konsumsi mencapai titik jenuh

(half-saturation). Tipe ini menggambarkan predator yang bergerak aktif mencari

mangsanya. Fungsi respon tipe II direpresentasikan sebagai berikut.

f(X) =aX

d+X, (2.46)

dengan f(X) merupakan laju konsumsi predator, a menyatakan koefisien interaksi

antara prey dan predator, X merupakan jumlah populasi prey, dan d merupakan

konstanta half-saturation, yaitu jumlah populasi prey ketika laju konsumsi per unit

prey mencapai setengah dari nilai maksimum.

2.10.3. Fungsi Respon Tipe III

Fungsi respon pada tipe ini digambarkan menyerupai huruf S atau bersifat

sigmoid. Laju konsumsi pada fungsi respon tipe III awalnya meningkat dengan me-

ningkatnya kepadatan predator, tetapi kemudian menurun. Laju konsumsi cende-

rung memuncak pada jenis kepadatan prey yang berbeda-beda. Hal ini dikarenakan

ketika kepadatan prey yang berbeda muncul dalam jumlah yang lebih besar diban-

ding kepadatan prey sebelumnya, kurva menurun dan pemangsaan predator akan

berpindah pada kepadatan prey yang lebih besar tersebut. Fungsi respon tipe III

dapat dituliskan

f(X) =aX2

d2 +X2, (2.47)

25

dengan f(X) merupakan laju konsumsi predator, a menyatakan koefisien interaksi

antara prey dan predator, X merupakan jumlah populasi prey.dan d merupakan

konstanta half-saturation, yaitu jumlah populasi prey ketika laju konsumsi per unit

prey mencapai setengah dari nilai maksimum.

26

BAB III

Model Matematika Rantai Makanan Tiga Spesies dengan

Persaingan Intraspesifik dan Pemanenan pada Predator

3.1. Asumsi Model

Asumsi yang digunakan untuk membentuk model rantai makanan tiga spesi-

es dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator adalah sebagai

berikut:

1. Populasi prey adalah kelompok spesies yang menjadi mangsa bagi populasi

predator.

2. Populasi predator adalah kelompok spesies yang memangsa prey dan menja-

di mangsa bagi populasi top predator.

3. Populasi top predator adalah kelompok spesies yang memangsa populasi pre-

dator.

4. Interaksi antara prey, predator, dan top predator mengikuti bentuk interaksi

pada rantai makanan, sehingga populasi prey tidak dapat memangsa populasi

top predator.

5. Populasi top predator tidak memangsa populasi prey.

6. Populasi prey, predator, dan top predator bersifat tertutup, artinya tidak ada

migrasi dalam ketiga populasi.

7. Pertumbuhan populasi prey mengikuti laju pertumbuhan logistik.

8. Tidak ada jenis makanan lain selain prey yang dimangsa oleh predator dan

tidak ada jenis makanan lain selain predator yang dimangsa oleh top preda-

tor.

27

9. Predator dan top predator dalam melakukan pemangsaan mengikuti fungsi

respon tipe II.

10. Pertumbuhan populasi predator bergantung pada pemangsaan terhadap prey

serta pertumbuhan populasi top predator bergantung pada pemangsaan ter-

hadap predator.

11. Terdapat kompetisi intraspesifik pada makhluk hidup di dalam populasi pre-

dator dan top predator.

12. Populasi predator merupakan spesies yang dapat dipanen.

3.2. Variabel dan Parameter

Variabel dan parameter untuk model Asumsi yang digunakan untuk memben-

tuk model rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesifik dan pema-

nenan pada predator disajikan dalam Tabel 3.1 dan 3.2 berikut.

Tabel 3.1 Daftar variabel model rantai makanan tiga spesies dengan adanya persainganintraspesifik dan pemanenan pada predator

No. Variabel Definisi Syarat Satuan1. X(t) Jumlah populasi prey pada waktu X(t) ≥ 0 ekor

ke-t2. Y (t) Jumlah populasi predator pada Y (t) ≥ 0 ekor

waktu ke-t3. Z(t) Jumlah populasi top predator Z(t) ≥ 0 ekor

pada waktu ke-t

Tabel 3.2 Daftar parameter model rantai makanan tiga spesies dengan persainganintraspesifik dan pemanenan pada predator

No. Parameter Definisi Syarat Satuan

1. r Laju pertumbuhan prey tanpa r > 01

haridipengaruhi lingkungan

2. K Daya dukung lingkungan K > 0 ekorpopulasi prey

28

No. Parameter Definisi Syarat Satuan

3. M1 Koefisien interaksi antara M1 ≥ 01

hariprey dan predator

4. M2 Koefisien interaksi antara M2 ≥ 01

haripredator dan top predator

5. A1 Konstanta half-saturation A1 ≥ 0 ekorpada predator

6. A2 Konstanta half-saturation A2 ≥ 0 ekorpada top predator

7. E1 Pengubahan konsumsi prey E1 ≥ 0 -ke kelahiran predator

8. E2 Pengubahan konsumsi E2 ≥ 0 -predator ke kelahiran

top predator

9. D1 Laju kematian predator D1 ≥ 01

hari

10. D2 Laju kematian top predator D2 ≥ 01

hari

11. H1 Tingkat persaingan antar H1 ≥ 01

ekorharimakhluk hidup dalam populasi

predator

12. H2 Tingkat persaingan antar H2 ≥ 01

ekorharimakhluk hidup dalam populasi

top predator

13. q Laju pemanenan predator q ≥ 0ekor

hari

14. W Usaha yang diperlukan untuk W ≥ 01

ekormemanen predator

3.3. Pembentukan Model

Berdasarkan Gambar 3.1, terdapat tiga kompartemen berbeda yaitu populasi

prey (X), predator (Y), ddan top predator (Z). Tidak ada pengulangan dalam model,

artinya populasi prey dimangsa oleh predator, predator dimangsa oleh top predator,

tetapi top predator tidak dimangsa oleh prey.

Selanjutnya, apabila tidak ada interaksi antar prey dengan predator, maka per-

tumbuhan prey mengikuti laju pertumbuhan logistik. Adanya keterbatasan daya du-

kung lingkungan sebesarK dan tingkat pertumbuhan tanpa dipengaruhi lingkungan

29

Gambar 3.1 Diagram transfer parameter model rantai makanan tiga spesies denganpersaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator

sebesar r, menyebabkan populasi prey akan bertambah sebesar rX(1−X/K).

Ketika terjadi pemangsaaan prey oleh predator sebesar f1(X) menyebabkan

jumlah populasi prey berkurang sebanyak f1(X)Y , dimana f1(X) merupakan fung-

si respon tipe II yaitu berdasarkan Persamaan (2.46), f1(X) = M1X/(A1 + X).

Dengan demikian diperoleh laju perubahan jumlah populasi prey terhadap waktu

yaitu

dX

dT= rX

(1− X

K

)− M1XY

A1 +X. (3.1)

Kemudian jumlah populasi predator akan bertambah seiring dengan adanya

pemangsaan prey oleh predator sebesar E1f(X)Y dengan f(X) = M1X/(A1 +

X), E1 menyatakan pengubahan konsumsi prey ke kelahiran predator. Namun, ke-

tika prey tidak ada maka terjadi penurunan populasi predator sebesar D1. Selain

itu, adanya pemangsaaan predator oleh top predator menyebabkan jumlah preda-

tor berkurang sebanyak f2(X)Z, dimana f2(X) merupakan fungsi respon tipe II.

Berdasarkan Persamaan (2.46) f(Y ) = M2Y/A2 + Y .

Selanjutnya, di dalam populasi predator terdapat persaingan antar makhluk

hidup sehingga populasi predator akan berkurang sebanyak H1Y2, dengan H1 me-

rupakan laju persaingan antar makhluk hidup di dalam populasi predator. Berda-

sarkan asumsi, populasi predator merupakan spesies yang dapat dipanen sehingga

30

terdapat laju pemanenan predator sebesar q dan usaha dari pemanenan sebesar W .

Maka populasi predator akan berkurang sebanyak qWY . Dengan demikian dipe-

roleh laju perubahan jumlah populasi predator terhadap waktu

dY

dT=E1M1XY

A1 +X−D1Y −

M2Y Z

A2 + Y−H1Y

2 − qWY. (3.2)

Kemudian jumlah populasi top predator akan bertambah seiring dengan ada-

nya pemangsaan predator oleh top predator sebesar E2f(Y )Z dengan f(Y ) =

M2Y/A2 + Y dan E2 menyatakan pengubahan konsumsi predator ke kelahiran top

predator. Namun, ketika predator tidak ada maka terjadi penurunan populasi top

predator sebesar D2. Selanjutnya, di dalam populasi predator terdapat persaingan

antar makhluk hidup sehingga jumlah populasi top predator akan berkurang seba-

nyak H2Z2 dengan H2 merupakan laju persaingan antar makhluk hidup di dalam

populasi top predator. Dengan demikian diperoleh laju perubahan jumlah populasi

top predator terhadap waktu

dZ

dT=E2M2Y Z

A2 + Y−D2Z −H2Z

2. (3.3)

Berdasarkan Persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3), model rantai makanan tiga spe-

sies dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator berupa sistem

persamaan diferensial nonlinear

dX

dT= rX

(1− X

K

)− M1XY

A1 +X,

dY

dT=

E1M1XY

A1 +X−D1Y −

M2Y Z

A2 + Y−H1Y

2 − qWY,

dZ

dT=

E2M2Y Z

A2 + Y−D2Z −H2Z

2.

(3.4)

Beberapa penelitian terkait model matematika rantai makanan mempelajari

model dengan mengubah sistem ke dalam bentuk tak berdimensi. Bentuk tak ber-

dimensi didasarkan pada Lin dan Segel [16] dengan mengombinasikan variabel-

variabel dan parameter-parameter yang mengontrol perilaku sistem. Bentuk tak

31

berdimensi pada Sistem (3.4) merujuk pada Haque, dkk [10] dengan x =X

K,

y =Y

KE1

, z =Z

KE1E2

, dan t = rT sehingga Sistem (3.4) menjadi

dx

dt= x(1− x)− a1xy

1 + b1x,

dy

dt=

a1xy

1 + b1x− d1y −

a2yz

1 + b2y− h1y

2 − py,dz

dt=

a2yz

1 + b2y− d2z − h2z

2,

(3.5)

dengan

a1 =M1KE1

rA1

, b1 =K

A1

, d1 =D1

r, h1 =

H1KE1

r,

a2 =M2KE1E2

rA2

, b2 =KE1

A2

, d2 =D2

r, h2 =

H2KE1E2

r,

p =qW

r,

dan

Γ = {(x, y, z) ∈ R : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

3.4. Titik Ekuilibrium Model

Model rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesifik dan pema-

nenan pada predator berupa sistem persamaan diferesial nonlinear. Sistem (3.4)

diselesaikan dengan cara melihat perilaku disekitar titik ekuilibrium. Berdasarkan

Definisi 2.4.1 maka titik ekuilibrium pada model rantai makanan tiga spesies de-

ngan persaingan intraspesifik dan pemanenan pada predator diperoleh jika

dx

dt=dy

dt=dz

dt= 0.

Jikadx

dt= 0, maka

x(1− x)− a1xy

1 + b1x= 0 (3.6)

diperoleh

x = 0 (3.7)

32

atau

1− x− a1y

1 + b1x= 0. (3.8)

Jikady

dt= 0, maka

a1xy

1 + b1x− d1y −

a2yz

1 + b2y− h1y

2 − py = 0 (3.9)

diperoleh

y = 0 (3.10)

atau

a1x

1 + b1x− d1 −

a2z

1 + b2y− h1y − p = 0. (3.11)

Jikadz

dt= 0, maka

a2yz

1 + b2y− d2z − h2z

2 = 0. (3.12)

diperoleh

z = 0 (3.13)

atau

a2y

1 + b2y− d2 − h2z = 0 (3.14)

Sehingga dari Persamaan (3.7), (3.10), dan (3.13) diperoleh titik ekuilibrium yaitu

E1 = (0, 0, 0).

Selanjutnya Persamaan (3.10) disubstitusikan ke Persamaan (3.8) diperoleh

1− x = 0,

maka

x = 1. (3.15)

33

Sehingga dari Persamaan (3.15), (3.10), dan (3.13) diperoleh titik ekuilibrium yaitu

E2 = (1, 0, 0).

Kemudian dari Persamaan (3.8), (3.11), dan (3.13) diperoleh titik ekuilibrium

E3 = (x, y, 0). Persamaan (3.8) menjadi

x+a1y

1 + b1x= 1

a1y

1 + b1x= 1− x

a1y = (1− x)(1 + b1x)

diperoleh

y =(1− x)(1 + b1x)

a1

. (3.16)

Selanjutnya, Persamaan (3.11) menjadi

a1x

1 + b1x− a2z

1 + b2y− h1y = d1 + p. (3.17)

Persamaan (3.16) dan (3.8) disubstitusikan ke Persamaan (3.17) menjadi

a1x

1 + b1x− h1

((1− x)(1 + b1x)

a1

)= d1 + p. (3.18)

Kemudian Persamaan (3.18) dikalikan dengan a1(1 + b1), yaitu

a21 − h1(1− x)(1 + b1x) = a1(d1 + p)(1 + b1x)

⇔ a21 − h1 − 2b1h1x− b2

1h1x2 + h1x+ 2b1h1x

2 + b21h1x

3

= a1(d1 + p) + a1b1(d1 + p)x

⇔ [−h1 − a1(d1 + p)] + [a21 − 2b1h1 + h1 − a1b1(d1 + p)]x

+[2b1h1 − b21h1]x2 + b2

1h1x3 = 0

⇔ B0 +B1x+B2x2 +B3x

3 = 0, (3.19)

dengan

B0 = −h1 − a1(d1 + p),

B1 = a21 − 2b1h1 + h1 − a1b1(d1 + p),

B2 = 2b1h1 − b21h1,

B3 = b21h1.

34

Persamaan (3.19) dapat dituliskan

3∑i=0

Bixi = 0. (3.20)

Selanjutnya dari Persamaan (3.20) akan ditentukan keberadaan satu akar po-

sitif dengan mengabaikan kemungkinan lain. Asumsikan terdapat suatu akar kom-

pleks γ dengan akar konjugetnya γ∗. Pasangan akar kompleks tersebut akan mem-

bentuk suatu persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif yaitu

x2 + bx+ d = (x− γ)(x− γ∗)

= x2 − (γ + γ∗)x+ γγ∗

= x2 − 2Re(γ)x+ |γ|2

dimana b dan d merupakan konstanta bilangan real dengan d = |γ|2 > 0.

Kemudian Persamaan (3.20) dapat dituliskan∑3i=0 Bix

i = B3(x+ α)(x2 + bx+ d)

= B3[x3 + (b+ α)x2 + (bα + d)x+ dα].(3.21)

Berdasarkan Persamaan (3.21) diperoleh

b+ α =B2

B3

, bα + d =B1

B3

, dα =B0

B3

,

Maka didapatkan nilai α,

α =B0

B3d=

B0

B3|γ|2.

Sehingga diperoleh akar lain dari Persamaan (3.21 yaitu

x = x = − B0

B3|γ|2, (3.22)

agar x bernilai positif, maka haruslahB0

B3|γ|2< 0 sehingga x > 0.

Selanjutnya x = x disubstitusikan ke Persamaan (3.16) menjadi

y =(1− x)(1 + b1x)

a1

. (3.23)

Sehingga dari Persamaan (3.22), (3.23), dan (3.13) diperoleh titik ekuilibrium yaitu

E3 = (x, y, 0).

35

Selanjutnya dari Persamaan (3.14), (3.16), dan (3.17) diperoleh titik ekuilibri-

um E4 = (x, y, z). Persamaan (3.14) menjadi

a2y

1 + b2y− h2z = d2,

diperoleh

z =(a2 − b2d2)y − d2

h2(1 + b2y). (3.24)

Persamaan (3.16) disubstitusikan ke Persamaan (3.24), yaitu

z =

(a2 − b2d2)

((1− x)(1 + b1x)

a1

)− d2

h2

[1 + b2

((1− x)(1 + b1x)

a1

)]atau

z =(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2

a1h2 + b2h2(1− x)(1 + b1x). (3.25)

Persamaan (3.16) dan (3.25) disubstitusikan ke Persamaan (3.17), yaitu

a1x

1 + b1x−a2

[(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2

a1h2 + b2h2(1− x)(1 + b1x)

]1 + b2

[(1− x)(1 + b1x)

a1

] − h1

[(1− x)(1 + b1x)

a1

]

= d1 + p

atau menjadi

a1x

1 + b1x− a1a2[(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2]

h2[a1 + b2(1− x)(1 + b1x)]2

−h1(1− x)(1 + b1x)

a1

= d1 + p.(3.26)

Kemudian Persamaan (3.26) dikalikan dengan a1(1+b1x)h2[a1+b2(1−x)(1+

b1x)]2, yaitu

a21x{[h2[a1 + b2(1− x)(1 + b1x)]2]}

−a1a2[(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2](1 + b1x)a1

−h1(1− x)(1 + b1x)2h2[a1 + b2(1− x)(1 + b1x)]2

= a1(d1 + p)(1 + b1x)h2[a1 + b2(1− x)(1 + b1x)]2

36

⇔ a41h2x+ 2a3

1b2h2x+ 2a31b2h2(b1 − 1)x3 − 2a3

1b1b2h2x3 + a2

1b22h2x

+2a21b

22h2(b1 − 1)x2 − 2a2

1b1b22h2x

3 + a21b

22h2(b1 − 1)2x3

−2a21b1b

22h2(b1 − 1)x4 + a2

1b21b

22h2x

5 − a21a2(a2 − b2d2)− a2

1a2b2(a2 − b2d2)x

−a21a2b2(a2 − b2d2)x− a2

1a2(a2 − b2d2)(b1 − 1)x

−a21a2b1(a2 − b2d2)(b1 − 1)x2 + a2

1a2b1(a2 − b2d2)x2 + a21a2b

22(a2 − b2d2)x3

+a31a2d2 + a3

1a2b1d2x− a21h1h2 − 2a1b2h1h2 − 2a1b2h1h2(b1 − 1)x

+2a1b1b2h1h2x2 − b2

2h1h2 − 2b22h1h2(b1 − 1)x+ 2b1b

22h1h2x

2 − b22h1h2

−2b22h1h2(b1 − 1)x+ 2b1b

22h1h2x

2 − b22h1h2(b1 − 1)2x2

+2b1b22h1h2(b1 − 1)x3 − b2

1b22h1h2x

4 − a21b1h1h2x− 2a1b1b2h1h2x

−2a1b1b2h1h2(b1 − 1)x2 + 2a1b21b2h1h2x

3 − b1b22h1h2x

−2b1b22h1h2(b1 − 1)x2 + 2b2

1b2h1h2x3 − b1b

22h1h2(b1 − 1)2x3

+2b21b

22h1h2(b1 − 1)x4 − b3

1b22h1h2x

5 − a21h1h2(b1 − 1)x

−2a1b2h1h2(b1 − 1)x− 2a1b2h1h2(b1 − 1)2 + 2a1b1b2h1h2(b1 − 1)x3

−b22h1h2(b1 − 1)x− 2b2

2h1h2(b1 − 1)2x2 + 2b1b22h1h2(b1 − 1)x3

−b22h1h2(b1 − 1)3x3 + 2b1b

22h1h2(b1 − 1)2x4 − b2

1b22h1h2(b1 − 1)x5

−a21b1h1h2(b1 − 1)x2 − 2a1b1b2h1h2(b1 − 1)x2 − 2a1b1b2h1h2(b1 − 1)2x3

+2a1b21b2h1h2(b1 − 1)x4 − b1b

22h1h2(b1 − 1)x2 − 2b1b

22h1h2(b1 − 1)x3

+2b21b

22h1h2(b1 − 1)x4 − b1b

22h1h2(b1 − 1)3x4 + 2b2

1b22h1h2(b1 − 1)2x5

−b31b

22h1h2(b1 − 1)x6 + a2

1b1h1h2x2 + 2a1b1b2h1h2x

2

+2a1b1b2h1h2(b1 − 1)x3 − 2a1b21b2h1h2x

4 + b1b22h1h2x

2

+2b1b22h1h2(b1 − 1)x3 − 2b2

1b22h1h2x

4 + b1b22h1h2(b1 − 1)x4

−2b21b

22h1h2(b1 − 1)x5 + b3

1b22h1h2x

6 + a21b

21h1h2x

3 + 2a1b21b2h1h2x

3

+2a1b21b2h1h2(b1 − 1)x4 − 2a1b

31b2h1h2x

5 + b21b

22h1h2x

3

+2b21b

22h1h2(b1 − 1)x4 − 2b3

1b22h1h2x

5 + b21b

22h1h2(b1 − 1)2x5

−2b31b

22h1h2(b1 − 1)x6 + b4

1b22h1h2x

7

= a31h2(d1 + p) + 2a2

1b2h2(d1 + p) + 2a21b2h2(b1 − 1)(d1 + p)x

−2a21b1b2h2(d1 + p)x2 + a1b

22h2(d1 + p) + 2a1b

22h2(b1 − 1)(d1 + p)x

−2a1b1b22h2(d1 + p)x2 + a1b

22h2(b1 − 1)2(d1 + p)x2

−2a1b1b22h2(b1 − 1)(d1 + p)x3 + a1b

21b

22h2(d1 + p)x4

+a31b1h2(d1 + p)x+ 2a2

1b1b2h2(d1 + p)x

+2a21b1b2h2(b1 − 1)(d1 + p)x2 − 2a2

1b21b2h2(d1 + p)x3

+a1b1b22h2(d1 + p)x+ 2a1b1b

22h2(b1 − 1)(d1 + p)x2

37

−2a1b21b

22h2(d1 + p)x3 + a1b1b

22h2(b1 − 1)2(d1 + p)x3

−2a1b21b

22h2(b1 − 1)(d1 + p)x4 + a1b

31b

22h2(d1 + p)x5

⇔ −a21a2(a2 − b2d2) + a3

1a2d2 − h1h2(a1 + b2)2 − a1h2(d1 + p)(a1 + b2)2

+{a21h2(a1 + b2)2 − a2

1a2b1(a2 − b2d2)− a21a2(a2 − b2d2)(b1 − 1)

+a31a2b1d2 − 2a1b2h1h2(b1 − 1)− 2b2

2h1h2(b1 − 1)− b1h1h2(a1 + b2)2

−h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)2 − 2a1b2h2(a1 + b2)(b1 − 1)(d1 + p)

−a1b1h2(d1 + p)(a1 + b2)2}x+ {2a21b2h2(b1 − 1)(a1 + b2)

−a21a2b1(a2 − b2d2)(b1 − 1) + a2

1a2b1(a2 − b2d2) + 2b1b2h1h2(a1 + b2)

−b22h1h2(b1 − 1)2 − 2b1b2h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)

−2b2h1h2(b1 − 1)2(a1 + b2)− b1h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)2

+b1h1h2(a1 + b2)2 + 2a1b1b2h2(d1 + p)(a− 1 + b2)

−a1b22h2(b1 − 1)2(d1 + p)− 2a1b1b2h2(a1 + p)(b1 − 1)(d1 + p)}x2

+{a21b

22h2(b1 − 1)2 − 2a2

1b1b2h2(a1 + b2) + a21a2b

22(a2 − b2d2)

+2b1b22h1h2(b1 − 1) + 2b2

1b2h1h2(a1 + b2)− b1b22h1h2(b1 − 1)2

+4b1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)− b22h1h2(b1 − 1)3

−2b1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)2 + b21h1h2(a1 + b2)2

+a1b1b22h2(b1 − 1)(d1 + p) + 2a1b

21b2h2(a1 + b2)(d1 + p)}x3

+{2b21b

22h1h2(b1 − 1)− 2a2

1b1b22h2(b1 − 1)− b2

1b22h1h2

+2b1b22h1h2(b1 − 1)2 + 2b2

1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)

−b1b22h1h2(b1 − 1)3 − 2b2

1b2h1h2(a1 + b2) + b1b22h1h2(b1 − 1)

+2b21b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)− a1b

21b

22h2(d1 + p)

+2a1b21b

22h1h2(b1 − 1)(d1 + p)}x4 + {a2

1b21b

22h2 − b3

1b22h1h2

−3b21b

22h1h2(b1 − 1) + 2b2

1b22h1h2(b1 − 1)2 − 2b3

1b2h1h2(a1 + b2)

+b21b

22h1h2(b1 − 1)− a1b

31b

22h2(d1 + p)}x5

+{b31b

22h1h2 − 3b3

1b22h1h2(b1 − 1)}x6 + b4

1b22h1h2x

7 = 0

(3.27)

⇔ G0 +G1x+G2x2 +G3x

3 +G4x4 +G5x

5 +G6x6 +G7x

7 = 0, (3.28)

38

dengan

G0 = −a21a2(a2 − b2d2) + a3

1a2d2 − h1h2(a1 + b2)2

−a1h2(d1 + p)(a1 + b2)2,

G1 = a21h2(a1 + b2)2 − a2

1a2b1(a2 − b2d2)− a21a2(a2 − b2d2)(b1 − 1)

+a31a2b1d2 − 2a1b2h1h2(b1 − 1)− 2b2

2h1h2(b1 − 1)− b1h1h2(a1 + b2)2

−h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)2 − 2a1b2h2(a1 + b2)(b1 − 1)(d1 + p)

−a1b1h2(d1 + p)(a1 + b2)2,

G2 = 2a21b2h2(b1 − 1)(a1 + b2)− a2

1a2b1(a2 − b2d2)(b1 − 1)

+a21a2b1(a2 − b2d2) + 2b1b2h1h2(a1 + b2)− b2

2h1h2(b1 − 1)2

−2b1b2h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)− 2b2h1h2(b1 − 1)2(a1 + b2)

−b1h1h2(b1 − 1)(a1 + b2)2 + b1h1h2(a1 + b2)2

+2a1b1b2h2(d1 + p)(a1 + b2)− a1b22h2(b1 − 1)2(d1 + p)

−2a1b1b2h2(a1 + p)(b1 − 1)(d1 + p),

G3 = a21b

22h2(b1 − 1)2 − 2a2

1b1b2h2(a1 + b2) + a21a2b

22(a2 − b2d2)

+2b1b22h1h2(b1 − 1) + 2b2

1b2h1h2(a1 + b2)− b1b22h1h2(b1 − 1)2

+4b1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)− b22h1h2(b1 − 1)3

−2b1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)2 + b21h1h2(a1 + b2)2

+a1b1b22h2(b1 − 1)(d1 + p) + 2a1b

21b2h2(a1 + b2)(d1 + p),

G4 = 2b21b

22h1h2(b1 − 1)− 2a2

1b1b22h2(b1 − 1)− b2

1b22h1h2

+2b1b22h1h2(b1 − 1)2 + 2b2

1b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)

−b1b22h1h2(b1 − 1)3 − 2b2

1b2h1h2(a1 + b2) + b1b22h1h2(b1 − 1)

+2b21b2h1h2(a1 + b2)(b1 − 1)− a1b

21b

22h2(d1 + p)

+2a1b21b

22h1h2(b1 − 1)(d1 + p),

G5 = a21b

21b

22h2 − b3

1b22h1h2 − 3b2

1b22h1h2(b1 − 1) + 2b2

1b22h1h2(b1 − 1)2

−2b31b2h1h2(a1 + b2) + b2

1b22h1h2(b1 − 1)− a1b

31b

22h2(d1 + p),

G6 = b31b

22h1h2 − 3b3

1b22h1h2(b1 − 1),

G7 = b41b

22h1h2.

Persamaan (3.28) dapat dituliskan

7∑i=0

Gixi = 0. (3.29)

39

Selanjutnya dari Persamaan (3.29) akan ditentukan keberadaan akar positif de-

ngan mengabaikan kemungkinan lain. Asumsikan terdapat dua akar kompleks δ, η,

dan θ dengan masing-masing pasangan konjugetnya δ∗, η∗, dan θ∗. Kemudian δ de-

ngan δ∗, η dengan η∗, dan θ dengan θ∗ masing-masing membentuk suatu persamaan

kuadrat dengan diskriminan negatif yaitu

x2 +mx+ n = (x− δ)(x− δ∗)

= x2 − (δ + δ∗)x+ δδ∗

= x2 − 2Re(δ)x+ |δ|2,

x2 + rx+ s = (x− η)(x− η∗)

= x2 − (η + η∗)x+ ηη∗

= x2 − 2Re(η)x+ |η|2,

x2 + vx+ w = (x− θ)(x− θ∗)

= x2 − (θ + θ∗)x+ θθ∗

= x2 − 2Re(θ)x+ |θ|2,

dimana m, n, r, s, v, dan w merupakan konstanta bilangan real dengan n = |δ|2 >

0, s = |η|2 > 0, dan w = |θ|2 > 0.

Maka Persamaan (3.29) dapat dituliskan∑7i=1Gix

i = G7(x+ β)(x2 +mx+ n)(x2 + rx+ s)(x2 + vx+ w)

= G7[x7 + (v + r +m+ β)x6 + (w + vr + s+mv +mr

+n+ vβ + rβ +mβ)x5 + (wr + vs+mw +mvr +ms

+nv + nr + wβ + vrβ + sβ +mvβ +mrβ + nβ)x4

+(ws+mwr +mvs+ nw + nvr + ns+ wrβ + vsβ

+mwβ +mvrβ +msβ + nvβ + nrβ)x3 + (mws+ nwr

+nvs+ wsβ +mwrβ +mvsβ + nwβ + nvrβ + nsβ)x2

+(nws+mwsβ + nwrβ + nvsβ)x+ nwsβ].

(3.30)

40

Berdasarkan Persamaan (3.30) diperoleh

v + r +m+ β =G6

G7

,

w + vr + s+mv +mr + n+ β(v + r +m) =G5

G7

,

wr + vs+mw +mvr +ms+ nv + nr + β(w + vr + s+mv +mr + n) =G4

G7

,

ws+mwr +mvs+ nw + nvr + ns+ β(wr + vs+mwβ +mvr +ms+ nv

+nr) =G3

G7

,

mws+ nwr + nvs+ β(ws+mwr +mvs+ nw + nvr + ns) =G2

G7

,

nws+ β(mws+ nwr + nvs) =G1

G7

,

nwsβ =G0

G7

.

Maka didapatkan nilai β,

β =G0

G7nws

=G0

G7|δ|2|θ|2|η|2.

Sehingga diperoleh satu akar lain dari Persamaan (3.29) yaitu

x = x = − G0

G7|δ|2|θ|2|η|2, (3.31)

agar x bernilai positif, maka haruslahG0

G7|δ|2|θ|2|η|2< 0 sehingga x > 0.

Selanjutnya x = x disubstitusikan ke Persamaan (3.16) dan (3.25) menjadi

y =(1− x)(1 + b1x)

a1

(3.32)

dan

z =(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2

a1h2 + b2h2(1− x)(1 + b1x). (3.33)

Sehingga dari Persamaan (3.31), (3.32), dan (3.33) diperoleh titik ekuilibrium yaitu

E4 = (x, y, z).

41

3.5. Kestabilan Titik Ekuilibrium

Kestabilan titik ekuilibrium diselidiki dari hasil linearisasi pada Sistem (3.5)

disekitar titik ekuilibriumnya. Sebelum melakukan linearisasi, terlebih dahulu di-

bentuk matriks Jacobian dari Sistem (3.5) di sekitar titik ekuilibrium E = (x, y, z)

J(f(x,y,z)) =

∂f1

∂x

∂f1

∂y

∂f1

∂z∂f2

∂x

∂f2

∂y

∂f2

∂z∂f3

∂x

∂f3

∂y

∂f3

∂z

(x,y,z)

. (3.34)

Sistem (3.5) kembali dituliskan menjadi

f1(x, y, z) = x(1− x)− a1xy

1 + b1x,

f2(x, y, z) =a1xy

1 + b1x− d1y −

a2yz

1 + b2y− h1y

2 − py,

f3(x, y, z) =a2yz

1 + b2y− d2z − h2z

2.

(3.35)

Elemen-elemen pada matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium E dipero-

leh dengan menurunkan secara parsial persamaan-persamaan pada Sistem (3.35)

terhadap x, y, dan z.

1. Persamaan f1(x, y, z) = x(1− x)− a1xy

1 + b1xditurunkan terhadap x, y, dan z

yaitu

∂f1

∂x= 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2,

∂f1

∂y= − a1x

(1 + b1x),

∂f1

∂z= 0.

(3.36)

2. Persamaan f2(x, y, z) =a1xy

1 + b1x− d1y −

a2yz

1 + b2y− h1y

2 − py diturunkan

terhadap x, y, dan z yaitu

∂f2

∂x=

a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2,

∂f2

∂y=

a1x

(1 + b1x)− d1 −

a2z

1 + b2y+

a2b2yz

(1 + b2y)2− 2h1y − p,

∂f2

∂z= − a2y

1 + b2y.

(3.37)

42

3. Persamaan f3(x, y, z) =a2yz

1 + b2y− d2z− h2z

2 diturunkan terhadap x, y, dan

z yaitu

∂f3

∂x= 0,

∂f3

∂y=

a2z

1 + b2y− a2b2yz

(1 + b2y)2,

∂f3

∂z=

a2y

1 + b2y− d2 − 2h2z.

(3.38)

3.5.1. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E1 = (0, 0, 0)

Titik ekuilibrium E1 = (0, 0, 0) disubstitusikan ke Sistem (3.36), (3.37), dan

(3.38) yaitu

∂f1

∂x(E1) = 1,

∂f1

∂y(E1) = 0,

∂f1

∂z(E1) = 0,

∂f2

∂x(E1) = 0,

∂f2

∂y(E1) = −(d1 + p),

∂f2

∂z(E1) = 0,

∂f3

∂x(E1) = 0,

∂f3

∂y(E1) = 0,

∂f3

∂z(E1) = −d2.

(3.39)

Kemudian persamaan-persamaan pada Sistem (3.39) disubstitusikan ke Persa-

maan matriks (3.34) sehingga matriks J(f(E1)) diperoleh

J(f(E1)) =

1 0 0

0 −(d1 + p) 0

0 0 −d2

. (3.40)

43

Persamaan karakteristik untuk J(f(E1)) adalah

|λI − J(f(E1))| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

−

1 0 0

0 −(d1 + p) 0

0 0 −d2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ− 1 0 0

0 λ+ (d1 + p) 0

0 0 λ+ d2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ (λ− 1)(λ+ (d1 + p))(λ+ d2) = 0. (3.41)

Berdasarkan Persamaan Karakteristik (3.40) diperoleh nilai-nilai eigen yaitu

λ1 = 1, λ2 = −(d1 + p), dan λ3 = −d2. Karena d1, p, d2 > 0 maka λ2, λ3 < 0.

Namun, λ1 > 0. Sehingga titik ekuilibrium E1 = (0, 0, 0) bersifat tidak stabil.

3.5.2. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E2 = (1, 0, 0)

Titik ekuilibrium E2 = (1, 0, 0) disubstitusikan ke Sistem (3.36), (3.37), dan

(3.38) yaitu

∂f1

∂x(E2) = −1,

∂f1

∂y(E2) = − a1

1 + b1

,

∂f1

∂z(E2) = 0,

∂f2

∂x(E2) = 0,

∂f2

∂y(E2) =

a1

1 + b1

− d1 − p,∂f2

∂z(E2) = 0,

∂f3

∂x(E2) = 0,

∂f3

∂y(E2) = 0,

∂f3

∂z(E2) = −d2.

(3.42)

Teorema 3.5.1 Jika a1 < (d1 + p)(1 + b1), maka titik ekuilibrium E2 = (1, 0, 0)

bersifat stabil asimtotik lokal.

44

Bukti. Persamaan-persamaan pada Sistem (3.39) disubstitusikan ke Persamaan ma-

triks (3.34) sehingga matriks J(f(E2)) diperoleh

J(f(E2)) =

−1 − a1

1 + b1

0

0a1

1 + b1

− d1 − p 0

0 0 −d2

. (3.43)

Maka persamaan karakteristik untuk J(f(E2)) adalah

|λI − J(f(E2))| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

−−1 − a1

1 + b1

0

0a1

1 + b1

− d1 − p 0

0 0 −d2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ+ 1

a1

1 + b1

0

0 λ−(

a1

1 + b1

− d1 − p)

0

0 0 λ+ d2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

⇔ (λ+ 1)

(λ−

(a1

1 + b1

− d1 − p))

(λ+ d2) = 0. (3.44)

Berdasarkan Persamaan Karakteristik (3.44) diperoleh nilai-nilai eigen yaitu

λ1 = −1, λ2 =a1

1 + b1

− d1 − p, dan λ3 = −d2. Karena d2 > 0, akibatnya λ3 < 0.

Agar titik ekuilibrium E2 bersifat stabil asimtotik lokal, haruslah λ2 < 0. Artinya,

a1

1 + b1

− d1 − p < 0

⇔ a1 < (d1 + p)(1 + b1).

Sehingga titik ekuilibrium E2 = (1, 0, 0) bersifat stabil asimtotik lokal jika a1 <

(d1 + p)(1 + b1). �

45

3.5.3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E3 = (x, y, 0)

Titik ekuilibrium E3 = (x, y, 0) disubstitusikan ke Sistem (3.36), (3.37), dan

(3.38) yaitu

∂f1

∂x(E3) = 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2= g11,

∂f1

∂y(E3) = − a1x

1 + b1x= g12,

∂f1

∂z(E3) = 0,

∂f2

∂x(E3) =

a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2= g21,

∂f2

∂y(E3) =

a1x

1 + b1x− d1 − 2h1y − p = g22,

∂f2

∂z(E3) = − a2y

1 + b2y= g23,

∂f3

∂x(E3) = 0,

∂f3

∂y(E3) = 0,

∂f3

∂z(E3) =

a2y

1 + b2y− d2 = g33.

(3.45)

Berdasarkan Persamaan (3.11) diperoleh

d1 =a1x

1 + b1x− a2z

1 + b2y− h1y − p. (3.46)

Selanjutnya, titik ekuilibrium E3 = (x, y, 0) disubstitusikan ke Persamaan (3.46)

d1 =a1x

1 + b1x− h1y − p. (3.47)

46

Persamaan (3.47) disubstitusikan ke Sistem (3.45), sehingga menjadi

∂f1

∂x(E3) = 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2= g11,

∂f1

∂y(E3) = − a1x

1 + b1x= g12,

∂f1

∂z(E3) = 0,

∂f2

∂x(E3) =

a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2= g21,

∂f2

∂y(E3) = −h1y = g22,

∂f2

∂z(E3) = − a2y

1 + b2y= g23,

∂f3

∂x(E3) = 0,

∂f3

∂y(E3) = 0,

∂f3

∂z(E3) =

a2y

1 + b2y− d2 = g33.

(3.48)

Teorema 3.5.2 Jika x >b1 − 1

2b1

dan y <d2

a2 − b2d2

, maka titik ekuilibrium E3 =

(x, y, 0) bersifat stabil asimtotik lokal.

Bukti. Persamaan-persamaan pada Sistem (3.45) disubstitusikan ke persamaan ma-

triks (3.34), sehingga matriks J(f(E3)) diperoleh

J(f(E3)) =

g11 g12 0

g21 g22 g23

0 0 g33

. (3.49)

Maka persamaan karakteristik untuk J(f(E3)) adalah

|λI − J(f(E3))| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

−

g11 g12 0

g21 g22 g23

0 0 g33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ− g11 −g12 0

−g21 λ− g22 −g23

0 0 λ− g33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ (λ− g33)[(λ− g11)(λ− g22)− g12g21] = 0

⇔ (λ− g33)[λ2 − (g22 + g11)λ+ g11g22 − g12g21] = 0. (3.50)

47

Berdasarkan Persamaan (3.50) diperoleh (λ − g33) = 0 atau [λ2 − (g22 + g11)λ +

g11g22−g12g21] = 0, sehingga nilai eigen yang memenuhi persamaan karakteristik-

nya adalah

λ1 = g33,

λ2 =(g11 + g22) +

√(g11 + g22)2 − 4(g11g22 − g12g21)

2,

λ3 =(g11 + g22)−

√(g11 + g22)2 − 4(g11g22 − g12g21)

2.

Karena a1, a2, b1, b2, d1, d2, h1, p > 0, agar titik ekuilibrium E3 bersifat stabil asi-

mtotik lokal haruslah

λ1 < 0

⇔ g33 < 0

⇔ a2y

1 + b2y− d2 < 0

⇔ y <d2

a2 − b2d2

, (3.51)

dan

λ2,3 =(g11 + g22)±

√(g11 + g22)2 − 4(g11g22 − g12g21)

2< 0,

dengan syarat (g11 + g22) < 0 dan (g11g22− g12g21) > 0 sehingga g11 < 0, g22 < 0,

g12 < 0, dan g21 > 0. Maka diperoleh

g11 < 0

⇔ 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2< 0, (3.52)

Persamaan (3.23) disubstitusikan ke (3.52) sehingga

g11 < 0

⇔ 1− 2x− 1− x1 + b1x

< 0

⇔ b1x− x− 2b1x2

1 + b1x< 0

⇔ x(b1 − 1− 2b1x) < 0

⇔ x < 0 atau x >b1 − 1

2b1

. (3.53)

48

Kemudian,

g22 < 0

⇔ −h1y < 0

⇔ h1y > 0

⇔ h1 > 0 atau y > 0, (3.54)

g12 < 0

⇔ − a1x

1 + b1x< 0

⇔ −a1x < 0

⇔ a1x > 0

⇔ a1 > 0 atau x > 0, (3.55)

dan

g21 > 0

⇔ a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2> 0

⇔ a1y

(1 + b1x)2> 0

⇔ a1y > 0

⇔ a1 > 0 atau y > 0. (3.56)

Sehingga berdasarkan (3.51) dan (3.53), titik ekuilibrium E3 = (x, y, 0) bersi-

fat stabil asimtotik lokal jika

x >b1 − 1

2b1

dan

y <d2

a2 − b2d2

.

�

49

3.5.4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium E4 = (x, y, z)

Titik ekuilibrium E4 = (x, y, z) disubstitusikan ke Sistem (3.36), (3.37), dan

(3.38) yaitu

∂f1

∂x(E4) = 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2= m11,

∂f1

∂y(E4) = − a1x

1 + b1x= m12,

∂f1

∂z(E4) = 0,

∂f2

∂x(E4) =

a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2= m21,

∂f2

∂y(E4) =

a1x

1 + b1x− d1 −

a2z

1 + b2y+

a2b2yz

(1 + b2y)2− 2h1y − p = m22,

∂f2

∂z(E4) = − a2y

1 + b2y= m23,

∂f3

∂x(E4) = 0,

∂f3

∂y(E4) =

a2z

1 + b2y− a2b2yz

(1 + b2y)2= m32,

∂f3

∂z(E4) =

a2y

1 + b2y− d2 − 2h2z = m33.

(3.57)

Berdasarkan Persamaan (3.14) diperoleh

d2 =a2y

1 + b2y− h2z. (3.58)

Selanjutnya, titik ekuilibrium E4 = (x, y, z) disubstitusikan ke Persamaan (3.46)

dan (3.58) sehingga

d1 =a1x

1 + b1x− a2z

1 + b2y− h1y − p, (3.59)

dan

d2 =a2y

1 + b2y− h2z. (3.60)

50

Persamaan (3.59) dan (3.60) disubstitusikan ke Sistem (3.57), menjadi

∂f1

∂x(E4) = 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2= m11,

∂f1

∂y(E4) = − a1x

1 + b1x= m12,

∂f1

∂z(E4) = 0,

∂f2

∂x(E4) =

a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2= m21,

∂f2

∂y(E4) =

a2b2yz

(1 + b2y)2− h1y = m22,

∂f2

∂z(E4) = − a2y

1 + b2y= m23,

∂f3

∂x(E4) = 0,

∂f3

∂y(E4) =

a2z

1 + b2y− a2b2yz

(1 + b2y)2= m32,

∂f3

∂z(E4) = −h2z = m33.

(3.61)

Teorema 3.5.3 Jika a1 >(1− 2x)(1 + b1x)2

ydan a2 <

h1(1 + b2y)2

b2z, maka titik

ekuilibrium E4 = (x, y, z) bersifat stabil asimtotik lokal.

Bukti. Persamaan-persamaan pada Sistem (3.57) disubstitusikan ke persamaan ma-

triks (3.34), sehingga matriks J(f(E4)) diperoleh

J(f(E4)) =

m11 m12 0

m21 m22 m23

0 m32 m33

. (3.62)

51

Maka persamaan karakteristik untuk J(f(E4)) adalah

|λI − J(f(E4))| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

−

m11 m12 0

m21 m22 m23

0 m32 m33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−m11 −m12 0

−m21 λ−m22 −m23

0 −m32 λ−m33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ λ3 − (m11 +m22 +m33)λ2 + (m22m33 −m23m32

+ m11m22 +m11m33 −m12m21)λ−m11m22m33

+ m11m23m32 +m12m21m33 = 0. (3.63)

Berdasarkan Persamaan (3.63) diperoleh

λ3 + Cλ2 +Dλ+ E = 0 (3.64)

dengan C = −(m11 +m22 +m33), D = m22m33−m23m32 +m11m22 +m11m33−

m12m21, dan E = −m11m22m33 +m11m23m32 +m12m21m33.

Penentuan tanda nilai-nilai eigen λ1, λ2, dan λ3 pada Persamaan (3.64) meng-

gunakan Kriteria Routh-Hurwitz. Sehingga Matriks Routh-Hurwitz Persamaan (3.64)

adalah

H =

C 1 0

E D C

0 0 E

,

sehingga diperoleh determinan dari Matriks Routh-Hurwitz yaitu

41 = |C| = C,

42 =

∣∣∣∣∣∣ C 1

E D

∣∣∣∣∣∣ = CD − E,

43 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣C 1 0

E D C

0 0 E

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = E(CD − E).

52

Agar Persamaan (3.64) memiliki bagian real dari nilai-nilai eigen yang negatif ha-

ruslah

41 > 0 ⇔ C > 0,

42 > 0 ⇔ CD − E > 0,

43 > 0 ⇔ E > 0,

(3.65)

kemudian

CD − E = −(m11)2m22 − (m11)2m33 +m11m12m21 − (m22)2m33

−m11(m22)2 − 2m11m22m33 +m12m21m22 +m22m23m32

−m22(m33)2 −m11(m33)2 +m23m32m33.

Berdasarkan (3.65) maka haruslah m11 < 0, m12 < 0, m21 < 0, m22 < 0,

m23 < 0, m32 > 0, dan m33 < 0. Diperoleh

m11 < 0

⇔ 1− 2x− a1y

1 + b1x+

a1b1xy

(1 + b1x)2< 0

⇔ 1− 2x− a1y

(1 + b1x)2< 0

⇔ a1 >(1− 2x)(1 + b1x)2

y, (3.66)

m12 < 0

⇔ − a1x

1 + b1x< 0

⇔ −a1x < 0

⇔ a1x > 0

⇔ a1 > 0 atau x > 0, (3.67)

m21 < 0

⇔ a1y

1 + b1x− a1b1xy

(1 + b1x)2< 0

⇔ a1y

(1 + b1x)2> 0

⇔ a1y > 0

⇔ a1 > 0 atau y > 0, (3.68)

53

m22 < 0

⇔ a2b2yz

(1 + b2y)2− h1y < 0

⇔ a2 <h1(1 + b2y)2

b2z, (3.69)

m23 < 0

⇔ − a2y

1 + b2y< 0

⇔ −a2y < 0

⇔ a2y > 0

⇔ a2 > 0 atau y > 0, (3.70)

m32 > 0

⇔ a2z

1 + b2y− a2b2yz

(1 + b2y)2> 0

⇔ a2z

(1 + b1y)2> 0

⇔ a2z > 0

⇔ a2 > 0 atau z > 0, (3.71)

dan

m33 < 0

⇔ −h2z < 0

⇔ h2z > 0

⇔ h2 > 0 atau z > 0. (3.72)

Sehingga berdasarkan (3.66) dan (3.69)titik ekuilibriumE4 = (x, y, z) bersifat

stabil asimtotik lokal jika

a1 >(1− 2x)(1 + b1x)2

y

dan

a2 <h1(1 + b2y)2

b2z.

�

54

BAB IV

SIMULASI NUMERIK

Pada bab ini akan dilakukan simulasi numerik pada masing-masing titik-titik

ekuilibrium Sistem (3.4) dan simulasi untuk variasi beberapa parameter. Simulasi

pada model dilakukan dengan menggunakan program Maple 18.

4.1. Nilai-nilai Parameter

Nilai-nilai parameter dalam simulasi ini diambil di sekitar parameter-parameter

dari beberapa penelitian mengenai model Predator-Prey yaitu [1], [11], [12], [23],

[17], [24], [10], dan [18]. Kemudian untuk jumlah populasi prey (Zooplankton)

menggunakan data penelitian di Pantai Kartini, Kota Jepara[19]. Adapun nilai-nilai

parameter yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Rata-rata populasi prey di laut sekitar Pantai Kartini sebanyak 110 ekor/m3.

Pantai Kartini pada Peta Pulau Jawa (skala 1:4.000.000) merupakan1

36bagi-

an dari Laut Jawa sehingga volume lautnya sekitar 7, 768888889 × 1011 m3

sehingga jumlah maksimal prey yang dapat hidup pada ekosistem tersebut

adalah

K = 7, 768888889× 1011 m3 × 110 ekor/m3

= 8, 545777778× 1013 ekor.

2. Berdasarkan [1], nilai parameter pengubahan kosumsi prey ke kelahiran pre-

dator adalah E1 = 1. sedangkan pengubahan kosumsi predator ke kelahiran

top predator adalah E2 = 1.

3. Koefisien interaksi antara prey dan predator adalah a1 = 4, 288, sedangkan

koefisien interaksi antara predator dan top predator adalah a2 = 2, 76.

4. Konstanta half-saturation pada predator adalah b1 = 2, 312, sedangkan kon-

stanta half-saturation pada top predator adalah b2 = 2, 198.

55

5. Laju kematian predator adalah d1 = 0, 97, sedangkan Laju kematian top

predator adalah d2 = 0, 353.

6. Tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi predator adalah h1 =

0, 05, sedangkan tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi top

predator adalah h2 = 0, 05.

7. Laju pemanenan predator adalah p = 0, 152.

Dengan demikian nilai-nilai parameter dapat disajikan pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Nilai-nilai parameter Sistem (3.4)

No. Parameter Nilai1 a1 4, 2882 a2 2, 763 b1 2, 3124 b2 2, 1985 d1 0, 976 d2 0, 3537 h1 0, 058 h2 0, 059 p 0, 15210 K 8, 545777778× 1013

11 E1 112 E2 1

Sebarang nilai awal yang digunakan dalam simulasi ini adalah

x(0) = 0, 47; y(0) = 0, 61; z(0) = 0, 28.

4.2. Simulasi pada Titik Ekuilibrium

Pada subbab ini akan dibahas mengenai simulasi model rantai makanan tiga

spesies dengan persaingan intraspesifik dan pemanenan predator. Simulasi numerik

ini dilakukan untuk mengetahui perilaku Sistem (3.4) disekitar titik-titik ekuilibri-

umnya.

56

Simulasi numerik dilakukan pada titik ekuilibrium E1 = (0, 0, 0) dengan me-

nurunkan d1 menjadi d1 = 0, 36 dan parameter lain yang ditetapkan pada Tabel 4.1,

hasil simulasi numerik ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E1

Gambar 4.1 menunjukkan ketidakstabilan Sistem (3.4) pada titik ekuilibrium

E1 = (0, 0, 0), dimana populasi prey, predator, dan top predator menjauhi titik eku-

ilibrium (0, 0, 0). Artinya, dalam ekosistem tersebut tidak terjadi kepunahan secara

bersamaan pada ketiga populasi.

Selanjutnya, jika a1 diturunkan menjadi a1 = 0, 5 dan paramater lain seperti

yang ditetapkan pada Tabel 4.1, kondisi pada Teorema 3.5.1 terpenuhi yaitu

a1 < (d1 + p)(1 + b1)

⇔ 0, 5 < [0, 97 + 0, 152][1 + 2, 312]

⇔ 0, 5 < 3, 716064.

Sehingga ketiga populasi ditunjukkan pada Gambar 4.2.

Berdasarkan Gambar 4.2 ketika koefisien interaksi antara prey dan predator

(a1) diturunkan, pertumbuhan predator akan terhambat sehingga populasi preda-

tor menurun, hingga pada hari ke-4 mencapai titik 0 dan stabil pada titik tersebut,

dimana predator mengalamai kepunahan. Hal ini menyebabkan populasi prey me-

ningkat, sampai pada hari ke-7 mencapai titik 1 dan stabil pada titik tersebut karena

57

Gambar 4.2 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E2

tidak ada pemangsaan oleh predator. Sedangkan populasi top predator menurun

hingga pada hari ke-14 mencapai titik 0 dan stabil pada titik tersebut atau mengala-

mi kepunahan karena kepunahan pada populasi predator menyebabkan top preda-

tor kehilangan sumber makanan sebagai pertumbuhan populasinya.

Kemudian, jika d2 = 1, 055 dan parameter lain yang ditetapkan pada Tabel

4.1, ketiga populasi akan menuju titik ekuilibrium E3 = (x, y, 0), dengan perhitu-

ngannya yaitu

1. Titik ekuilibrium populasi prey (x)

B0 +B1x+B2x2 +B3x

3 = 0,

dengan

B0 = −h1 − a1(d1 + p),

B1 = a21 − 2b1h1 + h1 − a1b1(d1 + p),

B2 = 2b1h1 − b21h1,

B3 = b21h1.

58

maka

B0 = −4, 861136,

B1 = 7, 08239757,

B2 = −0, 03606720,

B3 = 0, 26726720.

Sehingga

−4, 861136 + 7, 08239757x− 0, 03606720x2 + 0, 26726720x3 = 0

diperoleh satu akar bernilai real dan positif yaitu x = 0, 6769937155.

2. Titik ekuilibrium populasi predator (y)

y =(1− x)(1 + b1x)

a1

=(1− 0, 6769937155)(1 + (2, 312)(0, 6769937155))

4, 288

= 0, 1932319916.

3. Titik ekuilibrium populasi top predator (z) adalah 0.

Sehingga diperoleh titik ekulibrium E3, yaitu

E3 = (x, y, 0)

= (0, 6769937155; 0, 1932319916; 0).

Kemudian kondisi pada Teorema 3.5.2 terpenuhi yaitu

x >b1 − 1

2b1

⇔ 0, 6769937155 >2, 312− 1

2, 312

⇔ 0, 6769937155 > 0, 2837370242;

dan

y <d2

a2 − b2d2

⇔ 0, 1932319916 <1, 055

2, 76− (2, 198)(1, 055)

⇔ 0, 1932319916 < 2, 391693682.

59

Hasil simulasi numerik untuk titik ekulibriumE3 ditunjukan pada Gambar 4.3.

Ketika tingkat kematian top predator dinaikan menjadi d2 = 1, 055 populasi top

Gambar 4.3 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E3

predator menurun, sampai pada hari ke-8 mencapai titik 0 dan stabil pada titik ter-

sebut, artinya populasi top predator mengalami kepunahan. Hal ini menyebabkan

tidak ada pemangsaan yang dilakukan oleh top predator terhadap predator, sehing-

ga pada hari ke-20 populasi predator meningkat dan stabil pada titik 0, 1932319916.

Sedangkan populasi prey menurun karena dengan meningkatnya populasi predator

akan meningkatkan pemangsaan terhadap populasi prey akibatnya populasi prey

menurun dan stabil di titik 0, 6769937155 setelah hari ke-20.

Berdasarkan hal tersebut, maka jumlah populasi prey dan predator akan stabil

setelah hari ke-20 pada masing-masing titik ekuilibriumnya dengan

1. Jumlah populasi prey

X = xK

= (0, 6769937155)(8, 545777778× 1013)

= 5, 785437850× 1013 ekor

= 57.785.437.850.000 ekor

60

2. Jumlah populasi predator

Y = yKE1

= (0, 1932319916)(8, 545777778× 1013)(1)

= 1, 651317660× 1013 ekor

= 16.513.176.600.000 ekor

Selanjutnya menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 4.1 diperoleh titik

ekuilibrium E4 = (x, y, z) dengan perhitungannya yaitu

1. Titik ekuilibrium populasi prey (x)

G0 +G1x+G2x2 +G3x

3 +G4x4 +G5x

5 +G6x6 +G7x

7 = 0

dengan konstanta Gi pada (3.27). Menggunakan program Maple 18 yang

disajikan pada Lampiran D, diperoleh satu akar real dan positif yaitu x =

0, 7107453472.

2. Titik ekuilibrium populasi predator (y)

y =(1− x)(1 + b1x)

a1

=(1− 0, 7107453472)(1 + (2, 312)(0, 7107453472))

4, 288

= 0, 1783046657.

3. Titik ekuilibrium populasi top predator

z =(a2 − b2d2)(1− x)(1 + b1x)− a1d2

a1h2 + b2h2(1− x)(1 + b1x).

=0.0007581756

(0.06967191390)

= 0, 01114087784.

Sehingga diperoleh titik ekuilibrium E4, yaitu

E4 = (x, y, z)

= (0, 7107453472; 0, 1783046657; 0, 01114087784)

61

Kemudian kondisi pada Teorema 3.5.3 terpenuhi yaitu

a1 >(1− 2x)(1 + b1x)2

y

⇔ 4, 288 >(−0, 421490694)(2, 643243243)2

0.1789983065

⇔ 4, 288 > −16, 51579730;

dan

a2 <h1(1 + b2y)2

b2z

⇔ 2, 76 <(0, 05)(1, 3919136552)2

(2, 198)(0, 01114087784)

⇔ 2, 76 < 3, 955919950.

Hasil simulasi numerik untuk titik ekuilibrium E4 ditunjukan pada Gambar

4.4. Populasi prey pada hari ke-40 menurun hingga titik 0, 672, kemudian pada

Gambar 4.4 Simulasi Sistem (3.4) menuju titik ekuilibrium E4

hari ke-270 meningkat sampai titik 0, 7107453472 dan stabil pada titik tersebut.

Populasi predator meningkat pada hari ke-40 hingga titik 0, 196, kemudian sedi-

kit menurun hingga pada hari ke-270 mencapai titik 0, 1783046657 dan stabil pada

titik tersebut. Populasi top predator pada hari ke-14 menurun dan berada pada ti-

tik 0, 003, kemudian pada hari ke-270 meningkat hingga titik 0, 01114087784 dan

stabil pada titik tersebut.

62

Berdasarkan hal tersebut, maka jumlah populasi prey, predator, dan top preda-

tor akan stabil setelah hari ke-270 pada masing-masing titik ekuilibriumnya dengan

1. Jumlah populasi prey

X = xK

= (0, 7107453472)(8, 545777778× 1013)

= 6, 073871794× 1013 ekor

= 60.738.717.940.000 ekor

2. Jumlah populasi predator

Y = yKE1

= (0, 1783046657)(8, 545777778× 1013)(1)

= 1.523752050× 1013 ekor

= 15.237.520.500.000 ekor

3. Jumlah populasi top predator

Z = zKE1E2

= (0, 01114087784)(8, 545777778× 1013)(1)(1)

= 9, 520746627× 1011 ekor

= 952.074.662.700 ekor

Berdasarkan parameter yang digunakan dalam simulasi ini, maka diperoleh ni-

lai untuk titik ekuilibrium E4 dimana populasi dari prey, predator, dan top predator

tetap hidup. Kepunahan pada waktu yang bersamaan pada tiga populasi tersebut

tidak terjadi. Namun, akan terjadi kepunahan pada populasi predator apabila

a1 < (d1 + p)(1 + b1).

Kepunahan pada populasi predator ini menyebabkan populasi top predator punah

pula, karena pertumbuhan populasi top predator bergantung pada predator sebagai

63

sumber makanannya. Kepunahan pada populasi predator dan top predator ini di-

sebabkan interaksi antara prey dan predator berkurang (a1). Kemudian akan terjadi

kepunahan hanya pada populasi top predator apabila

x >b1 − 1

2b1

dan y <d2

a2 − b2d2

Dikarenakan laju kematian dari populasi top predator meningkat (d2). Hal ini bi-

sa terjadi ketika populasi predator berkurang, sehingga pertumbuhan populasi top

predator akan terhambat.

4.3. Simulasi untuk Variasi Beberapa Parameter

Subbab ini membahas simulasi numerik pada Sistem (3.4) dengan mevariasik-

an nilai pada parameter h1 (tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi

predator), h2 (tingkat persaingan antar makhluk hidup dalam populasi predator),

dan p (laju pemanenan predator). Simulasi ini dilakukan untuk mengetahui ba-

gaimana perubahan parameter-parameter tersebut mempengaruhi populasi predator

dan top predator.

1. Jika h1 = 0, h2 = 0, dan parameter p seperti pada Tabel 4.1, ketiga populasi

ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0

Populasi prey menurun pada hari ke-40 di titik 0, 65, kemudian pada hari ke-

64

290 meningkat mencapai titik 0, 709 dan stabil pada titik tersebut. Populasi

predator meningkat pada hari ke-40 di titik 0, 21, kemudian pada hari ke-290

meningkat mencapai titik 0, 178 dan stabil pada titik tersebut. Populasi top

predator menurun pada hari ke-14 dan berada pada titik 0,003, kemudian pa-

da hari ke-290 meningkat mencapai titik 0, 018 dan stabil pada titik tersebut.

2. Jika h1 = 0, 56, h2 = 0, dan parameter p seperti pada Tabel 4.1, ketiga po-

pulasi ditunjukkan pada Gambar 4.6. Populasi top predator mengalami ke-

Gambar 4.6 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, 56, h2 = 0

punahan. Pada awalnya populasi predator menurun dan mendekati kepunah-

an, sehingga menyebabkan populasi top predator juga mendekati kepunahan.

Akan tetapi, ketika populasi top predator punah, populasi predator mening-

kat yaitu pada hari ke-40 mencapai titik 0, 139 dan stabil pada titik terse-

but. Sedangkan populasi prey menurun hingga pada hari ke-40 mencapai titik

0, 789 dan stabil pada titik tersebut.

3. Jika h1 = 0, h2 = 0, 0004, dan parameter p seperti pada Tabel 4.1, ketiga

populasi ditunjukkan pada Gambar 4.7. Ketika persaingan intraspesifik dalam

populasi top predator diperkecil menjadi 0, 0004 dan tidak ada persaingan

intraspesifik dalam populasi predator, ketiga populasi mengalami kestabilan

yang sama seperti pada Gambar 4.5.

65

Gambar 4.7 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0, 0004

4. Jika p = 0 serta parameter h1 dan h2 seperti pada Tabel 4.1, ketiga populasi

ditunjukkan pada Gambar 4.8. Populasi prey menurun hingga pada hari ke-23

Gambar 4.8 Simulasi Variasi Parameter p = 0

mencapai titik 0, 456, kemudian meningkat hingga pada hari ke-58 mencapai

titik 0, 71 dan stabil pada titik tersebut. Populasi predator meningkat hingga

pada hari ke-23 mencapai titik 0, 295, kemudian menurun hingga pada hari

ke-58 mencapai titik 0, 18 dan stabil pada titik tersebut. Populasi top predator

meningkat pada hari ke-23, hingga pada hari ke-58 mencapai titik 0.087 dan

stabil pada titik tersebut. Hal ini disebabkan ketika populasi predator mening-

66

kat, top predator memangsa predator lebih banyak sehingga meningkatkan

populasi top predator dan menurunkan populasi predator.

5. Jika h1 = 0, h2 = 0, dan p = 0, ketiga populasi ditunjukkan pada Gam-

bar 4.9. Populasi prey menurun hingga pada hari ke-23 mencapai titik 0, 422,

Gambar 4.9 Simulasi Variasi Parameter h1 = 0, h2 = 0, dan p = 0

kemudian meningkat hingga pada hari ke-58 mencapai titik 0, 71 dan stabil

pada titik tersebut. Populasi predator meningkat hingga pada hari ke-23 men-

capai titik 0, 312, kemudian menurun hingga pada hari ke-58 mencapai titik

0, 18 dan stabil pada titik tersebut. Populasi top predator meningkat pada ha-

ri ke-23, hingga pada hari ke-58 mencapai titik 0.095 dan stabil pada titik

tersebut.

6. Jika p diperbesar dua kali menjadi p = 0, 304 serta parameter h1 dan h2

seperti pada Tabel 4.1, ketiga populasi ditunjukkan pada Gambar 4.10. Keti-

ka p diperbesar, populasi predator mendekati punah, menyebabkan populasi

top predator mengalami kepunahan. Populasi prey menurun hingga pada hari

ke-228 mencapai titik 0, 949 dan stabil pada titik tersebut. Populasi preda-

tor meningkat setelah populasi top predator punah, hingga pada hari ke-228

mencapai titik 0, 037 dan stabil pada titik tersebut.

Berdasarkan beberapa variasi parameter yang dilakukan, parameter h1 dan h2

67

Gambar 4.10 Simulasi Variasi Parameter p = 0, 304

berpengaruh kecil terhadap Sistem (3.4). Pada nilai h1 dan h2 yang cukup ren-

dah, Sistem (3.4) dalam menuju titik stabil mengalami kenaikan atau penurunan

lebih kecil dibandingkan tanpa persaingan intraspesifik. Hal ini disebabkan karena

adanya pengurangan populasi predator dan top predator akibat persaingan intras-

pesifik. Namun, ketika persaingan intraspesifik tersebut lebih besar menyebabkan

populasi predator berkurang lebih banyak sehingga populasi top predator menga-

lami kepunahan.

Parameter p berpengaruh terhadap populasi predator maupun top predator.

Sistem (3.4) tanpa pemanenan akan meningkatkan populasi predator, tetapi akan

menurun dan stabil di titik yang sama seperti Sistem dengan pemanenan. Hal ini

disebabkan ketika populasi predator meningkat, top predator akan memangsa le-

bih banyak sehingga meningkatkan populasinya. Namun sebaliknya terjadi ketika

populasi predator menurun, maka populasi top predator menurun pula.

68

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah ditetapkan dalam penelitian ini, diben-

tuk model matematika rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesifik

dan pemanenan pada predator yaitu

dX

dT= rX

(1− X

K

)− M1XY

A1 +X,

dY

dT=

E1M1XY

A1 +X−D1Y −

M2Y Z

A2 + Y−H1Y

2 − qWY,

dZ

dT=

E2M2Y Z

A2 + Y−D2Z −H2Z

2.

Model matematika rantai makanan tiga spesies dengan persaingan intraspesifik dan

pemanenan pada predator memiliki empat titik ekuilibrium yaitu E1 = (0, 0, 0),

E2 = (1, 0, 0), E3 = (x, y, 0), dan E4 = (x, y, z). Titik ekuilibrium E1 bersifat

tidak stabil, karena hasil linearisasi menunjukkan terdapat nilai eigen λ1 = 1 > 0.

Titik ekuilibrium E2 bersifat stabil asimtotik lokal jika a1 < (d1 + p)(1 + b1). Titik

ekuilibrium E3 bersifat stabil asimtotik lokal jika x >b1 − 1

2b1

dan y <d2

a2 − b2d2

.

Titik ekuilibrium E4 bersifat stabil asimtotik lokal jika a1 >(1− 2x)(1 + b1x)2

y

dan a2 <h1(1 + b2y)2

b2z.

Simulasi numerik dilakukan dengan Program Maple 18 menggunakan nilai-

nilai parameter yang diambil dari penelitian berkaitan dengan model Predator-Prey,

sehingga diperoleh titik ekuilibrium E4 dimana populasi prey, predator, dan top

predator tetap hidup. Ketiga populasi tersebut tidak mengalami kepunahan pada

waktu yang sama seperti ditunjukkan pada titik ekuilibrium E1. Namun, titik eku-

ilibrium E2 akan tercapai jika interaksi antara prey dan predator (a1) diturunkan,

yaitu terjadi kepunahan pada populasi predator, akibatnya populasi top predator

akan ikut punah. Sedangkan saat laju kematian top predator (d2) ditingkatkan di-

peroleh titik ekuilibrium E3 yaitu hanya populasi top predator yang punah.

69

Simulasi numerik dengan variasi beberapa parameter menunjukkan bahwa pa-

rameter h1 dan h2 berpengaruh kecil pada perubahan populasi predator dan top

predator. Pada nilai h1 dan h2 yang cukup rendah, Sistem (3.4) dalam menuju titik

stabil mengalami kenaikan atau penurunan lebih kecil dibandingkan tanpa persaing-

an intraspesifik. Hal ini disebabkan karena adanya pengurangan populasi predator

dan top predator akibat persaingan intraspesifik. Sedangkan parameter pemanenan

predator berpengaruh terhadap populasi predator maupun top predator.

5.2. Saran

Pada penelitian ini terdapat beberapa hal yang dapat dikembangkan untuk pe-

nelitian berikutnya. Berikut saran yang dapat peneliti berikan yaitu

1. Fungsi respon yang digunakan pada penelitian ini adalah Respon Tipe II di-

mana predator dan top predator hanya mempunyai satu jenis prey. Disarank-

an untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan Fungsi Respon Tipe III

pada predator dan top predator atau pada salah satunya, artinya pemangsa

memiliki jenis mangsa lain ketika populasi mangsa utama berkurang.

2. Pada penelitian ini menggunakan tiga variabel, yaitu populasi prey, preda-

tor, dan top predator. Disarankan untuk penelitian selanjutnya dapat me-

nambahkan variabel yang mempengaruhi perubahan dari kepadatan populasi

prey, predator, dan top predator.

70

DAFTAR PUSTAKA

[1] P. A. Abrams and J. D. Roth, ”The Effects of Enrichment of Three Species

Food Chains with Nonlinear Fungtional Responses”, Ecological Society of

America, vol. 75, no. 4, pp. 1118-1130, 1994.

[2] H. Anton and C. Rorres, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi (Edisi Ke-

delapan). Jakarta: Erlangga, 2004.

[3] A. Bazykin, A. Khibnik, and B. Krauskopf, Nonlinear Dynamics of Intera-

cting Populations. World Scientific, 1998.

[4] W. E. Boyce and R. C. Diprima, Elementary Differential Equations and Bo-

undary Value Problems (10th ed.). New Jersey: John Wiley and Sons, Inc,

2012.

[5] L. Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differen-

tial Equations (3rd ed.). New York: Springer-Verlag, 1963.

[6] Y. Chen, J. Yu, and C. Sun, ”Stability and Hopf Bifurcation Analysis in A

Three-Level Food Chain System with Delay”, Science Direct, vol. 31, pp.

683-694, 2007.

[7] C.-H. Chiu and S.-B. Hsu, ”Extinction of Top-Predator in A Three-Level

Food-Chain Model”, Journal of Mathematical Biology, vol. 37, pp. 372-380,

1998.

[8] C. H. Edwards and D. E. Penney, Elementary Differential Equations (6th ed.)

New Jersey: Pearson Education, Inc, 2008.

[9] R. Haberman, Mathematical Models in Mechanical Vibrations, Population

Dynamics, and Traffic Flow. Philadelphia: Society for Industrial and Appli-

ed Mathematics, 1998.

71

[10] M. Haque, N. Ali, and S. Chakravarty, ”Study of A Tri-Trophic Prey-

Dependent Food Chain Model of Interacting Populations”, Mathematical Bi-

osciences, vol. 246, pp. 55-71, 2013.

[11] A. Hastings and T. Powell, ”Chaos in A Three-Species Food Chain”, Ecolo-

gical Society of America, vol.72, no. 3, pp. 896-903, 1991.

[12] P. Hogeweg, and P.Hesper, ”Interactive Instruction on Population Intera-

ctions”, Computers in Biology and Medicine, vol. 8, pp. 319-327, 1978.

[13] C. Holling, ”The Components of Predation as Revealed by a Study of Small-

Mammal Predation of the European Pine Sawfly”, The Canadian Entomolo-

gist, vol. XCI, pp. 234 -261, 1959.

[14] A. Klebanoff and A. Hastings, ”Chaos in Three Spesies Food Chains”, Journal

of Mathematical Biology, Volume 32, pp. 427-451, 1994.

[15] B. Kooi, M. Boer, and S. Kooijman, ”Consequences of Population Models

for the Dynamics of Food Chains”, Mathematical Biosciences, vol. 153, pp.

99-124, , 1998.

[16] C. C. Lin, and L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems

in the Natural Sciences. New York: Macmillan Publishing Co.,Inc, 1974.

[17] K. Mccann, and P. Yodzis, ”Bifucration Structure of a Three-Species Food

Chain Model”, Theoretical Population Biology, vol. 48, pp. 93-125, 1995.

[18] B. Mukhopadbyay and R. Bhattacharyya, ”Effect of Harvesting and Preda-

tor Interference in A Model of Two-Predators Competing for a Single Prey”,

Applied Mathematical Modelling, vol. 000, pp. 1-11.

[19] H. A. Mulyadi and A. W. Radjab, ”Dinamika Spasial Kelimpahan Zooplank-

ton pada Musim Timur di Perairan Pesisir Morella, Maluku Tengah”, Jurnal

Ilmu dan Teknologi Kelautan Tropis, vol. 7, no. 1, pp. 109-122, 2015.

72

[20] National Geographic, ”Marine Food Chain,” 22 April 2010. [Online].

Available: https://www.nationalgeographic.com/environment/oceans/take-

action/marine-food-chain/. [Accessed 28 Juni 2019].

[21] G. Olsder, and J. v. d. Woude, Mathematical Systems Theory (2nd ed.). Ne-

therlands: Delft University Press, 2003.

[22] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems. (3rd ed.). New York:

Springer-Verlag, 2000.

[23] V. Rai, and R. Sreenivasan, Period-doubling bifurcations leading to chaos.

Ecological Modelling, vol. 69, pp. 63-77, 1993.

[24] M. Scheffer, ”Should we expect strange attractors behind plankton dynami-

cs—and if so, should we bother?”, Journal of Plankton Research, vol. 13, no.

6, pp. 1291-1305, 1991.

[25] P. D. Stiling, Ecology Global Insights and Investigations (Second Edition).

New York: McGraw-Hill Education, 2015.

[26] P. Turchin, Complex Population Dynamics: A Theoretical/empirical Synthesis.

New Jersey: Princeton University Press, , 2003.

73

LAMPIRAN A

Program Maple untuk Gambar 4.1

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.36; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

> > dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y

-a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 500, numeric, output = listp-

rocedure);

> plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 500, linestyle = [dot, dash, so-

lid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font = [”roman”,

9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont = [”roman”,

10]);

74

LAMPIRAN B

Program Maple untuk Gambar 4.2

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 0.5; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] := 0.353;

h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

> s1 := a[1] ¡ (d[1]+p)*(1+b[1]);

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y

-a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 100, numeric, output = listp-

rocedure);

> plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 100, linestyle = [dot, dash, so-

lid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font = [”roman”,

9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont = [”roman”,

10]);

75

LAMPIRAN C

Program Maple untuk Gambar 4.3

> restart;

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

1.055; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

>B[0] := -h[1]-a[1]*(d[1]+p); B[1] := a[1]2-2*b[1]*h[1]+h[1]-a[1]*b[1]*(d[1]+p);

B[2] := 2*b[1]*h[1]-b[1]2*h[1]; B[3] := b[1]2*h[1];

> pers := B[0]+B[1]*x+B[2]*x2+B[3]*x3 = 0;

> solve(pers, x);

> x := 0.7232905928;

> y := (1-x)*(1+b[1]*x)/a[1];

> s1 := d[2]/(a[2]-b[2]*d[2]) > y;

> s2 := x > (b[1]-1)/(2*b[1]);

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 1.0; d[2] := 1.055;

h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z/

(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 80, numeric, output = listpro-

cedure);

> plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 80, linestyle = [dot, dash, so-

lid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font = [”roman”,

76

9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont = [”roman”,

10]);

77

LAMPIRAN D

Program Maple untuk Gambar 4.4

> restart;

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

> y := (1-x)*(1+b[1]*x)/a[1];

> z := ((a[2]-b[2]*d[2])*(1-x)*(1+b[1]*x)-a[1]*d[2])/(a[1]*h[2]+b[2]*h[2]*(1-x)*

(1+b[1]*x));

> r := a[1]*x/(1+b[1]*x)-a[2]*z/(1+b[2]*y)-h[1]*y-d[1]-p; > solve(r, x);

> x := .7107453472;

> y := (1-x)*(1+b[1]*x)/a[1];

> z := ((a[2]-b[2]*d[2])*y-d[2])/(h[2]*(1+b[2]*y));

> s1 := a[1] > (1-2*x)*(1+b[1]*x)2/y;

> s2 := a[2] < h[1]*(1+b[2]*y)2/(b[2]*z)

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.152;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

78

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

79

LAMPIRAN E

Program Maple untuk Gambar 4.5

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0; h[2] := 0; p := 0.152;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

80

LAMPIRAN F

Program Maple untuk Gambar 4.6

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.56; h[2] := 0; p := 0.152;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

81

LAMPIRAN G

Program Maple untuk Gambar 4.7

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0; h[2] := 0.0004; p := 0.152;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

82

LAMPIRAN H

Program Maple untuk Gambar 4.8

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

83

LAMPIRAN I

Program Maple untuk Gambar 4.9

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0; h[2] := 0; p := 0;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

84

LAMPIRAN J

Program Maple untuk Gambar 4.10

> restart;

> with(plots); with(linalg); with(DETools);

> a[1] := 4.288; a[2] := 2.76; b[1] := 2.312; b[2] := 2.198; d[1] := 0.97; d[2] :=

0.353; h[1] := 0.05; h[2] := 0.05; p := 0.304;

> dx := x*(1-x)-a[1]*x*y/(1+b[1]*x); dy := a[1]*x*y/(1+b[1]*x)-d[1]*y-a[2]*y*z

/(1+b[2]*y)-h[1]*y2-p*y; dz := a[2]*y*z/(1+b[2]*y)-d[2]*z-h[2]*z2;

> de1 := subs(x = x(t), y = y(t), eval(dx));

> de2 := subs(x = x(t), y = y(t), z = z(t), eval(dy));

> de3 := subs(y = y(t), z = z(t), eval(dz));

> sistem := diff(x(t), t) = de1, diff(y(t), t) = de2, diff(z(t), t) = de3;

> sa := x(0) = 0.47, y(0) = 0.61, z(0) = 0.28;

> b := dsolve([sistem, sa], x(t), y(t), z(t), range = 0 .. 300, numeric, output = listpro-

cedure); > plot([subs(b, x(t)), subs(b, y(t)), subs(b, z(t))], 0 .. 300, linestyle = [dot,

dash, solid], legend = [”Prey”, ”Predator”, ”Top Predator”], legendstyle = [font =

[”roman”, 9], location = bottom], labels = [”t (hari)”, ”kompartemen”], labelfont =

[”roman”, 10]);

85