Masalah Nilai BatasNilai Awal dan Syarat Batas

Yulian Sari, M.Si

Pendidikan Matematika

March 2015

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 1 / 8

Pengantar

Dalam teori persamaan di¤erensial biasa, setelah kita mendapatkanhimpunan solusi u1, u2, ..., un dari suatu persamaan di¤erensial biasa,maka kita perlu menggunakan syarat awal untuk mendapatkan solusikhusus.

Berbeda dengan persamaan di¤erensial parsial, proses tersebuttidaklah mudah, karena ada sejumlah tak berhingga solusi bebasdalam persamaan di¤erensial parsial.

Selain itu, batas daerah dari variabel bebas bukanlah titik-titik diskrit,tetapi adalah kurva atau permukaan kontinu.

Oleh karena itu, perlu berhati-hati untuk memformulasikan sistem�sika (riil) ke dalam bentuk persamaan di¤erensial parsial, tidakhanya bentuk persamaannya tetapi juga bentuk syarat batasnya.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 2 / 8

Pengantar

Dalam teori persamaan di¤erensial biasa, setelah kita mendapatkanhimpunan solusi u1, u2, ..., un dari suatu persamaan di¤erensial biasa,maka kita perlu menggunakan syarat awal untuk mendapatkan solusikhusus.

Berbeda dengan persamaan di¤erensial parsial, proses tersebuttidaklah mudah, karena ada sejumlah tak berhingga solusi bebasdalam persamaan di¤erensial parsial.

Selain itu, batas daerah dari variabel bebas bukanlah titik-titik diskrit,tetapi adalah kurva atau permukaan kontinu.

Oleh karena itu, perlu berhati-hati untuk memformulasikan sistem�sika (riil) ke dalam bentuk persamaan di¤erensial parsial, tidakhanya bentuk persamaannya tetapi juga bentuk syarat batasnya.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 2 / 8

Pengantar

Dalam teori persamaan di¤erensial biasa, setelah kita mendapatkanhimpunan solusi u1, u2, ..., un dari suatu persamaan di¤erensial biasa,maka kita perlu menggunakan syarat awal untuk mendapatkan solusikhusus.

Berbeda dengan persamaan di¤erensial parsial, proses tersebuttidaklah mudah, karena ada sejumlah tak berhingga solusi bebasdalam persamaan di¤erensial parsial.

Selain itu, batas daerah dari variabel bebas bukanlah titik-titik diskrit,tetapi adalah kurva atau permukaan kontinu.

Oleh karena itu, perlu berhati-hati untuk memformulasikan sistem�sika (riil) ke dalam bentuk persamaan di¤erensial parsial, tidakhanya bentuk persamaannya tetapi juga bentuk syarat batasnya.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 2 / 8

Pengantar

Dalam teori persamaan di¤erensial biasa, setelah kita mendapatkanhimpunan solusi u1, u2, ..., un dari suatu persamaan di¤erensial biasa,maka kita perlu menggunakan syarat awal untuk mendapatkan solusikhusus.

Berbeda dengan persamaan di¤erensial parsial, proses tersebuttidaklah mudah, karena ada sejumlah tak berhingga solusi bebasdalam persamaan di¤erensial parsial.

Selain itu, batas daerah dari variabel bebas bukanlah titik-titik diskrit,tetapi adalah kurva atau permukaan kontinu.

Oleh karena itu, perlu berhati-hati untuk memformulasikan sistem�sika (riil) ke dalam bentuk persamaan di¤erensial parsial, tidakhanya bentuk persamaannya tetapi juga bentuk syarat batasnya.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 2 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda

2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Masalah Nilai Batas (Boundary Value Problems)

Suatu masalah nilai batas adalah suatu persamaan di¤erensial (biasaatau parsial) dengan menyertakan nilai solusi dan atau turunannyapada dua titik atau lebih.

Biasanya, persoalan nilai batas dari sebarang kejadian �sikamempunyai karakteristik sebagai berikut:

1 Syarat terletak pada dua titik yang berbeda2 Solusi masalah nilai batas yang dibicarakan hanya berada diantara duatitik batas

3 Variabel bebas adalah variabel dalam dimensi ruang yang dalam hal inidinyatakan dalam x

Suatu syarat batas dikatakan linier jika syarat batastersebutdinyatakan sebagai persamaan linier antara u dan turunannyadalam daerah turunan solusi tersebut berada.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 3 / 8

Klasi�kasi Syarat Batas

Khususnya, untuk persamaan di¤erensial parsial orde 2 (n = 2), syaratbatas linier dapat diklasi�kasikan dalam tiga tipe:

1 Syarat batas Dirichlet, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikan nilaifungsi tak diketahui u pada batas

2 Syarat batas Neumann, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikanturunan u dalam arah normal terhadap batas, yang ditulis sebagai ∂u

∂n3 Syarat batas campuran (Robin), yaitu syarat batas yangmenspesi�kasikan hubungan linier antara u dan turunan normalnyapada batas. Bentuk umum syarat batas Robin adalah sebagai berikut.�

αu + β∂u∂n

�����∂D= f (x)j

∂D, α, β konstanta.

Catatan: Turunan normal pada batas ∂u∂n dide�nisikan sebagai

∂u∂n= grad u � n =

�∂u∂x1

, ...,∂u∂xn

�� n

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 4 / 8

Klasi�kasi Syarat Batas

Khususnya, untuk persamaan di¤erensial parsial orde 2 (n = 2), syaratbatas linier dapat diklasi�kasikan dalam tiga tipe:

1 Syarat batas Dirichlet, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikan nilaifungsi tak diketahui u pada batas

2 Syarat batas Neumann, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikanturunan u dalam arah normal terhadap batas, yang ditulis sebagai ∂u

∂n

3 Syarat batas campuran (Robin), yaitu syarat batas yangmenspesi�kasikan hubungan linier antara u dan turunan normalnyapada batas. Bentuk umum syarat batas Robin adalah sebagai berikut.�

αu + β∂u∂n

�����∂D= f (x)j

∂D, α, β konstanta.

Catatan: Turunan normal pada batas ∂u∂n dide�nisikan sebagai

∂u∂n= grad u � n =

�∂u∂x1

, ...,∂u∂xn

�� n

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 4 / 8

Klasi�kasi Syarat Batas

Khususnya, untuk persamaan di¤erensial parsial orde 2 (n = 2), syaratbatas linier dapat diklasi�kasikan dalam tiga tipe:

1 Syarat batas Dirichlet, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikan nilaifungsi tak diketahui u pada batas

2 Syarat batas Neumann, yaitu syarat batas yang menspesi�kasikanturunan u dalam arah normal terhadap batas, yang ditulis sebagai ∂u

∂n3 Syarat batas campuran (Robin), yaitu syarat batas yangmenspesi�kasikan hubungan linier antara u dan turunan normalnyapada batas. Bentuk umum syarat batas Robin adalah sebagai berikut.�

αu + β∂u∂n

�����∂D= f (x)j

∂D, α, β konstanta.

Catatan: Turunan normal pada batas ∂u∂n dide�nisikan sebagai

∂u∂n= grad u � n =

�∂u∂x1

, ...,∂u∂xn

�� n

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 4 / 8

1. Misalkan u(x , t) adalah perpindahan getaran dawai dan ujung-ujungdawai ditetapkan di x = 0 dan x = L, maka syarat u(0, t) = 0 danu(L, t) = 0 merupakan syarat batas Dirichlet.2. Misalkan u(x,t) adalah temperatur suatu batang logam dengan panjanga. Jika batang diisolasi sempurna di x = 0 dan x = a, maka �ux panaspada titik ini adalah 0. Berdasarkan hukum Fourier tentang konduksipanas, syarat batas yang sesuai adalah ∂u

∂x (0, t) =∂u∂x (a, t) = 0yang

merupakan syarat batas Neumann.3. dalam contoh 2, misalkan batang logam diisolasi tak sempurna di x=0dan x=a, maka syarat batas adalah

u(0, t) +∂u∂x(0, t) = 0 dan u(a, t) +

∂u∂x(a, t) = u0,

yang adalah syarat batas Robin.

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 5 / 8

Ada 4 metoda yang sering digunakan untuk penyelesaian masalah nilaiawal dan syarat batas:

1 Metoda separasi (pemisahan) variabel

2 Metoda solusi bentuk tertutup (metoda d�Alembert dan fungsi Green)3 Teknik transformasi4 Metoda Numerik

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 6 / 8

Ada 4 metoda yang sering digunakan untuk penyelesaian masalah nilaiawal dan syarat batas:

1 Metoda separasi (pemisahan) variabel2 Metoda solusi bentuk tertutup (metoda d�Alembert dan fungsi Green)

3 Teknik transformasi4 Metoda Numerik

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 6 / 8

Ada 4 metoda yang sering digunakan untuk penyelesaian masalah nilaiawal dan syarat batas:

1 Metoda separasi (pemisahan) variabel2 Metoda solusi bentuk tertutup (metoda d�Alembert dan fungsi Green)3 Teknik transformasi

4 Metoda Numerik

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 6 / 8

Ada 4 metoda yang sering digunakan untuk penyelesaian masalah nilaiawal dan syarat batas:

1 Metoda separasi (pemisahan) variabel2 Metoda solusi bentuk tertutup (metoda d�Alembert dan fungsi Green)3 Teknik transformasi4 Metoda Numerik

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 6 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

Latihan

a. Dari tiga masalah nilai batas; mempunyai satu solusi, tepat satu solusi,dan memiliki tak hingga banyak solusi. Pilihlah yang mana kondisi berikut.

1 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0;

2 d 2udx 2 + u = 1, u(0) = 0, u(1) = 0;

3 d 2udx 2 + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1.

b. Tentukan semua nilai parameter λ yang mana masalah nilai batasberikut memiliki suatu solusi lainnya u(x) = 0

1 d 2udx 2 + λ2u = 0, u(0) = 0, du

dx (a) = 0;

2 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0, u(a) = 0;

3 d 2udx 2 + λ2u = 0, du

dx (0) = 0,dudx (a) = 0;

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 7 / 8

c. Diberikan persamaandudt= k(t)u (1)

dengan mendeferensialkan dan substitusikan, buktikan bahwa

u(x) = c 0 +1µcosh (µ (x + c))

adalah solusi umum dari persamaan (1). (disini µ = ω/T )

Yulian Sari, M.Si (Institute) Universitas Riau Kepulauan 03/15 8 / 8