metode iterasi tanpa turunan yang optimal …repository.ub.ac.id/4913/1/putra, hilmy aliy...

i

METODE ITERASI TANPA TURUNAN YANG OPTIMAL BERDASARKAN METODE STEFFENSEN UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam Bidang Matematika

oleh

Hilmy Aliy Andra Putra 135090400111001

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG 2017

iii

HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI

METODE ITERASI TANPA TURUNAN YANG OPTIMAL BERDASARKAN METODE STEFFENSEN UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

HILMY ALIY ANDRA PUTRA

135090400111001

Telah dipertahankan di depan Majelis Penguji pada 7 Agustus 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam Bidang Matematika

Menyetujui Pembimbing

Dr. Isnani Darti, S.Si.,M.Si NIP 197312162002122001

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,MSi.,Ph.D. NIP 197509082000031003

v

HALAMAN PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Hilmy Aliy Andra Putra NIM : 135090400111001 Jurusan : Matematika Penulis Skripsi berjudul : Metode Iterasi Tanpa Turunan Yang

Optimal Berdasarkan Metode Steffensen Untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear.

Dengan ini menyatakan bahwa:

1. Skripsi ini adalah benar-benar karya saya sendiri dan bukan hasil plagiat dari orang lain. Karya-karya yang tercantum dalam Daftar Pustaka Skripsi ini semata-mata digunakan sebagai acuan/referensi

2. Apabila kemudian hari diketahui bahwa isi Skripsi saya merupakan hasil plagiat, maka saya bersedia menanggung akibat hukum dari keadaan tersebut

Demikian pernyataan ini dibuat dengan penuh kesadaran.

Malang, 7 Agustus 2017 Yang menyatakan

Hilmy Aliy Andra Putra NIM 135090400111001

vii

Metode Iterasi Tanpa Turunan yang Optimal Berdasarkan Metode Steffensen untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear

ABSTRAK

Metode Steffensen merupakan metode iterasi tanpa turunan yang optimal dengan orde kekonvergenan dua. Teknik untuk mendapatkan metode iterasi baru yang optimal berdasarkan metode Steffensen berguna untuk meningkatkan ketelitian dan efisiensi (performa) termasuk orde kekonvergenan. Metode iterasi baru yang optimal dibuat melalui modifikasi metode Newton serta bantuan aproksimasi Pade`. Metode ini dapat diperluas orde kekonvergenannya bergantung pada jumlah derajat aproksimasi Pade` yang digunakan untuk meningkatkan performa dalam menyelesaikan persamaan nonlinear. Akan tetapi, dalam metode iterasi baru yang optimal, waktu yang diperlukan untuk proses setiap iterasi bergantung pada orde kekonvergenan. Semakin tinggi orde kekonvergenan, semakin besar waktu proses yang diperlukan untuk setiap iterasi.

Kata kunci: Metode Steffensen, orde kekonvergenan, metode Newton, aproksimasi Pade`.

ix

An Optimal Non-Derivative Iteration Method Based On Steffensen Method For Solving Nonlinear Equation

ABSTRACT

Steffensen’s method is an optimal non-derivative iteration method with second order of convergence. This technique to obtain the new optimal iteration methods based on Steffensen’s method are useful to improve accuracy and efficiency (performance) include order of convergence. The new optimal iteration method were created through modification of Newton’s method and Pade` approximant’s. This method can expand the order of convergence depends on amount of degrees in Pade` approximant to improve performance in solving nonlinear equation. However in a new optimal iteration method, the time required for every iteration process depends on order of convergence. The more number of order of convergences, the more process time required for every iteration.

Keyword: Steffensen’s Method, order of convergence, Newton’s method, Pade` approximantion

xi

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Metode Iterasi Tanpa Turunan yang Optimal Berdasarkan Metode Steffensen untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear”. Penulis mengungkapkan rasa hormat dan mengucapkan terima kasih kepada pihak yang telah banyak membantu saya dalam penyelesaian skripsi ini, diantaranya: 1. Dr. Isnani Darti, S.Si.,M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika dan Dosen Pembimbing skripsi atas arahan, masukan, dan kesabaran yang telah diberikan kepada penulis selama pengerjaan dan penyusunan skripsi ini.

2. Syaiful Anam, S.Si.,MT.,Ph.D dan Ummu Habibah, S.Si.,M.Si.,Ph.D selaku Dosen Penguji atas segala kritik, saran, dan bimbingan yang diberikan untuk perbaikan skripsi ini.

3. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika dan Dosen Penasihat Akademik penulis atas masukan dan arahan selama kuliah.

4. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmunya kepada penulis, serta segenap staf dan karyawan TU Jurusan Matematika atas segala bantuannya.

5. Indragung Priyambodo (Ayah), Supiani (Ibu), Naufal Aliy Andra Putra (Kakak), Rizki Aliy Andra Putra (Adik), Danish Aliy Andra Putra (Adik), dan seluruh keluarga besar yang selalu mendukung, mendoakan, memotivasi, dan selalu ada saat penulis berada dalam susah maupun senang.

6. Sahabat, teman-teman Jurusan Matematika angkatan 2013 atas semua motivasi, semangat, keceriaan, dan bantuannya selama ini.

7. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalas kebaikan semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan dalam skripsi ini mengingat keterbasan kemampuan penulis. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran agar skripsi ini menjadi lebih baik, yang dapat disampaikan melalui email penulis [email protected] atau [email protected].

xii

Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya. Malang, 7 Agustus 2017 Penulis, Hilmy Aliy Andra Putra

xiii

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................ i HALAMAN PENGESAHAN ........................................................ iii HALAMAN PERNYATAAN ........................................................ v ABSTRAK ..................................................................................... vii ABSTRACT ..................................................................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................... xi DAFTAR ISI ................................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR ...................................................................... xv DAFTAR TABEL ........................................................................ xvii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................. xix BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah .............................................................. 3 1.3 Tujuan ................................................................................. 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Galat (error), Orde Kekonvergenan, dan Kestabilan ......... 5 2.2 Deret Taylor ....................................................................... 6 2.3 Metode Beda Hingga .......................................................... 7 2.4 Metode Newton .................................................................. 9 2.5 Metode Steffensen ............................................................ 10 2.6 Aproksimasi Pade` ........................................................... 12

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Metode Optimal Orde 4 .................................................... 19 3.2 Metode Optimal Orde 8 .................................................... 26 3.3 Komputasi Numerik ......................................................... 32

3.3.1 Komputasi numerik untuk fungsi 𝑓 𝑥 .................. 33 3.3.2 Komputasi numerik untuk fungsi 𝑔 𝑥 .................. 36 3.3.3 Komputasi numerik untuk fungsi ℎ 𝑥 .................. 39

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan ......................................................................... 43 4.2 Saran ................................................................................... 43

DAFTAR PUSTAKA .................................................................... 45

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ............ dari 𝑓 x ................................................................... 34 Gambar 3.2 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ............ dari 𝑔 x ................................................................... 37 Gambar 3.3 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ............ dari 𝑔 x yang diperbesar ......................................... 38 Gambar 3.4 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ............ dari ℎ x ................................................................... 40 Gambar 3.5 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ............ dari ℎ x yang diperbesar ......................................... 41

xvii

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Hasil numerik dari 𝑓 x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 ................................................. 33 Tabel 3.2 Hasil numerik dari 𝑓 x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ................................................. 34 Tabel 3.3 Hasil numerik 𝑥- dari 𝑓 x ............................................ 35 Tabel 3.4 Hasil numerik dari 𝑔 x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 ................................................. 37 Tabel 3.5 Hasil numerik dari 𝑔 x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ................................................. 37 Tabel 3.6 Hasil numerik 𝑥- dari 𝑔 x ............................................ 38 Tabel 3.7 Hasil numerik dari ℎ x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 ................................................. 40 Tabel 3.8 Hasil numerik dari ℎ x dengan kriteria ....................... pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 ................................................. 40 Tabel 3.9 Hasil numerik 𝑥- dari ℎ x ............................................ 41

xix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Penyederhanaan Persamaan (3.17) ........................... 47 Lampiran 2. Hasil Perhitungan Beda Terbagi Persamaan (3.20) .. 50 Lampiran 3. Hasil Perhitungan Parameter 𝑎/, 𝑎0, 𝑏0, dan Jumlah

dari 𝑎0 − 𝑎/𝑏0 Terhadap Persamaan (3.51) ............. 53 Lampiran 4. Grafik Fungsi 𝑓 𝑥 Metode Steffensen, Metode

Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 .......... 56 Lampiran 5. Grafik Fungsi 𝑔 𝑥 Metode Steffensen, Metode

Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 .......... 56 Lampiran 6. Grafik Fungsi ℎ 𝑥 Metode Steffensen, Metode

Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 .......... 57 Lampiran 7. Grafik Fungsi 𝑓 𝑥 ................................................... 58 Lampiran 8. Grafik Fungsi 𝑔 𝑥 ................................................... 58 Lampiran 9. Grafik Fungsi ℎ 𝑥 ................................................... 59 Lampiran 10.Program Matlab Metode Steffensen, Metode Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 untuk Fungsi 𝑓 𝑥 .................................................... 59 Lampiran 11.Program Matlab Metode Steffensen, Metode Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 untuk Fungsi 𝑔 𝑥 .................................................... 62 Lampiran 12.Program Matlab Metode Steffensen, Metode Optimal Orde 4, dan Metode Optimal Orde 8 untuk Fungsi ℎ 𝑥 .................................................... 64

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan semua manusia dalam kehidupan sehari-hari, baik secara langsung maupun tidak langsung (Rahman, 2007). Dalam hubungannya dengan berbagai ilmu pengetahuan, matematika berfungsi sebagai bahasa ilmu dengan lingkup universal karena penggunaan matematika dapat dilakukan abstraksi dari kenyataan-kenyataan yang sangat rumit menjadi suatu model sehingga dapat dicapai ketajaman dalam memberikan deskripsi, mempermudah untuk mengadakan klasifikasi, dan kalkulasi (Roziana, 2008). Jadi, dengan menggunakan bahasa matematika, suatu persoalan dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan.

Persoalan-persoalan yang melibatkan model matematika banyak dijumpai dalam berbagai ilmu pengetahuan misalnya dalam bidang fisika, kimia, maupun ekonomi. Persoalan-persoalan matematika tersebut sering tidak dapat diselesaikan dengan perhitungan eksak atau analitik sehingga perlu dilakukan perhitungan melalui hampiran atau aproksimasi untuk mendapatkan suatu nilai yang mendekati nilai eksaknya. Hal ini berarti bahwa dalam penyelesaian melalui aproksimasi terdapat suatu kesalahan (error) terhadap nilai eksaknya.

Turunan atau diferensial biasanya digunakan dalam teknologi dan sains yang dibutuhkan untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear. Dalam permasalahan tersebut, metode iterasi untuk solusi aproksimasi merupakan teknik yang sering digunakan. Dalam penggunaan metode iterasi, metode ini akan optimal ketika mencapai orde kekonvergenan 𝑝 sebesar 𝑝 = 2$%&, dengan 𝑟 merupakan banyaknya fungsi evaluasi dalam satu metode (Kung dan Traub, 1974). Beberapa metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear 𝑓 𝑥 = 0 adalah metode Newton dan metode Steffensen. Dalam rumus metode Newton terdapat 2 fungsi evaluasi yaitu 𝑓 𝑥+ dan 𝑓′ 𝑥+ atau dapat ditulis 𝑟 = 2 sehingga orde kekonvergenannya adalah 𝑝 = 2 atau kesimpulannya metode ini optimal di orde kekonvergenan 2. Kelemahan dari metode ini adalah memiliki fungsi turunan yang hanya dapat digunakan di beberapa fungsi. Sedangkan untuk metode Steffensen tidak hanya merupakan metode yang optimal ketika fungsi evaluasi sebanyak 𝑟 = 2 yaitu 𝑓 𝑥+ + 𝑓 𝑥+ dan

2

𝑓(𝑥+) melainkan juga metode ini tidak memiliki fungsi turunan. Dalam skripsi ini akan diperkenalkan cara untuk mendapatkan metode baru dengan orde konvergensi yang optimal dan tidak memiliki fungsi turunan melalui metode Steffensen yang memodifikasi ke langkah metode Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode baru ini dibuat untuk meningkatkan performa yaitu ketelitian dan efisiensi dibandingkan dengan metode Steffensen.

Beberapa penelitian tentang metode Steffensen adalah Zheng dkk (2011) yang membahas tentang metode famili bertipe Steffensen dengan orde kekonvergenan yang optimal menggunakan iterasi Newton. Setelah itu Liu dkk (2010) mengkaji metode Steffensen yang bervariasi dengan konvergensi orde empat dan aplikasinya. Kelemahan dari kedua penelitian ini adalah metode iterasi bergantung pada parameter 𝛽+ yang tujuannya digunakan untuk mengontrol kestabilan pada setiap iterasi. Kemudian metode ini tidak bisa diekspansi (diperluas) menjadi orde kekonvergenan yang lebih tinggi untuk dapat meningkatkan performa metode iterasi. Kelebihan dari kedua penelitian ini adalah metode iterasi yang digunakan memiliki orde konvergensi orde 4 dan metode ini sedikit lebih baik berdasarkan ketelitian dan efisiensi dibandingkan penelitian dari artikel yang dikaji untuk skripsi ini.

Skripsi ini mengkaji ulang artikel yang dibahas oleh Cordero dkk (2013) tentang teknik mendapatkan iterasi bebas turunan yang optimal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Teknik yang digunakan untuk mendapatkan metode optimal dengan tidak memiliki fungsi turunan didasarkan metode Steffensen. Selanjutnya metode Steffensen menggunakan modifikasi langkah metode Newton dengan fungsi turunannya melalui aproksimasi Pade` untuk mendapatkan metode orde empat yang optimal dan membuktikan hasil kekonvergenannya. Selanjutnya metode orde empat diperluas untuk mendapatkan metode dengan orde lebih tinggi dan tidak memiliki fungsi turunan. Pada bagian akhir, metode tersebut diuji coba untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dan dilakukan simulasi menggunakan Matlab.

3

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, permasalahan

yang dikaji dalam skripsi ini sebagai berikut: 1. Bagaimana membuat metode iterasi yang optimal dengan orde

konvergensi 4 dan orde konvergensi yang lebih tinggi berdasarkan metode Steffensen untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.

2. Bagaimana hasil komputasi numerik solusi persamaan nonlinear dari metode Steffensen, metode optimal orde 4, dan metode optimal orde yang lebih tinggi.

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari permasalahan yang dikaji dalam skripsi ini sebagai berikut: 1. Memperoleh metode iterasi yang optimal dengan orde

konvergensi 4 dan orde konvergensi yang lebih tinggi berdasarkan metode Steffensen untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.

2. Melakukan komputasi numerik beserta grafik solusi persamaan nonlinear dari metode Steffensen, metode optimal orde 4, dan metode optimal orde yang lebih tinggi dan menginterpretasikan hasilnya dengan Matlab.

5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Galat (error), Orde Kekonvergenan, dan Kestabilan

Pada umumnya dalam pencarian solusi numerik tidak mengutamakan diperolehnya hasil yang eksak (tepat). Penyelesaian yang didapat berupa penyelesaian pendekatan atau aproksimasi. Oleh karena itu biasanya timbul galat atau eror (error). Galat memperlihatkan seberapa dekat solusi hampiran atau pendekatan terhadap solusi eksaknya. Semakin kecil galat, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan atau dapat dikatakan konvergen.

Definisi 2.1.1

Dimisalkan 𝑥" adalah solusi eksak dan 𝑥# adalah solusi aproksimasi dari suatu fungsi maka didefinisikan error

error = 𝑥" − 𝑥# . (2.1)

(Atkinson, 1988)

Definisi 2.1.2

Galat (error) yang kecil ditunjukkan dengan adanya kekonvergenan. Pada proses iterasi kekonvergenan terjadi jika error pada iterasi pertama lebih besar dari error iterasi kedua, error iterasi kedua lebih besar dari iterasi ketiga dan error iterasi ke-𝑛 lebih besar daripada iterasi ke-𝑛 + 1. Jadi secara matematika ditulis

𝜀+ > 𝜀- > 𝜀. > ⋯ > 𝜀0 > 𝜀01+, (2.2)

dengan 𝜀0 merupakan nilai error pada iterasi ke-𝑛. Kekonvergenan pada (2.2) merupakan syarat penyelesaian pada perhitungan numerik dengan proses iterasi.

(Munif dan Hidayatullah, 2003) Definisi 2.1.3

Asumsikan 𝑒0 = 𝑥0 − 𝛼 sebagai nilai error untuk iterasi ke-n untuk 𝑛 ≥ 0, maka relasinya adalah

6

𝑒01+ = 𝐶𝑒09 + 𝑂 𝑒0

91+ , (2.3)

disebut persamaan error dengan orde kekonvergenan p.

(Fitriani dkk., 2014)

Definisi 2.1.4

Definisi kestabilan terkait dengan kemungkinan nilai error yang kecil akan terus-menerus menjadi hilang (tidak ada nilai error) jika suatu metode iterasi pada suatu fungsi tetap dilanjutkan. Sebaliknya, ketidakstabilan akan muncul ketika nilai error yang kecil akan menjadi nilai yang besar jika suatu metode iterasi pada suatu fungsi tetap dilanjutkan. Jadi, kestabilan dapat dilihat apakah solusi aproksimasi pada metode iterasi mendekati solusi eksak.

(Boyce dan DiPrima, 2012) Definisi 2.1.5

Misalkan 𝑟 merupakan banyaknya fungsi evaluasi pada satu metode iterasi, maka orde kekonvergenannya sebanyak 𝑝 = 2>?+. (2.4)

(Kung dan Traub, 1974) Definisi 2.1.6

Kriteria pemberhentian untuk solusi aproksimasi tergantung dari nilai ketelitian (𝜀) sehingga dapat digunakan kriteria pemberhentian untuk program komputer: 1. 𝑥01+ − 𝑥0 < 𝜀, (2.5) 2. 𝑓 𝑥01+ < 𝜀. (2.6)

(Weerakoon dan Fernando, 2000) 2.2 Deret Taylor

Deret Taylor merupakan deret fungsi dengan jumlah tak hingga yang suku-sukunya terdiri dari fungsi turunan untuk menentukan suatu titik atau nilai pendekatan suatu fungsi. Deret Taylor biasanya

7

digunakan untuk pendekatan dari hasil eksak fungsi yang terintegral. Jika deret taylor terpusat di titik nol, maka dapat didefinisikan sebagai deret Maclaurin.

Andaikan fungsi 𝑓 dan semua turunannya 𝑓B, 𝑓BB, 𝑓BBB, …, dan

seterusnya kontinu di dalam selang [𝑎, 𝑏]. Misalkan 𝑥H𝜖[𝑎, 𝑏], maka untuk nilai-nilai x di sekitar 𝑥H dan 𝑥𝜖[𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥H +(𝑥 − 𝑥H)

1!𝑓B 𝑥H +

(𝑥 − 𝑥H)-

2!𝑓BB 𝑥H + ⋯

+𝑥 − 𝑥H 0

𝑛!𝑓 0 𝑥H + ⋯.

(2.7)

(Munir, 2015)

2.3 Metode Beda Hingga

Metode beda hingga (Finite Difference) merupakan metode penyelesaian numerik dengan menggunakan persamaan turunan yang dibatasi pada suatu orde. Penggunaan pendekatan fungsi limit dari selisih nilai fungsi-fungsi pada sekitarnya, nilai titik tertentu dapat diketahui turunannya (Chapra dan Canale, 2010). Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu berikutnya. Berbeda dengan metode implisit, yaitu penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang, dan yang akan datang.

Metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor

dalam mengaproksimasi turunan. Ekspansi deret Taylor untuk 𝑢(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑥> dapat ditulis sebagai

8

𝑢 𝑥> + ℎ = 𝑢 𝑥> + ℎ𝑢B 𝑥> +ℎ-

2!𝑢BB 𝑥> + ⋯ ,

(2.8)

dari persamaan (2.8) diperoleh

𝑢 𝑥> + ℎ = 𝑢 𝑥> + ℎ𝑢B 𝑥> + 𝑂(ℎ),

𝑢B 𝑥> =𝑢 𝑥> + ℎ − 𝑢 𝑥>

ℎ+ 𝑂 ℎ .

Selanjutnya diperoleh pendekatan turunan pertama pada titik 𝑥 = 𝑥>, yaitu

𝑢B 𝑥> =𝑑𝑢 𝑥>𝑑𝑥

=𝑢>1+ − 𝑢>

ℎ.

(2.9)

Pendekatan turunan pertama pada persamaan (2.9) disebut beda maju. Selanjutnya, ekspansi deret Taylor untuk 𝑢(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑥> juga dapat ditulis sebagai

𝑢 𝑥> − ℎ = 𝑢 𝑥> − ℎ𝑢B 𝑥> +ℎ-

2!𝑢BB 𝑥> + ⋯ . (2.10)

Berdasarkan ekspansi deret Taylor pada persamaan (2.10) dapat diperoleh

𝑢B 𝑥> =𝑢 𝑥> − 𝑢 𝑥> − ℎ

ℎ+ 𝑂 ℎ ,

dan diperoleh pendekatan turunan pertama di titik 𝑥 = 𝑥>, yaitu

𝑢B 𝑥> =𝑑𝑢 𝑥>𝑑𝑥

=𝑢> − 𝑢>?+

ℎ.

(2.11)

9

Pendekatan turunan pertama pada persamaan (2.11) disebut beda mundur. Pendekatan turunan pertama di titik 𝑥 = 𝑥> dapat dilakukan dengan cara lain. Jika persamaan (2.8) dikurangi persamaan (2.10) maka diperoleh

𝑢 𝑥> + ℎ − 𝑢 𝑥> − ℎ = 2ℎ𝑢B 𝑥> +ℎ.

3!𝑢BBB 𝑥> + ⋯ ,

(2.12) sehingga didapatkan

𝑢B 𝑥> =𝑢 𝑥> + ℎ − 𝑢 𝑥> − ℎ

2ℎ+ 𝑂 ℎ- . (2.13)

Selanjutnya, dari persamaan (2.13) diperoleh pendekatan turunan pertama dengan kesalahan 𝑂 ℎ- yaitu,

𝑢B 𝑥> =𝑢 𝑥> + ℎ − 𝑢 𝑥> − ℎ

2ℎ=𝑢>1+ − 𝑢>?+

2ℎ.

(2.14)

Skema (2.14) disebut pendekatan beda pusat untuk turunan pertama.

(Suryanto, 2012) 2.4 Metode Newton

Metode Newton atau dikenal dengan metode Newton-Rhapson merupakan metode pencarian akar suatu fungsi 𝑓(𝑥) yang memiliki turunan dengan pendekatan satu titik. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi yang dimulai “cukup dekat” dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dengan cepat akan menjauhi nilai solusi tanpa peringatan (divergen).

Langkah awal metode Newton adalah persamaan diubah dalam bentuk 𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑘 ≠ 0

𝐹 𝑥 = 𝑥 + 𝑘𝑓 𝑥 . (2.15)

10

Pada persamaan (2.15), jika persamaan𝑓 𝑥 = 0 maka persamaan 𝑥 = 𝐹 𝑥 adalah ekuivalen. Untuk 𝐹B 𝜃 = 1 + 𝑘𝑓′(𝜃), 𝐹B 𝜃 didapat konvergen untuk

𝑘 = − +VW 𝜃

. (2.16)

Oleh karena 𝜃 adalah variabel yang tidak diketahui sehingga persamaan (2.16) tidak dapat diaplikasikan. Akan tetapi, jika digunakan 𝑥0 sebagai variabel pendekatan atau aproksimasi, maka variabel ini akan menuju ke 𝐹(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥)/(𝑓′(𝑥)) atau ditulis sebagai iterasi

𝑥01+ = 𝑥0 −𝑓 𝑥0𝑓B 𝑥0

.

(2.17) Persamaan (2.17) merupakan iterasi metode Newton.

(Dahlquist dan Bjrock, 2008) 2.5 Metode Steffensen

Metode Steffensen merupakan metode pencarian akar suatu fungsi yang hampir mirip dengan metode Newton, namun dengan bantuan metode beda hingga dan tidak memiliki fungsi turunan. Metode ini merupakan metode terbuka karena tidak memerlukan selang [𝑎, 𝑏] yang memiliki akar, metode ini hanya memerlukan tebakan awal sebagai tahap awal berjalannya iterasi. Pada setiap iterasi, nilai iterasi awal yang lama akan digunakan untuk menghitung nilai iterasi selanjutnya. Nilai iterasi dianggap sebagai nilai hampiran untuk mengukur seberapa dekat nilai hampiran dengan nilai eksak.

Metode ini biasanya digunakan untuk penyelesaian persamaan nonlinear dengan beberapa variabel. Metode ini sangat baik untuk digunakan, karena hasil nilai pendekatan atau aproksimasinya sangat dekat dengan solusi eksaknya. Namun kelemahannya adalah iterasi dari metode ini relatif lebih lambat.

𝑥01+ = 𝑥0 −V YZ[ YZ

. untuk 𝑛 = 0,1,2,3, … (2.18)

11

Fungsi kemiringan 𝑔(𝑥0) pada persamaan (2.18) adalah gabungan dari fungsi 𝑓dengan rumus

𝑔 𝑥0 =𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 − 𝑓(𝑥0)

𝑓(𝑥0),

(2.19)

atau dapat ditulis

𝑥01+ = 𝑥0 −𝑓 𝑥0 -

𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥0 − 𝑓(𝑥0,

dengan fungsi 𝑔 pada (2.19) adalah nilai rata-rata untuk fungsi kemiringan 𝑓 dengan step ℎ = 𝑓(𝑥0). Persamaan pada (2.19) juga bisa dikatakan metode beda hingga.

(Dahlquist dan Bjrock, 2008) Contoh 2.1

Contoh berikut diambil dari Cordero dkk (2013). Didefinisikan fungsi 𝑓 𝑥 sebagai berikut 𝑓 𝑥 =

𝑥(𝑥 + 1)−2𝑥(𝑥 − 1)

jika𝑥 < 0jika𝑥 ≥ 0. (2.20)

Fungsi (2.20) memiliki akar yaitu 𝑥 = −1, 1, dan 0. Selanjutnya fungsi (2.20) akan diselesaikan dengan menggunakan metode Steffensen dengan nilai aproksimasi awal 𝑥H = 5. Nilai eksak dari fungsi (2.20) adalah 𝛼 = 1. Lebih lanjut, dapat diperoleh 𝑓 5 = −2 5 5 − 1 = −10 4 = −40, (2.21) dan 𝑓 5 + 𝑓 5 = 𝑓 5 − 40 = 𝑓(−35), 𝑓 −35 = −35 −35 + 1 = −35 −34 = 1190. (2.22)

12

Jadi, dapat ditulis untuk iterasi pertama

𝑥+ = 𝑥H −(𝑓 𝑥H )-

𝑓 𝑥H + 𝑓 𝑥H − 𝑓(𝑥H),

𝑥+ = 𝑥H −(𝑓 5 )-

𝑓 5 + 𝑓 5 − 𝑓 5.

(2.23)

Hasil dari (2.21) dan (2.22) disubstitusikan ke (2.23) sehingga didapat

𝑥+ = 5 −−40 -

1190 + 40= 5 −

16001230

= 5 − 1,3 = 3,7

(2.24) Nilai 𝑥+ pada (2.24) merupakan nilai aproksimasi saat ini atau dapat disebut sebagai 𝑥#. Dengan 𝛼 = 1 yang merupakan nilai eksak, maka didapat nilai error-nya

error = 𝛼 − 𝑥# = 1 − 3,7 = 2,7 2.6 Aproksimasi Pade`

Aproksimasi Pade` merupakan aproksimasi atau pendekatan dengan cara mencari parameter pada dua persamaan polinomial yang terdapat pada pembilang dan pembagi. Aproksimasi ini tidak mengandalkan fungsi turunan seperti deret Taylor. Jadi, aproksimasi ini baik digunakan untuk mencari fungsi turunan dengan tidak terlibat dengan turunan seperti deret Taylor.

Diberikan suatu deret 𝑐g𝑧gi

gjH yang ditulis dalam bentuk fungsi rasional 𝑓 𝑧 , sehingga

𝑓 𝑧 = 𝑐g𝑧gi

gjH

,

(2.25) dengan notasi 𝑐g, 𝑖 = 0,1,2, …

13

Dalam fungsi 𝑓 𝑧 yang rasional, persamaan (2.25) dipecah menjadi dua deret dalam bentuk

L/M =𝑎n𝑧no

njH

𝑏n𝑧npnjH

,

atau

L/M =𝑎H + 𝑎+𝑧 + ⋯+ 𝑎o𝑧o

𝑏H + 𝑏+𝑧 + ⋯+ 𝑏p𝑧p.

(2.26) Jika 𝑏H = 1, maka persamaan (2.26) memiliki L+1 koefisien yang tidak diketahui untuk pembilang dan M koefisien yang tidak diketahui untuk penyebut, dengan begitu terdapat L+M+1 koefisien yang tidak diketahui dalam suatu deret. Jadi deret 𝑐g𝑧gi

gjH pada persamaan (2.28) dapat ditulis

𝑐g𝑧gi

gjH

=𝑎H + 𝑎+𝑧 + ⋯+ 𝑎o𝑧o

1 + 𝑏+𝑧 + ⋯+ 𝑏p𝑧p+ 𝑂 𝑧o1p1+ ,

(2.27)

selanjutnya dikalikan deret 1 + 𝑏g𝑧gigj+ pada kedua sisi di

persamaan (2.27), maka didapat

1 + 𝑏+ + ⋯+ 𝑏p𝑧p 𝑐H + 𝑐+𝑧 + ⋯ = (𝑎H + 𝑎+𝑧 + ⋯+ 𝑎o𝑧o).

(2.28) Untuk koefisien dari 𝑧o1+, 𝑧o1-, 𝑧o1., … , 𝑧o1p pada sisi kiri dari persamaan (2.28), diperoleh

𝑏p𝑐o?p1+ + 𝑏p?+𝑐o?p1- + ⋯+ 𝑏+𝑐o + 𝑐o1+ = 0, 𝑏p𝑐o?p1- + 𝑏p?+𝑐o?p1. + ⋯+ 𝑏+𝑐o1+ + 𝑐o1- = 0,

⋮ 𝑏p𝑐o + 𝑏p?+𝑐o1+ + ⋯+ 𝑏+𝑐o1p?+ + 𝑐o1p = 0. (2.29)

Jika persamaan-persamaan pada (2.29) dibuat dalam bentuk matriks 𝐴𝑧 = 𝐵, maka dihasilkan persamaan matriks

14

𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+

⋯ 𝑐o⋯ 𝑐o1+⋯ 𝑐o1-

⋮ ⋮ ⋮𝑐o 𝑐o1+ 𝑐o1-

⋮⋯ 𝑐o1p?+

𝑏p𝑏p?+𝑏p?-⋮𝑏+

+

𝑐o1+𝑐o1-𝑐o1.⋮

𝑐o1p

= 0,

𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+ 𝑐o?p1+

⋯ 𝑐o⋯ 𝑐o1+⋯ 𝑐o1-

⋮ ⋮ ⋮𝑐o 𝑐o1+ 𝑐o1-

⋮⋯ 𝑐o1p?+

𝑏p𝑏p?+𝑏p?-⋮𝑏+

= −

𝑐o1+𝑐o1-𝑐o1.⋮

𝑐o1p

.

(2.30)

Koefisien dari 1, 𝑧, 𝑧-, … , 𝑧o pada persamaan (2.28), sehingga didapat

𝑎H = 𝑐H, 𝑎+ = 𝑐+ + 𝑏+𝑐H,

𝑎- = 𝑐- + 𝑏+𝑐+ + 𝑏-𝑐H, ⋮

𝑎o = 𝑐o + 𝑏g𝑐o?g

tuv(o,p)

gj+

.

(2.31)

(Baker dan Morris, 1981)

L dan M pada persamaan (2.26) dapat ditentukan tergantung banyaknya suku pada 𝑐g𝑧gi

gjH di persamaan (2.27) sehingga diberikan kondisi 𝐿 + 𝑀 = 𝑖 dengan 𝐿 ≥ 𝑀. Berikut ini merupakan contoh sederhana dari penggunaan aproksimasi Pade` seperti berikut.

Contoh 2.2

Didefinisikan fungsi 𝑓 𝑥 sebagai berikut 𝑓 𝑥 = 𝑒Y. (2.32)

15

Kemudian fungsi 𝑓 𝑥 pada fungsi (2.32) diaproksimasi melalui deret Taylor sehingga didapat

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥-

2+𝑥.

6+𝑥y

24+ 𝑂 𝑥z .

(2.33)

Selanjutnya hasil deret Taylor pada persamaan (2.33) digunakan aproksimasi Pade` untuk [𝐿/𝑀] = [2/2] sehingga dapat ditulis

𝑓 𝑥 = [𝐿/𝑀] = [2/2] =𝑎n𝑥n-

njH

𝑏n𝑥n-njH

,

1 + 𝑥 +𝑥-

2+𝑥.

6+𝑥y

24+ 𝑂 𝑥z =

𝑎H + 𝑎+𝑥 + 𝑎-𝑥-

1 + 𝑏+𝑥 + 𝑏-𝑥-.

(2.34)

Dari beberapa koefisien yang dapat dilihat dari persamaan (2.34), maka didapat beberapa persamaan

𝑎H = 𝑐H,

𝑎+ = 𝑐+ + 𝑏+𝑐H, 𝑎- = 𝑐- + 𝑏+𝑐+ + 𝑏-𝑐H,

𝑎. = 𝑐. + 𝑏+𝑐- + 𝑏-𝑐+ + 𝑏.𝑐H, 𝑎y = 𝑐y + 𝑏+𝑐. + 𝑏-𝑐- + 𝑏.𝑐+ + 𝑏y𝑐H.

(2.35)

Dari persamaan-persamaan yang terdapat pada (2.35), koefisien pada persamaan (2.33) dapat disubstitusikan ke 𝑐H, 𝑐+ … , 𝑐. pada persamaan-persamaan (2.35) sehingga didapat

𝑎H = 1, 𝑎+ = 1 +𝑏+(1),

𝑎- =+-+ 𝑏+(1) + 𝑏-(1),

0 =16+𝑏+

12+𝑏-(1) + (0)(1),

0 =124

+𝑏+16+𝑏-

12+ 0 1 + 0 1 ,

16

atau jika disederhanakan didapat

𝑎H = 1, 𝑎+ = 1 +𝑏+,

𝑎- =12+𝑏+ + 𝑏-,

0 =16+𝑏+

12+𝑏-,

0 =124

+𝑏+16+𝑏-

12.

(2.36) Dari persamaan-persamaan pada (2.36), dengan dilakukan eliminasi didapat

𝑎H = 1,

𝑎+ =12,

𝑎- =112,

𝑏+ = −12,

𝑏- =112.

(2.37)

Berdasarkan koefisien-koefisien yang didapat pada (2.37), persamaan (2.34) dapat ditulis

𝑒Y =1 + (12)𝑥 + (

112)𝑥

-

1 + (− 12)𝑥 + (112)𝑥

-,

atau

𝑒Y =12 + 6𝑥 + 𝑥-

12 − 6𝑥 + 𝑥-+ 𝑂 𝑥z .

(2.38)

(Rajabante, 2017)

17

Selanjutnya, untuk 𝑥 = 1 yang disubstitusikan ke persamaan (2.32), persamaan (2.33), dan persamaan (2.38) sehingga didapat 𝑒+ = 2,7182…, (2.39)

1 + 1 +1 -

2+

1 .

6+

1 y

24= 2,7087…,

(2.40) dan 12 + 6(1) + (1)-

12 − 6(1) + (1)-=197= 2,7143….

(2.41)

Hasil dari (2.39), (2.40), dan (2.41). (2.40) merupakan hasil dari pendekatan atau aproksimasi deret Taylor dan (2.41) merupakan hasil dari aproksimasi Pade`. Kedua pendekatan ini merupakan nilai aproksimasi dari hasil eksak (2.39).

19

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Metode Optimal Orde 4

Metode ini merupakan metode baru berdasarkan metode Steffensen. Metode ini dibuat berdasarkan metode Steffensen dan dimodifikasi menggunakan metode Newton. Selanjutnya dicari fungsi turunannya dengan bantuan aproksimasi Pade` derajat 1 untuk mendapatkan metode orde 4. Selanjutnya metode ini diuji kekonvergenannya menggunakan ekspansi deret Taylor dengan perluasan sampai orde 4 untuk membuktikan metode ini optimal di orde 4.

Didefinisikan metode Steffensen seperti yang terdapat pada persamaan (2.18) dan persamaan (2.19) sebagai berikut

𝑥"#$ = 𝑥" −𝑓 𝑥"𝑔 𝑥"

,

untuk 𝑛 = 0,1,2,3, …

𝑔 𝑥" =𝑓 𝑥" + 𝑓 𝑥" − 𝑓(𝑥")

𝑓(𝑥"),

atau dapat ditulis

𝑥"#$ = 𝑥" −𝑓 𝑥" 3

𝑓 𝑧" − 𝑓 𝑥",

(3.1) dengan 𝑧" = 𝑥" + 𝑓(𝑥"). Metode Steffensen pada persamaan (3.1) dimodifikasi menggunakan langkah metode Newton pada persamaan (2.17) sehingga didapatkan iterasi seperti berikut

𝑦" = 𝑥" −𝑓 𝑥" 3

𝑓 𝑧" − 𝑓 𝑥",

(3.2)

20

𝑥"#$ = 𝑦" −𝑓 𝑦"𝑓7 𝑦"

,

(3.3) dengan 𝑧" = 𝑥" + 𝑓(𝑥"). Untuk menghindari fungsi evaluasi pada persamaan (3.3) berupa fungsi turunan yaitu 𝑓′ 𝑦" , fungsi 𝑓′ 𝑦" diaproksimasikan sebagai turunan 𝑚′ 𝑦" dengan mengikuti aproksimasi Pade` derajat 1. Didefinisikan fungsi 𝑚 𝑡 merupakan fungsi yang rasional. Fungsi 𝑚 𝑡 akan diaproksimasi dengan aproksimasi Pade` atau dapat ditulis

𝑚 𝑡 = L/M =𝑎?(𝑡 − 𝑦")?@

?AB

1 + 𝑏?(𝑡 − 𝑦")?D?A$

.

(3.4)

Selanjutnya fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.4) digunakan aproksimasi Pade’ derajat 1 atau dapat didefinisikan sebagai L/M = 1/1 sehingga didapat

𝑚 𝑡 = 1/1 =𝑎?(𝑡 − 𝑦")?$

?AB

1 + 𝑏?(𝑡 − 𝑦")?$?A$

,

atau dapat ditulis

𝑚 𝑡 = 1/1 =𝑎B + 𝑎$(𝑡 − 𝑦")1 + 𝑏$(𝑡 − 𝑦")

,

(3.5) dengan 𝑎B, 𝑎$, dan 𝑏$ pada persamaan (3.5) merupakan parameter bilangan real yang akan ditentukan dengan kondisi

𝑚 𝑥" = 𝑓 𝑥" , (3.6) 𝑚 𝑦" = 𝑓 𝑦" , (3.7)

dan 𝑚 𝑧" = 𝑓 𝑧" . (3.8)

21

Jika 𝑦" disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.5), maka didapatkan

𝑚 𝑦" =𝑎B + 𝑎$(𝑦" − 𝑦")1 + 𝑏$(𝑦" − 𝑦")

,

𝑚 𝑦" =𝑎B + 𝑎$(0)1 + 𝑏$(0)

,

𝑚 𝑦" = 𝑎B. (3.9)

Oleh karena 𝑚 𝑦" = 𝑓 𝑦" pada persamaan (3.7), persamaan (3.9) dapat ditulis sebagai

𝑎B = 𝑓 𝑦" . (3.10)

Jika 𝑥" disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.4), maka ditulis

𝑚 𝑥" =𝑎B + 𝑎$(𝑥" − 𝑦")1 + 𝑏$(𝑥" − 𝑦")

.

(3.11)

Oleh karena 𝑚 𝑥" = 𝑓 𝑥" pada persamaan (3.6) dan 𝑎B = 𝑓 𝑦" pada persamaan (3.10) sehingga persamaan (3.11) dapat ditulis

𝑓 𝑥" =𝑓 𝑦" + 𝑎$(𝑥" − 𝑦")1 + 𝑏$(𝑥" − 𝑦")

,

𝑓 𝑥" 1 + 𝑏$ 𝑥" − 𝑦" = 𝑓 𝑦" + 𝑎$ 𝑥" − 𝑦" ,

𝑓 𝑥" + 𝑓 𝑥" 𝑏$ 𝑥" − 𝑦" = 𝑓 𝑦" + 𝑎$ 𝑥" − 𝑦" ,

𝑓 𝑥" − 𝑓 𝑦" = 𝑎$ 𝑥" − 𝑦" − 𝑓 𝑥" 𝑏$ 𝑥" − 𝑦" ,

𝑓 𝑥" − 𝑓 𝑦" = 𝑎$ − 𝑓 𝑥" 𝑏$ 𝑥" − 𝑦" ,

𝑓 𝑥" − 𝑓 𝑦"

𝑥" − 𝑦"= 𝑎$ − 𝑓 𝑥" 𝑏$,

22

didapatkan

𝑓 𝑥", 𝑦" = 𝑎$ − 𝑓 𝑥" 𝑏$. (3.11) Didefinisikan 𝑓[𝑥", 𝑦"] pada persamaan (3.11) merupakan beda terbagi yaitu 𝑓[𝑥", 𝑦"] = (𝑓(𝑥") − 𝑓(𝑦"))/(𝑥" − 𝑦"). Untuk 𝑧", dilakukan cara yang sama seperti mensubstitusikan 𝑦" ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.5) sehingga didapat

𝑓 𝑧", 𝑦" = 𝑎$ − 𝑓 𝑧" 𝑏$, (3.12) kemudian dieliminasi persamaan (3.11) dan (3.12), maka didapat

𝑎$ = 𝑓 𝑦", 𝑧" −𝑓 𝑧" 𝑓 𝑥", 𝑦", 𝑧"

𝑓 𝑧", 𝑥",

(3.13) dan

𝑏$ = −𝑓 𝑥", 𝑦", 𝑧"𝑓 𝑥", 𝑧"

,

(3.14)

dengan 𝑓[𝑥", 𝑦", 𝑧"] = (𝑓[𝑥", 𝑦"] − 𝑓[𝑦", 𝑧"])/(𝑥" − 𝑧") adalah beda terbagi orde dua. Selanjutnya,𝑚 𝑡 pada persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝑡 sehingga didapat

𝑚7 𝑡 =𝑎$ 1 + 𝑏$ 𝑡 − 𝑦" − 𝑎B + 𝑎$ 𝑡 − 𝑦" 𝑏$

1 + 𝑏$ 𝑡 − 𝑦"3 .

(3.15)

Kemudian 𝑦" disubstitusikan ke dalam 𝑚′ 𝑡 pada persamaan (3.15) sehingga didapatkan

23

𝑚7 𝑦" =𝑎$ 1 + 𝑏$ 𝑦" − 𝑦" − 𝑎B + 𝑎$ 𝑦" − 𝑦" 𝑏$

1 + 𝑏$ 𝑦" − 𝑦"3 ,

𝑚7 𝑦" =𝑎$ 1 + 𝑏$ 0 − 𝑎B + 𝑎$ 0 𝑏$

1 + 𝑏$ 03 ,

𝑚7 𝑦" = 𝑎$ − 𝑎B𝑏$. (3.16)

Langkah selanjutnya, 𝑎B pada persamaan (3.10), 𝑎$ pada persamaan (3.13), dan 𝑏$ pada persamaan (3.14) disubstitusikan ke persamaan (3.16), maka didapat

𝑚7 𝑦" = 𝑓 𝑦", 𝑧" − H IJ H KJ,LJ,IJH IJ,KJ

+ 𝑓 𝑦"H KJ,LJ,IJH KJ,IJ

.

(3.17) Kemudian pada persamaan (3.17) dilakukan penyederhanaan seperti yang terdapat pada Lampiran 1 dan diperoleh

𝑚7 𝑦" = 𝑓7 𝑦" =𝑓 𝑥", 𝑦" 𝑓 𝑦", 𝑧"

𝑓 𝑥", 𝑧".

(3.18) Selanjutnya persamaan (3.18) disubstitusikan ke persamaan (3.3), maka didapat metode iterasi orde 4

𝑦" = 𝑥" −𝑓 𝑥" 3

𝑓 𝑧" − 𝑓 𝑥",

(3.19)

𝑥"#$ = 𝑦" −𝑓 𝑦" 𝑓 𝑥", 𝑧"𝑓 𝑥", 𝑦" 𝑓 𝑦", 𝑧"

,

(3.20) dengan 𝑧" = 𝑥" + 𝑓(𝑥") Berdasarkan metode orde 4 pada persamaan (3.20), terdapat tiga fungsi evaluasi yaitu 𝑓(𝑥"), 𝑓(𝑦"), dan 𝑓(𝑧") sehingga berdasarkan rumus dari Kung dan Traub (1974) pada (2.8), dapat disimpulkan bahwa metode pada persamaan (3.20) memiliki 4 orde konvergensi.

24

Terkait dengan metode orde 4 yang sudah optimal di orde konvergensi 4 dinyatakan dalam Teorema 1 seperti berikut. Teorema 1 (Cordero dkk, 2013) Misalkan 𝛼 ∈ 𝐼 merupakan akar dari fungsi yang dapat diturunkan 𝑓 ∶ 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ di dalam interval terbuka 𝐼. Jika 𝑥B cukup dekat dengan 𝛼, maka metode iterasi orde 4 memiliki konvergen orde 4 yang optimal. Bukti Misalkan 𝑒" merupakan nilai error di 𝑥" sehingga 𝑒" = 𝑥" − 𝛼. Digunakan ekspansi deret Taylor di sekitar 𝑥 = 𝛼 sehingga dapat ditulis

𝑓(𝑥") = 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y , (3.21)

dengan 𝑐? = ((𝑓?)(𝛼))/(𝑘!), 𝑘 = 1,2, … . Untuk 𝑧" = 𝑥" + 𝑓(𝑥") dapat ditulis 𝑧" = 𝛼 + 𝑒" + 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y , 𝑧" − 𝛼 = 𝑒" + 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y , 𝑧" − 𝛼 = ((1 + 𝑐$)𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y ) = 𝑒𝑛.

(3.22)

Didefinisikan 𝑓(𝑧") merupakan deret sebagai berikut 𝑓(𝑧") = 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y .

(3.23) Kemudian 𝑒" pada persamaan (3.22) disubstitusikan ke persamaan (3.23), didapat 𝑓(𝑧") = 𝑐$((1 + 𝑐$)𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y )

+𝑐3((1 + 𝑐$)𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y )3 +𝑐V((1 + 𝑐$)𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y )V +𝑐W((1 + 𝑐$)𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y )W +𝑂(𝑒"Y).

(3.24)

25

Jika persamaan (3.24) disederhanakan maka didapat 𝑓(𝑧") = 𝑐$3 + 𝑐$ 𝑒" + 3𝑐$𝑐3 + 𝑐3𝑐$3 + 𝑐3 𝑒"3 + (3𝑐$𝑐V

+2𝑐$𝑐33 + 𝑐V𝑐$3 + 2𝑐33 + 3𝑐V𝑐$3)𝑒"V + (3𝑐V𝑐3𝑐$3 +6𝑐$𝑐3𝑐V + 𝑐$3 + 𝑐$𝑐V + 𝑐W + 4𝑐W𝑐$V + 3𝑐3𝑐V +6𝑐W𝑐$3 + 5𝑐$𝑐W + 𝑐W𝑐$W) + 𝑂 𝑒"Y .

(3.25)

Selanjutnya 𝑥" = 𝑒" + 𝛼,𝑓(𝑥") pada persamaan (3.21), dan 𝑓(𝑧") pada persamaan (3.25) disubtsitusikan ke persamaan (3.19), maka didapat 𝑦" − 𝛼 = 𝑗3𝑒𝑛2 + 𝑗V𝑒𝑛4 + 𝑗W𝑒𝑛4 + 𝑂 𝑒𝑛5 = 𝑒", (3.26) dengan

𝑗3 = 𝑐21𝑐2+ 1 ,

𝑗V =−2𝑐22 + 𝑐3

𝑐12+3𝑐3 − 2𝑐22

𝑐1+ 3𝑐3 + 𝑐3𝑐1 − 𝑐22 ,

dan

𝑗W = (6𝑐W𝑐$V + 3𝑐W𝑐$3 + 5𝑐$𝑐3V + 4𝑐33

𝑐VV

+4𝑐W𝑐$W + 3𝑐3V𝑐$3 + 𝑐$V𝑐3V + 𝑐W𝑐$Y

𝑐VV

+−11𝑐$𝑐V − 4𝑐V − 𝑐$ − 𝑐$3

𝑐V3

+−2𝑐$𝑐$W − 12𝑐$3𝑐3 − 7𝑐$V𝑐3

𝑐V3).

Kemudian didefinisikan 𝑓(𝑦") berupa deret yang dapat ditulis 𝑓(𝑦") = 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"

3 + 𝑐V𝑒"V + 𝑐W𝑒"

W + 𝑂 𝑒"Y . (3.27)

26

Langkah terakhir, 𝑒" pada persamaan (3.26) disubstitusikan ke persamaan (3.27), didapat

𝑓(𝑦") = 𝑐3 + 𝑐$𝑐3 𝑒"3 +− 2𝑐22 + 2𝑐1𝑐22 + 𝑐22𝑐1

2

𝑐1𝑒𝑛3

+2𝑐$𝑐V + 3𝑐$3𝑐V + 𝑐$V𝑐V

𝑐$𝑒"V

+5 + 7𝑐$𝑐3V + 4𝑐$3𝑐3V + 𝑐$V𝑐3V

𝑐$3𝑒"W

+− 7𝑐$ + 10𝑐$3 + 7𝑐$3 + 2𝑐$V 𝑐3𝑐V

𝑐$3𝑒"W

+3𝑐$3𝑐W + 6𝑐$V𝑐W + 4𝑐$W𝑐W + 𝑐W𝑐$V

𝑐$3𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y .

(3.28)

Setelah itu, hasil dari 𝑓(𝑦"), 𝑓 𝑥", 𝑧" , 𝑓 𝑥", 𝑦" , dan 𝑓 𝑦", 𝑧" yang terdapat pada Lampiran 2 disubstitusikan ke persamaan (3.20) sehingga didapat

𝑥"#$ − 𝛼 =1 + 𝑐$ 3𝑐3 2𝑐33 − 𝑐$𝑐V

𝑐$V𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y .

(3.29) Jadi, terbukti bahwa metode orde 4 pada persamaan (3.29) dikatakan optimal atau dapat disebut sebagai metode optimal orde 4. 3.2 Metode Optimal Orde 8

Metode optimal orde 8 merupakan lanjutan dari metode optimal orde 4. Metode ini juga berdasarkan metode Steffensen yang dimodifikasi oleh metode Newton dan fungsi diferensialnya menggunakan aproksimasi Pade` derajat 2. Perbedaan signifikan dari kedua metode ini adalah 𝑦" yang terdapat pada metode optimal orde 4 merupakan rumus dari metode Steffensen yang dimodifikasi oleh metode Newton, sedangkan 𝑢" yang terdapat pada metode optimal orde 8 merupakan rumus dari metode optimal orde 4. Jadi, metode optimal orde 8 tidak akan bisa diproses jika metode optimal orde 4 tidak diproses terlebih dahulu. Metode orde 8 juga dibutuhkan uji

27

kekonvergenan untuk membuktikan apakah metode tersebut optimal di orde 8.

Rumus metode optimal orde 8 hampir sama dengan rumus metode optimal orde 4. Namun untuk mendapatkan metode optimal orde 8, metode ini membutuhkan metode optimal orde 4 sebagai syarat awal agar dapat meningkatkan orde konvergensi dari 4 menjadi 8. Jadi, dapat diasumsikan 𝜓W merupakan suatu fungsi yang mendefinisikan metode optimal orde 4 sehingga dapat ditulis

𝑦" = 𝑥" −𝑓 𝑥" 3

𝑓 𝑧" − 𝑓 𝑥",

(3.30) dengan 𝑧" = 𝑥" + 𝑓(𝑥")

𝑢" = 𝜓W 𝑥", 𝑦", 𝑧" ,

dengan 𝜓W 𝑥", 𝑦", 𝑧" = 𝑦" −

H LJ H KJ,IJH KJ,LJ H LJ,IJ

, (3.31)

𝑥"#$ = 𝑢" −𝑓 𝑢"𝑓7 𝑢"

.

(3.32) Untuk menghindari fungsi evaluasi pada persamaan (3.32) berupa fungsi turunan yaitu 𝑓′ 𝑢" , fungsi 𝑓′ 𝑢" diaproksimasikan sebagai turunan 𝑚′ 𝑢" dengan mengikuti aproksimasi Pade` derajat 2. Didefinisikan fungsi 𝑚 𝑡 merupakan fungsi yang rasional. Fungsi 𝑚 𝑡 melakukan pendekatan dengan menggunakan aproksimasi Pade` seperti pada persamaan (3.4). Selanjutnya pada persamaan (3.4) akan digunakan aproksimasi Pade` dengan derajat 2 atau dapat didefinisikan sebagai L/M = 2/1 sehingga dapat ditulis

𝑚 𝑡 = 2/1 =𝑎?(𝑡 − 𝑢")?3

?AB

1 + 𝑏?(𝑡 − 𝑢")?$?A$

,

atau dapat ditulis

28

𝑚 𝑡 = 2/1 =𝑎B + 𝑎$ 𝑡 − 𝑢" + 𝑎3 𝑡 − 𝑢" 3

1 + 𝑏$(𝑡 − 𝑢"),

(3.33)

dengan 𝑎B, 𝑎$, 𝑎3, dan 𝑏$ pada persamaan (3.33) merupakan parameter bilangan real yang akan dicari dengan kondisi

𝑚 𝑥" = 𝑓 𝑥" , (3.34) 𝑚 𝑦" = 𝑓 𝑦" , (3.35) 𝑚 𝑧" = 𝑓 𝑧" , (3.36)

dan 𝑚 𝑢" = 𝑓 𝑢" . (3.37)

Selanjutnya, jika 𝑢" disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.33), maka dapat ditulis

𝑚 𝑢" =𝑎B + 𝑎$ 𝑢" − 𝑢" + 𝑎3 𝑢" − 𝑢" 3

1 + 𝑏$(𝑢" − 𝑢"),

𝑚 𝑢" =𝑎B + 𝑎$ 0 + 𝑎3 0 3

1 + 𝑏$(0),

sehingga didapat

𝑚 𝑢" = 𝑎B. (3.38)

Oleh karena 𝑚 𝑦" = 𝑓 𝑦" pada persamaan (3.35) sehingga persamaan (3.38) dapat ditulis

𝑎B = 𝑓 𝑢" . (3.39)

Untuk 𝑥", jika 𝑥" disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.33), maka dapat ditulis

𝑚 𝑥" =𝑎B + 𝑎$ 𝑥" − 𝑢" + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" 3

1 + 𝑏$(𝑥" − 𝑢").

(3.40)

29

Oleh karena 𝑚 𝑥" = 𝑓 𝑥" pada persamaan (3.34) dan 𝑎B = 𝑓 𝑢" pada persamaan (3.39) sehingga persamaan (3.40) dapat ditulis

𝑓 𝑥" =𝑓 𝑦" + 𝑎$ 𝑥" − 𝑢" + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" 3

1 + 𝑏$(𝑥" − 𝑢"),

𝑓 𝑥" 1 + 𝑏$ 𝑥" − 𝑢" = 𝑓 𝑢" + 𝑎$ 𝑥" − 𝑢" + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" 3,

𝑓 𝑥" + 𝑓 𝑥" 𝑏$ 𝑥" − 𝑢" = 𝑓 𝑢" + 𝑎$ 𝑥" − 𝑢" + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" 3,

𝑓 𝑥" − 𝑓 𝑢" = 𝑓 𝑥" 𝑏$ 𝑥" − 𝑢" + 𝑎$ + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" 3,

𝑓 𝑥" − 𝑓 𝑢"

𝑥" − 𝑢"= 𝑓 𝑥" 𝑏$ + 𝑎$ + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" ,

selanjutnya didapat

𝑓 𝑥", 𝑢" = 𝑓 𝑥" 𝑏$ + 𝑎$ + 𝑎3 𝑥" − 𝑢" . (3.41)

Didefinisikan 𝑓[𝑥", 𝑢"] merupakan beda terbagi yaitu 𝑓[𝑥", 𝑢"] =(𝑓(𝑥") − 𝑓(𝑢"))/((𝑥" − 𝑢")). Untuk 𝑦", dilakukan cara yang sama seperti mensubstitusikan 𝑦" ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.33) sehingga didapat

𝑓 𝑦", 𝑢" = 𝑓 𝑦" 𝑏$ + 𝑎$ + 𝑎3 𝑦" − 𝑢" . (3.42) Untuk 𝑧", dilakukan cara yang sama seperti 𝑧" disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.33) sehingga didapat

𝑓 𝑧", 𝑢" = 𝑓 𝑧" 𝑏$ + 𝑎$ + 𝑎3 𝑧" − 𝑢" . (3.43) Dari persamaan (3.39), (3.41), (3.42), dan (3.43), keempat persamaan tersebut dieliminasi sehingga didapat

𝑏$ =𝑓 𝑦", 𝑢", 𝑥" − 𝑓[𝑦", 𝑢", 𝑧"]

𝑓 𝑦", 𝑧" − 𝑓 𝑦", 𝑥",

(3.44)

30

𝑎3 = 𝑓 𝑦", 𝑢", 𝑥" + 𝑏$𝑓 𝑦", 𝑧" , (3.45)

dan

𝑎$ = 𝑓 𝑦", 𝑢" − 𝑎3 𝑦" − 𝑢" + 𝑓 𝑦" 𝑏$. (3.46)

Selanjutnya, 𝑚 𝑡 pada persamaan (3.33) diturunkan terhadap 𝑡 sehingga didapat

𝑚′ 𝑡 = (cd#3ce fghJ ) $#id fghJ g(cj#cd fghJ #ce fghJ e(id)($#id fghJ )e

.

(3.47) Kemudian 𝑢" disubstitusikan ke dalam 𝑚′ 𝑡 pada persamaan (3.47) sehingga didapatkan 𝑚7(𝑢") =

(cd#3ce hJghJ ) $#id hJghJ g(cj#cd hJghJ #ce hJghJ e(id)

$#id hJghJe ,

𝑚7(𝑢") =(cd#3ce B ) $#id B g(cj#cd B #ceBe(id)

$#id Be ,

𝑚7(𝑢") = 𝑓′ 𝑢" = 𝑎$ − 𝑎B𝑏$, (3.48)

dengan 𝑎B, 𝑎$, dan 𝑏$ yang sudah diketahui pada persamaan (3.44), (3.45), dan (3.46). Langkah selanjutnya persamaan (3.48) disubstitusikan ke persamaan (3.32), maka didapat metode iterasi orde 8.

𝑦" = 𝑥" −𝑓 𝑥" 3

𝑓 𝑧" − 𝑓 𝑥",

(3.49) dengan 𝑧" = 𝑥" + 𝑓 𝑥" ,

𝑢" = 𝜓W 𝑥", 𝑦", 𝑧" , (3.50) dengan 𝜓W 𝑥", 𝑦", 𝑧" = 𝑦" −

H LJ H KJ,IJH KJ,LJ H LJ,IJ

,

31

𝑥"#$ = 𝑢" −𝑓 𝑢"

𝑎$ − 𝑎B𝑏$.

(3.51) Berdasarkan metode orde 8 pada (3.51), terdapat 4 fungsi evaluasi yaitu 𝑓(𝑥"), 𝑓(𝑦"), 𝑓(𝑧"), dan 𝑓(𝑢") sehingga berdasarkan rumus dari (Kung dan Traub, 1974), dapat disimpulkan bahwa metode pada (3.51) memiliki 8 orde konvergensi. Setelahnya akan dibuktikan bahwa metode pada (3.51) akan optimal di orde 8. Teorema 2 (Cordero dkk, 2013) Misalkan 𝛼 ∈ 𝐼 merupakan akar dari fungsi yang dapat diturunkan 𝑓 ∶ 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ di dalam interval terbuka 𝐼. Jika 𝑥B cukup dekat dengan 𝛼, maka metode iterasi orde 8 memiliki konvergen orde 8 yang optimal. Bukti Misalkan 𝑒" merupakan nilai error di 𝑥" sehingga 𝑒" = 𝑥" − 𝛼. Digunakan ekspansi deret Taylor di sekitar 𝑥 = 𝛼 sehingga dapat ditulis

𝑓(𝑥") = 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3 + ⋯+ 𝑐W𝑒"l + 𝑐W𝑒"m + 𝑂 𝑒"n , (3.52)

dengan 𝑐? = ((𝑓?)(𝛼))/(𝑘!), dengan 𝑘 = 1,2, … . Untuk mempermudah perhitungan, 𝑓(𝑥") yang memiliki deret dengan suku sampai ke orde 8 akan dipersempit menjadi orde 4. Jadi, dapat disimpulkan hasil 𝑧", 𝑓(𝑧"), 𝑦", dan 𝑓(𝑦") akan sama dengan yang dihasilkan oleh metode optimal orde 4 seperti pada persamaan (3.22), (3.25), (3.26), dan (3.27). Selanjutnya, 𝑢" merupakan rumus dari metode optimal orde 4 sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝑢" sudah terbukti optimal di orde 4 atau dapat ditulis

𝑢" − 𝛼 = ℎW𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y . (3.53) Langkah selanjutnya 𝑒" pada persamaan (3.53) diperluas sampai suku ke-8 sehingga didapat 𝑢" − 𝛼 = ℎW𝑒"W + ℎY𝑒"Y + ℎp𝑒"p + ℎl𝑒"l + ℎm𝑒"m + 𝑂 𝑒"n .

= 𝑒".(3.54)

32

Didefinisikan 𝑓(𝑢") merupakan deret sebagai berikut 𝑓(𝑢") = 𝑐$𝑒" + 𝑐3𝑒"3+𝑐V𝑒"V+𝑐W𝑒"W + 𝑂 𝑒"Y , (3.55) kemudian 𝑒" pada persamaan (3.54) disubstitusikan ke persamaan (3.55), didapat 𝑓(𝑢") = 𝑐$ℎW𝑒"W + 𝑐$ℎY𝑒"Y + 𝑐$ℎp𝑒"p + 𝑐$ℎl𝑒"l + (𝑐3ℎW

3 + 𝑐$ℎm)𝑒"m

+𝑂 𝑒"n . (3.56)

Selanjutnya, 𝑥" = 𝑒" + 𝛼, 𝑓(𝑥") pada persamaan (3.52), 𝑦" pada persamaan (3.26), 𝑓(𝑦") pada persamaan (3.28), 𝑧" pada persamaan (3.22), 𝑓(𝑧") pada persamaan (3.28), 𝑢" pada persamaan (3.54), dan 𝑓(𝑢") pada persamaan (3.56) disubstitusikan ke 𝑏$ pada persamaan (3.44), 𝑎3 pada persamaan (3.45), dan 𝑎$ pada persamaan (3.46) yang hasil dari parameter 𝑎B, 𝑎$, 𝑏$, dan perhitungan 𝑎$ − 𝑎B𝑏$ berada pada Lampiran 3, apabila semua disubstitusikan ke persamaan (3.51) didapatkan

𝑥"#$ − 𝛼 =− 1 + 𝑐$ 3𝑐V3 + (1 + 𝑐$)3𝑐W + 𝑐$ℎW

𝑐$3ℎW𝑒"m + 𝑂 𝑒"n .

(3.57)

Jadi, terbukti bahwa metode orde 8 pada persamaan (3.57) dikatakan optimal atau dapat disebut sebagai metode optimal orde 8. 3.3 Komputasi Numerik

Dalam subbab ini, akan dilakukan perhitungan secara numerik beserta grafiknya menggunakan Matlab 7.8. Metode iterasi yang digunakan yaitu metode Steffensen, metode optimal orde 4, dan metode optimal orde 8. Dalam hal ini dilakukan penerapan ketiga metode terhadap tiga persamaan untuk penyelesaian akar persamaan nonlinear yaitu:

1. 𝑓 𝑥 =6𝑥(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1)

jika𝑥 < 0jika𝑥 ≥ 0,

2. 𝑔 𝑥 = 𝑒K + 10𝑥, 3. ℎ 𝑥 = sin 𝑥 + cos 𝑥 + tan 𝑥 .

33

3.3.1 Komputasi numerik untuk fungsi 𝒇 𝒙 Diketahui fungsi

𝑓 𝑥 =6𝑥(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1)

jika𝑥 < 0jika𝑥 ≥ 0,

dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 = 𝑥"#$ − 𝑥" < 10gm, atau 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 = 𝑓 𝑥"#$ < 10gm, dan nilai aproksimasi awal 𝑥B = 5. Source code Matlab untuk fungsi 𝑓 𝑥 terdapat pada Lampiran 10 dan grafik fungsi 𝑓(𝑥) terdapat pada Lampiran 4. Hasil numerik beserta grafik 𝑓 x dari ketiga metode iterasi diberikan pada Tabel 3.1, Tabel 3.2, Tabel 3.3, dan Gambar 3.1. Tabel 3.1 Hasil numerik dari 𝑓 𝑥 dengan kriteria pemberhentian

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1

Steffensen Optimal Orde 4 Optimal Orde 8 Iterasi 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 Iterasi 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 Iterasi 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1

1 0,6897 1 2,4485 1 3,4133 2 0,6519 2 1,1352 2 0,4921 3 0,6062 3 0,3853 3 0,0937 4 0,5510 4 0,0310 4 9,07 ∙ 10gW 5 0,4840 5 6,09 ∙ 10gp Berhenti 6 0,4034 Berhenti 7 0,3078 8 0,1987 9 0,0891

10 0,0176 11 6,33 ∙ 10gW 12 1,29 ∙ 10gl

Berhenti

34

Tabel 3.2 Hasil numerik dari 𝑓 𝑥 dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2

Gambar 3.1 Grafik hasil numerik 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 dari 𝑓 𝑥


1 14,2687 1 3,9588 1 0,9309 2 9,7261 2 0,5896 2 0,1035 3 6,2639 3 0,0320 3 9,07 ∙ 10gW 4 3,7550 4 6,09 ∙ 10gp 4 3,71 ∙ 10g$$ 5 2,0519 5 0 Berhenti 6 0,9905 Berhenti 7 0,3996 8 0,1189 9 0,0185

10 6,34 ∙ 10gW 11 8,03 ∙ 10gl 12 1,29 ∙ 10g$3

Berhenti

Metode Steffensen Metode Optimal Orde 4 Metode Optimal Orde 8

35

Tabel 3.3 Hasil numerik 𝑥𝑛 dari 𝑓 𝑥

Waktu proses iterasi yang dibutuhkan untuk ketiga metode iterasi adalah sebagai berikut 1. Metode Steffensen = ±0,000123 detik 2. Metode Optimal Orde 4 = ±0,000109 detik 3. Metode Optimal Orde 8 = ±0,006405 detik

Tabel 3.1 dan Tabel 3.2 menunjukkan bahwa metode optimal orde 4 dan 8 mengalami peningkatan performa yang lebih baik berdasarkan jumlah iterasi, nilai error_1 dan nilai error_2 jika dibandingkan dengan metode Steffensen. Pada Tabel 3.1, iterasi kelima pada metode optimal orde 4 terhenti karena iterasi kelima pada Tabel 3.2 memiliki nilai error_2 kurang dari 10gm. Selanjutnya, pada Tabel 3.1 iterasi keempat metode optimal orde 8 terhenti karena iterasi keempat pada Tabel 3.2 juga memiliki nilai error_2 kurang dari 10gm. Berdasarkan Tabel 3.1, dapat diketahui bahwa pada tabel pertama, nilai error_1 paling tinggi diberikan oleh penggunaan metode optimal orde 8, selanjutnya oleh metode optimal orde 4, diikuti oleh metode Steffensen. Walaupun metode optimal orde 4 dan 8 memiliki nilai error_1 yang tinggi pada iterasi pertama di Tabel

Steffensen Optimal Orde 4 Optimal Orde 8 Iterasi 𝑥" Iterasi 𝑥" Iterasi 𝑥"

1 5 1 5 1 5 2 4,3103 2 2,5515 2 1,5867 3 3,6585 3 1,4163 3 1,0946 4 3,0522 4 1,0310 4 1,0009 5 2,5012 5 1 + 6 ∙ 10gp 5 1 + 6 ∙ 10gp 6 2,0172 6 1 Berhenti 7 1,6138 Berhenti 8 1,3060 9 1,1073

10 1,0182 11 1,0006 12 1 + 8 ∙ 10gl 13 1 + 13 ∙ 10g$V

Berhenti

36

3.1, kedua metode ini sangat efisien karena hanya membutuhkan iterasi yang sedikit untuk dapat mengurangi nilai error yang besar. Berdasarkan waktu yang dibutuhkan untuk proses iterasi pada ketiga metode, metode optimal orde 4 merupakan metode dengan waktu proses iterasi tercepat, kemudian oleh metode Steffensen dan yang terakhir metode optimal orde 8. Walaupun dalam waktu proses iterasi pada metode optimal orde 8 lebih lambat daripada metode Steffensen, metode optimal orde 8 tetap merupakan metode iterasi paling akurat dengan jumlah iterasi paling efisien. Selanjutnya grafik 𝑓 x pada Gambar 3.1 untuk ketiga metode iterasi dapat dikatakan stabil karena nilai error pada ketiga metode iterasi semakin kecil di setiap iterasinya. Berdasarkan Tabel 3.3, ketiga metode ini konvergen ke 𝑥 = 1.

Jika digunakan aproksimasi awal yang jauh yaitu 𝑥B = 1000, hasil grafik pada Lampiran 4 menunjukkan kelemahan metode Steffensen dengan nilai error_2 terbesar dan membutuhkan iterasi yang sangat besar untuk mencapai nilai error_2 sama dengan 0. Setelah itu, untuk nilai error_1 pada metode Steffensen memiliki nilai error_1 sebesar 0,9980…, tetapi seiring berjalannya iterasi, nilai error ini berkurang sangat sedikit sehingga membutuhkan iterasi yang sangat besar untuk mencapai nilai error_1 sama dengan 0. Jadi, metode optimal orde 4 dan orde 8 memiliki keunggulan dibandingkan metode Steffensen dalam hal kondisi dengan nilai aproksimasi awal yang jauh. 3.3.2 Komputasi numerik untuk fungsi 𝒈 𝒙 Diketahui fungsi 𝑔 𝑥 = 𝑒K + 10𝑥, dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 = 𝑥"#$ − 𝑥" < 10gm, atau 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 = 𝑓 𝑥"#$ < 10gm, dan nilai aproksimasi awal 𝑥B = 0,1. Source code Matlab untuk fungsi 𝑔 𝑥 terdapat pada Lampiran 11 dan grafik fungsi 𝑔(𝑥) terdapat pada Lampiran 5. Hasil numerik beserta grafik 𝑔 𝑥 dari ketiga metode iterasi diberikan pada Tabel 3.4, Tabel 3.5, Tabel 3.6, Gambar 3.2, dan Gambar 3.3.

37

Tabel 3.4 Hasil numerik dari 𝑔 𝑥 dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1

Tabel 3.5 Hasil numerik dari 𝑔 𝑥 dengan kriteria pemberhentian


Gambar 3.2 Grafik Hasil Numerik 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 dari 𝑔 𝑥


1 0,1527 1 0,1915 1 0,1913 2 0,0377 2 1,95 ∙ 10gW 2 2,29 ∙ 10gm 3 8,59 ∙ 10gV Berhenti Berhenti 4 3,69 ∙ 10gl

Berhenti


1 0,4214 1 0,0021 1 2,50 ∙ 10gl 2 0,00094 2 1,11 ∙ 10g$Y 2 0 3 3,03 ∙ 10gp Berhenti Berhenti 4 7,42 ∙ 10g$V

Berhenti


38

Gambar 3.3 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 dari 𝑔 𝑥

yang diperbesar

Tabel 3.6 Hasil numerik 𝑥𝑛 dari 𝑔 𝑥

Waktu proses iterasi yang dibutuhkan untuk ketiga metode iterasi adalah sebagai berikut: 1. Metode Steffensen = ±0,000039 detik 2. Metode Optimal Orde 4 = ±0,000038 detik 3. Metode Optimal Orde 8 = ±0,000055 detik

Tabel 3.4 dan Tabel 3.5 menunjukkan bahwa metode optimal orde 4 dan 8 juga mengalami peningkatan performa yang baik berdasarkan jumlah iterasi, nilai error_1, dan nilai error_2 jika


1 0,1 1 0,1 1 0,1 2 -0,0527 2 -0,0915 2 -0,0913.. 3 -0,0904 3 -0,0913.. 3 -0,0913.. 4 -0,0913.. Berhenti Berhenti 5 -0,0913..

Berhenti


39

dibandingkan dengan metode Steffensen. Walaupun pada Tabel 3.4 iterasi pertama untuk nilai error_1 pada metode optimal orde 4 dan 8 lebih besar daripada metode Steffensen, kedua metode ini lebih efisien karena hanya membutuhkan iterasi yang sedikit untuk dapat mengurangi nilai error_1 dan nilai error_2 yang besar. Selanjutnya waktu yang dibutuhkan untuk proses iterasi pada ketiga metode iterasi, metode optimal orde 4 merupakan metode dengan waktu proses iterasi tercepat, kemudian oleh metode Steffensen dan yang terakhir metode optimal orde 8. Walaupun metode optimal orde 8 lebih lambat dibandingkan dengen metode Steffensen, metode optimal orde 8 tetap merupakan metode iterasi paling akurat dengan jumlah iterasi paling efisien. Selanjutnya grafik 𝑔 x pada Gambar 3.3 dan Gambar 3.4 untuk ketiga metode iterasi dapat dikatakan stabil karena nilai error_1 dan nilai error_2 pada ketiga metode iterasi semakin kecil di setiap iterasinya. Berdasarkan Tabel 3.6, ketiga metode iterasi konvergen ke 𝑥 = −0,0913… dan seterusnya. Jika digunakan aproksimasi awal yaitu 𝑥B = −1000, hasil grafik pada Lampiran 5 hanya menunjukkan performa yang lebih baik pada metode optimal orde 4 dan orde 8 dibandingkan dengan metode Steffensen. 3.3.3 Komputasi numerik untuk fungsi 𝒉 𝒙 Diketahui fungsi sebagai berikut ℎ 𝑥 = sin 𝑥 + cos 𝑥 + tan 𝑥 , dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 = 𝑥"#$ − 𝑥" < 10gm, atau 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 = 𝑓 𝑥"#$ < 10gm, dan nilai aproksimasi awal 𝑥B = 0. Source code Matlab untuk fungsi ℎ 𝑥 terdapat pada Lampiran 12 dan grafik fungsi ℎ 𝑥 terdapat pada Lampiran 6. Hasil numerik beserta grafik ℎ 𝑥 dari ketiga metode iterasi diberikan pada Tabel 3.7, Tabel 3.8, Tabel 3.9, Gambar 3.4, dan Gambar 3.5.

40

Tabel 3.7 Hasil numerik dari ℎ 𝑥 dengan kriteria pemberhentian 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1

Tabel 3.8 Hasil numerik dari ℎ 𝑥 dengan kriteria pemberhentian


Gambar 3.4 Grafik Hasil Numerik 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 dari ℎ 𝑥


1 0,5157 1 0,4383 1 0,4431 2 0,0657 2 0,0048 2 4,50 ∙ 10gY 3 0,0068 Berhenti Berhenti 4 5,36 ∙ 10gY

Berhenti


1 0,1900 1 0,0123 1 1,15 ∙ 10gW 2 0,0175 2 1,40 ∙ 10g$B 2 1,11 ∙ 10g$p 3 1,37 ∙ 10gW Berhenti Berhenti 4 8,37 ∙ 10gn

Berhenti


41

Gambar 3.5 Grafik hasil numerik𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_1 dan 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟_2 dari ℎ 𝑥

yang diperbesar Tabel 3.9 Hasil numerik 𝑥𝑛 dari ℎ 𝑥

Waktu proses iterasi yang dibutuhkan untuk ketiga metode iterasi adalah sebagai berikut 1. Metode Steffensen = ±0,000031 detik 2. Metode Optimal Orde 4 = ±0,000025 detik 3. Metode Optimal Orde 8 = ±0,000054 detik

Tabel 3.7 dan Tabel 3.8 menunjukkan bahwa metode optimal orde 4 dan 8 mengalami performa yang lebih baik dibandingkan hasil dari metode iterasi Steffensen. Pada Tabel 3.7 maupun Tabel 3.8 iterasi pertama sampai berakhirnya iterasi pada ketiga metode, nilai


1 0 1 0 1 0 2 -0,5157 2 -0,4383 2 -0,4432 3 -0,45 3 -0,4431 3 -0,4431 4 -0,4432 Berhenti Berhenti 5 -0,4431

Berhenti


42

error_1 dan nilai error_2 pada metode optimal orde 4 dan 8 lebih kecil dibandingkan metode Steffensen. Walaupun pada Tabel 3.7 di iterasi pertama pada nilai error_1 di metode optimal orde 8 sedikit lebih besar dibandingkan metode optimal orde 4, metode optimal orde 8 tetap lebih teliti jika dibandingkan metode optimal orde 4. Selanjutnya waktu yang dibutuhkan untuk proses iterasi pada ketiga metode iterasi, metode optimal orde 4 merupakan metode dengan waktu proses iterasi tercepat, kemudian oleh metode Steffensen dan yang terakhir metode optimal orde 8. Walaupun metode optimal orde 8 lebih lambat dibandingkan dengen metode Steffensen, metode optimal orde 8 tetap merupakan metode iterasi paling akurat dengan jumlah iterasi paling efisien. Berdasarkan ketiga metode iterasi ini, Gambar 3.4 tetap dapat dikatakan stabil karena nilai error_1 dan nilai error_2 yang semakin kecil di setiap iterasi. Berdasarkan Tabel 3.9, ketiga metode iterasi konvergen ke 𝑥 = −0,4431. Jika digunakan aproksimasi awal yaitu 𝑥B = 1000, hasil grafik pada Lampiran 6 menunjukkan nilai error yang meningkat pada metode Steffensen yaitu nilai error_1 pada iterasi ke-2 dan iterasi ke-6, kemudian nilai error_2 dari iterasi ke-2 sampai iterasi ke-5. Sebaliknya, metode optimal orde 4 dan orde 8 tetap memiliki performa yang lebih baik dibandingkan dengan metode Steffensen.

43

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab III, maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Telah didapatkan metode iterasi yang optimal dengan orde konvergensi 4 dan orde konvergensi yang lebih tinggi berdasarkan metode Steffensen untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Berdasarkan metode orde 4 dan metode dengan orde lebih tinggi (metode orde 8) yang sudah terbukti optimal, aproksimasi Pade` dengan derajat lebih tinggi (derajat 3, 4, dan seterusnya) dapat digunakan untuk membuat metode iterasi baru dengan orde kekonvergenan lebih tinggi yang terbukti optimal.

2. Berdasarkan komputasi numerik terhadap fungsi-fungsi nonlinear yang berbeda, ketiga metode iterasi yang digunakan menunjukkan bahwa metode optimal orde 4 dan 8 memberikan hasil performa yang lebih baik berdasarkan efisiensi dan keakuratan dibandingkan dengan metode Steffensen. Kelemahannya adalah nilai error_1 pada awal iterasi lebih besar daripada metode Steffensen dan metode optimal orde 8 membutuhkan waktu proses iterasi lebih besar daripada metode Steffensen. Kemudian metode optimal orde 4 dan orde 8 sangat cocok jika digunakan untuk nilai aproksimasi awal yang sangat jauh jika dibandingkan dengan metode Steffensen.

4.2 Saran Berdasarkan kesimpulan pada 4.1, maka terdapat saran sebagai berikut:

1. Metode optimal orde 4 dan orde 8 dapat ditingkatkan lagi menjadi metode optimal orde 16, 32, dan seterusnya untuk mendapatkan performa yang lebih baik.

2. Metode optimal berorde yang berdasarkan metode Steffensen dapat dibuat lagi menjadi metode optimal baru dengan berdasarkan metode yang lain. Contohnya adalah metode baru berdasarkan iterasi Jacobi dengan bantuan aproksimasi Pade`.

45

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson, K. E. 1988. An Introduction Numerical Analysis Second Edition. USA: John Wiley and Sons, Inc.

Boyce, W. E. dan R. C. Diprima. 2012. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem 10th Edition. USA: John Wiley and Sons, Inc.

Baker, G. A. Jr. dan P. G. Morris. 1981. Pade’ Approximants. USA: Addison-Wesley Publising Company, Inc.

Cordero, A. dan J. R. Torregrosa. 2011. A class of Steffensen type methods with optimal order of convergence. Applied Mathematics and Computation 217 : 7653-7659.

Cordero, A., J. L. Hueso, E. Martinez, dan J. R. Torregrosa. 2013. A new technique to obtain derivative-free optimal iterative methods for solving nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 252 : 95-102.

Chapra, S. C. dan R. Canale. 2010. Numerical Methods for Engineers Sixth Edition. New York: Mc Graw Hill.

Dahlquist, G. dan A. Bjorck. 2008. Numerical Methods in Scientific Computing Volume I. USA: John Wiley and Sons, Inc.

Fitriani, J. Kho, dan S. Putra. 2014. Metode Newton-Steffensen Dengan Orde Kekonvergenan Tiga Untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Online Mahasiswa Bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Kung, H. T. dan J. F. Traub 1974. Optimal order of one-point and multipoint iteration. Journal of the Association for Computing Machinery 21: 643-651.

Liu, Z., Q. Zheng, dan P. Zhao. 2010. A variant of steffensen’s method of fourth-order convergence and its application. Applied Mathematics and Compuatation 216: 1978-1983.

Munir, R. 2015. Metode Numerik Revisi Keempat. Bandung: Informatika.

Munif, A. dan P. A. Hidayatullah. 2003. Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik. Bandung: Informatika.

Rahman, A. 2007. Indahnya Matematika dalam Al-Qur’an. Malang: UIN Malang Press.

Rajabante, J. F. Pade` Approximation. http://jfrabajante.weebly.com/uploads/1/1/5/5/11551779/2_pade_approximation.pdf (diakses pada tanggal 11 Juni 2017).

46

Roziana, D. F. 2008. Solusi Analitik dan Solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi. Malang: Skripsi Jurusan Matematika UIN Malang.

Suryanto, A. 2012. Modul Persamaan Diferensial Numerik. Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Brawijaya, Malang.

Weerakoon, S. dan T. G. I. Fernando. 2000. A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letters 13 : 87-93.

Zheng, Q., J. Li, dan F. Huang. 2011. An optimal Steffensen-type family for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation 217 : 9592 – 9597.

metode iterasi tanpa turunan yang optimal …repository.ub.ac.id/4913/1/putra, hilmy aliy...

Documents