metode eksplisit beda pusat untuk persamaan gelombang satu dimensi

5/24/2018 METODE EKSPLISIT BEDA PUSAT UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG SATU DIMENSI

1/17

0

METODE EKSPLISIT BEDA PUSAT UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG

SATU DIMENSI

MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH

Persamaan Diferensial Numerik II

yang dibina oleh Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc.

Disusun oleh:

Lalu Samsul Ahmadi (105090406111001)

Dian Lestari Wilianingtyas (115090400111008)

Abu Sufyan (115090413111008)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENEGTAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2014


2/17

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan hidayah

dan inayah-Nya sehingga makalah Metode Eksplisit Beda Pusat Untuk Persamaan

Gelombang Satu Dimensi dapat diseleasikan tepat waktu. Makalah ini dibuat untuk

memenuhi salah satu tugas mata kuliah Persamaan Diferensial Numerik II Program Studi

Matematika Universitas Brawijaya tahun 2013/2014 agar mahasiswa dapat menguasai

pengetahuan, konsep, prinsip serta penerapan tentang PDN II serta mampu mengembangkan

pengetahuan mengenai ilmu PDN II pada umumnya.

Penyusunan makalah ini dapat selesai berkat bantuan dari berbagai pihak, oleh karena

itu, pada kesempatan ini kami sampaikan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya

kepada yang terhormat :

1. Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, S.Si., M.Sc. selaku dosen mata kuliah PersamaanDiferensial Numerik II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran dalam

pelaksanaan bimbingan, pengarahan, dorongan dalam rangka penyelesaian penyusunan

makalah ini

2.

Teman-teman mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Malang.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik

dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi

kesempurnaan makalah ini. Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak yang berkompeten. Amin.

Malang, 29 Mei 2014

Penulis


3/17

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .......................................................................................................... iDAFTAR ISI ....................................................................................................................... ii

BAB 1 PENDAHULUAN .................................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................... 1

1.3 Tujuan ................................................................................................................ 1

BAB II PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3

2.1 Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi ........................................ 32.1.1 Stensil ....................................................................................................... 4

2.1.2 Penentuan Syarat Awal Kedua ................................................................... 4

2.2 Syarat Kestabilan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi ............ 5

2.3 Kesalahan Pemotongan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi ... 7

2.4 Solusi Analitik .................................................................................................... 8

2.5 Simulasi ............................................................................................................. 10

BAB III PENUTUP ........................................................................................................... 14

3.1 Kesimpulan ....................................................................................................... 14

3.2 Saran ................................................................................................................. 14


4/17

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gelombang adalah getaran yang merambat. Gerak gelombang dapat dipandang

sebagai perpindahan momentum dari suatu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa diikuti

perpindahan materi. Dalam kenyataannya pengklasifikasian gelombang sangat beragam,

diantaranya berdasarkan arah rambat, medium, dimensi penyebaran rambatan, dan lain-

lain.

Fenomena gelombang dapat dituliskan secara matematis sebagai suatu persamaan

differensial, salah satunya gelombang satu dimensi. Persamaan diferensial umumnya

dapat diselesaikan dengan cara eksak dan pendekatan. Pendekatan tersebut terbagi

menjadi dua, yaitu pendekatan analitik dan pendekatan numerik. Namun karena tidak

semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu dilakukan

pendekatan secara numerik. Oleh karena itulah, dalam makalah ini akan dibahas solusi

dari gelombang satu dimensi secara numerik dan juga analitik.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana bentuk skema numerik persamaan gelombang satu dimensi?2. Bagaimana syarat kestabilan dari skema numerik persamaan gelombang satu

dimensi?

3. Bagaimana kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan gelombangsatu dimensi?

4. Bagaimana solusi analitik dari skema numerik persamaan gelombang satudimensi?

5. Bagaimana simulasi dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi?1.3 Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui bentuk skema numerik persamaan gelombang satu dimensi.2.

Mengetahui syarat kestabilan dari skema numerik persamaan gelombang satudimensi.


5/17

2

3. Mengetahui kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan gelombangsatu dimensi.

4. Mengetahui solusi analitik dari skema numerik persamaan gelombang satudimensi.

5. Mengetahui simulasi dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensidengan gesekan.


6/17

3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi

Secara matematis, persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis dalam bentuk

persamaan differensial seperti berikut:22 = 2 2 2 Atau dapat pula dituliskan seperti berikut disertai dengan syarat awal dan syarat

batasnya:

= 2

, 0 , 0 0, = 0 , = 0, 0 = , 0 = ()

Untuk mendapatkan skema numerik eksplisit beda pusat pada persamaan diatas,

digunakan pendekatan beda pusat untuk dan yaitu:

=

1

2

+

+1

2

= 1 2 ++12 Kemudian substitusikan pada persamaan gelombang sehingga diperoleh:1 2 ++12 = 2 1 2 + +12

1

2

+

+1 =

2

1

2

+

+1

Dimisalkan = 2, maka diperoleh skema eksplisit beda pusat untuk persamaangelombang satu dimensi sebagai berikut:1 2 ++1 = 1 2 ++1

+1 = 1 + 1 ++1 + 2(1 )


7/17

4

2.1.1 Stensil

Bentuk stensil untuk skema numerik eksplisit beda pusat untuk persamaan

gelombang satu dimensi ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 1. Stensil skema eksplisit beda pusat

Gambar diatas sesuai dengan skema yang diperoleh yaitu bahwa nilai fungsi( , +1) bergantung pada nilai fungsi 1 , , , ,(+1, ), dan( , 1).Dari stensil terlihat bahwa skema numerik untuk persamaan gelombang

satu dimensi memerlukan dua syarat awal. Syarat awal yang kedua dapat dihitung

dengan mengasumsikan , 0 = 0.2.1.2 Penentuan Syarat Awal Kedua

Untuk mencari nilai fungsi ( , 1), diperlukan nilai fungsi ( , 1).Akan tetapi kita tidak mengetahui nilai fungsi ( , 1), maka diperlukan skemalain untuk mendapatkan nilai fungsi ( , 1)yaitu dengan memanfaatkan syaratawal persamaan gelombang satu dimensi sebagai berikut:

, 0 = ()Pertama, perlu didefinisikan fungsi (). Dimisalkan , 0 = = 0.Berdasarkan pendekatan beda pusat diperoleh fungsi yang diturunkan terhadap

sebagai berikut: = +1 12

Dengan substitusi syarat batas yang ditetapkan, maka diperoleh:

0 = 1 12 = 0


8/17

5

1 = 1Untuk mencari nilai fungsi 1, berdasarkan skema eksplisit beda pusat

untuk persamaan gelombang satu dimensi adalah sebagai berikut:

1 = 1 + 10 ++10 + 2(1 )01 = 1 + 10 + +10 + 2(1 )021 = 10 ++10 + 2(1 )01 = 2 10 + +10 + (1 )0

Skema diatas digunakan hanya untuk menentukan nilai

(

,

1).

Sedangkan untuk nilai ( , ) pada > 1 digunakan skema yang telahdijabarkan pada subbab 2.1 berdasarkan syarat awal dan syarat batas yang

diketahui.

2.2 Syarat Kestabilan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi

Metode Von-Neumann dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu

persamaan beda hingga. Untuk menghitung syarat kestabilan, kita gunakan pendekatan

= +1 = 1 + 1 + +1 + 2 2

+1 = 1 + 1 + +1 + 2(1 ) : = 1 + + + 2(1 )

= 1 + + + 2(1 ) = 1 + 2cos () + 2 2

=

1 + 2

(cos

1)+2


9/17

6

= 1 4 sin2 2

+ 2

2 =

1

4

sin2

2

+ 2

2 2 4 sin2 2

+ 1 = 0

= 2 4 sin2 2

2 + 4 sin2 2

2 42

= 1 2 sin2 2 1 2 sin2 2 2

1Misal = 1 2 sin2

2

= 2 1 Untuk |

| > 1

> 1Skema tidak pernah stabil. Untuk Untuk || 1

|| 11 1 2 sin2

2 1

2

2

sin2

2

0

0 sin2 2 1Ambil nilai sin2

2terbesar, yakni 1, maka didapat

0 1Karena = 2, 0selalu terpenuhi, sehingga skema eksplisit beda pusatuntuk persamaan gelombang satu dimensi akan stabil jika 1.


10/17

7

2.3 Kesalahan Pemotongan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi

Untuk mendapatkan kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan

gelombang satu dimensi, digunakan ekspansi deret Taylor:

+1 = 1 + 1 ++1 + 2(1 )+1 = 1 + 1 + +1 + 2 2

+ + 22 22 + 36 33 +=

+

2

2 2

2 3

6 3

3 ++ + 22 22 36 33 ++ + + 22 22 + 36 33 ++2

2

+ + 22 22 + 36 33 += + 22 22 + 36 33 +

+

+ 2

2

2

2

36

3

3+

+ + + 22 22 + 36 33 ++2 2

+ + 22 22 + 36 33 +=

+

22

2

2+

36

3

3+

22

2+


11/17

8

2 22 2 22 = 0Sehingga diperoleh kesalahan pemotongan untuk skema numerik persamaan

gelombang satu dimensi, yaitu 2

,2

.2.4 Solusi Analitik

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, untuk mengetahui solusi dari persamaan

gelombang satu dimensi, dapat dilakukan pula melalui solusi analitik. Solusi analitik dari

persamaan gelombang satu dimensi diperoleh sebagai berikut:

2

2 = 2 2

2 22 2 2 2 = 0 + = 0

Dimisalkan

=

+

dan

=

. Dari

=

+

, dapat diperoleh

=

dan = . Sehingga diperoleh: = + = + 1 Maka:

+

=

(1)

Dari = , dapat diperoleh = + dan = . Sehingga diperoleh: = + = 1

Maka:

= (2)


12/17

9

Bentuk persamaan (1) dan (2) dapat dikembalikan ke persamaan awal gelombang

satu dimensi. Sehingga diperoleh:

2

2

= 0

2 = 0Maka, dari persamaan di atas, diperoleh solusi:

, = + ()

,

=

+

+

(

+

)

Selanjutnya, persamaan diatas diterapkan terhadap syarat awal persamaan

gelombang satu dimensi sebagai berikut:

, 0 = + = (), 0 = = =

0

Dari kedua persamaan diatas, dapat dilakukan substitusi eliminasi sehingga diperoleh

persamaan sebagai berikut:

= 12 +

0

=

1

2

(

)

0

Maka, diperoleh solusi analitik:

, = 12 + + + 1

2 + .


13/17

10

2.5 Simulasi

Syarat awal :

, 0 = = 1,25

,

0,8

5 1 , > 0,8 Digunakan kondisi awal Dirichlet:

0, = , = 0Program menggunakan matlab seperti berikut:

clear all; clc;dx=0.41;dt=0.4;a=50;x=0:dx:a;t=0:dt:150;c=1;nu=(c*dt/dx)^2;N=length(x);M=length(t);u=zeros(N,M);

u_eks=zeros(N,M);

fori=1:N-1ifx(i)


14/17

11

drawnow;

fors=3:Mu(1,s)=0;u(N,s)=0;

forix=2:N-1u(ix,s)=-u(ix,s-2)+nu*(u(ix-1,s-1)+u(ix+1,s-

1))+2*(1-nu)*u(ix,s-1);endfigure(1);plot(x,u(:,s));axis([0 a -1 1]);drawnow;

endfigure(2)mesh(u)

forit=1:Mu(1,it)=0;u(N,it)=0;forix=2:N-1

ifx(ix)


15/17

12

Gambar 2. Kondisi Awal

Gambar 3. Hasil Mesh

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


16/17

13

Gambar 4. Grafik Error

Gambar 5. Simulasi saat = 1,0519

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


17/17

14

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperolehdari pembahasan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Skema numerik persamaan gelombang satu dimensi didapat dengan menggunakanmetode pendekatan eksplisit beda pusat terhadap state dan waktu , sebagai

berikut: +1 = 1 + 1 + +1 + 2(1 ) dimana

=

2

.

Pada (0) , dalam skema terdapat nilai 1 yang tidak diketahui, sehinggadigunakan nilai , 0 = 0 pada syarat awal kedua untuk mencari nilai 1sebagai berikut:

1 = 10 20 + +10 + 202

2. Dengan syarat kestabilan Von Neumann diketahui bahwa skema eksplisit beda pusat

untuk persamaan gelombang satu dimensi akan stabil jika 1.3. Dari ekspansi deret taylor diperoleh kesalahan pemotongan untuk skema numerikpersamaan gelombang satu dimensi, yaitu 2,2.

4. Solusi analitik dari persamaan gelombang satu dimensi adalah, = 12 + + + 1

2 + .5. Dari simulasi yang dilakukan, dapat dilihat bahwa skema akan stabil ketika nilai

1. Jika

melebihi nilai 1 maka simulasi tidak akan stabil. Serta didapat nilai

error maksimum sebesar 1,2694.

3.2 Saran

Saran yang dapat penulis berikan demi perbaikan penulisan makalah selanjutnya

yaitu penambahan contoh soal yang diselesaikan berdasarkan solusi analitik untuk

memperjelas perbandingan hasil antara solusi numerik dan solusi analitik.

metode eksplisit beda pusat untuk persamaan gelombang satu dimensi

Documents