metematika pdb2

17

Banyak masalah ilmu pengetahuan dan Rekayasa yang bilamana dirumuskan

secara matematis menjadi masalah nilai batas (Boundary-Value Problems). Yaitu

persamaan diferensial dan syarat-syarat yang berhubungan dengannya.

Penyelesaian masalah ini sangat bernilai bagi seseorang yang ingin mendalami

masalah fisika, mekanika biologi, kedokteran dan sebagainya.

Dalam perumusan matematis suatu masalah fisis dipilih suatu model matematis

dan seringkali mendekati situasi sebenarnya. Sebagai contoh dalam gerakan perputaran

bumi mengelilingi matahari, kita memandang matahari dan bumi itu sebagai suatu titik.

Jika suatu model matematis dan perumusan matematis yang berkaitan menjadi

sangat baik dengan yang diramalkan dari pengamatan atau percobaan, maka model itu

baik. Sebaliknya suatu model baru mungkin dipilih.

Suatu system lengkungan (kurva) satu parameter CyxF , jika

diferensialkan akan menjadi 0 dyFdxF yx, maka turunan pertama dari CyxF ,

adalah

y

x

F

F

dx

dy yang merupakan kemiringan tiap lengkung sistem CyxF , . Jika

menginginkan lengkungan lain yang tiap anggotanya memotong sistem lengkungan

diatas dengan sudut yang sama maka sistem yang diinginkan tersebut disebut

Trayektori.

Ada dua macan Trayektori :

1. Trayektori Orthogonal.

2. Trayektori Isogonal

2.1. Trayektori Orthogonal

Trayektori orthogonal adalah suatu Trayektori yang setiap anggotanya

memotong tegak lurus system kurva CyxF , .

Beberapa penafsiran dan penggunaan trayektori orthogonal difisika :

1. Dalam medan elektro statis garis-garis gaya tegak lurus pada garis-garis potensial

yang konstan.

Kompetensi Dasar : -Kemampuan mengaplikasikan PD tk 1 ke dalan masalah nyata

- Kemampuan memformulasikan Permasalahan

sederhana ke bentuk PD

- Pemahaman interpretasi hasil

Aplikasi PD Tingkat Satu

18

2. Dalam aliran dua dimensi fluida garis-garis gerak aliran disebut garis-garis arus

tegak lurus pada garis ekipotensial dari aliran.

3. Dalam meteorologi trayektori dari Isobar (lengkungan kurva penghubung semua titik

yang mencatat tekanan barometer yang sama) memberikan arah angin dari tekanan

tinggi ke rendah.

Adapaun metode untuk mendapatkan sistem lengkungan (berkas kurva) diilustrasikan

sebagai berikut :

2.1.1. Trayektori Orthogonal dalam koordinat siku-siku.

Diketahui berkas kurva lengkung f(x,y, ) = 0 , dimana parameter.

Persamaan diferensial dari berkas kurva tersebut adalah : f(x,y, dx

dy) = 0.

Katakanlah trayektori orthogonal tersebut mempunyai persamaan g(x,y,C)=0 . Oleh

karena itu gradien dari f(x,y, ) = 0 dan g(x,y,C) = 0 saling tegak lurus.

Jika gradien dari f(x,y, ) = 0 adalah : m1 = dx

dy= h(x,y), dan gradien dari trayektori

orthogonal g(x,y,C)=0 adalah m2 maka :

m1 m2 = -1 maka dx

dy m2 = -1

m2 = -1

1

m = -

),(

1

yxh

Jadi bentuk persamaan diferensial dari trayektori orthogonal kurva f(x,y,)=0 adalah :

2.1.2 Trayektori Orthogonal dalam koordinat Kutub.

Diketahui berkas kurva dari persamaan F(r, , )= 0. Akan ditentukan trayektori

orthogonal (berkas kurva lain yang tegak lurus dengan F(r, , )=0). Adapun gradien

f(x,y, ) = 0

),(

1

yxhdx

dy

Berkas garis lengkung

lain yang memotong

tegak lurus garis

lengkung f(x,y, ) = 0

disebut Trayektori

Orthogonal


19

dari F(r, , ) = 0 akan ditentukan lebih dahulu. Perhatikan gambar (1), gradien dari F(r,

, )=0 diperoleh dari :

Gambar 1

1. Ambil sebarang titik P(r, ) pada F(r, , )=0 dan titik lain Q yang juga

terletak pada F(r, , )=0

2. Hubungkan titik P dan Q sehingga membentuk tali busur PQ.

3. Tarik garis singgung yang menyinggung F(r, , )=0 melalui P(r, )

membentuk sudut .

4. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu x adalah , dimana

= 180o-(180-( + )) = + .

5. Sudut yang dibentuk tali busur PQ dan garis OQ adalah .

OP = r; NP = r sin ; OQ= r + r ; ON = r cos

Tan =NQ

NP =ONOQ

NP

=

cos rrr

sinr = rcos r

sinr

)1(

=

rcos r

sinr

)1(

Untuk 0 , maka : Q P, akibatnya :

Tan =0

lim

rcos r

sinr

)1(

=

r

r

0lim0

1. =

d

dr

r

Jadi gradien dari F(r, , )=0 adalah

m1 = Tan =

d

dr

r .

P

Q

N

r


20

Untuk trayektori orthogonal, maka sudut yang dibentuk oleh garis

singgung dan jari-jari hantar adalah = 2

, sehingga

tan = - cotan = - r

ddr

Jadi bentuk persamaan diferensial dari trayektori orthogonal kurva G(r, C ,

)=0 adalah :

2.2 Trayektori Isogonal

Berkas garis lengkung : 0,, yxf

(2.1)

Persamaan Diferensialnya : 0,,

dx

dyyxF

(2.2)

Berkas garis lengkung lain yang memotong garis-garis lengkung tersebut dengan sudut

, disebut Trayektori Isogonal (ti).

Sebagai latihan menganalisa , buktikan rumus dibawah ini :

Contoh :

1. Tentukan Trayektori orthogonal dari berkas parabola 2xy

Penyelesaian : xyxy 212

Persamaan Diferensial Berkas Parabola : x

yy 21

d

dr

F

= -

2

d

dr

r

G

1.Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial Trayektori Isogonal

dengan sudut adalah : 0

1

,,

dx

dytg

tgdx

dy

yxF

.

Sedangkan dalam koordinat Kutub untuk berkas kurva

0,,

d

drrF adalah F ( r, ,

drmdr

dmrdrr

2

); tanm


21

Persamaan Diferensial Trayektori Orthogonal : xyyxhdx

dy

2

1

),(

1

dxxdyy 2

maka

Cdxxdyy 2 . Maka Cxy 22

2

1

Jadi Trayektori Orthogonal kurva 2xy adalah Cxy 222

Tugas 1

1. Carilah Trayektori Orthogonal dari berkas lingkaran cos2ar

Dan Sketsa kedua berkas kurva tersebut dalam satu bidang. Petunjuk:

Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas lingkaran

tersebut adalah :

tgrd

dr

Tunjukkan PD dari Trayektori orthogonal berkas kurva tersebut

adalah :

d

dr

rtgr

2

. Dan TO adalah sin2Cr

2.Tentukan berkas garis lengkung yang memotong anggota

berkas hyperbola: Cxxyy 22 2 dengan sudut 045 .

Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas

hiperbola tersebut adalah : 01 xyyyx

Tunjukkan PD dari Trayektori isogonal berkas kurva

tersebut adalah : 0 dyydxx .

Sedangkan berkas kurva Trayektori isogonal adalah

Cyx 22

Sket kedua berkas kurva tersebut.

3.Tentukan berkas garis lengkung yang memotong berkas :

sinar dengan sudut tetap .

Tunjukkan bahwa Persamaan diferensial dari berkas

tersebut adalah : d

dr = ctg r

Tunjukkan PD dari Trayektori isogonal berkas kurva

tersebut adalah :

ctgr

drmdr

dmrdrr

2

.

Sedangkan berkas kurva Trayektori isogonal adalah

sinCr .


22

3.1. Pertumbuhan Populasi

Banyak masalah terapan cenderung memperhatikan perilaku suatu besaran,

sebut saja tX yang mana laju perubahan terhadap waktu sebanding dengan lengan

X , digambarkan dalam persamaan diferensial sebagai :

Xkdt

dX

k = konstanta ; t = waktu

Persamaan diferensial terpisah ini mempunyai penyelesaian : kteXX 0

0X = konstanta integrasi sebagai nilai awal 0X .

Hasil ini disebut peningkatan eksponen atau penurunan eksponen, tergantung

apakah konstanta k nya positip atau negatip sesuai dengan yang diketahui. Sket dari

fungsi penyelesaian ini berupa fungsi eksponensial. Kasus 00 x diberikan oleh

gambar (1)

Model sederhana untuk pertumbuhan populasi diperoleh dengan

memperkirakan bahwa laju pertambahan populasi pada tiap waktu adalah sebanding

terhadap ukuran populasi pada waktu tersebut. Jika P(t) adalah populasi pada waktu t,

maka

kPdt

dP (3.1)

dimana k adalah konstanta positip, yang mempunyai penyelesaian

ktePP 0 (3.2)

dimana 0P menunjukkan populasi pada 0t . Rumus ini memperkirakan

peningkatan eksponensial populasi terhadap waktu yang memberikan diskripsi yang

akurat pada pertumbuhan alga dan pertumbuhan bakteri sampai berukuran dua kali

disebut Doubling Time (waktu kelipatan dua) yang dinotasikan waktu dt yaitu ketika

02PP . Substitusikan 02PP ke dalam persamaan (3.2) diperoleh dktePP 002

bagi kedua sisi dengan 0P dan cari logaritmanya td , adalah: 2lndtk

X0

X(

t)

t Gambar 1(a)

Peningkatan Eksponen

0,0 keXX kt

t

X0

X(t

)

Gambar 1(b)

Peingkatan Eksponen

00 keXX kt ,


23

sehingga waktu kelipatan dua adalah

21ln

ktd

sifat dari sistem adalah dt tidak bergantung 0P

TUGAS 2:

3.2. Peluruhan Radioaktif

Misal )( tN menunjukkan jumlah atom-atom radioaktif di dalam sampel dari

bahan radioaktif, kemudian melalui eksperimen diperoleh kenyataan bahwa N meluruh

dengan laju yang sebanding terhadap jumlah atom-atom radioaktif yang ada. Secara

matematis dapat dituliskan rumus peluruhan radioaktif sebagai persamaan diferensial :

KNdt

dN

dimana K adalah konstanta negatif.Penyelesaian umum dari PD diatas adalah :

kteNN 0

dimana 0N menunjukkan pada jumlah atom-atom radioaktif pada saat awal

karena K negatif dapat dilihat bahwa )( tN meluruh secara eksponensial terhadap

waktu. Waktu yang diperlukan tepat separuh dari jumlah atom-atom radioaktif yang

dibagian awal ada dalam sampel untuk meluruh disebut Waktu Paruh Bahan.

Ambil 02

1NN sehingga 21

002

1/K

eNN

21

21 ln

Kt

Perhatikan bahwa 2

1t tidak bergantung 0N yang memenuhi sifat dari bahan

radioaktif.

Aplikasi dari peluruhan radioaktif adalah penentuan umur organisme. Selama

masa hidup organisme ditemukan bahwa rasio dari radio aktif C14 (Carbon 14)

terhadap carbon yang ada dalam organisme, mendekati nilai konstan dan sama dengan

rasio pada medium yang mengelilingi. Namur demikian, ketika organisme mati, jumlah

carbon 14 yang ada didalamnya berkurang karena peluruhan radioaktif. Karena

diketahui waktu paruh dari carbon 14 adalah mendekati 5600 tahun, dengan mengukur

Diketahui jumlah bakteri dalam suatu koloni berkembang

dengan laju yang sebanding dengan jumlah bakteri yang

ada. Jika jumlahnya meningkat dari 500 ke 2000 dalam 2

jam. Tentukan jumlahnya setelah 12 jam dan juga cari

waktu kelipatan duanya. Kunci Jawaban :

Jumlah bakteri dalam koloni setelah 12 jam : 000.048.2

Waktu kelipatan dua : jamk

td 121

ln

Jumlah bakteri dalam koloni setelah 12 jam : 000.048.2

Waktu kelipatan dua : jamk

td 121

ln


24

jumlah C14 didalam organisme Sangat memungkinkan untuk memastikan umur

organisme itu.

Tugas mandiri 3

Salah satu aplikasi persamaan diferensial satu dengan menggunakan hukum

fisika adalah perubahan suhu dari suatu benda yang berada dalam ruangan yang

berbeda suhunya. Faktor utama yang mempengaruhi mendinginnya suhu benda tersebut

dengan ruangan sesungguhnya, menurut hukum pendingin Newton.

Misalkan T adalah suhu benda pada waktu t dan Tm sebagai suhu media sekelilingnya

maka hukum Newton dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial

mTTkdt

dT (4.1)

dimana k adalah konstan. Tanda minus didepan konstanta k adalah hal yang biasa

diberikan. Untuk meyakinkan bahwa k selalu bernilai positif. Diasumsikan bahwa mT

adalah konstan. Jika demikian maka penyelesaian umumnya:

kt

m eCTT (4.2)

dari persamaan (4.2) jika t maka suhu benda mendekati media sekelilingnya

mTT . Hal ini pasti konstan dengan pengalaman kita sehari-hari. Lihat gambar 2

yang menjelaskan bahwa menurut hukum pendingin Newton benda mendekati suhu

ruangan secara eksponensial.

Laju perubahan suhu dari suatu benda sebanding dengan

perbedaan suhu antara benda dan media sekelilingnya

T0

Tm

T0

Benda mendingin

Benda memanas

Gambar 2

Fosil tulang ditemukan memiliki 70% C14 yang ada ditulang

semasa hidupnya, diketahui waktu paruh dari 14

C adalah

5600 tahun, Tunjukkan bahwa umur fosil tersebut umur fosil

itu kira-kira : 2882 tahun.


25

Pencampuran merupakan salah satu aplikasi persamaan diferensial yang memadukan

antara model matematika dengan model fisika.

Sebuah tangki berisi 0V liter larutan yang telah dicampur dengan 0A gram unsur kimia

tertentu larutan denga consentrasi 1c gram/liter dengan mengandung bahan kimia yang

sama mengalir ke dalam tangki dengan kecepatan konstan 1r liter/menit dan campuran

tangki mengalir keluar dengan kecepatan konstan 2r liter/menit. Diasumsikan bahwa

larutan dicampur rata oleh pengaduk. Pada suatu saat t, konsentrasi bahan kimia dalam

tangki adalah tc2 sama dengan konsentrasi bahan kimia yang keluar tangki yang

diberikan oleh rumus

tV

tAc 2 , (5.1)

dimana: )( tA = jumlah bahan kimia dalam tangki pada waktu t.

tV = volume larutan dalam tangki pada waktu t.

)(2 tc = konsentrasi bahan kimia dalam tangki pada waktu t.

Penjelasan masalah : Lihat gambar dibawah ini

Larutan dengan koncentrasi c1

gram/liter mengalir dengan

kecepatan r1 liter/menit A(t) = jumlah bahan kimia

V(t) = volume larutan dalam tangki

tV

tAtc2

Konsentrasi bahan

kimia dalam tangki

Larutan dengan koncentrasi c2

gram/liter dengan kecepatan r2

liter/menit

Tugas mandiri 4

Sebuah batang besi panas yang suhunya F0350

diletakkan dalam ruangan yang suhunya 700F setelah 2

menit suhu besi menjadi 2100F. Berapa suhu batang besi

setelah 4 menit Waktu yang diperlukan untuk

mendingin menjadi F0100 dan waktu yang dibutuhkan

untuk mendingin menjadi 1000F.

Kunci jawaban :

t

2

14170

tT

Waktu yang diperlukan untuk mendingin menjadi F0100

6,4 menit


26

Formula matematika : dua variabel dalam masalah diatas adalah tV dan )( tA . Untuk

menentukan perubahan yang terjadi berdasarkan waktu maka kita anggap bahwa

perubahan terjadi pada interval waktu yang kecil, t menit. Selama waktu

tr t 1, liter larutan mengalir dalam tangki, dimana tr 2 mengalir keluar.

Sehingga perubahan volume larutan dalam tangki pada interval waktu t adalah :

trtrV 21

trr 21 (5.2)

Sedangkan konsentrasi bahan kimia yang masuk 1c gram/liter maka jumlah

bahan kimia yang masuk pada interval waktu t adalah trc 11, demikian juga jumlah

bahan kimia yang keluar dari tangki adalah trc 22. Maka akan terjadi perubahan total

jumlah bahan kimia dalam tangki selama interval waktu At , yaitu :

trctrcA 2211

trcrc 2211 (5.3)

Membagi (5.2) dan (5.3) dengan t

21 rrt

V

(5.4)

2211 rcrct

A

(5.5)

Untuk mengetahui rata-rata perubahan V dan A, kita menggunakan limit 0t maka

21 rrdt

dV (5.6)

211 Arrcdt

dA (5.7)

Kemudian diintegralkan (5.6) dan (5.7) didapatkan :

021 VtrrtV (5.8)

11

021

2 rcAVrr

r

dt

dA

(5.9)

Persamaan diferensial diatas bisa diselesaikan, mengarah pada kondisi tertentu

00 AA , untuk mendapatkan pola tA .

Tugas mandiri 5

Sebuah tangki berisi 8 liter air yang mengandung 32

gram bahan kimia. Sebuah larutan mengandung 2 gram/liter bahan

kimia mengalir masuk kedalam tangki dengan kecepatan 4

liter/menit, dan larutan yang telah diaduk rata dikeluarkan dengan

kecepatan 2 liter/menit. Hitung jumlah bahan kimia dalam tangki

setelah 20 menit. Berapa konsentrasi bahan kimia didalam tangki

pada waktu itu ?

Kunci jawaban:

Model PD 84

1

A

tdt

dA Diperoleh Penyelesaian

164

4

1 2

t

tA

20A 3

296 gram, Konsentrasi :

18

37 gram/liter


27

Suatu penerapan penting dari persamaan diferensial linear orde satu (dan dua) dibentuk

dari analisa rangkaian listrik sederhana. Kebanyakan dasar dari rangkaian listrik terdiri

dari sambungan akhir kabel ke rangkaian baterai atau generator. Hal ini menyebabkan

aliran muatan tq melewati kabel, dengan demikian memproduksi arus ti

didefinisikan menjadi nilai perubahan muatan (satuan Coulomb) terhadap waktu (satuan

Ampere). Jadi : dt

dqti ..... (6.1)

Di dalam prakteknya sebuah rangkaian akan terdiri dari beberapa komponen yang

berlawanan terhadap perintah aliran listrik. Nilai Arus yang melewati sebuah komponen

telah selesai dikerjakan. Oleh karena itu terdapat energi yang hilang yang digambarkan

dari akibat perubahan tegangan yang melewati tiap komponen. Untuk sebuah rangkaian

kita akan mempertimbangkan perjalanan arus yang melewati rangkaian yang ditemukan

oleh kirchof dalam hukum keduanya yang ditetapkan sebagai berikut :

Untuk menunjukkan hukum tersebut, kita harus tahu tentang hubungan antara nilai arus

yang melewati tiap komponen di dalam rangkaian dengan perubahan tegangan. Sebuah

komponen yang perlu kita ketahui adalah resistor, kapasitor, dan induktor. Kita akan

sedikit menerangkan secara ringkas tiap komponen tersebut.

1. Resisitor

Nama itu seperti sebuah anjuran, komponen resistor dalam komposisinya menunjukkan

perintah aliran yang berlawanan dalam melewati sebuah rangkaian. Berdasarkan

ketentuan Ohm, perubahan tegangan, VR, antara ujung dari sebuah resistor

menunjukkan kesebandingan dengan nilai arus yang melewati rangkaian tersebut.

Dirumuskan sebagai

VR = iR, (6.2)

Dimana konstanta kesebandingannya adalah R, disebut sebagai resistansi dari sebuah

resistor. Satuan dari resistansi adalah ohms .

2. Kapasitor

Sebuah kapasitor dapat diumpamakan sebuah komponen yang mempunyai perintah

menyimpan dengan cara melawan arus lintasan. Jika tq merupakan sebuah perintah

yang terdapat di dalam kapasitor dalam waktu t, kemudian tegangan kita sebut Vc

sebagai nilai dari perlawanan tersebut. Hal tersebut menunjukkan kesebandingan

dengan harga tq . Hal itu diungkapkan dalam sebuah rumus :

Vc = 1/C . q (6.3)

Dimana konstanta C dinamakan kapasitansi dari sebuah kapasitor. Satuan kapasitansi

adalah farads (F)

Hukum kedua kirchoff :

Jumlah perubahan tegangan yang mengitari rangkaian

dalam rangkaian tertutup adalah nol


28

3. Induktor

Komponen ketiga yang paling penting bagi kita adalah induktor. Perlu dipikirkan

sebagai komponen yang melawan semua perubahan aliran arus yang melewati

rangkaian. Perubahan tegangan sebagai nilai arus yang melewati induktor menunjukkan

kesebandingan pada penilaian dimana saat itu arus berubah. Kita menulisnya :

VL = L di/dt, (6.4)

Dimana konstanta L dinamakan induktansi dari sebuah induktor, satuan ukurannya

adalah Henry (H).

4. EMF

Komponen terakhir di rangkaikan kita adalah sumber dari tegangan yang

memproduksi kekuatan elektrifikasi (EMF). Kita dapat berfikir sebagai sebuah perintah

yang memberikan jalan kekuatan bila melewati rangkaian. Seperti aliran baterai adalah

tegangan yang menguntungkan, dimana kita mendetonasikan E(t) volt [adalah sebuah

perubahan tegangan dari E(t) volt].

Sebuah rangkaian yang mengandung semua komponen diatas digambarkan dalam

rangkaian seperti dibawah ini :

Ketentuan Kirchoff pada hukum kedua-nya yaitu jumlah perubahan tegangan pada

setiap saat adalah = 0 bila mengitari rangkaian tertutup. Jika kita mengaplikasikannya

menjadi rangkaian RLC, maka kita peroleh :

VR + Vc +VL - E(t) = 0

Substitusikan ke dalam persamaan dari (6.2) – (6.4) dan disusun menghasilkan

persamaan dasar differensial.

L di/dt +iR + 1/C . q = E (6.5)

Kita akan mempertimbangkan tiga kasus.

Kasus 1 :

Rangkaian RL. Dalam suatu kasus dimana tidak ada pemberian kapasitor, kita

menyebutnya sebagai rangkaian RL. Oleh karena itu persamaan diferensial (6.5)

menurunkan

di/dt +R . i/L = E(t)/L (6.6)

Ini adalah persamaan diferensial orde satu yang menentukan arus dalam rangkaian

setiap waktu.

Kasus 2 :

Resistansi, R

Induktansi, L

Kapasitansi, C

Saklar

E

I(t)

Resistansi, R

Induktansi, L

Kapasitansi, C

Saklar

E

I(t)


29

Rangkaian RC. Sekarang perhatikan sebuah kasus ketika tidak ada pemberian inductor

dalam rangkaian. Anggap L=0 dalam (6.5) menghasilkan :

i + q/RC = E/R (6.7)

Dalam persamaan ini ada dua yang tidak kita ketahui, q(t) dan i(t). Substitusi dari (6.1)

untuk i(t)= dq/dt, kita memperoleh lanjutan persamaan diferensial untuk q(t) :

dq/dt + q/RC = E/R (6.8)

Dalam kasus ini kita menyelesaikan persamaan diferensial linear (6.8) untuk

memperoleh muatan q(t) dalam lempengan kapasitor. Arus dalam rangkaian kemudian

dapat kita peroleh dari :

i = dq/dt

Kasus 3 :

Rangkaian RLC. Dalam kasus umum kita harus memperhatikan semua tiga

komponen yang diberikan dalam rangkaian. Substitusi dari (6.1) ke (6.5) menghasilkan

lanjutan persamaan diferensial untuk menentukan muatan dalam kapasitor:

d2 q/dt

2 + R/L (dq/dt) + q/LC = E(t)/L (6.9)

Ini merupakan persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan. Teknik

pada modul 1 tidak memungkinkan, secara umum digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial. Kita akan kembali untuk menyelesaikan persamaan diferensial

tipe ini di modul 3.

Persamaan diferensial (6.6) dan (6.8) adalah persamaan diferensial linear orde

satu. Jadi pemakaian EMF, E(t) secara sekilas telah spesifik. Persamaan ini dapat

diselesaikan menggunakan teknik dalam modul 1. Dua bentuk penting untuk E(t)

ádalah

E(t) = E0 dan E(t) = E0 sin t

Dimana E0 dan adalah konstanta. Bentuk pertama sesuai dengan sumber dari EMF

seperti baterei. Arus yang dihasilkan disebut arus searah (DC). Bentuk kedua EMF

berosilasi antara E0. Arus yang dihasilkan dalam rangkaian disebut arus bolak-balik

(AC).

Contoh 1.

Tentukan arus dalam rangkaian RL jika pemakaian EMF konstan dan arus awal adalah

0.

Penyelesaian :

Jika kita memisalkan E0 menunjuk nilai konstan dari EMF, kemudian kita harus

menyelesaikan masalah nilai awal

L

E

L

iR

dt

di 0. , i(0) = 0 (6.10)

Faktor integrasi untuk (6.10) adalah t

L

R

eI

, jadi (6.10) dapat ditulis dalam bentuk

L

ieE

iedt

d

tL

R

tL

R

0


30

Mengintegralkan kedua sisi dan menyederhanakan hasil akhir menghasilkan

t

L

R

ecR

Eti

10 (6.11)

Kondisi awal 00 i memenuhi jika dan hanya jika R

Ec 0

1 . Sebagai akibatnya,

penyelesaian masalah nilai awal adalah

R

eE

ti

tL

R

10

Kita melihat bahwa peranan eksponensial lenyap secara cepat dengan waktu dan

rangkaian segera berakhir pada keadaan tetap.

R

Eti 0

Perjalanan ti ditunjukkan dalam grafik pada gambar 3

Gambar 3

Contoh 1

Perhatikan rangkaian RC dengan R = 0 , 5 , C = 0,1 F, dan E0 =20 V. Capasitor diberi

muatan awal 0.Tentukan arus pada rangkaian setelah 0,25 detik.

Penyelesaian :

Dalam kasus ini pertama kita harus menyelesaikan (6.8) untuk tq dan kemudian

menentukan arus dalam rangkaian dengan mendiferensialkan hasilnya. Substitusi untuk

R, C, dan E menjadi (6.8) menghasilkan

4020 qdt

dq

Yang mana memiliki penyelesaian umum

tecq 202

Dimana c adalah konstanta integrasi. Menentukan kondisi awal 00 q menghasilkan

2c .

Dengan demikian : teq 2012 .

Mendiferensialkan ekspresi ini untuk q menghasilkan arus dalam rangkaian:

te

dt

dqi 2040

Akibatnya, Aei 27040250 5 ,,

t

i(t)

E0R


31

Tugas mandiri 6

Tentukan arus dalam rangkaian RL jika pemakaian

EMF adalah tEtE cos0 , dimana 0E dan

adalah konstanta. Tunjukkan mana arus steady

state & transien

Kunci jawaban : Pers. Dif. :

L

tEai

dt

di cos0

Arus dalam rangkaian

22

0 sincos

aL

eattaEi

at

Tugas mandiri 7

Perhatikan rangkaian RC dengan R =

0 , 5 , C=0,1F, E0=20V. Capasitor diberi

muatan awal 0. Tentukan arus pada rangkaian

setelah 0,25 detik.

Kunci Jawaban : PD nya 4020 qdt

dq

Arus dalam rangkaian teq 2012

Ai 27,025,0

persamaan diferensial :

4020 qdt

dq

Arus dalam rangkaian

teq 2012

Ai 27,025,0


32

1. Carilah Trayektori orthogonal dari berkas kurva yang diberikan dan sket keluarga

kurva tersebut.

a. cyx 22 4

b. 2cxy

c. cxy 2

d. 2222ccycx

2. Tentukan persamaan berkas garis lengkung yang memotong berkas kurva dengan

sudut yang diberikan.

a. 42

1 ,cxy

b. 4

6 ,cxy

c. ar dengan sudut 45 0.

d. cos 1r , dengan sudut tetap .

3. Diberikan model populasi yang mana laju kelahiran per orang, dan laju kematian

per orang adalah konstan. Model Persamaan diferensial yang

menggambarkan hal ini Pdt

dP .

Carilah penyelesaian persamaan diferensial dan hitung dan prediksi jumlah populasi

untuk t . Jika 0 tentukan waktu kelipatan dua.

4. Pada pukul 4 sore batu bara yang panas ditari keluar dari pemanggangan dan

kemudian diletakkan di ruangan yang dingin yang memiliki suhu 75 0 F. Jika setelah

10 menit suhu batu bara 415 0 F, dan setelah 20 menit temperatur berubah menjadi

347 0 F, hitunglah :

a. Suhu pada pemanggangan.

b. Jam berapa ketika batu bara mendingin mencapai 100 0 F.

5. Sebuah tangki memiliki volume 40 liter dengan yang mana pada kondisi awal berisi

20 liter air. Suatu larutan mengandung 10 gram/lt garam mengalir kedalam tangki

dengan laja 4 lt/menit, dan campuran larutan mengalir keluar dengan laja 2 lt/menit.

Berapa garam dalam tangki sesaat sebelum larutan tumpah?

6. Diberikan suatu rangkaian RC dengan E(t) = 0 . Misalkan q(0) = 5 C, Dapatkan sisa

arus dalam kapasitor untuk t > 0. Apa yang terjadi untuk t ? Apakah ini

mungkin?

7. Suatu rangkaian RL yang mempunyai sumber tegangan E(t) 10 sin 4t volt. Jika R =

2 , L = 2/3 H, dan tidak ada arus pada kondisi awalnya, Hitung arus yang

melewati rangkaian untuk t 0.

,


33

1. Suatu koloni bakteri bertambah dengan laju yang berbanding lurus dengan jumlah

bakteri yang ada. Jika jumlah bakteri dalam empat jam menjadi tiga kali jumlah

semula.

a. Buat model yang mempresentasikan jumlah bakteri N(t) dalam waktu t.

b. Tentukan solusinya.

c. Berapa waktu yang diperlukan agar jumlahnya menjadi 27 kali jumlah semula.

2. Sebuah tangki berisi 600 liter larutan yang mengandung 1500 gram bahan kimia.

Sebuah larutan mengandung 5 gram/liter bahan kimia mengalir masuk kedalam

tangki dengan kecepatan 6 liter/menit, dan larutan yang telah diaduk rata

dikeluarkan dengan kecepatan 3 liter/menit. Hitung jumlah bahan kimia dalam

tangki setelah 1 jam. Berapa konsentrasi bahan kimia didalam tangki pada waktu

itu ?

3. Suatu subtansi yang tidak mudah terbakar pada kondisi awal temperaturnya adalah

50 0 F berada dalam open yang panas yang mana suhunya adalah 450

0 F.

Temperatur subtansi tersebut menjadi 150 0 F setelah 20 menit. Hitung temperatur

subtansi setelah 40 menit. Jika subtansi terbakar ketika suhu mencapai 350 0 F ,

hitung waktu yang dibutuhkan sampai subtansi tsb terbakar.

Kerjakan sungguh-sungguh soal test formatif_2 ini. Sebelum anda

membandingkan pekerjaan anda dengan petunjuk yang terdapat dalam kunci

jawaban pada akhir modul ini. Jika anda dapat mengerjakan 3 dari 4 soal yang

diberikan berarti bahwa tingkat penguasaan anda atas materi kegiatan belajar

ini cukup baik. Jika tidak demikian sebaiknya anda pelejari lagi bagian yang

belum anda kuasai.


34

KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN.

1) a. y = C x4 , c. Cyx 22 2 . 2) a. y = -

3

1 x + C c. r 2e = C

3) P(t) = P0

0)(

,

0)(,0

)( 0

)(

jika ,

jikap

jika

tPLim . et

. Td =

1ln 2

4) a. 500 0 F, b. 6,07 sore.

5. 300 gram

7. i = (3/5) (3 sin4t – 4 cos4t + 4 te 3 )

Kunci Jawaban test formatif_2

1) a. model yang mempresentasikan jumlah bakteri N(t) dalam waktu t : kNdt

dN

b. Penyelesaian PD tersebut : kteNN 0

, pada saat 0t jumlah populasi bakteri

adalah N0, dan N(4) = 3 N0 maka 3ln4

13 4

00 keNN k

c. Jumlah bakteri mencapai 27 kali jumlah semula :kteNN 0027

, t = 12 jam

2. Perubahan volume selama waktu t adalah :

trrV 21 t 3 dan 3dt

dV

Mengintegralkan persamaan diatas dan menyederhanakan kondisi V(0) = 600

2003 tV

tcA 2330 dan V

Ac 2

Diperoleh model MNB:

30)200(3

3

A

tdt

dA

Maka 220015200 tAt +C

15000 A gram sehingga didapatkan C = -3.105

Jadi 00

10.320015

5

ttA sehingga 60A = 7 746 gram

Diperoleh konsentrasi setelah 1 jam , 52,3c gram/liter

3. Model PD : mTTkdt

dT .

PUPD : 450 + C e-kt

diperoleh C = -400 dan k = 20

1 ln 3

4

Temperatur subtansi setelah 40 menit adalah T(40) = 225 0 F

Waktu yang dibutuhkan sampai subtansi tsb terbakar adalah t=96,4 menit.

metematika pdb2

Documents