mekban

MEKANIKA BAHANBUKU : MECHANICS OF

MATRIAL

PRASYARAT : MEKANIKA TEKNIK I

3 SKSBY E.P. POPOV

MATERI KULIAH1.PENDAHULUAN

2. METODE IRISAN

3. PENGERTIAN TEGANGAN

4. TEGANGAN NORMAL

5. TEGANGAN GESER RATA – RATA

6. MENENTUKAN DAN

7. STATIC TEST

8. TEGANGAN IJIN

9. REGANGAN

10. DIAGRAM, TEGANGAN – REGANGAN NORMAL

- Hukum HOOKE

- Penentuan Titik Leleh

- Deformasi Batang Akibat Beban Aksial

- Poisson’s Ratio

- Hubungan Tegangan, Regangan dan Poisson’s Ratio

11. TEGANGAN DAN REGANGAN GESER

- Tegangan Geser

- Regangan Geser

12. LENTUR MURNI PADA BALOK

13. MOMEN INERSIA PENAMPANG

14. MENGHITUNG TEGANGAN PADA BALOK

15. BALOK DENGAN DUA BAHAN

16. LENTUR MURNI PADA BALOK NON ELASTIS

17. TEGANGAN GESER LENTUR

18. TORSI

19. TEGANGAN MAJEMUK

20. KOMBINASI TEGANGAN PADA PENAMPANG

KOLOM

21. KERN

22. …………..DST GANTI DOSEN

PendahuluanAPLIKASI Rencana Konstruksi

ANALISIS STRUKTUR

PEMILIHAN BAHAN

PENENTUAN DIMENSI

KONTROL KEKUATAN / TEGANGAN

Konstruksi Kuat / Stabil

Contoh Obyek

TABUNG

RANGKA BATANG

Contoh Obyek

50/50

70/70

PORTAL GEDUNG BERTINGKAT

Contoh ObyekP1

P2

H1 H2

B1 B2

Karena P2 > P1, maka berdasarkan perhitungan

tegangan, akan didapatkan dimensi B2 > B1, H2 > H1

Metode IrisanP2

P1 P2

P3P4

P1

S1S2

S3

P3P4

S1

S2

S3

GAYA DALAM

GAYA DALAM

Tegangan (Stress)

TEGANGAN NORMAL TEGANGAN GESER

Tegak Lurus Bidang

Potongan

Sejajar Bidang

Potongan

DEFINISI :

TEGANGAN ADALAH GAYA DALAM YANG BEKERJA PADA SUATU

LUASAN KECIL TAK BERHINGGA DARI SUATU POTONGAN

Tegangan (Stress)BENTUK MATEMATIK :

FA

= A 0Lim

TEGANGAN NORMAL

V= A 0Lim

ATEGANGAN GESER

F

A

V

= Tegangan Normal

= Tegangan Geser

= Luas Penampang yang bersangkutan

= Gaya yang bekerja tegak lurus potongan

= Gaya yang bekerja sejajar potongan

Tegangan (Stress)Tegangan yang bekerja pada elemen suatu benda :

y

z

x

y

z

x

xz

xy

yz

yx

zyzx

Tegangan Normal

TEGANGAN NORMAL TARIK

TEGANGAN NORMAL TEKAN

= P/A

= P/A

P

P

P

P

Tegangan Geser Rata - rata

TEG. GESERGAYA YANG BEKERJA SEJAJAR

POTONGAN

MENIMBULKAN

AGeser

ANormal

= P Cos/ ANormal

AGeser

= P / AGeser

P

Tegangan Geser Rata - rata

AGeser

= P / Total AGeser

Total AGeser = 2 x Luas Penampang

Baut

P

½ P

½ P

Perhitungan

TEGANGAN

PERHITUNGAN

Menentukan dan

PENENTUAN GAYA DAN LUAS PENAMPANG

HASIL PERHITUNGAN

PERLU DIPAHAMI MAKSUD DAN TUJUANNYA

MEMILIH PERUMUSAN atau

AKAN MENJADI MASALAH BESAR BILA

TIDAK MEMAHAMI MEKANIKA TEKNIK I

Menentukan Besarnya Gaya MENGGUNAKAN PERSAMAAN

STATIKA :

FX = 0 MX = 0

FY = 0 MY = 0

FZ = 0 MZ = 0

Menentukan Luas Penampang

DIPILIH LUASAN TERKECIL

UNTUK MENDAPATKAN TEGANGAN YANG

MAKSIMUM

Menentukan Luas PenampangCONTOH :

LUAS PENAMPANG TERKECIL YANG DIPILIH

UNTUK MNENDAPATKAN

TEGANGAN MAKSIMUM

TeganganSOAL :

Bila W = 10 Ton, = 30o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, kabel BD = 7 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan BD.

1.

A

B

W

C

D

2. P

P

d1d2

b

Bila Diameter Baut = 30 mm, b = 200 mm, d1 = 8 mm, d2 = 12 mm, P = 2000 kg, maka hitung te -gangan MAX pada masing – masing ba -tang dan tegangan Geser pada Baut.

Static TestP

P

BEBAN P DINAIKKAN TERUS

MENERUS

MATERIAL UJI PUTUS

P BEBAN ULTIMATE

TEG. ULTIMATEPUlt

A

MATERIAL UJI

Regangan MATERIAL UJI

REGANGAN

STATIC TEST

BEBAN

-. P Dinaikkan terus sampai yang dikehendaki

- Setiap kenaikan P dilakukan pencatatan deformasi yang tertera dalam dial gauge

P

P

L

Regangan

(Deformasi)

BAHAN 1

BAHAN 2

P (Beban)

Diagram P -

= REGANGAN

L =

BERUBAH SESUAI DENGAN

PERUBAHAN BEBAN

Diagran Tegangan - ReganganSIFAT FISIS SUATU MATERIAL DAPAT DILIHAT

DARI HUBUNGAN DIAGRAM TEGANGAN – REGANGAN DARI MATERIAL YANG BERSANGKUTAN KENAPA ??

BAHAN 1

BAHAN 2

P (Beban)

Diagram P -

BAHAN 1

BAHAN 2

(Tegangan)

Diagram -

Regangan

Gbr. A Gbr. B

Diagran Tegangan - Regangan- MATERIAL 1 dan MATERIAL 2, SAMA

- LUAS PENAMPANG MATERIAL 2 < MATERIAL 1

- HUBUNGAN P – MATERIAL 1 TIDAK SAMA DENGAN MATERIAL 2

- HUBUNGAN – MATERIAL 1 SAMA DENGAN MATERIAL 2, WALAUPUN LUAS PENAMPANGNYA BERBEDA

JADI UNTUK MENGETAHUI SIFAT FISIS DARI SUATU MATERIAL LEBIH COCOK

MENGGUNAKAN GAMBAR B

Diagram Tegangan - Regangan

Batas Proposional

(Tegangan)

(Tegangan)

Regangan

Regangan

MATERIAL BAJA MATERIAL BETON

HUKUM HOOKE

EX=

=E

= TEGANGAN

= REGANGAN

E = MODULUS ELASTISITAS

(Tegangan)

Regangan

PENENTUAN TITIK LELEH

KONDISI

ELASTIS

Batas Proposional

METODE OFF-SET

HUKUM HOOKE

SOAL :

Pada suatu batang dengan panjang L=100 cm dilakukan Static Test. Bila beban P yang diberikan sebesar 4000 kg, batang masih dalam kondisi elastis, uluran batang bertambah 2 mm, maka berapakah Regangan batang tersebut dan berapakan tegangan yang terjadi pada batang tersebut ?? Bila Modulus Elastisitasnya 2 x 106 kg/cm2. Hitung pula luas penampang batang tersebut.

P

P

L

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial

P2

P3

P4

dx

d x + dx

P1

PxPx Gaya Px bekerja pada

elemen dx dan menim -bulkan deformasi d

d= dx E

dxP

Edx

Ax

=


CONTOH :

L

P P

P = Px

Px

Px

dx

A

B

= Px / Ax . E dx

0

= Px . dx / Ax . EA

B

L

= P . X / Ax . E0

L

Ax = A , Px = P

= P . L / E . A

Deformasi akibat beban P, berat

sendiri diabaikan

= Px . dx / Ax . E = 1 / A . E w . X . dx A

B L

0

= ½ . W.x2 / A . E = w . L2 / 2 . A . E = WT . L / 2 . A . E 0

L

DEFORMASI AKIBAT BEBAN P DAN BERAT SENDIRI ADALAH :

= P.L / A.E + WT.L / 2.A.E =

= L (P + ½.WT) / A.E


DEFORMASI AKIBAT BEBAN BERAT SENDIRI ADALAH :


SOAL :

1. A

B

C

DE1000 kg

100 cm 100 cm

Bila diameter batang AB dan BC adalah 20 mm, = 30o dan Modulus Elasti - sitasnya adalah 2x106 kg/cm2, maka hitung penurunan titik B.

2.

P1 ½ P2

b1

b2

b3

h1

h2

Hitung P1/P2, agar setelah P1 dan P2 bekerja, panjang kedua batang tersebut tetap sama, bila b1 = 50 mm, b2 = 50 mm, b3 = 25 mm, h1 = 500 mm, h2 = 500 mm dan tebal masing – masing kedua batang tersebut = 20 mm.

P2

Poisson’s Ratio

REGANGAN

REGANGAN AKSIAL REGANGAN LATERAL

POISSON’S RATIO ( ) =

LateralAksial

Bentuk menjadi MEMANJANG

dan MENGECIL

Beton = 0.1 – 0.2 Karet = 0.5 – 0.6

Hubungan Poisson’s Ratio, Tegangan dan Regangan

x

xz

xy

yz

yx

zyzx

y

z

x

y

z

z

y

y

Hubungan Poisson’s Ratio, Tagangan dan Regangan

Hubungan Poisson’s Ratio, Tagangan dan Regangan

x EE E

x y z

+ - -=

y EE E

x y z

- + -=

z EE E

x y z

- - +=

Tegangan dan Regangan GeserTEGANGAN GESER

y

z

zy zy

yz

zy

yz

AB

C

/2 /

2

A

C

B

= REGANGAN GESER

O O

MO = 0

zy(dy.dx).dz - (dx.dz.).dy = 0

yz

zy yz=

Fz = 0

yz kiri = yz

kanan

Tegangan dan Regangan GeserREGANGAN GESER :

PERUBAHAN BENTUK YANG DINYATAKAN DENGAN PERUBAHAN SUDUT ‘ ‘ ADALAH MERUPAKAN

“REGANGAN GESER”

Hukum HOOKE untuk Tegangan dan Regangan Geser :

= Tegangan Geser

= Regangan Geser

= Modulus Geser

= Poisson’s Ratio

. G=

GE

2 (1+ )

=

Hubungan Modulus Elastisitas Normal dengan Modulus Geser

G

Lentur Murni Pada Balok

Lenturan yang hanya diakibatkan oleh MOMEN saja


max

max

/2/2

Panjang Awal

Ya

Yb = C

Keseimbangan Gaya :

( Y/C . max ) dA = 0

A

C Y . dA = 0 A

FX = 0


MOMEN :

M = ( Y/C . max ) dA . Y = max Y 2 . dA A A

Y2 . dA = I = MOMEN INERSIA

M = ( max / C ) . I

max = M . Ya / I

TEGANGAN SERAT ATAS TEGANGAN SERAT BAWAH

max = M . C / I

max = M . Yb / I

A


SECARA UMUM :

max = M . Y / I

I / Y = W (Momen Tahanan)I / Ya = Wa

I / Yb = Wb

I = Y 2 . dA A

MOMEN INERSIA

Momen InersiaCONTOH :

h/2

h/2

Ix = y 2 . dA A

= Y 2 . b . dy

h/2

-h/2

= 1/3 . 1/4. h3. b = 1/12 . b. h3

2

2

3

1

1/2Ix = 3.y 2 . dy -2

+ 2 y 2 . dy

-11/2

-11/2

11/2

= 1/3 . y3. b = 1/3 . (1/8 + 1/8) . h3. b -

h/2

h/2

+ 3.y 2 . dy11/2

2

b

x

y

y

x

Momen InersiaCONTOH :

= 3/3 . y3

-2

-11/2+ 2 . 1/3 . y3

11/2

-11/2

+ 3/3 . y3

2

11/2

= (-11/2)3 – (-2)3 + 2/3 . (11/2)3 - 2/3 . (-11/2)3 + 23 - (11/2)3 = 13,75

CARA LAIN :

= 1/12 . 3 . 4 – 1/12 . 1 . 33 = 16 – 2,25 = 13,75LEBIH SINGKAT

Menghitung Tegangan Pada

Balok 10 cm30 cm

10 cm30

cm

10 cm

10.000 kg

400 cm

LUAS :

A = ( 2 . 30 . 10 ) + (10 . 30 ) = 900 cm2

MOMEN INERSIA :

I = 1/12 . 30 . 503 – 2 . 1/12 . 10 . 303 = 267.500 cm4


BalokMOMEN TAHANAN :Wa = Wb = I/y = 267.500 / 25 = 10.700 cm3

MOMEN YANG BEKERJA (Beban Hidup Diabaikan) :MMax = ¼ . 10.000 . 400 = 1.000.000 kg-cm.

TEGANGAN MAKSIMUM YANG TERJADI :

Max = MMax / W = 1.000.000 / 10.700 = 93,46

kg/cm2


Balok

y1 = 20 cmyMa

x

+

-

Max1

Max

= M / W1 = 1.000.000 . 20 / 267.500 = 74.77 kg/cm2

1

W1 = I / y1

Latihan Soal Momen Inersia30 cm

10 cm

40 cm

10 cm

Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )

Sb X

Sb Y

Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )

Sb X

Sb Y

1

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

1010 10

2

20 cm

Latihan Soal Lentur Murni

400 cm 200 cm1500

kg

1 2

A B C

30 cm

10 cm

10 cm

10 c

m8 c

m

8 c

m100 kg/m (Termasuk berat sendiri)

200 cm 80 cm

- Gambar Bidang Momennya

- Hitung Momen Inersia Penampang Balok

- Hitung Tegangan – tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannya

- Hitung Tegangan Maksimum yang terjadi

30 cm

Lenturan Tidak Simetris

Sb xSb y

qqCos

qSin

L

q

Terjadi Momen terhadap sumbu x (MX) dan terhadap Sumbu y (MY) MX = 1/8 . qCos . L2 MY = 1/8 .

qSin . L2

Momen yang lenturannya

mengitari Sumbu ‘X’

Momen yang lenturannya

mengitari Sumbu ‘Y’

Tegangan pada Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris

L

q

Sb xSb y

q

qCos

qSin

a

b

c

db/2

b/2

h/2

h/2

oa

b

c

d

MX . h/2Ix

+My . b/2

Iy=+

MX . h/2Ix

-My . b/2

Iy=+

MX . h/2Ix

-My . b/2

Iy= -

MX . h/2Ix

+My . b/2

Iy= -

MX = 1/8 . qCos . L2

MY = 1/8 . qSin . L2

Ix = 1/12 . b . h3 Iy = 1/12 . h . b3

Contoh Soal Tegangan Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris

Sb xSb y

a

b

c

db/2

b/2

h/2

h/2

o

L

q P

BA

L = 300 cm, q = 100 kg/m, P = 200 kg, h = 20 cm, b = 10 cm, = 30o

P berjarak 150 cm dari B

Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f. Dimana titik e berjarak 5 cm dari sumbu x dan 3 cm dari sumbu y.

Titik f berjarak 6 cm dari sumbu x dan 4 cm dari sumbu y.

e

f

Tugas I

Bila W = 8 Ton, = 90o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, batang BD masing – masing = 6 x 3 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan tegangan maksimum batang BD.

Hitung Penurunan titik B dan tegangan geser yang terjadi pada baut As. B. Diameter baut As B = 20 mm.

Diketahui Modulus Elastisitas Batang BD = 2x106 kg/cm2.

1.

AB

W

C

D

50 cm

W

B

400 cm 200 cm1000

kg

1 2

A B C

30 cm

10 cm

20 cm

10 c

m8 c

m

8 c

m2000 kg/m (Termasuk berat sendiri)

200 cm 80 cm

- Gambar Bidang Momennya

- Hitung Momen Inersia Penampang Balok

- Hitung Tegangan – tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannya

- Hitung Tegangan Maksimum yang terjadi pada balok ABC.

25 cm

80 cm

1000 kg

2.

L

q P

BA

L = 300 cm, q = 1000 kg/m, P = 2000 kg, = 30o, P berjarak 100 cm dari B.

Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f.

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

10

10

10

20 cm

ab

c de

f

3.

Balok Dua Bahandx

dy

a

e

yh

b1

b2

x

a

e

1

2

1

xE1

eE1

eE2

DISTRUBUSI TEGANGAN ELASTIS

DISTRUBUSI TEGANGAN DALAM

SATU BAHAN

Balok Dua Bahan

b1

b2.n2

b2/n1

b1.n1

b1/n2

b2

E1 > E2, n1 = E1 / E2, n2 = E2 / E1

Irisan Padanan dalam Bahan 1

Irisan Padanan dalam Bahan 2

Contoh Soal Balok Dua Bahan

1

2 1200 cm

1000 kg

A B12 cm

36 cm

12

12

10

a

c

b1

Bahan 1 = Beton Bahan 2 = Baja

400 cm1

E beton = 200.000 kg / cm2 ; E baja = 2.000.000 kg /cm2 Hitung tegangan yang terjadi pada penampang 1 – 1 di serat ‘a’, serat ‘b’ beton, serat ‘b’ baja dan serat ‘c’.

Gambarkan pula diagram tegangannya.

Berat sendiri balok diabaikan

Baja

Beton

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis

DIAGRAM TEGANGAN - REGANGAN

ELASTIS NON - ELASTIS

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis

Distrubusi Regangan

Distrubusi Regangan

Elastis

Distrubusi Regangan nonElastis

a

bc

d

o

Bila pengaruh D aob dan cod

kecil

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh

h h/4

h/4

C

T

Momen Plastis yang dapat dipikul = C . ½ . h = T . ½ . h

C = T = yp ( bh/2)

Momen Plastis Balok Segi - 4 adalah :

Mp = yp . bh/2 . h/2 = yp . bh /4

2

Balok Segi- 4 yang mengalami Plastis Penuh

Secara Umum dapat ditulis :

Mp = . y dA = 2 ( yp ) . y . b . dy

h/2

0

Bila dihitung dengan Rumus Elastis :

Myp = yp . I / (h/2) = yp . 1/12 b h3 / ( h/2 )

= yp . b . h2 / 6

0

h/2

yp . y2 . b = yp . bh /4

2

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh

Mp / Myp = yp . b . h2 / 4

yp . b . h2 / 6

= 1,5 SHAPE FACTOR

Penampang yang mengalami Elastis - Plastis

Leleh Sedikit (Elastis-Plastis)

Leleh Banyak (Elastis-Plastis)

Leleh Total (Plastis)

yo

h/2

Penampang yang mengalami Elastis - Plastis Momen Elastis-Plastis yang dapat dipikul

dengan kondisi distribusi tegangan yang mengalami leleh sebagian, adalah :

+ 2 ( yp) . b . y. dy

M = . y dA = 2 ( yp ) . y/yo . b . y. dy

yo

0

h/2

yo

yp . y3/yo . bo

yo

= 2/3

yo

+ yp . b .

y2

h/2

= 2/3 yp . yo2 . b + yp . bh2 / 4 - yp . b . yo

2

= yp . bh2 / 4 – 1/3 yp . b . yo

2 = Mp – 1/3 yp . b . yo

2

Tegangan Geser - Lenturq (x)

dxM+d

Mdx

M

V V+dV

x

S MA = 0

(M + dM) – M – (V + dV) . dx + q . dx . dx/2 = 0

M + dM – M – V . dx + dV . dx + ½ . q . dx2 = 0

dM – V . dx = 0

dM = V . dx

kecil kecil

ATAU dM / dX = V

dM / dx = V

Tegangan Geser - LenturPersamaan ini memberikan arti bahwa :

SETIAP ADA PERBEDAAN MOMEN LENTUR PADA IRISAN YANG BERDAMPINGAN, MAKA AKAN MENIMBULKAN GESERAN

Contoh :

L/3 L/3 L/3

Bid. D

Bid. M

Tidak Ada Geseran

M M

Ada Geseran

M M+dM

Tegangan Geser - LenturTegangan Geser Akibat Beban Lentur

R

a

b

d f

h

je g

FBFA

FB = Afghj

- MB . Y I

dA- MB

I= Y .

dAAfghj

=- MB . Q

IQ = Y .

dAAfghj

= Afghj . Y

Tegangan Geser - LenturTegangan Geser Akibat Beban Lentur- MA

I= Y .

dAAabde

FA =- MA . Q

I

FB – FA = R Dipikul Alat Penghubung Geser

=- MB . Q

I-

- MA . Q

I= dF

=( MA + dM ) . Q – MA .

QI=

dM . Q

I

Sepanjang dx

dF/dx = q = Aliran Geser = SHEAR FLOW

q = dM . Q / dx . I = V . Q / I

Tegangan Geser Akibat Beban LenturContoh :

50 mm

Yc

=50 . 200 . 25 + 50 . 200 . 150

50 . 200 + 50 . 200

= 87,5 cm

I = 200 . 503 / 12 + 50 . 200 . 62,52

= 50 . 2003 / 12 + 50 . 200 . 62,52

= 113.500.000 mm4 = 11.350 cm4

Q = 50 . 200 ( 87,5 – 25 ) = 625.000 mm3 = 625 cm3 atau,

Y1 = 250 – Yc - 200 / 2 = 62,5 mm

Q = 50 . 200 . 62,5 = 625.000 mm3 = 625 cm3

200 mm

50 mm

Y1

Yc

q = V . Q / I = 30.000 x 625 / 11.350 = 1.651 kg / cm

Jarak paku yang dibutuhkan = 7000 / 1651 = 4,24 cm

V = 30.000 kg, kekuatan paku = 7000 kg

200 mm

200 mm

50 mm

30 mm

200 mm

50 mm

150 mm

Soal :

Bila kemampuan paku bagian atas adalah 7000 kg dan paku bagian bawah 5000 kg, maka hitunglah jarak paku atas dan bawah mulai dari ujung A hingga B , agar penampang tersusun tersebut kuat memikul beban q.

Jarak paku atas dan bawah dibuat 3 macam ukuran jarak.

q = 3000 kg/m

600 cm

A B

100 100 200 100 100

Diagram Tegangan GeserArah Longitudinal :

= dF / t.dx = ( dM / dx ) . ( A . Y / I . t ) = V . A . Y / I . t

=

V . Q

I . t

q

t=

Contoh :

1/8 . V. h2

It = b

h

dy

f g

hj

yy1

=V . Q

I . t

q

t=

V

I . t

Y . dA

A

=

Diagram Tegangan Geser

V

I= x

Y2

2

h/2

y1

VI . b

y1

h/2

b . y . dy

=

( b/2 ) 2 – y12V

2 . I

=

Bila y1 = 0, maka

V

2 . I=

h2

4x = 1/8

V . h2

1/12 . b .h3

=3 . V

2 . b. h=

3 . V

2 . A

Soal :

Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 100 cm dari titik B.

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

bc

d

e

q = 3000 kg/m

600 cm

A B

P = 1500 kg

1200 cm

Tahapan pengerjaan :

1. Menghitung Posisi Garis Netral

20 . 5 . 2,5 + 20 . 5 . 15 + 15 . 3 . 26,5 20 . 5 + 20 . 5 +

15 . 3

=Yc = 12,01 cmDari

Atas2. Menghitung Momen

Inersia

I = 1/12 . 20 . 53 + 20 . 5 . 9,512 + 1/12 . 5 . 203+ 20 . 5 . 2,952 + 1/12 . 15 . 33 + 15 . 3 . 14,492= 208,33 + 9044,01 + 3333,33 + 870,25 + 33,75 + 9448,20

= 22937,88 cm4

3. Menghitung Gaya GeserRa = 3000 . 6/2 + 2/3 . 1500 = 10.000 kg Rb = 3000 . 6 + 1500 - 10.000 kg = 9.500 kg Va = 10.000 kg ;

V1 = - 9.500 + 3000 . 1= - 6.500 kg

Posisi A y Q q = V.Q / I = q / t

t

a

b1

b2

c

d1

d2

e

0

0

100100

100

4545

35.05

12.01

9,51

9,51

9,513.50514.49

14.49

15.99

20

205

5

51515

0

0 0

0951951

1073,85

652.05

652.05

0

0

Pada Penampang ‘A’ dengan Gaya Geser 10.000 kg

414,6

414,6

468,16

284,27

284,27

20,73

82,92

93,63

56,854

18,951

Posisi

A y Q q = V.Q / I

= q / t

t

ab1

b2

c

d1

d2

e

0

0

100100100

4545

35.05

12.019,51

9,519,513.50

514.4914.4915.99

20205

5

51515

0

0 0

0951951

1073,85

652.05652.05

0

0

Pada Penampang ‘1’ dengan Gaya Geser 6.500 kg

269,49269,49

304,30

184,774184,774

13,47453,89

60,86

36,95512,318

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

b

c

d

e

13,474

0

0

0

0

53,89

60,68

36,955

12,318

20,7393,63

56,854

82,92

18,951

Gambar Diagram Tegangan Geser :

Gaya Geser 10.000 kg

Gaya Geser 6.500 kg

Variasi Aliran Geser

Variasi Aliran Geser digunakan untuk menentukan PUSAT GESER, agar beban

vertikal yeng bekerja tidak akan menimbulkan puntiran pada penampang, bila dikerjakan

pada PUSAT GESER.

Pusat Geser

PV=P

eh

F1

F1

e = F1 . h / P =2 . P . I . t

b. t. h . V . Q½ . . b . t . hP

=

=. b . t .

h2 . P I . t

V . ½ . h . b . tx =

b2 . h2 . t

4 . I

Soal :

e

P 10 cm

50 cm

10 cm

10

15

30

Tentukan PUSAT GESER dari penampang seperti pada gambar.

V=P

PERSAMAAN YANG DIGUNAKAN :

e . P + F1 . 60 = F2 . 60

e = ( F2 . 60 – F1 . 60 ) / P

½ . . 17,5 . 10

F1 F2

F1 = F2 = . 37,5 . 10½ .

I = 1/12 . 55 . 703 - 1/12 . 40 . 503 = 1.155.416,67 cm4

P . 17,5 . 10 . ½ . 60

P . 37,5 . 10 . ½ . 60

=V . Q

I . t=

1.155.416,67 . 10= 0,00045 . P

kg/cm2

= = =V . Q

I . t 1.155.416,67 . 100,00097 . P

kg/cm2F1 = 0,00045 . P . 17,5 . 10½ . = 0,0394 .

PF2 = 0,00097 . P . 37,5 . 10

½ . = 0,1820 . P

e = 0,0394 . P. 60 -0,182. P . 60 =: P

8,556 cm

Perhitungan :

Agar batang tidak mengalami puntiran, maka beban P harus diletakkan sejarak e = 8,556 cm ( lihat Gambar )

TORSI (Puntiran )

20 N-m

10 N-m

30 N-m

10 N-m

30 N-m

Bidang Potongan

MOMEN PUNTIR DALAM sama dengan MOMEN PUNTIR LUAR

Torsi atau Puntiran yang dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika Bahan ini hanya terbatas pada

Batang berpenampang BULAT saja.

TORSI (Puntiran )

M M

MM

M(x)

Momen Puntir pada ujung batang

Momen Puntir merata pada seluruh batang

TORSI (Puntiran )

C

maxC

max

C

max . dA .

= T

Tegangan Luas

Gaya Lengan

Momen TorsiAtau dapat ditulis :

maxC

. dA = T2

= IP . dA

2 = Momen Inersia Polar

A

A

A

Contoh Momen Inersia Polar untuk LINGKARAN

. dA

2 =A

3 d2 =0

C

2 4

.4

.4

.0

C

= C = 32

d4

Puntiran pada LINGKARAN dapat ditentukan denga rumus :

maxT = C

. IP

max = T . C

. IP

MOMEN PUNTIR

TEGANGAN PUNTIR

Contoh Soal Hal. 72 dan 73, Contoh 3-2 dan 3-3

2

Contoh 3 - 3max

dalam

Sebuah tabung diputar dengan momen puntir T = 40 N-m, diameter luar tabung = 20 mm dan diameter dalam tabung = 16 mm. Hitunglah tegangan geser puntir di dalam dan di luar tabung.

PENYELESAIAN :IP =

( 0,024 – 0,0164 )32

= 9,27 . 10-9

m4

max =40 . 0,019,27 . 10-

9

= 43,1 . 106

N/m2

luar =40 . 0,0089,27 . 10-

9

= 34,5 . 106

N/m2

Sudut Puntiran

dx

xdmax

oB

DA

c

Sudut puntiran didefinisikan sebagai dan dengan menyatakan besarnya sudut DAB =

max, maka :

= d . c

BD =

max. dx

BD = d . cmax

max =ddx

. c

max Sebanding dengan

maxmax

max

G

G = Modulus Geser

=

max = T . c / IP

Sudut PuntiranDengan demikian , maka :

max = T . c / IP . G

ddx

. c = T . c / IP . G

ddx

= T / IP . G

d = T . dx / IP . G

= dA

B

=A

BT(x) . dx / IP(x) . G

PELAJARI CONTOH 3 – 6 dan 3 – 7, halaman 78 dan 79

Tegangan MajemukTegangan yang mungkin terjadi pada suatu benda adalah sebagai berikut :

1.Tegangan Normal yang terjadi akibat Gaya Aksial : ( = P / A )

2. Tegangan Normal akibat Lentur : ( = M . Y / I )

3. Tegangan Geser akibat Gaya Geser : ( = P / A ) atau ( = V . Q / I . t )

4. Tegangan Geser akibat Torsi : ( = T . / IP )

Ada kalanya suatu benda mengalami tegangan - tegangan tersebut secara bersama sama. Sehingga untuk mengetahui tegangan total yang terjadi perlu dilakukan penjumlahan.

Tegangan MajemukTegangan – tegangan yang dapat dijumlahkan adalah tegangan – tegangan yang sejenis. Tegangan Normal dijumlahkan dengan Tegangan Normal, sedangkan Tegangan Geser dijumlahkan dengan Tegangan Geser.

Penampang di

tengah bentang

Contoh :

FF

e F

L

P

M1 = ¼ . P . LM2 = F . e

Tegangan MajemukTegangan total yang terjadi pada potongan tengah bentang di serat atas dan bawah adalah :

= ( - F / A ) + ( M1 . Y / I ) + ( M2 . Y / I )

= ( - F / A ) + ( ¼ . P . L ) + ( F . e . Y / I )

+ + =

b

hP

A B

Tegangan MajemukContoh :

M = P . e

e

P

Tegangan yang terjadi adalah :

= +P . eWA

P

1/6 . b . h2

P . e=

AP

+

Agar sisi B tidak terangkat, maka berapakah jarak e maksimum ??, Bila berat sendiri pondasi diabaikan

1/6 . b . h2

P . e=

AP

+ = O

Persamaan yang digunakan :

b

hP

A B

Tegangan Majemuk

1/6 . b . h2

P . e=

AP

+ = O

AP

=1/6 . b . h2

P . e

e =A

1/6 . b . h2

b . h

1/6 . b . h2

=

=h6

1/6 . b . h2

P . e

AP

+

1/6 . b . h2

P . e

KOLOMyo

zod

PP

P

Momen yang ditimbulkan akibat adanya Eksentrisitas :

M = P . d = P . zo + P . yo

d

Diagram Tegangan pada Kolom

d

yo

zo

yo

zo

Tugas II1 1

2

3

E-bahan 1 = 200.000 kg / cm2

E-bahan 2 = 100.000 kg / cm2

E-bahan 3 = 2.000.000 kg / cm2

20 cm

50 cm

10 cm

10 c

m20 c

m

10 c

m q = 3000 kg/m

600 cm

A B

P = 1500 kg

1200 cm

Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada masing – masing bahan di potongan ‘1’ dari balok A – B.

Potongan ‘1’ berjarak 100 cm dari titik B.

2

Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan ‘1’ yang berjarak 200 cm dari titik B.

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

bcd

e

q = 3000 kg/m

600 cm

A B

P = 1500 kg

1200 cm

f

5 cm10 cm

FF

e F

L

P3

h

b

q

Diketahui : L = 20 m, b = 50 cm, h = 100 cm, P = 50 ton, F = 100 ton, e = 30 cm dari garis netral, q = 5 ton / m.

Potongan ‘1’ berjarak 5 m dari titik A.

A B

1

Hitung Tegangan gabungan di serat atas dan bawah dari penampang pada potongan ‘1’ dan di tengan bentang.

4 P

A B

C D

O

e

b

h

Bila P = 5000 kg, h = 120 cm, b= 150 cm dan e = 40 cm, maka hitunglah tegangan yang terjadi di titik E dan F.

Berat sendiri pondasi diabaikan.

Tentukan ‘e’ agar tegangan di titik F = 0

PE F

5

20 cm

20 cm

70 cm

10

20

40

Tentukan dan Gambarkan

batas – batas KERN - nya

Tugas II ini dikumpulkan pada saat Ujian Tengah Semester

KERN / GALIH / INTI

N

N

ya

yb

O

ka

kb

ya / Ix = Wa yb / Ix = Wb

min = n mb+

=+ N / A - N . ca . yb /Ix

b =

Posisi Beban di atas titik Omax n ma= =

= + N / A + N . ca . ya / Ix

a +

ca = Jarak ka ke titik O

cb = Jarak kb ke titik O

y

x

Posisi Beban di bawah titik O

max n mb= =

= + N / A + N . cb . yb / Ix

min = n ma+

= + N / A - N . cb . ya / Ix

b + a =

KERN / GALIH / INTI

Kejadian khusus, bila = O, sehingga perumusannya menjadi :

min

Posisi Beban di atas titik O

min n mb= =

= + N / A - N . ca . yb / Ix = O

b +

+ N / A - N . ca / Wb = O

=

= ( Wb / A – ca ) . N / Wb = O

Ca = Wb / A Ca = ka

Kern Atas

KERN / GALIH / INTIPosisi Beban di bawah titik O

min n ma= =

=+ N / A - N . cb . ya / Ix

= O

a +

+ N / A - N . cb / Wa = O

=

= ( Wa / A – cb ) . N / Wa = O

Cb = Wa / A Cb = kb

Kern bawah

Dalam bentuk lain :

ix = 2Ix

Aix =

Ix

A

A = Ix

ix2

Wa = Ix / ya

Wb = Ix / yb

ka = ix / yb2

kb = ix / ya2

KERN / GALIH / INTIMacam – macam bentuk KERN :

Dibatasi 6 Titik

Dibatasi Titik tak

Berhingga

Dibatasi 4 Titik

Dibatasi 4 Titik

KERN / GALIH / INTIMenetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :

XY

X

Y

x

y

x df Cos Sin x x= +y

Cos Sin y y= - x

2y=Ix df

Ix= y2

2

222Cos x+ Sin -2xySin Cos df

= IxCos +IySin - 2 Sxy

Sin Cos 2

2x=Iy df

KERN / GALIH / INTIMenetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :

= x2

2

222Cos y+ Sin +2xySin Cos df

= IxSin +Iy Cos +

2 Sxy

Sin Cos 2

KERN / GALIH / INTIContoh Menentukan batas – batas KERN :

Menentukan posisi garis netral :2.20.1 +

8.2.6.22.20 + 8.2.2

==x 3,2 cm

A= 2.20 + 8.2.2

=72 cm

Ix= 1/12.2.203 + 1/12.8.23.2

+ 8.2.92.2 = 3936 cm4

=Wax393610

= 393,6 cm3

=Wbx393610

= 393,6 cm3

2 cm

22

16

10

y

x

3,2

KERN / GALIH / INTIContoh Menentukan batas – batas KERN :

Ix= 1/12.20.23 + 1/12.2.83.2

+ 20.2.(2,2)2 + 2.2.8.(2,8)2 = 628,48 cm4

=Wkr

y

628,483,2

=

196,4 cm3

=Wkn

y

6,8= 92,42

cm3

628,48

Ka x =Wbx

A=

393,6

72= 5,46

cmKb x =

Wax

A=

393,6

72= 5,46

cm

Kkr y=Wkn

yA 72=

92,42

= 1,28 cm

Kkny=Wkr

yA 72=

196,4

= 2,72 cm

KERN / GALIH / INTIGambar batas – batas KERN :

2 cm

2

2

16

10

y

x

3,2

5,46 cm

5,46 cm

2,72 cm

1,28 cm

SELESAI

6.1. TEGANGANA. PERSAMAAN TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG

- Tegangan tarik normal adalah positif (+)- Tegangan tekan adalah negatif (-)

Menggunakan persamaan keseimbangan statika :

Dengan mengubah orientasi sebuah elemen, seperti ditentukan oleh sudut untuk elemen, maka dapat digambarkan status tegangan

pada suatu titik dengan jumlah cara yang tidak terhingga banyaknya, yang kesemuanya setara

Dalam hal ini, hukum transformasi tegangan pada suatu titik akan dikembangkan, yaitu persamaan-persamaan yang akan diturunkan untuk mentransformasi tegangan yang setara yang bekerja pada bidang yang melalui titik tertentu. Bidang-bidang dimana Tegangan- tegangan mencapai intensitas maksimum akan ditentukan. Dengan cara yang sama, tegangan geser adalah:

Catatan :Persamaan 1 dan 2 adalah pernyataan umum untuk tegangan normal dan tegangan geser pada bidang dengan sudut

x, y dan xy adalah tegangan yang diketahui.

Contoh Soal

Jawab

B. TEGANGAN UTAMA

•Tegangan utama ialah tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama.

•Pada bidang utama, dimana bekerja tegangan normal maksimum dan minimum, tidak akan terdapat tegangan geser.

•Untuk mendapatkan letak bidang utama maka digunakan persamaan :

mempunyai 2 harga yang berbeda 180o

Harga cos2 dan sin2 dimasukkan dalam persamaan transformasi tegangan diperoleh :

C. TEGANGAN GESER MAKSIMUM DAN MINIMUM

Tegangan geser maksimum dan minimum dapat diketahui letaknya dengan menurunkan rumus tegangangeser terhadap sudut dan disamakan dengan nol.

•dengan cara yang sama seperti mencari tegangan utama, maka tegangan geser adalah :

•Pada tegangan utama tegangan gesernya sama dengan nol.

•Tapi pada tegangan geser maksimum tegangan normalnya tidak sama dengan nol.

•Bila harga sinus dan cosinus untuk tegangan geser dimasukkan ke persamaan transformasi, didapat tegangan normal

Jadi tegangan geser maksimum selalu bekerja bersama-sama dengan tegangan normal kecuali bila x dan y sama dengan nol.

• Bila x dan y adalah merupakan tegangan utama, maka xy = 0 ,

dan tegangan geser maksimumnya :

D. LINGKARAN TEGANGAN MOHR

Untuk menghitung tegangan yang bekerja pada suatu bidang dari sebuah elemen, disamping dengan menggunakan persamaan transformasi, juga bisa menggunakan "Lingkaran MOHR". Persamaan transformasi 1 dan 2 dapat dituliskan kembali sebagai berikut :

mekban

Documents