x

MEKANIKA LAGRANGIAN BRENDA

JULICA

M0213018

1. PERSAMAAN LAGRANGE

Apa itu persamaan lagrange ? kenapa muncul persamaan lagrange?

Digunakan untuk apa persamaan lagrange? Dan pertanyaan yang lain akan coba

kita bahas disini.

Untuk pembuka, ada yang sudah tahu tentang hukum newton? hukum

newton sudah sering kita dengar, nah yang amu kita bahas disini perkembangan

lebih efektif dari hukum newton, perkembangan lebih disini maksudnya Hukum

Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda

diketahui.Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang

tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan

awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah

permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk

gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun

koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan

gayanya diketahui. Disini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih

efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama

dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut

formalisme Lagrange.

Berikut salah satu contoh yang menggunakan persamaan lagrange,

Sebuah benda yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.

Gambar 1.1

Gerak pada bidang miring dan penggambaran vektornya

1. Dipilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi

sistem.

'x v

x'

M x

m

Kita memilih koordinat x dan x'

Dimana, x = pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan

x' = pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang

ditunjukkan pada gambar.

Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel

diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

cosxx2xxv 222'

' .....................................................................(1)

2. Dicari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta

turunannya terhadap waktu.

T adalah energi kinetik

2

212222

212

212

21 xM)cosxx2xxmxMmvT ''

( ...................................(2)

3. Jika sistem tersebut konservatif (tidak bergantung lintasan), dicari energi

potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak

konservatif ( bergantung pada lintasan), dicari koordinat umum Qk.

Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal,

sehingga kita dapat tuliskan :

V=mgx'sin + tetapan ............................................................................(3)

4. Persamaan deferensial geraknya

2 '2 ' 2 '1 12 2

L m(x x 2xx cos ) Mx mgx sin tetapan .................................... (4)

Dimana, M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan

m adalah massa partikel.

Persamaan geraknya

x

L

x

L

dt

d

'' x

L

x

L

dt

d

…...........................................................(5)

sehingga

0xM)cosxxm '( ; mgsin)cosxxm '( …..................................(6)

Percepatan x dan 'x adalah :

2cosm

Mm

cossingx ;

Mm

cosm1

sing'x

2

…..................................... (7)

2. MEKANIKA HAMILTONIAN

Seperti halnya persamaan lagrange pasti ada pertanyaan-pertanyaan

yang timbul, apa kegunaan hamiltonian apa itu hamiltonian, untuk itu dibahas

dibawah ini.

Untuk pembuka, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat

diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan

pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan

karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan

menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni

persamaan umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.

Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem

dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik

(konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem

dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara

energi kinetik dengan energi potensial".

Contoh : untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah

pengaruh medan sentral.

Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat

polar sebagai berikut:

)rr(2

mT 222 dan V=V(r) ..................... (8)

Jadi :

rmr

Tp r

m

pr r .............................................. (9)

2mrT

p 2mr

p ........................................ (10)

Akibatnya :

)r(V)r

pp(

m2

1H

2

2

2

r .............................. (11)

Persamaan Hamiltoniannya:

rp

H

r

,

rpr

H

,

p

H,

p

H ....................................... (12)

Selanjutnya:

rm

p r ................................................... (13)

r3

2

pmr

p

r

)r(V

.......................................................... (14)

2mr

p ............................................................ (15)

0p ............................................................ (16)

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

2p kons tan mr mh .......................................... (17)

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

r

)r(V

r

mhprm

3

2

r

....................................(18)

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamilton

http://ach-jubaidi.blogspot.com/2011/12/persamaan-hamilton.html