Medan Potensial Sebuah Sistem Muatan : Sistem Konservatif Medan

Medan potensial yang dihasilkan oleh konfigurasi sejumlah muatan atau sebuah system

muatan merupakan medan yang tidak bergantung pada jalur perpindahan muatan uji. Medan

potensial dari sebuah muatan titik tunggal Q1 yang berkedudukan di lokasi r1 hanya akan

bergantung pada jarak |r1−r2| yaitu jarak dari muatan Q1 ke titik r tempat di mana kita hendak

menentukan nilai potensial. Untuk referensi nol yang ditetapkan berada di titik takhingga,

sehingga didapatkan

V (r )= Q4 π ϵ 0|r−r1|

Potensial yang dihasilkan oleh dua buah muatan titik Q1 di r1 dan Q2 di r2 adalah sebuah

fungsi yang hanya bergantung pada |r−r1| dan |r−r2| yang secara berurutan adalah jarak dari Q1

ke titik medan r, dan jarak dari Q2 ke r.

V (r )= Q4 π ϵ 0|r−r1| + V (r )= Q

4 π ϵ 0|r−r2|

Potensial di titik r yang disebabkan oleh sejumlah n muatan titik adalah

V (r )=∑m=1

n Qm4π ϵ0|r−rm|

… (17)

Jika tiap muatan titik kini dijadikan sebuah elemen parsial dari suatu distribusi muatan

volume yang kontinu, dengan kata lain ρ v∆ v maka

V (r )=ρv (r 1)∆v1

4 π ϵ 0|r−r1| +

ρv (r2)∆v2

4 π ϵ 0|r−r 2| + …. +

ρv (rn)∆vn4 π ϵ 0|r−r n|

Jika jumlah parsial ini berjumlah tak berhingga banyaknya maka persamaan di atas akan

menjadi sebuah persamaan integral

V (r )=∫ ρv (r' )d v '

4 π ϵ 0|r−r '| …. (18)

Jika distribusi muatan sumber mengambil bentuk sebuah garis (kurva) atau sebuah

bidang permukaan, maka integral di dalam persamaan 18 berubah menjadi integral garis atau

integral permukaan,

V (r )=∫ ρv (r')d L'

4 π ϵ 0|r−r '| … (19)

V (r )=∫ ρs(r')d S'

4 π ϵ 0|r−r '|… (20)

Persamaan-persamaan integral untuk potensial ini dapat dibandingkan dengan persamaan

yang serupa untuk intensitas medan listrik

E (r )=∫ ρ v (r')d v '

4π ϵ0|r−r '|2

r−r '

|r−r '|

Untuk referensi potensial nol yang ditetapkan berada di titik tak berhingga, maka :

1. Potensial yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik tunggal adalah besarnya kerja yang

harus dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan uji satuan positif, dari titik tak

berhingga ke titik medan yang akan diukur potensialnya.

2. Medan potensial yang ditimbulkan oleh keberadaan beberapa muatan titik adalah jumlah

dari jumlah dari semua medan potensial yang ditimbulkan oleh muatan-muatan tersebut.

3. Potensial yang ditimbulkan oleh sejumlah muatan titik atau oleh distribusi muatan

kontinu apapun tidak bergantung pada lintasan perpindahan dari titik tak berhingga ke

titik medan.

Persamaan potensial mutlak (referensi nol berada di titik tak berhingga) adalah

V A=−∫∞

A

E .dL

Kerja yang dibutuhkan untuk menggerakkan muatan uji mengelilingi sembarang lintasan tertutup

di dalam medan adalah nol, atau

∮E .dL=0 … (21)

Setiap medan yang memenuhi hubungan yang digariskan dalam persamaan 21 yaitu di

mana integral lintasan tertutup untuk medan tersebut adalah nol disebut sebagai medan

konservatif. Sebuah medan non konservatif dapat memberikan hasil integral garis yang sama

dengan nol untuk lintasan-lintasan tertutup.