mec 1 vigas

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

5. ESFUERZOS INTERNOS EN VIGAS

5.1. Introducción

En este capítulo se estudiarán las fuerzas internas que existen al interior de un sólido

(más específicamente en vigas) y que son las que mantienen unidas las diferentes partes del

elemento.

Para lograr lo anterior es necesario recordar el Principio de Seccionamiento:

“Una estructura se encuentra en equilibrio si cada una de sus partes, obtenidas

mediante seccionamiento arbitrario, se encuentra también en equilibrio”.

5.2. Vigas en el plano

Una viga plana es un elemento estructural en el cual internamente actúan tres esfuerzos

distintos, un esfuerzo normal “N”, un esfuerzo de corte “Q” y un momento flector “M”. Estos

esfuerzos se muestran en las diferentes figuras.

Figura Nº1: Esfuerzos internos en una viga plana.

Curso de Mecánica I, Apuntes de Clase Profesor Ing. Jaime Campbell Barraza

5-1


Esfuerzo Normal (axial)

Esfuerzo de Corte (transversal)

Momento Flector (en el plano)

Si se considera una viga simplemente apoyada con algún tipo de carga como la de la

Figura Nº2.

Figura Nº2: Viga simplemente apoyada con carga cualquiera.


5-2


Se pueden calcular las reacciones en A y en B con los procedimientos descritos en el

Capítulo 3.

Ahora la pregunta es si es posible evaluar qué esfuerzos están actuando al interior de la

viga. Para esto es necesario seccionarla en el lugar de interés y verificar cuáles son los

esfuerzos existentes en ese lugar de modo que cada una de las dos partes seccionadas se

encuentren independientemente en equilibrio. Eligiendo una sección cualquiera ubicada a una

distancia “x” del apoyo A:

Figura Nº3: Mitad de viga a la izquierda del seccionamiento.

Figura Nº4: Mitad de viga a la derecha del seccionamiento.


5-3


Debido a este seccionamiento, ahora en la posición de corte se pueden observar los

esfuerzos internos en ese lugar de la viga. Como la carga es conocida y como las reacciones ya

se han definido, es posible determinar los valores de N, Q y M mediante las tres ecuaciones de

equilibrio en el plano (∑FN=0, ∑FQ=0 y ∑MO=0).

Si se extiende esta idea a cualquier punto de la viga ubicado a una distancia “x” de

algún origen determinado, se pueden definir las expresiones de N, Q y M en función de la

distancia “x” en donde se ubica la sección y por lo tanto obtener no sólo el valor de N, Q y M

en un determinado punto sino que las expresiones de N(x), Q(x) y M(x) para cualquier punto al

interior de la viga ubicado a la distancia “x” del origen.

Para tener un orden en la forma de determinar las funciones, se adopta la siguiente

convención positiva:

Para cortes por la derecha:

Para cortes por la izquierda:


5-4


Ejemplo 1

Determinar los esfuerzos internos de la viga dada en la figura.

Figura Nº5: Ejemplo 1.

Solución:

En esta viga son necesarios dos seccionamientos debido a que existen dos tramos con

diferente situación de esfuerzos, el primero entre el apoyo A y la carga “P” y el segundo entre

la carga “P” y el apoyo B. En ambos casos el equilibrio se puede verificar trabajando con la

parte izquierda o derecha del sistema. Como este es un primer análisis se realizarán los

cálculos para las dos mitades (izquierda y derecha) en las dos secciones.


5-5


Corte de la sección 1 por la derecha (x=0 en A)

0)(1 =xN

PxQ32)(1 =

PxxM32)(1 =

Corte de la sección 2 por la derecha (x=0 en A)

0)(2 =xN

PxQ31)(2 −=

PxPxM31

31)(2 −= l


5-6


Corte de la sección 1 por la izquierda (x=0 en B)

0)(1 =xN

PxQ32)(1 =

PxPxM32

32)(1 −= l

Corte de la sección 2 por la izquierda (x=0 en B)

0)(2 =xN

PxQ31)(2 −=

PxxM31)(2 =


5-7


Se puede observar que las ecuaciones no son exactamente iguales. Esto se debe a que

en ambos casos se ha cambiado el origen de coordenadas “x”, lo que hace que las ecuaciones

varíen, pero si se evalúa el esfuerzo en algún punto de la viga se podrá verificar que éstos son

iguales, independiente de la ecuación que se ocupe (la de equilibrio por la izquierda o la de la

derecha).

5.3. Diagramas de esfuerzo en vigas

Ahora que se han definido las ecuaciones de los diferentes esfuerzos internos existentes

en una viga plana mediante funciones asociadas a cada tramo, es posible representar estos

esfuerzos N(x), Q(x) y M(x) a través de diagramas dibujados a lo largo de la viga. Estos

diagramas se denominan diagramas de esfuerzo.

Para la viga del ejemplo anterior resultan de la siguiente forma, independiente de la

ecuación que se elija:

Figura Nº6: Diagramas de esfuerzo N, Q y M.


5-8


Algunas observaciones:

En el diagrama de Q(x) se puede ver que los “saltos” existentes son equivalentes a los

valores de las cargas puntuales aplicadas, en este caso la reacción en A, la carga puntual “P” y

la reacción en B.

La ubicación del momento flector máximo coincide con la ubicación del cruce por cero

de la gráfica de corte.

El grado del polinomio de la función de momento es uno más que el grado del

polinomio de corte.

Se puede comprobar mediante cualquier corte que se desee que se cumple el Principio

de Seccionamiento.

Al respecto, a continuación se muestra la comprobación del principio para el trozo de

viga entre ℓ/6 y ℓ/3. Para eso, se dibuja el trozo de viga con sus respectivos esfuerzos en los

extremos, los cuales han sido determinados a través de las ecuaciones de esfuerzo para esos

puntos.

Figura Nº7: Principio de Seccionamiento para un trozo de viga.


5-9


Ejemplo 2

Determinar los diagramas de esfuerzo de la viga dada en la figura.


Solución

Cálculo de reacciones.

La reacción horizontal en A vale cero y por lo tanto N(x)=0 en toda la viga.

∑ ⇒=0AM 42lll qBv = lqBv 8

1=⇒

∑ ⇒=0BM 43

2lll qAv = lqAv 8

3=⇒


5-10


Corte 1: Por la derecha, 2

0 l≤≤ x

qxqxQ −= l83)(1

21 2

183)( qxxqxM −= l

Corte 2: Por la izquierda, 2

0 l≤≤ x

lqxQ81)(2 −=

xqxM l81)(2 =


5-11


Diagramas de esfuerzo

Es fácil darse cuenta que se cumplen nuevamente todas las aseveraciones indicadas

anteriormente respecto de los “saltos” del diagrama de corte, la ubicación del momento flector

máximo, del grado de los polinomios y del Principio de Seccionamiento.

5.4. Relación entre cargas y esfuerzos

Como se ha visto en los ejemplos anteriores, existen algunas relaciones entre las cargas

y las funciones de esfuerzo.

Si se escoge arbitrariamente un trozo diferencial de viga, se puede observar:


5-12


Figura Nº9: Trozo diferencial de viga.

Realizando el equilibrio de este trozo diferencial de viga:

∑ ⇒=0NF 0)()()()( =+++− dxxnxdNxNxN

)()( xndx

xdN−=⇒

O ∫−=x

dxxnxN )()(

De lo que se deduce que si 0)( =xn , entonces .)( cttexN =

∑ ⇒=0QF 0)()()()( =−−− dxxqxdQxQxQ

)()( xqdx

xdQ −=⇒

O ∫−=x

dxxqxQ )()(

De lo que se deduce que “Q(x)” es siempre un grado mayor que la carga transversal

“q”. Además, si , entonces0)( =xq .)( cttexQ =


5-13


∑ ⇒=0OM 02

)()()()()( =⋅+−−+ dxdxxqdxxQxMxdMxM

)()( xQdx

xdM =⇒

O ∫=x

dxxQxM )()(

De lo que se deduce que “M(x)” es siempre un grado mayor que el esfuerzo de corte

“Q(x)”.

Un detalle:

Cuando el corte es por la derecha: )()( xQdx

xdM =⇒

Cuando el corte es por la izquierda: )()( xQdx

xdM −=⇒

La determinación de las ecuaciones y diagramas de N, Q y M también puede realizarse

para barras inclinadas y curvas.

En el caso de barras curvas de forma circunferencial de radio “R”, las ecuaciones son

referidas a las coordenadas “θ”, por lo tanto el elemento diferencial de largo es θdRds ⋅= , las

ecuaciones N(θ), Q(θ) y M(θ) y la relación entre Q(θ) y M(θ) es:

θθθ

ddM

RQ )(1)( =

Con el respectivo cambio de signo dependiendo del lado de corte.


5-14


Ejemplo 3

Para la estructura de la figura se pide determinar los diagramas de N, Q y M.


Solución

⇒=∑ 0AM 022 =−+⋅⋅ llll VH CCq (1)

⇒=∑ 0BM 021 =−−⋅⋅ llll VH CCq (2)

Resolviendo (1) y (2): lqCV 65=⇒

lqCH 31−=⇒

⇒=∑ 0HF 0=− HH CA lqAH 31−=⇒

⇒=∑ 0VF 02 =−+ lqCA VV lqAV 67=⇒


5-15


Los diagramas de esfuerzo son:


5-16


Ejemplo 4

Para la estructura de la figura se pide determinar los diagramas de N, Q y M.


Solución

Cálculo de reacciones:

⇒=←∑ 0BM 01·2·32· =−VA .0,3 TonAV =⇒

⇒=∑ 0VF 03·3 =−+ VV EA .0,6 TonEV =⇒

⇒=→∑ 0BM 05,0·1·33·2· =−+ VH ED .25,8 TonDH =−⇒

⇒=∑ 0HF 0=+ HH DA .25,8 TonAH −=⇒


5-17


Corte 1: 30 ≤≤ x

25,8)(1 =xN

xxQ 33)(1 −=

21 2

33)( xxxM −=

Corte 2: 20 ≤≤ x

0)(2 =xN

25,8)(2 =xQ

xxM 25,8)(2 −=


5-18


Corte 3: º900 ≤≤θ

θθ cos6)(3 −=N

θθ senQ 6)(3 −=

θθ cos1212)(3 −=M

Diagramas de esfuerzo:


5-19


5.5. Vigas en el espacio

A diferencia de las vigas en el plano, al hacer un corte en una viga espacial aparecen

seis esfuerzos diferentes, tres fuerzas (una axial y dos de corte) y tres momentos (un torsor y

dos flectores) y como el problema es espacial se dispone de seis ecuaciones de equilibrio.


5-20


Figura Nº12: Fuerzas en un corte de viga espacial.

Figura Nº13: Momentos en un corte de viga espacial.


5-21

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