ALJABAR

MATERI PECAHAN

Disusun Oleh :

Sahala Martua Ambarita (06081181419009)

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Sriwijaya

MATERI AJAR

I. PENDAHULUAN

A. PECAHAN

1.1 Pengertian Pecahan

Pecahan adalah satu bagian utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian

yang sama besar.

Sebuah Pecahan bisa berarti pembagian

apabila pembilangnya adalah bilangan yang terbagi (dividen) sedangkan

penyebutnya adalah bilangan pembagi.

Misalnya ab

maka a bisa disebut sebagai pembilang dan b bisa disebut

sebagai penyebut. (a ,b € N , danb≠ 0)

Sebuah Pecahan bisa berarti rasio

Ketika sebuah pecahan berarti rasio dari dua besaran maka besaran-

besaran tersebut harus mempunyai satuan yang sama.

Sebuah Pecahan bisa berarti satu bagian dari keseluruhan atau satuan

bagian dari suatu kelompok

1.2 Mengubah Pecahan Menjadi Pecahan yang Ekuivalen

Pecahan-pecahan yang ekuivalaen adalah pecahan-pecahan yang

mempunyai nilai-nilai yang sama meskipun mempunyai pembilang dan

penyebut yang berbeda.

Aturan yang dapat digunakan untuk memperoleh pecahan yang ekuivalen:

Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya

dikalikan dengan bilangan yang sama kecuali nol.

Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya

dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol.

1.3 Resiprok dan Pengunaannya

Resiprok dari sebuah bilangan adalah 1 dibagi dengan bilangan itu sendiri.

Maka, resiprok dari a adalah 1a

, dengan syarat a ≠ 0.

Aturan-aturan tentang Resiprok:

Pecahan-pecahan ab

dan ba

adalah resiprok satu sama lain; dalam hal ini

resiprok dari sebuah pecahan adalah kebalikan pecahan tersebut.

Hasil kali dari dua resiprok adalah 1

Untuk membagi dengan sebuah bilangan atau sebuah pecahan, kalikan

dengan resiproknya

Untuk menyelesaikan sebuah persamaan dengan sebuah variabel tak

diketahui yang mempunyai koefisien pecahan, kalikan kedua ruas dengan

pecahan resiprok.

1.4 Menyederhanakan Pecahan

1.41 Menyederhanakan Pecahan Menjadi Suku Terkecil

Sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi suku-suku terkecilnya

apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor yang sama

kecuali 1.

Aturan yang digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan menjadi

suku-suku terkecil:

Nilai sebuah pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya

dibagi dengan bilangan sama kecuali nol.

Jika dua ekspresi benar-benar tepat sama atau mempunyai nilai yang sama,

maka hasil baginya adalah 1.

Maka, 5 abc5 abc

=1 , a+bb+a

=1,8 (x¿¿2+x−5)

2(x¿¿2+ x−5)=4 ¿¿

Jika dua binomial saling negatif satu sama lain, maka hasil baginya adalah

-1.

Maka, x− yy−x

=−1. (5+x )(5−x )( x+5 )(x−5)

=−1 , (a−b )(7−c )(b−a )(c−7)

=1.

Hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan pecahan menjadi

suku terkecil:

1. Jangan mengurangkan bilangan yang sama dari pembilang dan

penyebut.

Maka, 56

tidak sama dengan 5−46−4

atau 12

. Demikian pula n+1n+2

tidak

sama dengan n+1n+2

atau 12

2. Jangan menambahkan bilangan yang sama baik ke pembilang maupun

penyebut.

Maka, 12

tidak sama dengan 1+32+3

atau 45

. Demikian pula, x−3y−3

tidak

sama dengan x−3y−3

atau xy

1.5 Pecahan Biasa dan Pecahan Campuran

Apabila nilai pembilang lebih kecil dari nilai penyebut suatu pecahan,

maka pecahan itu disebut pecahan biasa yang murni.

Bila terdapat sebuah bilangan cacah, yaitu 1 dan sebuah pecahan

murni. Pecahan seperti ini disebut pecahan campuran. Untuk suatu

bilangan pecahan dengan b ≠ 0.

1. Jika a<b, maka ab

disebut pecahan murni.

2. Jika a>b, makaab

disebut pecahan tidak murni.

3. Jika mcd

dengan m bilangan cacah dan cd

pecahan biasa, maka

disebut pecahan campuran.

(pecahan murni dan pecahan tidak murni merupakan pecahan biasa

atau pecahan sederhana).

1.6 Mengubah Bilangan Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa

Kita tentu sudah mengenal bilangan pecahan murni, yaitu bilangan

pecahan yang pembilanganya kurang dari penyebutnya. Sebaliknya

pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut disebut bilangan pecahan

tidak murni atau bisa juga disebut bilangan pecahan campuran, yaitu

pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan biasa

(murni atau pun tidak murni). Pecahan campuran dapat diubah menjadi

bentuk pecahan biasa dan juga sebaliknya.

Catatan: Mengubah bentuk pecahan tidak akan mengubah bentuk

penyebutnya.

Contoh: Tulislah bilangan pecahan campuran 325

menjadi bilangan

pecahan biasa.

Solusi : 325

= 3+25

= 155

+ 25

= 175

1.7 Membandingkan Dua Pecahan

Jika kita mempunyai pecahan yang tidak senilai maka keduanya dapat

dibandingkan dengan menggunakan notasi lebih dari (¿) atau kurang dari

(¿) .

1.71 Membandingkan Pecahan Senama

Membandingkan pecahan senama dapat dilakukan dengan

membandingkan dua pecahan yang penyebutnya sama(pecahan senama)

bandingkan pembilangya.

Pada pecahan senama : ac

dan bc

dengan c ≠ 0 akan selalu berlaku:

a.ac

< bc

, jika a<b

b.ac> b

c, jika a>b

Contoh :

1. Bandingkanlah

a.35

dan45

b.21112

dan17112

Solusi

a. 35< 4

5 , karena 3<4 (syarat membandingkan adalah peyebutnya

telah sama)

b.21112

< 17112

, karena 17>21 (syarat membandingkan adalah

peyebutnya telah sama)

1.72 Membandingkan pecahan tak senama

Untuk membandingkan dua pecahan tak senama, ubahlah pecahan itu

kepecahan senama dengan proses KPK penyebut lalu bandingkan

pecahan itu dengan melihat pembilangnya.

Contoh:

1. Bandingkanlah

a.29

dan 27

Solusi

a. Penyebut dari pecahan 29

dan 27

adalah 9 dan 7, sedangkan

pembilang dari kedua pecahan itu sama yaitu 2. KPK penyebut

dari pecahan 29

dan 27

adalah 9 ×7=63

29

¿ 2× 79 ×7

¿ 1463

27

¿ 2× 97 ×9

¿ 1863

Jadi, 1463

<1863

, karena 14<18

1.8 Pecahan Desimal

Pecahan desimal adalah pecahan yang disajikan dalam bentuk koma.

Untuk mengubah pecahan sederhana ke dalam bentuk pecahan

desimal, caranya adalah dengan mengubah penyebut kedalam nilai 10

atau 100 atau 1.000 atau10.000, dst atau dengan langsung membagi

pecahannya.

Contoh:

a.12=1 ×5

2 ×5=

510

= 0,5

b.3

125=

3× 8125× 8

=24

1000= 0,024

1.9 Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen

Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan

dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai

dengan penyebut 100. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke

bentuk pecahan biasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus kemudian

sederhanakanlah.

Contoh :

Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalam bentuk persen:

a.78

b. 32%

Solusi: a. 7

8 =7 ×12,5

8 ×12,5=87,5

100= 87,%

b. 32% = 32100

= 32÷ 4100÷ 4

= 825

1.10 Operasi Pada Pecahan

A. Menjumlahkan Pecahan

Operasi penjumlahan pada pecahan dapat dilakukan asalkan

penyebut dari pecahan yang akan dijumlahkan bernilai sama.

Rumus: ap

+bp− c

p=a+b−c

p

Penjumlahan Pecahan-Pecahan senam

Contoh:

a.2 a15

+7a15

−¿ 4 a15

Solusi

= 2 a+7 a−4 a

15

= 5 a15

= a3

Penjumlahan pecahan tak senama

Contoh:

a.10 x

2 x−6− 9 x+3

2 x−6

Solusi

= 10 x− (9 x+3 )

2 x−6

= x−3

2(x−3)

= 12

B. Mengurangka Pecahan

Pengurangan pecahan dapat dilakukan apabila pecahan-pecahan itu

telah senama (penyebutnya sama).

Pengurangan pecahan-pecahan senama.

Contoh:

a.5 a3

−2a−93

Solusi

= 5 a−(2 a−9 )

3

= 3 a+9

3

= 3(a+3)

3

= a+3

Pengurangan pecahan tak senama

Contoh:

a.a+43 a

−2−4 a6 a

Solusi

KPK¿6 a

= (a+4)

3a.22−2−4 a

6 a

= 2 a+8

6 a−2−4a

6a

=6 a+6

6 a

=a+1

a

C. Mengalihkan Pecahan

Hasil kali dua pecahan sama dengan suatu pecahan, yang

pembilangnnya merupakan hasil kali pembilang_pembilang asli

dan yang penyebutnya merupakan hasil kali penyebut pecahan asli.

ab

. cd

= acbd

Perkalian antar pecahan

Contoh

a.a4

. 92

.cd

.7

a+c

solusi

=a (9 ) (c )(7)

4 (2 ) (d )(a+c )

= 63 ac

8 d ( a+c )

b.a4

.3r

.r+5a−2

Solusi

= a (3 )(r+5)4 (r )(a−2)

= 3 a (r+5)4 r (a−2)

D. Membagi Pecahan

Hasil bagi dua pecahan adalah suatu pecahan yang pembilangnnya

dibentuk hasil bagi pembilang-pembilang asli dan yang penyebutnya

dibentuk oleh hasil bagi penyebut-penyebut asli. ab

:cd

= ab

. dc

= adbc

Contoh:

a. 5 y7

.2 xy

÷x5

42

=5 y7

.2 xy

.42

x5.

= 60

x4.

1.11 Memangkatkan Pecahan

Suatu bilangan pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat n,

hasilnya sama dengan perkalian berulang tersebut sebanyak n kali.

Rumus:

( aa)

n

=an

bn

( ab )

m

X ( ab )

n

=( ab )

m+n

Dengan a,m,n adalah bilangan real, b ≠ 0

Contoh:

a. ( 23)

3

=23

× 23

×23= 8

27

LATIHAN SOAL :

1. 3

2 y+4− 5

3 y+6

Jawaban:

=−1

6( y+2)

2.a+b

5×

1511a+11b

Jawaban: 311

3.(x+ y )2

bx+by×

b2

3x+3 y

Jawaban:b3

4. (a2

x¿÷( x

a−a

x)

Jawaban: a3

x2−a2

5.(2 x−1)2

8 x+4+

(2 x−3)4 (2 x+1)

Jawaban: (x−1)

2

6. Nina memiliki gaji Rp 24.000.000,-/ bulan , 13

dari gaji disumbangkan, 14

digunakan untuk transportasi, 16

ditabung dan sisanya untuk kebutuhan

sehari-hari. Berapakah jumlah uang yang dipakai untuk transportasi,

disumbangkan, dan kebutuhan sehari-hari (persenkan).

Jawaban: 25%

7. 1

( x−3 )(x−4)− 2

(x−2 ) ( x−4 )+ 1

( x−2 )(x−3)

Jawaban:

=2

( x−2 ) (x−3 )(x−4)

8. x

x−1−1−2 x

x2−1

Jawaban:

=1

a2+b2

9.2 x2+5 y−33 x2−5 y−2

×3 x2−8 x−32 y2+3 x−2

Jawaban:

=x2−9x2−4

10. (a

a+b−

( a−2 )a

) ÷ ¿+ (a−2 )

a¿

Jawaban:

=2

a2−2

11. (1−x

(1−x )2×

2 x

1+x3¿÷

x1−x

Jawaban:

=2

1+ x3

12.2 x+1x+1

+ 2 x+9x+5

−2x+3x+2

−2 x+7x+4

Jawaban:

=4 x4+46 x3+180 x2+272 x+122

x4+12 x3+49 x2+78 x+40

13. Ubahlah 12 a2

36 a3 menjadi pecahan yang ekuivalen dengan cara membagi

sukunya dengan 12 a2.

Jawaban: 1

3 a

14. Bagilah: a2−1008

÷2 a+20

20

Jawaban: −2 x−1

3 x atau

1−2 x3 x

15. Gabungkan: 3 x

x−2+ 5 x

x+2

Jawaban: 8 x2−4 x

( x−2 )(x+2)

DAFTAR PUSTAKA

Sukino dan Wilson Simangunsong. 2007. Matematika untuk SMP kelas VII.

Jakarta :Erlangga

Rich Barnett dan Philip A.Schmidt. 2004. Aljabar Elementer edisi ketiga.

Jakarta:Erlangga

Wijdenes. P. 1956. Aldjabar Rendah djilid 1. Jakarta: Pradnja Paramita