DERET FOURIER

Oleh :

Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460)

2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465)

3. Feri Febriansyha (2007.121.458)

Kelas : 6. L

Mata Kuliah : Matematika Lanjutan

Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2010

1

DERET FOURIER

A. Fungsi Periodik

Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka

f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:

f(x) = ∑∞

=

++1

0 )sincos(2 n

nn L

xnb

L

xna

a ππ

dimana an = ∫−

L

L

dxL

xnxf

L

πsin)(

1

n = 0, 1, 2, . . . . .

bn = dxL

xnxf

L

L

L∫

−

πsin)(

1

bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis

dalam bentuk :

an = dxL

xnxf

L

Lc

c∫

+2

cos)(1 π

n = 0, 1, 2, . . . . .

bn = dxL

xnxf

L

Lc

c∫

+2

sin)(1 π

B. Syarat Dirichlet

Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L)

a. Bernilai tunggal

b. Terbatas (bounded)

c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L

d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu

e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga

2

Maka deret Fourier konvergen ke :

1. f(x) di x dimana f(x) continu

2. { })0()0(2

1 −++ xfxf untuk x dimana f(x) tidak kontinu.

C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier

1. ∫ u dv = u v - ∫ v du atau

∫ =uv u v1 – u’ v2 + u’’ v3 - . . . . . dimana

u’ = turunan pertama

v1 = ∫ v dx dan seterusnya

Contoh :

1. ∫3x sin 2x dx = xx

xx

xx

x2sin

16

62cos

8

62sin

4

32cos

2

23

−

+

−−−

3x2 x2cos2

1−

6x - x2sin4

1

6 x2cos8

1

0 x2sin16

1

Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan,

kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan

tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.

Perderetkan f(x) =

3

0

20

02

<<<<−

x

x menurut deret Fourier:

3

(periode 4, L = 2)

Penyelesian :

a0 = ∫−

0

2

02

1 dx + ∫

2

0

32

1 dx = 03

2

1 2

0=x

a0 = ∫∫ +−

2

0

0

2 2cos3

2

1

2cos0

2

1dx

xndx

xn ππ

= ,02

sin2.3

212

0

=

xn

n

ππ

n = 1, 2, . . . . . (sin n 0=π )

bn = dxrn

dxrn

2sin3

2

1

2sin0

2

1 2

0

0

2

ππ∫∫ +

−

= ),cos1(3

2cos

2.321

2

0

ππ

ππ

nn

xn

n−=

− n = 1, 2, . . . . .

bn = 0 untuk n genap

jadi: f (x) = ...)2

7sin

7

1

2

5sin

5

1

2

3sin

3

1

2(sin

6

2

3 +++++ xxxx πππππ

3 Y

2 X -2

f (x) dapat ditulis sebagai berikut:

f (x) = ∑∞

=

−−

+1 2

)12(sin

)12(

16

2

3

n

xn

n

ππ

4

Perderetan f(x) =

2

1

πππ2

0

<<<<

x

x menurut deret Fourier.

(periode 2π, L = π)

Penyelesaian:

a0 = ] ]{ }ππ

ππ

π

ππ

ππππ2

0

2

0

2

0

21

21

11

)(1

xxdxdxdxxf +=+= ∫∫∫

= { } 321)24()(1 =+=−+ ππππ

an = ∫ ∫∫ +=π π

π

π

ππ

πππ

ππ 0

22

0

cos.21

cos.11

)(1

dxxn

dxxn

dxxf

= nxdxnxdx cos21

cos1 2

0∫∫ +π

π

π

ππ

= 0sin2

sin1

2

20

=

+

ππ

ππnx

nnx

n

bn = ∫ ∫ ∫+=π π π

π ππ

πππ

ππ

2

0 0

2

sin.21

sin.11

)(1

dxxn

dxxn

dxxf

= ∫ ∫+π

π 0

2π

π

dxnx 2.sin π

1dxnx sin .1

1

= π

π

π

ππ

2

0

cos2

cos1

−+

− nxn

nxn

2 Y

1

π 2π

X

5

= π

πππ

ππ n

nnn

nn

2cos

21cos

1 −++− ; (cos 0 = cos 2π)

= ),1(cos1 −ππ

nn

n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap

bn = π)12(

2

−n

D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x)

Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0

a0 = ∫∫ =−

ππ

π ππ 0

).(2

)(1

dxxfdxxf

an = dxnx cos).(2

dxnx cos)(1

xfxfππ

π

π

=∫−

Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).

Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0

bn = dxnx sin ).(2

dx nx sin)(1

0

xfxf ∫∫ =−

ππ

π ππ

Contoh Soal :

1. Perderetkan f(x) = x2, -π ≤ x ≤ π (periode 2π)

Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0

a0 = ∫ ∫−

==π

π

ππ

πππ 00

32

3

2.

2)(

1xdxxdxxf

= )(3

2 3ππ

= 3

2 2π

6

an = ∫∫ =−

ππ

π ππ

πππ

π 0

2 cos.2

cos)(1

dxxn

xdxxn

xf

= 0

)sin2

cos2

sin(2

32

2 ππ

nxn

nxn

xnx

n

x −+

= )0cos2

0(2

2++

n

nπππ

= n

n)1(

42

−

2. Perderetkan f(x) = x, 0 < x < 2

Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus

Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn)

bn = ∫L

dxL

xnxf

L 0

sin)(2 π

= ]∫−−−=

2

0

2022 2

sin4

2cos

2

2sin

2

2 xn

n

xn

n

xdx

xnx

ππ

ππ

π

= ππ

nn

cos4−

x2 cos nx

2x -n

1sin nx

2 2

1

n

− cos nx

0 sin13n

− nx

Jadi f(x) = x2= ∑∞

=

−+1

2

2

cos)1(

43 n

n

nxn

π

Atau = ....4

4cos

3

3cos

2

2cos

1

cos(4

3 2222

3

+−+−− xxxxπ

x2 sin2

xnπ

1 2

cos2 xn

n

ππ

−

0 2

sin4

22

xn

n

ππ

−

Jadi f(x) = ∑∞

=

−1 2

sincos4

n

xnn

n

πππ

Atau = −−+−2

4sin

4

1

2

3sin

3

1

2

2sin

2

1

2(sin

4

4 xxxx ππππ

7

E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan

Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya

memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus,

fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L).

Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga

cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L)

Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½

jangkaun yang divari hanya a0 dan an.

Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus)

bn = ∫L

dxL

xnxf

L 0

,sin)(2 π

a0 dan an = 0

untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus)

a0 = ∫L

dxxfL 0

)(2

an = ∫L

dxL

xnxf

L 0

,cos)(2 π

bn = 0

Contoh Soal

Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus.

Penyelesaian :

bn = ∫L

dxL

xnxf

L 0

sin)(2 π

= )dxnx sin en

1nxsin e

n

1nx cose

n

1(

n

2dxnx sin e

2 π

0

x

2

2

0

x

2

xx∫∫ −+−=

π

= π

π0

2

22

2

sin1

cos1

1

2

+−

+nxe

nnxe

nn

n x

8

=

−+

ππ

π nen

ncos1(

1

22

2. Perderetkan f(x) =

−1

1

axa

ax

<<

<<

2

20

dalam cosinus.

( periode 2a)

Penyelesaian :

a0 = [ ] [ ] 01122

).1(2

.12

2/2/

0

2/

2/

0

=−=−+=−+ ∫∫aa

aa

a

a

xa

xa

dxa

dxa

= [ ] [ ] 01122

).1(2

.12

2/

2/2/

0

2/

0

=−=−+=−+ ∫∫a

a

aa

aa

xa

xa

dxa

dxa

an = ∫∫ −+a

a

a

dxa

xn

adx

a

xn

a 2/

2/

0

cos)1(2

cos.12 ππ

ex sin nx

ex n

nxcos−

ex 2

sin

n

nx−

f(x) = ex = ....)3sin13

132sin

12

12sin

11

1(

2222

−+

+++

+++

+x

ex

ex

e ππ ππ

Y

1

-1

-a a/2 a X

9

= a

a

a

a

xn

na

xn

n 2/

2/

0

sin2

sin2

−

ππ

ππ

= ,2

sin4

2sin

2

2sin

2 ππ

ππ

ππ

n

n

n

n

n

n=+ untk n genap a an = 0

F. Harmonic Analisis

Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan

digunakan suatu formula yaitu :

a0 = ∫ ∫−=

π π

ππ

2

0

2

0

.)(02

12)(

1dxxfdxxf

a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π).

an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π).

b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).

Contoh:

Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang

diberikan sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 9 18 24 28 26 20

f(x) = xm

m

m

n

ππ

π)12(

cos1)2(

2

)12(sin

42

1

−−

−

∑∞

=

atau = ...)5

cos5

13cos

3

1(cos

4 −+−a

x

a

x

a

x ππππ

10

Penyelesaian :

x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3

0 0 0 1 9 0 9

1 / 3 0,687 0,5 18 15,606 9

2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12

3 3 / 3 0 -1 28 0 -28

4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13

5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340 10

125 -3,468 -25

a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66

a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33

b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156

Identitas Parsevel

Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L)

maka:

{ } ∑∑ ++=−

)(2

)(1 22

202

nn

L

L

baa

dxxfL

Contoh:

Buktikan: ....4

1

3

1

2

1

1

1

90 4444

4

++++=π

Jadi f(x) = ...3

sin...3

cos2 110 ++++ x

bx

aa ππ

= 20,83 – 8,33 cos ....3

sin156,13

+−+ xx ππ

11

Bila diberikan :

x2 = ∑∞

=

−=−+1

2

2

2

,)((cos)1(

43 n

n

xxfnxn

ππ≤ x ≤ π)

∫−

π

ππdxxf 2))((

1 = 5

0

5

0

4

5

2

5

122 ππππ

πο

=

=∫ xdxx

20a

= 3

2π atau

3

2 2

0

πa

an = n

n)1(

42

−

4

5

2π = ∑∞

+1

4

22 1

16)2

2(

2

1

n

π

5

42π = ∑

∞

+

14

22 16

2

1

3

2

n

π

4

45

)59(2 π− = 16 ∑

∞

14

1

n

90

4π = .......

4

1

3

1

2

1

1

14444

++++

Diberikan deret : x2 = ∑∞

=

−+1

2

2

,cos)1(

43 n

n

nxn

π -π ≤ x ≤ π

Hitung : .....4

1

3

1

2

1

1

12222

+−+−

Untuk x = 0 didapat:

0 = ∑∞

=

−+1

2

2

0cos)1(

43 n

n

n

π

0 = ...)4

1

3

1

2

1

1

1(4

3 2222

2

+−+−−π

=12

2π ...)

4

1

3

1

2

1

1

1(

2222+−+−

12

LEMBAR KERJA

1. Perderetan f(x) =

x

2

26

02

≤≤≤≤−

x

x menurut deret fourier

Dimana periode 4, L = 2

2. Perderetan f(x) = x3, πππ <<− periode (2π )

Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil!

3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x < π , ke dalam deret sinus!