matematika - insan cerdas 12.pdf · 2015-08-13 · modul matematika sma kelas 12 les privat insan...

MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 1 -

INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL

MATEMATIKA

1 – Integral

INTEGRAL TAK TENTU

Sifat – sifat Integral

INTEGRAL TERTENTU

F(x) = adalah anti turunan f (x)

a = batas bawah

b = batas atas

Sifat – sifat Integral Tertentu

k = konstanta

U = fungsi f (x)

V = fungsi g (x)

LUAS BIDANG DATAR

♣ Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

1. cxdx

2. cxfxfd )()(

3. caxdxa

4.

cxn

dxx nn 1

1

1 dengan n 1

5.

cxn

adxxa nn 1

1 dengan n - 1

6. cna

baxdxbax

nn

)1(

)()(

1

dengan a 0

1. dxxfkdxxfk )()(

2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3. dxxgkdxxfkdxxgxfk )()()()(

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

1.

b

a

abkdxk )( 5.

b

a

c

b

c

a

dxUdxUdxU

2. 0a

a

dxU cba

3.

b

a

b

a

dxUkdxUk 6.

b

a

b

a

b

a

dxVdxUdxVU

4.

a

b

b

a

dxUdxU

Y Y

X

X

O

O D1

D2

)(xfy

)(xfy

x = a x = b

x = a x = b

1. b

a

dxxfDL )()( 1

2. b

a

a

b

b

a

dxxfdxxfdxxfDL )()()()( 2



♣ Luas Antara Dua Kurva

VOLUME BENDA PUTAR

Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y

Volum Benda Putar Suatu Daerah Antara

Dua Kurva

Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y

PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI

INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

INTEGRAL PARSIAL

Hal yang perlu diperhatikan agar dvu dapat

diselesaikan adalah memilih bagian dv sehingga v dengan

mudah dapat diperoleh melalui pengintegralan dvv .

Y

X O x = a x = b

)(xfy

)(xgy

b

a

dxxgxfL )()(

Y Y

X

X

O

O

a b y = c

y = d

)(xfy )(ygx

dyygV

d

c

2

)( b

a

dxxfV2

)(

Y Y

X

X

O

O

a b

)(1 xfy

)(2 xgy

)(1 yfx

)(2 yfx

cy

dy

dxxgxfVb

a

)()( 22 dyygyfVd

c

)()( 22

1.

Cun

adxua nn 1

1; a & n

bilangan rasional n 1

2. Cuduu sincos

3. Cuduu cossin

4. Cuduu tansec 2

5. Cuanduuec cotcos 2

6. Cuduuu secsectan

7. Cuecduuecuan coscoscot

Fungsi

Integral

Substitusi

Dgn Hasil Substitusi

22 xa x = a sin cossin1 2 aa

22 xa x = a tan sectan1 2 ana

22 ax x = a sec tan1sec 2 aa

duvvudvu .



INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Latihan 1

1. Selesaikan tiap integral berikut ini!

a. dxx45 c. dxx4 3

b. dxx 3

1 d. dx

x 3 2

1

2. Tentukan tiap integral berikut ini!

a. dxxx )438( 23

b. dxx 2)1(

c. dxxxx )10412( 4711

d. dxxx )3()1(

3. Selesaikan tiap integral berikut ini!

a.

dxx

xx 2

14

b. dxxx 2)1(

c.

dx

xx

21

d. dxx

x

2

5 1

4. Selesaikan integral – integral berikut ini!

a. dxxx )12( c. dxx

xx

)1(

b. d. dxx

x

21

5. Misalkan 32)(' xxF dan F(1)=14, tentukan

fungsi F (x)!

6. Diketahui 443)(' 2 xxxF . Untuk x = 2 fungsi

F (x) bernilai 13. Tentukan fungsi F (x)!

7. Misalkan turunan kedua dari fungsi F (x) adalah

212)(" xxF . Jika F’(2)=20 dan F(1) = 4, carilah

fungsi F (x)!

8. Diketahui xxF 6)(" merupakan turunan kedua dari

F(x). Untuk x = 1 fungsi F (x) bernilai – 2,

sedangkan untuk x = - 1 fungsi F (x) bernilai – 6.

Tentukan fungsi F (x)!

9. Gradien garis singgung di setiap titik P (x, y) yang

terletak pada sebuah kurva adalah xdx

dy2 . Jika

kurva itu melalui titik (-1, 2), tentukan persamaannya.

10. Turunan kedua dari suatu persamaan kurva

ditentukan oleh 86" xy . Kurva tersebut

melalui titik (1, 6) dan gradien garis singgungnya

sama dengan 7. Tentukan persamaan kurva tersebut.

11. Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada

saat t detik laju benda dinyatakan dengan persamaan

tv 10 . Pada saat t = 2 detik posisi benda

berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukan

posisi benda s sebagai fungsi waktu t!

12. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar

dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan

bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det2.

Jika saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa

jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti.

13. Kurva 1)( 2 xxfy didefinisikan dalam

interval [-1, 2]. Interval ini dibagi menjadi 6 sub-

interval, masing – masing dengan panjang yang sama.

Titik xi merupakan titik tengah dari sub-interval ke i.

Hitunglah jumlah Riemannnya!

14. Tunjukkan luas daerah tertutup yang dinyatakan oleh

tiap rumus berikut:

a. 3

0

dxx b.

2

0

)2( dxx

c. 2

1

2 dxx d.

2

1

2)1( dxx

dxx

x

12

1. Cxdxx cossin

2. Cxdxx sincos

3. Cxdxx tansec 2

4. Cxdxxec cotcos 2

5. Cxdxxx sectansec

6. Cecxdxxecx coscotcos

7. Cbaxdxbaxa

)cos()sin( 1

8. Cbaxdxbaxa

)sin()cos( 1

9. Cbaxdxbaxa

)tan()(sec 12

10. Cbaxdxbaxeca

)cot()(cos 12

11. Cbaxdxbaxbaxa

)sec()sec()tan( 1

12. Cbaxecdxbaxecbaxa

)(cos)(cos)cot(1



15. Tuliskan rumus integral untuk menyatakan luas

daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:

16. Dengan menggunakan hubungan

n

i

iin

b

a

xxfdxxf1

)(lim)( , hitunglah

integral tertentu 3

0

dxx .

17. Hitunglah tiap integral tertentu berikut:

a. 3

0

dxx b. 3

1

4 dx

c. 5

0

dxx d.

2

0

)1( dxx

e.

3

2

)2( dxx

18. Hitunglah nilai dari tiap integral tertentu berikut:

a. 1

0

4 dxx b.

3

1

2)1( dxx

c. dxx

3

1

2

1 d.

4

1

dxx

17. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:

a.

1

1

2 )1( dxx b.

3

1

2 )1( dxx

c.

1

3

2 )1( dxx


a. 2

0

34 dxx b. 3

0

34 dxx


a. 4

0

23 dxx b. 1

0

23 dxx

c. 4

1

23 dxx

22. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

a. kurva xxfy 2)( , sumbu X, dan garis –

garis x = 1 dan x = 2.

b. kurva xxxfy 63)( 2 , sumbu X, dan

garis – garis x = 0 dan x = 2.

23. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

a. kurva 42)( xxfy , sumbu X, dan garis –

garis x = 0 dan x = 2.

b. kurva xxxfy 2)( 2 , dan sumbu X.

24. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva

xxxfy 3)( dan sumbu X.

25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x

dan kurva y = 3x dalam interval 21 x !

26. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x,

kurva y = 3x, dan garis x = 2.

27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

parabola 22 xy dan garis y = x.

28. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

parabola xy 42 dan garis 434 yx .

29. Daerah yang dibatasi oleh garis 2 xy , sumbu

X, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu

X. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.

30. Daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , sumbu

X, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X satu

kali putaran. Tentukan volum benda yang terjadi.

31. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran 422 yx di

kuadran pertama, sumbu X, sumbu Y, diputar

mengelilingi sumbu X satu kali putaran. Hitunglah

volum benda putar yang terjadi.

32. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, sumbu Y, y =

1, dan y = 2, diputar 360o mengelilingi sumbu Y.

Hitunglah volum benda putar yang terjadi.

33. Hitunglah volum benda putar yang diperoleh jika

daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , y = 1,

dan y = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y.

34. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika

daerah yang dibatasi oleh garis – garis y = x, y = 2x,

x = 1, dan x = 2, diputar sejauh 360o mengelilingi

sumbu X.

35. Tentukan volum benda putar yang diperoleh jika

daerah yang dibatasi oleh kurva parabola 12 xy

dan 3 xy , diputar mengelilingi sumbu X.

-2 O 1 2 X

Y

2

y = x + 2

-1 O 1 2 X

-1

Y 12 xy



Latihan 2

1. Jika dxxxxf )12()( 2 dan f(1) = 0,

maka f(x) =………..

A. 3

123

3

1 xxx

B. 3

1

2

12

2

13

3

1 xxx

C. 3

1

2

12

2

13

3

1 xxx

D. 3

123

3

1 xxx

E. 3123

31 22 xxx

2. Hasil dari

dx

xx

21

adalah…….

A. Cx

xxx

2

183

B. Cx

xxx

2

182

C. Cx

xx

4

243

D. Cx

xx

4

242

E. Cx

xxx

4

242

3. Diketahui dttxf

x

c

2)( . Jika f(2) = - 19/3, maka

kurva itu memotong sumbu x pada……

A. (0, 0) D. (3, 0)

B. (1, 0) E. (19/3, 0)

C. (2, 0)

4. Sebuah benda bergerak dengan laju awal 4 m/det dan

perlambatan 2 m/det. Benda tersebut berhenti……..

A. 1 meter dari titik awal

B. 2 meter dari titik awal

C. 3 meter dari titik awal

D. 4 meter dari titik awal

E. 5 meter dari titik awal

5. Nilai dari

2

12

2 1dt

tt adalah………

A. 20

537 D.

20

540

B. 20

538 E.

20

541

C. 20

539

6. Jika )3

( 3

3

1

xxy , maka dx

dx

dy

2

1

2)(4 ..

A. 13/6 D. 16/3

B. 14/6 E. 17/6

C. 15/6

7. dx

x 4)32(

1 adalah………

A. Cx 3)32(6

1 D. C

x

3)32(

1

B. Cx 3)32(6

1 E. Cx 3)33(

C. Cx 3)32(

8. Turunan kedua fungsi f(x) adalah f”(x) = 6x + 8.

Garis singgung kurva fungsi f(x) di titik (1, 6) adalah

7. Fungsi f(x) tersebut adalah………

A. y = x3 + 4x

2 – 4x + 4

B. y = x3 + 4x

2 – 4x + 2

C. y = x3 + 4x

2 – 4x + 5

D. y = x3 + 4x

2 – 4x + 3

E. y = x3 + 4x

2 – 4x + 1

9. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 2x + 1,

sumbu X, dan x = 2 jika dinyatakan dalam notasi

integral adalah…….

A.

2

0

2 )12( dxxx D.

2

2

2 )12( dxxx

B.

2

1

2 )12( dxxx E.

2

3

2 )12( dxxx

C.

2

1

2 )12( dxxx

10. Luas daerah yang dibatasi y = x3 – x dalam interval 0

x 1 dengan y = 0 adalah…….satuan luas

A. 1 D. 1/4

B. ½ E. 1/5

C. 1/3

11. Luas daerah yang dibatasi y2 = 4x dengan x = ¼

adalah…….satuan

A. 1/6 D. 1/3

B. 1/5 E. ½

C. ¼

12. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis

x = -2, garis x = 2 dan sumbu x adalah…….

A. 4 satuan luas D. 10 satuan luas

B. 6 satuan luas E. 12 satuan luas

C. 8 satuan luas

13. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola

y = 3x2 + 4x + 1, sumbu x dan garis x = 2 sama

dengan……….

A. 18 D. 9274

B. 9 E. 18274

C. 18272



14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2,

sumbu x, dan garis x = 3 sama dengan…….

A. 8 D. 4/3

B. 4 E. 0

C. 8/3

15. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y =

6 + 5x – x2, garis y = 4x dan sumbu y adalah………..

A. 1131 D. 13

21

B. 221 E. 15

32

C. 2465

16. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi y = x + 2, sumbu Y, dan sumbu X diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah…….satuan

isi.

A. 3

55 C.

3

53 E. 3

51

B. 3

54 D. 3

52

17. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x – 1, x = 1,

dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o,

maka isi benda putar adalah………

A. 10 D. 13

B. 11 E. 15

C. 12

18. Daerah yang dibatasi oleh y = x2 dengan sumbu x

untuk 0 x 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh

360o, maka isi benda putar yang terjadi sama

dengan……….

A. 5,2 D. 7,2

B. 6,4 E. 8,4

C. 6,8

19. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 2x +

3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka isi

benda putar………..

A. 6021 D. 72

158

B. 6532 E. 72

151

C. 7041

20. Luas daerah yang dibatasi y = x2 dan y = x diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka isi benda

putar yang terjadi sama dengan……….

A. 15

2 D. 15

7

B. 15

4 E. 15

9

C. 15

6



2 – Program Linier Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program

linier, jika memenuhi :

- Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai

dalam bentuk program linier ax + by = z.

- Memiliki alternative pemecahan yang membuat nilai

fungsi tujuan menjadi optimum.

- Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang

terbatas dan pembatasan-pembatasan dari suber yang

tersedia dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier.

Permasalahan program linier secara umum dapat

dirumuskan :

a. Permasalahan program linier maksimasi

- Fungsi objektif maksimum : z = ax + by

- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii

b. Permasalahan program linier minimasi

- Fungsi objektif minimum : z = ax + by

- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii

Nilai optimum(memaksimalkan/meminimumkan) dari

masalah program linier, dapat diketahui dengan cara

menentukan titik pojok dari daerah hmpunan penyelesaian

sistem persamaan yang ada.

Cara menentukan nilai optimum fungsi objektif (fungsi

tujuan) :

a. Dengan metode uji titik pojok

Mencari titik-titik pojok (ekstrim) dari kendala lalu

mensubsitusikan ke bentuk fungsi objektif z = f(x, y)

= ax + by. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum

dan nilai z yang terkecil merupakan nilai minimum.

b. Dengan garis selidik

(i) Gambar garis ax + by = ab yang memotong

sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y

di titik (0, a).

(ii) Tarik garis sejajar dengan ax + by = ab hingga

nilai z maksimum atau minimum, dengan

memperhatihan hal-hal berikut :

- Jika garis ax + by = k1 sejajar ax + by = ab

dan berada di paling atas atau paling kanan

pada daerah himpunan penyelesaian, maka z

= k1 merupakan nilai maksimumnya.

- Jika garis ax + by = k2 sejajar ax + by = ab

dan berada di paling bawah atau paling kiri

pada daerah himpunan penyelesaian, maka z

= k2 merupakan nilai minimumnya

Latihan

1. Gambarkan pada bidang Cartesius, himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan

( x dan y )R

a. 42 yx c. 62 yx

b. 42 yx d. 62 yx

2. Tunjukkan pada bidang Cartesius, daerah himpunan

penyelesaian dari tiap sistem pertidaksamaan linear

berikut ini.

a. 0x dan 0y , dan 054 yx , untuk x dan y

R

b. 5x dan 5y , dan 12 yx , untuk x dan y

R 3. Mas Boi membeli 6 buku tulis dan 8 pensil disuatu

toku buku. Untuk itu mas Boi harus membayar Rp

6.900,00. Sedangkan si Iteung hanya membeli buku

tulis dan pensil masing – masing sebuah. Untuk itu ia

harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga sebuah

buku tulis dan sebuah pensil masing – masing x

rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika untuk

persoalan itu.

4. Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi

syarat – syarat sebagai berikut.

a. Jumlah Nilai Matematika dan Fisika tidak kurang

dari 12.

b. Nilai masing – masing mata pelajaran itu tidak

boleh kurang dari 5

Buatlah model matematika yang dapat dipakai

sebagai patokan agar seseorang siswa boleh memilih

jurusan IPA.

8. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat

ditempati oleh 200 mobil sedan. Jika tempat itu

dipakai untuk parkir bis, maka 1 bis akan menempati

luas daerah yang sama jika dipakai parkir untuk 5

mobil sedan. Jika ditempat itu diparkir x bis dan y

mobil sedan , tentukan model matematikanya.

9. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang

A dan B dengan memakai dua mesin 1M dan 2M .

Untuk membuat barang A, mesin 1M beroperasi

selama 2 menit dan mesin 2M beroperasi selama 4

menit. Sedangkan untuk membuat barang B, mesin

1M beroperasi selama 8 menit dan mesin 2M

beroperasi selama 4 menit. Mesin 1M dan 2M

masing – masing beroperasi tidak lebih dari 8 jam tiap

hari. Keuntungan bersih untuk tiap barang A adalah

Rp 250,00 dan tiap barang B adalah Rp 500,00

Buatlah model matematika untuk masalah untuk

program linear itu, kalau keuntungan bersih yang

diharapkan sebesar – besarnya.



10. Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis

campuran A dan B. Bahan – bahan dasar yang

terkandung dalam tiap kg campuran A dan campuran

B diperlihatkan pada tabel dibawah :

Bahan Dasar

Bahan -1 Bahan - 2

Campuran

A

Campuran

B

0,4 kg

0,8 kg

0,6 kg

0,2 kg

Dari campuran A dan B itu hendak dibuat campuran

C. Campuran C ini sekurang – kurangnya

mengandung bahan – 1 sebanyak 4 kg dan bahan 2

sebanyak 3 kg. Harga tiap kg campuran A adalah Rp

20.000,00 dan tiap kg campuran B adalah Rp

10.000,00.

Buatlah model matematika untuk masalah program

linear itu, kalau biaya total untuk membuat

campuran C diharapkan semurah – murahnya.

11. Sebuah pabrik memproduksi buku jenis polos dan

bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak

memproduksi 1.000 buku. Dari bagian penjualan

diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak

lebih dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris.

Keuntungan tiap buku jenis polos adalah Rp 100,00

dan jenis bergaris adalah Rp 150,00.

( a ) Berapakah keuntungan bersih sebesar – besarnya

yang dapat diperoleh tiap hari?

( b ) Berapa banyak buku polos dan buku bergaris

yang harus diproduksi tiap hari?

12. Tentukan nilai maksimum bentuk objektif 2x + 3y

pada sistem pertidaksamaan:

x 0 , y 0 , dan x + y 6 , dengan x dan y R

dan menggunakan garis selidik.

13. Titik P, Q, R, S, dan T dalam gambar dibawah

merupakan titik – titik sudut yang pada daerah

himpunan penyelesaian dari suatu masalah program

linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan

nilai optimum ( maksimum dan minimum) dari

bentuk objektif 2x + y.

14. Titik – titik O, A, B dan C dalam dalam gambar

berikut merupakan titik – titik sudut yang terletak

pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu

masalah program linear. Dengan menggunakan garis

selidik, tentukan nilai maksimum bentuk objektif x +

2y

a). untuk x dan y R

b). untuk x dan y C

Latihan 2

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

1. Nilai maksimum dari 4y – x dengan syarat:

xy 2

xy 23

202 xy

3 yx

adalah….

a. 32 d. 7

b. 28 e. 4

c. 19

2. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1x ,

2y , 6 yx , 1532 yx , nilai minimum dari

3x + 4y sama dengan….

a. 9 d. 12

b. 10 e. 13

c. 11

3. Nilai maksimum yxyxf 105),( didaerah yang

diarsir adalah…

A(8,0)

B (42

1 , 54

1 )

C(0,6)

Daerah Himpunan

Penyelesaian

4

4

6

Daerah himpunan

penyelesaian

P(2, 0) Q(5, 0)

R(6, 4)

S(3, 5)

T(0, 3)

Himpunan

Penyelesaian



a. 60 d. 20

b. 40 e. 16

c. 36

4.

a. 42 yx , 3y , 0x ,

b. 42 yx , 3y , 0x , 0y

c. 42 yx , 3y , 0x , 0y

d. 4 yx , 3x , 0x , 0y

e. 4 yx , 3y , 0x , 0y

5. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari:

6 yx

32 yx

062 yx adalah….

a. I d. IV

b. II e. V

c. III

6. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y maka

nilai maksimum dari P dan Q pada sistem

pertidaksamaan 0x , 0y , 122 yx , dan

122 yx adalah…

a. 8 dan 30 d. 6 dan 24

b. 6 dan 6 e. 8 dan 24

c. 4 dan 6

7.

Koordinat titik – titik didalam gambar dan

sepanjang sisi segitiga ABC dalam gambar di

atas, memenuhi pertidaksamaan…

a. 84 yx , 2443 yx , 126 yx

b. 84 yx , 2434 yx , 126 yx

c. 84 yx , 2443 yx , 126 yx

d. 84 yx , 2443 yx , 126 yx

e. 84 yx , 2443 yx , 126 yx

8. Nilai maksimum yxyxf 43),( didaerah yang

diarsir adalah…

a. 4

b. 2

14

c. 5

d. 6

e. 2

16

9. Untuk (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan

632 yx ; 1025 yx ; 0x , 0y , nilai

maksimum obektif yxyxf 2),( adalah…

a. 3 d. 11

b. 7 e. tidak ada

c. 16

10. Suatu jenis roti I membutuhkan 100 gram tepung dan

25 gram mentega, roti jenis II membutuhkan 50 gram

tepung dan 50 gram mentega. Tersedia tepung 1,5 kg

dan mentega 1 kg. Jika x banyak roti I dan y banyak

roti II, supaya kita dapat membuat roti sebanyak

mungkin dari 2 jenis roti itu,maka pertidaksamaan

dalam x dan y yang memenuhi syarat tersebut

adalah…

a. 202 yx , 602 yx

b. 604 yx , 20 yx

c. 302 yx , 6032 yx

d. 202 yx , 4032 yx

e. 302 yx , 402 yx

Daerah Himpunan

Penyelesaian

Daerah himpunan

penyelesaian

2

6

Daerah Himpunan

Penyelesaian

1 3

1

2

1,5

- 3

3

6

6

I

II III

IV V



11. Himpunan pemyelesaian dari sistem pertidaksamaan

402 yx , 402 yx , 0x , 0y terletak pada

daerah berbentuk..

a. trapesium d. segiempat

b. persegi panjang e. segilima

c. segitiga

12. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan

penyelesaian suatu program linear. Untuk soal ini

mana saja bentuk – bentuk dibawah ini mencapai

maksimum di A.

(1) 100x + 50y (2) 3x + 3y

(2) - 4x – 4y (4) 8x + 2y

Jawaban yamg benar adalah…

a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja

b. (1) dan (3) e. semua benar

c. (2) dan (4)

13. Jika segiempat OPQR merupakan himpunan

penyelesaian program linear, maka maksimum fungsi

sasaran x – y pada tiap titik adalah…

a. (0, 0) d. (10, 0)

b. (0, 6) e. semua salah

c. (7, 9)

14. Seorang penjaja buah – buahan yang menggunakan

gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian

apel adalah Rp1.000,00 tiap kg dan pisang adalah

Rp4.00,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp25.000,00 dan

muatan gerobaknya tidak melebihi 400kg. Jika

keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg

pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar

mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus

membeli…

a. 250 kg apel saja

b. 400 kg pisang saja

c. 170 kg apel dan 200 kg pisang

d. 100 kg apel dan 300 kg pisang

e. 150 kg apel dan 250 kg pisang

15. Rokok A yang harganya Rp 200,00 perbungkus dijual

dengan laba Rp40,00 per bungkus sedangkan rokok B

yang harganya Rp100,00 perbungkus dijual dengan

laba Rp30,00 perbungkus. Seorang pedagang rokok

yang mempunyai modal Rp80.000,00 dan kiosnya

maksimum dapat menampung 500 bungkus rokok,

akan memperoleh keuntungan sebesar – besarnya jika

ia membeli…

a. 300 bks rokok A dan 200 bks rokok B

b. 200 bks rokok A dan 300 bks rokok B

c. 250 bks rokok A dan 250 bks rokok B

d. 100 bks rokok A dan 400 bks rokok B

e. 400 bks rokok A dan 100 bks rokok B

16. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti.

Setiap roti jenis I memerlukan 100 gram tepung dan

75 gram mentega, sedangkan setiap roti jjenis II

memerlukan 50 gram tepung dan 75 gram mentega.

Tepung yang tersedia adalahj 30 kg. Banyaknya roti

jenis I dan II masing – masing agar diperoleh laba

sebesar – besarnya adalah…

a. 100 dan 300 buah

b. 200 dan 200 buah

c. 150 dan 250 buah

d. 350 dan 250 buah

e. 175 dan 225 buah

17. Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut ini:

6 yx

3032 yx

x 0 , 0y ; x, y R

Bentuk objektif P = 150 x + 100y

maksPP :min

= …

a. 1 : 5 d. 4 : 5

b. 2 : 5 e. 1 : 3

c. 3 : 5

18. Sebuah kapal pesiar dapat menumpang 150 orang

penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh

membawa 60 kg bagasi dan penumpang kelas

ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat membawa

8000 kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama

x dan banyaknya penumpang kelas ekonomi y, maka

sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah…

a. 150 yx , 80023 yx , 0x , 0y

b. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y

c. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y

d. 150 yx , 40033 yx , 0x , 0y

e. 150 yx , 80033 yx , 0x , 0y

0 2 6

3

6

A

Daerah Himpunan

Penyelesaian

P(10, 0)

Himpunan

penyelesaian

R(0, 6)

Q(7, 9)



19. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan

penyelesaian suatu masalahjj program linear. Bentuk

– bentuk dibawah ini mencapai minimum di Q.

(1) x + 3y (3) x + 4y

(2) 2x + 5y (4) 3x + y

Pernyataan yang benar adalah…

a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja

b. (1) dan (3) e. semuanya benar

c. (2) dan (4)

20. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk

dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1m2

katun dan 3

m2

wool dan pakaian jenis II memerlukan 2 m2

katun dan 2 m2

wool. Bahan katun yang tersedia

adalah 80 m2

dan bahan wool yang tersedia 120m2

.

Apabila harga jual pakaian jenis I dan II masing –

masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00 dan ia

memperoleh laba yang sebesar – besarnya, maka

banyak pakaian jenis I adalah…

a. 50 potong d. 20 potong

b. 40 potong e. 10 potong

c. 30 potong

(30, 0)

(0, 30)

P(45, 0)

R(0,40)

Q

Himpunan

Penyelesaian



3 – Matriks

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat

dilakukan apabila :

a. Ordo A = ordo B

b. A ± B = (aij) ± (bpq), untuk setiap i = p dan j = q

Bentuk umum matriks :

ijii

j

j

nm

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Matriks A dapat ditulis sebagai A = (aij).i = 1,2, ….m dan j =

1,2, …..n

baris ke-1

Kolom ke-1

baris ke-2

baris ke-i

Kolom ke-2 Kolom ke-j

Ordo matriks = banyak baris × banyak

kolom

Determinan Matriks

A =

2221

1211

aa

aa

det (A) = 21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

det A =

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

= 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Invers Matriks :

dc

baA

ac

bd

AA

11

Sifat-sifat invers matriks :

a. (A-1

)-1

= A

b. (At)

-1 = (A

-1)

t

c. (AB)-1

= B-1

.A-1

d. (BA)-1

= A-1

.B-1

Jika AX = B, maka X = A-1

B

Jika XA = B, maka X = BA-1



Latihan

1. Diketahui mariks A =

12

34dan A

2 = xA + yI,

dengan x, y bilangan real dan I matriks identitas

berordo 2. Nilai x – y adalah ……

a. 3 b. 4

c. 1 d. 5

e. 6

2. Diberikan dua matris :

A =

31

02dan B =

20

21

Matriks C yang memenuhi ABC = I, dengan I

matriks identitas adalah …….

a.

41

42

4

1

b.

41

42

12

1

c.

41

42

6

1

d.

21

44

12

1

e.

41

42

3. Matriks A =

142

11

m

, B =

11

46m, dan C =

51

81 m. Jika A

2 + B

-1 = C, maka nilai m yang

memenuhi adalah ……

a. -2 b. 6

1

c. ½ d. 2

e. 6

4. Nilai x2 + 2xy + y

2 yang memenuhi persamaan :

5

2

31

62

y

xadalah …..

a. 9 b. 7

c. 5 d. 3

e. 1

5. Diketahui matriks : A =

132

111

102, X = ( x y

z), dan B = (5 8 7). Jika AXt = B

t, maka nilai 2x +

y + z = ……

a. 42 b. -29

c. -24 d. -32

e. -3

6. Diberikan :

79

316

21

34

dc

ba . Nilai (a + b

+ c + d) = …….

a. 6 b. 7

c. 8 d. 9

e. 10

7. Jika

0

2

44

23

y

x, maka nilai x + 2y =

……

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

8. Matriks N berordo (2 × 2) yang memenuhi

persamaan :

12

34

43

21N , adalah ………

a.

45

56

b.

54

65

c.

54

56

d.

13

24

e.

810

1012

9. Himpunan penyelesaian SPLTV adalah (x, y, z).

1346

622

3

4

723

zyx

zyx

zyx

Nilai x – y – z dari SPLTV di atas adalah …..

a. 7 b. -4

c. -1 d. -7

e. -13

10. Jika

b

a

y

x

11

23dan

q

p

b

a

25

32

. Maka ......

y

x

a.

q

p

25

32

b.

q

p

25

66

c.

q

p

17

134

d.

q

p

1213

19

e.

q

p

34

51



11. Jika B =

53

21dan AB

-1 =

34

12 , maka A = …..

a.

2313

95

b.

239

53

c.

139

35

d.

312

59

e.

232

139

12. Jika N = B3 dengan B =

3

3

21

21

21

21

, maka N

......1

2

a.

2

1

b.

2

1

c.

1

2

d.

1

2

e.

2

1

13. Jika

72

08

232

04 2

x

yx

, maka nilai

.....2 yx

a. 49

b. 29

c. 3

d. 9

e. 18

14. Jika A =

34

21dan f(x) = x

2 + 2x, maka f

2(A) =

……

a. 11 A2

b. 11 A

c. 11 I

d. 121 A

e. 121 I

15. Jika M =

21

21

2

1

2

1

, maka determinan dari (M-

1)

2 adalah …..

a. 221

b. 2

c. 2

d. 22

e. 24

16. Diberikan matriks-matriks berikut ini :

g

e

b

f

d

a

CBA ;7143

5210,

987

654

321

. Carilah transpos dari setiap matriks itu.

17. Diberikan matriks A =

zy

x

32

9dan B =

1422

2464

yyx

xyz. Jika A = B

t, tentukanlah

nilai x, y, dan z?

18. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan matriks

berikut ini

67

18

423 dacd

cbba

19. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV

berikut ini.

a.

353

49310

yx

yx

b.

3432

2032

3

zyx

zyx

zyx

20. Uang Yuda, Laras, dan Dinda semuanya adalah Rp

1.000.000,-. Uang Laras dan Dinda bersama-sama

Rp 155.000,- krangnya dari2 kali uang Yuda,

sedangkan jumlah uang Yuda dan Dinda adalah Rp

126.000,- lebih banyak dari uang Laras. Carilah

besar uang mereka masing-masing?



4 - Vektor ♣ Definisi Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang)

dan arah

♣ Cara Penulisan

aAB

Vektor kolom

3

2

1

a

a

a

a

Vektor Baris ),,( 321 aaaa

♣ Vektor Nol ( O )

Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya nol dan

arahnya sembarang.

Sifat : aaa 00

♣ Kesamaan Vektor

Dua vektor disebut sama jika panjang sama dan arahnya

sama. ba

♣ Invers Suatu Vektor

Invers vektor a adalah vektor yang panjang/besarnya

sama dengan a , tetapi arahnya berlawanan

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

♣ Penjumlahan

Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang

♣ Pengurangan

Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang

Sifat – sifat Penjumlahan Vektor

1. vba : tertutup

2. abba : komutatif

3.

cbacba

bersifat asosiatif

4. aa 00 : identitas

5. 0)( aa : Invers

Perkalian Vektor dengan Suatu Bilangan (skalar)

Mis: a = vektor , k = bilangan real, c = hasil kali

bilangan real dengan a akc

Panjang c : akc , jika k > 0 c searah dengan

a , jika k < 0 c berlawanan arah dengan a , jika k = 0

0c

Sifat – sifat Perkalian Vektor dengan Bilangan Real

ba , = vektor dan m, n = bilangan real

1. amam

2. maam

3. anamanm )(

4. amam )(

5. )()()( anmanm

6. bmambam )(

Panjang Vektor

OR mewakili r,

z

y

x

r

Panjang vektor r , 222 zyxr

Jarak Dua Titik

),( 11 yxA , ),( 22 yxB , AB mewakili vector

12

12

12

zz

yy

xx

. Jarak AB adalah :

212

212

212 )()()( zzyyxxAB

Vektor Posisi

Misal titik A (x, y, z).

Vektor posisi dari titik A adalah suatu vektor a yang titik

awalnya di O(0, 0) dan titik ujungnya di (x, y, z).

Misal A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor posisi AB

adalah

12

12

12

zz

yy

xx

AB

a

A

B

a b

a a

a

b

ba

a

b

ba

O

X Y

Z R

r



Perbandingan Ruas Garis di R-3D dalam bentuk

koordinat

A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2)

nm

xnxmxp

12 ,

nm

ynymyp

12 ,

nm

znzmz p

12 .

Perkalian Skalar dua Vektor

1

1

1

z

y

x

a ,

2

2

2

z

y

x

b

cos. baba

212121. zzyyxxba

Sudut yang Dibentuk oleh Dua Vektor

)()(

.cos

22

22

22

21

21

21

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

ba

i. jika 0. ba maka lancip (0 < < 90)

ii. jika 0. ba maka = 90o (Teorema Ortogonalisis)

iii. jika 0. ba maka tumpul (90 < < 180)

iv. jika baba . maka = 0 (berimpit/sejajar)

v. jika baba . maka = 180 (berlawanan arah)

Sifat – sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

1. cba . , c adalah skalar (tidak tertutup)

2. abba .. (komutatif)

3. 2

. aaa

4. 00. aaa

5. bakbkabakbak .)().().(

6. cabacba ..)( (distributif)

7. )..(.).( cbacba (tidak assosiatif)

Proyeksi Skalar Ortogonal (hasilnya sebuah skalar)

1. Proyeksi skalar a pada

b

adalah panjang scalar a

di

proyeksikan ke b, yaitu

c

2. Proyeksi skalar b pada a adalah panjang skalar b

diproyeksikan ke a, yaitu d

Proyeksi Vektor Ortogonal (hasilnya sebuah vektor)

1. Proyeksi vektor a pada

2. Proyeksi vektor b

pada

b adalah vektor, yang

a adalah vektor, yang

panjangnya cosa dan

panjangnya cosb dan searah dengan b , yaitu c

searah dengan a , yaitu d

Perkalian Silang Dua Vektor

sinbaba

1

1

1

z

y

x

a dan

2

2

2

z

y

x

b

21

1

21

zzk

yyj

xxi

ba

A

B

O

a

b

b

baac

.cos

a

babd

.cos

a

b

cosac

cosbd

a

b

cosac

cosbd

b

b

baac .

.cos

2 a

a

babd .

.cos

2



Latihan

1. Empat vektor

ddancba ,,, dilukiskan pada

gambar dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang

menunjukkan jumlah dari vektor – vektor

ddancba ,,, atau )(

dcba

2. Misalkan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah

ini, panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm.

Ruas – ruas garis berarah

AB ,

AD , dan

AE

berturut – turut mewakili vektor

rdanqp , .

a. Gambarlah diagram – diagram vektor berikut

ini: (i).

qp (iii).

rp

(ii).

rq (iv).

rqp

b. Hitunglah panjang atau besar vektor – vektor

yang diperoleh pada soal a).

3. Vektor – vektor u dan v dilukiskan pada gambar

dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang

menunjukkan :

a. 2

u +

v b.

u – 2

v

3. Misalkan A (3, -2) dan B (-1, 5). Jika vektor

p

wakil dari ruas garis berarah

AB dan vektor

q wakil

dari ruas garis berarah

BA , nyatakan vektor – vektor

p dan

q dalam vektor kolom.

4. Diketahui vektor – vektor

3

1,

4

2,

1

3cdanba .

a. Tentukan

a +

b dan

b +

a

b. Periksa apakah

a +

b dan

b +

a

c Tentukan

cba )( dan )(

cba

d. Periksa apakah

cba )( dan

)(

cba


8

4,

6

9,

2

4rdanqp .

Nyatakan vektor – vektor berikut dalam bentuk vektor

kolom.

a.

p2

1 b.

q3

1

c.

r4

1 d.

rqp4

1

3

1

2

1

6. Diketahui titik A (1, 7) dan titik B (4, 1). Titik C

adalah sebuah titik pada garis hubung AB sehingga

ABAC3

1.

a. Tentukan vektor

AB dan

AC

b. Tentukan koordinat titik C .


4

2,

1

1,

3

2cdanba .

Hitunglah:

a.

a c. e.

cba 2

b.

b d.

ba f.

cba2

8. Misalkan vektor

3

4a , carilah vektor satuan

dari

a .

c

a

b c

d

E

H

D

F

B

G

C

A

u

v




3

2

1

,

4

3

2

,

1

2

3

cdanba .

a. Tentukan

a +

b dan

b +

b

b. Periksa apakah

a +

b =

b +

b

c. Tentukan (

a +

b ) +

c dan

a + (

b +

c )

d. apakah (

a +

b ) +

c dan

a + (

b +

c )


2

0

2

,

6

2

4

,

0

3

6

wdanvu .

Tentukanlah: a.

u31 b.

v21

c.

w21 d.

wvu21

21

31

11. Diketahui tiga buah titik A (3, 3, 2), B (4, 5, 1), dan C

(7, 11, -2). Ruas – ruas garis berarah

OCdanOBOA ,, mewakili vektor

cdanba ,, .

a. Nyatakan

cdanba ,, dalam vektor

kolom.

b. Nyatakan

ACdanBCAB ,, dalam

vektor kolom.

c. Tunjukkan bahwa A, B, dan C segaris

(kolinear).

d. Tentukan perbandingan AB : BC

12. Diketahui titik P (4, 1, -5) dan titik Q (1, 7, -14).

Titik R adalah titik pada garis hubung PQ sehingga

PQPR31 .

a. Tentukan vektor yang diwakili

PQ ,

PR

b. Tentukan koordinat titik R.


2

2

1

a ,

1

2

3

b , dan

4

5

2

c . Hitunglah :

a.

a c. e.

cba2

b.

b d.

cba f.

cba 2

14. Misalkan segitiga ABC dengan titik – titik sudut

A (1, 1, 2), B (3, 0, -1), dan C (4, -4, 1). Dengan

menggunakan rumus jarak, tunjukkan bahwa segitiga

ABC merupakan segitiga siku – siku di B.

15. Tentukan persamaan bola yang pusatnya di titik

M (3, 4, 2) dan jari – jarinya 5.

16. Misalkan vektor

6

3

2

a , carilah vektor

satuan dari vektor

a .

c



5 – Transformasi Geometri Pengertian

Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan

titik di bidang yang sama. Jika titik (x, y)

ditransformasikan menjadi (x’, y’) oleh transformasi T,

maka ditulis )','(),(: yxyxT . Transformasi

demikian disebut transformasi Geometri.

Jenis Transformasi

1. Translasi

Translasi (pergeseran) adalah

pemindahan suatu objek sepanjang

garis lurus dengan arah dan jarak

tertentu.

Matriks

Jika translasi

b

aT memetakan titik P(x, y) ke

titik P’(x’, y’), maka x’ = x + a dan y’ = y + b

atau P’(x + a, y + b) dapat dituliskan dalam bentuk:

),('),(: byaxPyxPb

aT

2. Refleksi

Refleksi (pencerminan) adalah suatu

transformasi yang memindahkan

setiap titik pada bidang dengan

menggunakan sifat bayangan

cermin dari titik – titik yang

hendak dipindahkan itu.

Refleksi Titik Terhadap Garis x = a dan y = b

( i ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis x = a,

bayangannya adalah titik P’(2a – x , y).

( ii ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = b,

bayangannya adalah titik P”(x, 2b – y).

Refleksi Titik terhadap garis y = mx

y

x

y

x

2cos2sin

2sin2cos

'

', dengan mtan

Refleksi Titik terhadap garis y = mx + n

ny

x

ny

x

2cos2sin

2sin2cos

'

'

3. Rotasi

Rotasi (perputaran) pada bidang

geometri ditentukan oleh titik pusat,

besar sudut, dan arah sudut rotasi.

Suatu rotasi dikatakan memiliki

arah positif, jika rotasi itu ber-

lawanan arah dengan arah putaran

jarum jam. Sedangkan rotasi di-

katakan memilki arah negatif, jika

rotasi itu searah dengan arah

putaran jarum jam.

Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian

berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam

terhadap titik pusat O diperoleh bayangan P’(x’,y’),

maka : sincos' yxx

cossin' yxy

Rotasi terhadap Titik Pusat A (a, b)

Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian

berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam

terhadap titik pusat A(a, b) dan diperoleh bayangan

P’(x’, y’), maka :

sin)(cos)(' byaxax

cos)(sin)(' byaxby

No Transformasi Pemetaan Matriks

1 Pencerminan terhadap sumbu X ),(),( yxyx

10

01

2 Pencerminan terhadap sumbu Y ),(),( yxyx

10

01

3 Pencerminan terhadap garis y = x ),(),( xyyx

01

10

4 Pencerminan terhadap garis y = -x ),(),( xyyx

5 Pencerminan terhadap titik asal O ),(),( yxyx

10

01

01

10

No Transformasi Pemetaan Matriks

1 Rotasi terhadap

titik asal O(0, 0)

sebesar 2

),(),( xyyx

01

10

2 Rotasi terhadap

titik asal O(0, 0)

sebesar 2

),(),( xyyx

01

10

3 Rotasi terhadap titk

asal O(0, 0) sebesar

),(),( yxyx

10

01

4 Rotasi terhadap

titik asal O(0, 0)

sebesar

),(),( yxyx

sincos' yxx

cossin' yxy

cossin

sincos



4. Dilatasi

Dilatasi (perbesaran atau

perkalian)

adalah suatu transformasi yang

mengubah ukuran (memperbesar

atau memperkecil suatu bangun,

tetapi tidak mengubah bentuk

bangun yang bersangkutan. Dilatasi

ditentukan oleh titik pusat dan

faktor skala dilatasi. Dilatasi yang

berpusat di titik asal O dan di titik

sebarang P(x, y) dengan masing –

masing faktor skala k dilambangkan

berturut – turut dengan [O, k] dan

[P, k].

♣ Dilatasi terhadap Titik Pusat O (0, 0)

Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat

O (0, 0), dengan faktor skala k didapat bayangan

titik P’(x’, y’) maka :

xkx '

yky '

♣ Dilatasi terhadap Titik Pusat A (a, b)

Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat

A (a, b), dengan faktor skala k didapat bayangan

titik P’(x’, y’), maka :

)(' axkax

)(' bykby

Latihan

1. Tentukan bayangan dari titik – titik P (1, 4), Q (-1, 1),

R (2, -4), dan S (-3, -1) oleh translasi

3

2T .

2. Translasi T memetakan titik A (1, -2) ke titik

A’(4, 3).

a. Tentukan translasi T itu.

b. Tentukan bayangan dari titik – titik B

(0, 3) dan C (2, 6) oleh translasi T yang

anda peroleh pada soal a)

3. Titik Q (-1, 4) diputar 45o searah dengan arah putar

jarum jam terhadap titik pusat O. Tentukan bayangan

dari titik Q oleh rotasi itu.

4. Titik P (4, 3) diputar terhadap titik A (1, 2) dengan

arah perputaran berlawanan arah dengan arah putar

jarum jam. Tentukan bayangan titik P, jika besar

sudut putarnya

a. 2

radian b. radian

5. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan

rotasi – rotasi berikut ini.

a. 2

, O d. ,O g. 6

, O

b. 2

, O e. 2

3, O h. 4

, O

6. Tentukan bayangan atau peta dari titik P(-2, 5) oleh

rotasi dengan pusat di (0, 0) sejauh 2 radian.

7. a. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian

dengan rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh

3 radian.

b. Dengan menggunakan matriks rotasi yang

diperoleh pada soal a), tentukan bayangan

atau peta dari titik P(6, 4)

8. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik – titik

berikut ini dicerminkan terhadap sumbu X.

a. A(4, 3) b. C(-3, -5)


berikut ini dicerminkan terhadap sumbu Y.

a. A(3, 5) b. C(-6, -1)


berikut ini dicerminkan terhadap garis y = - x

a. A(10, 3) b. C(-6, -4)


berikut ini dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0)

a. A(12, 4) b. B(-1, -6)


berikut ini dicerminkan terhadap garis x = 2

a. A(1, 2) b. B(5, -1)


berikut ini dicerminkan terhadap garis y = 3

a. A(-3, 4) b. (-4, -5)

14. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik – titik

sudut A(5,1), B(3, 4) dan C(1,2). Tentukan bayangan

dari titik – titik sudut segitiga ABC jika dicerminkan

terhadap garis y = - x

15. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(2, 6)

oleh dilatasi – dilatasi berikut.

a. 2,O b. 21,O

16. Diketahui titik P(5, 4) dan titik M(1, 2). Tentukan

bayangan dari titik P oleh dilatasi – dilatasi berikut

ini.

a. 3,M b. 21,M

17. Titik – titik sudut suatu persegi adalah A (1, 1),

B (2, 1), C (2, 2), dan D (1, 2).

a. Carilah peta dari titik – titik sudut persegi

itu oleh dilatasi [O, 2]

b. Jika peta dari titik – titik A, B, C, dan D

itu adalah A’, B’, C’, dan D’, tunjukkan

luas persegi A’B’C’D’ sama dengan 4 kali

luas persegi ABCD.



6 – Barisan dan Deret Pola Bilangan

Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah

kelompok bilangan.

Kelompok Pola Bilangan Pola ke-n

Bilangan Asli

Bilangan Genap

Bilangan Ganjil

Bilangan Persegi

Bilangan Segitiga

Bil. Persegi Panjang

Bil. Segitiga Pascal

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, …

2, 4, 6, 8, 10, ….

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

1, 4, 9, 16, …

1, 3, 6 , 10, …

2,6,12,20, ….

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

n

2 x n

2n – 1

n2

2

1)n(n

n(n + 1)

2(n – 1)

Barisan/ Deret Aritmetika

Suatu barisan a/ U1, U2, U3,..,Un atau a, a + b, a

+ 2b, ..Un disebut barisan aritmetika jika U2 –

U1=U3– U2 dan seterusnya,

atau Un – Un-1 = b Suku ke-n barisan aritmetika adalah

Un = a + (n-1) b atau Un = Sn – Sn-1

dimana a =U1(suku pertama), n=banyaknya

suku, b=beda = Un–Un-1

Suku tengah barisan aritmetika

2

nU1U

TU

Jumlah n suku pertama Sn = n/2 (a + Un)

atau Sn = n/2 (2a + (n -1) b)

Jika suatu deret aritmetika disisipi k bilangan

sehingga membentuk deret aritmetika baru,

maka : 1k

1UnU'b

Barisan /Deret Geometri

Suatu barisan a/ U1, U2, U3, .. ,Un atau a, ar,

ar2, ar

3, .., Un disebut barisan geometri jika

2U

3U

1U

2U dan seterusnya, atau r

1nU

nU

Suku ke-n barisan geometri ditentukan oleh :

1narnU

Suku tengahnya adalah n U.1UT

U

Jumlah n suku pertama r1

)nra(1

nS

Jika suatu deret geometri disisipi k bilangan

sehingga membentuk deret geometri baru maka,

rasio barunya : 1k

1U

nUr'

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 + …+

arn-1

+ … dikatakan :

1. mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika

dan hanya jika | r | < 1

Limit jumlah itu ditentukan oleh r1

aS

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen,

jika dan hanya jika | r | > 1



Latihan

BARISAN ARITMATIKA

1. Carilah suku pertama (a), beda (b), suku ke-6 (u6) pada

tiap barisan berikut ini.

a. 2, 4 , 6, 8, …. b. 4, 1, -2, -5, ….

c. 8, 4, 0, -4, …. d. 1 ½ , 1, ½, 0, ….

2. Suku pertama sebuah barisan sama dengan 2 sedangkan

bedanya sama dengan 5.

a. Carilah suku ke-10

b. Suku keberapakah yang nilainya 82

3. Suku keempat suatu barisan aritmatika sama dengan 15,

sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39.

a. Carilah suku pertama, beda dan rumus suku ke-n

b. Carilah suku ke-20

c. Carilah jumlah 20 suku pertama

4. Diketahui barisan aritmatika, suku ketujuh sama dengan

4 kali suku pertama dan suku kelima 6 lebihnya dari

suku ketiga. Carilah suku ke-22.

5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika.

Jumlahnya 18 dan hasil perkaliannya adalah 192.

Carilah bilangan-bilangan itu.

6. Hitung banyak dan jumlah bilangan-bilangan bulat

antara 100 dan 1000 yang merupakan kelipatan 7.

7. Ditentukan bilangan asli kurang dari 200. Carilah

banyaknya bilangan-bilangan itu yang:

a. habis dibagi 4

b. habis dibagi 5

c. habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5

SISIPAN

8. Diantara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah

bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan

bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk

membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari

barisan yang terbentuk.

SUKU TENGAH

9. Suku tengah dari suatu barisan aritmatika sama dengan

19, sedangkan suku terakhirnya sama dengan 34. Jika

suku kelima barisan itu sama dengan 16, carilah:

a. suku pertama dan beda

b. banyaknya suku

10. Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9,…, 95.

Banyaknya suku pada barisan itu ganjil., carilah:

a. suku tengahnya

b. suku ke berapakah suku tengahnya itu ?

c. berapa banyaknya suku barisan itu ?

DERET ARITMATIKA

11. Ditentukan deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + ….

Carilah:

a. rumus suku ke-n

b. rumus jumlah suku ke-n

c. jumlah 30 suku pertama

12. Hitunglah jumlah tiap deret aritmatika berikut ini.

a. 4 + 6 + 8 + ……sampai 40 suku

b. 0 + 3 + 6 + …. + 93

13. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

ditentukan dengan rumus Sn = 4n2 – 3n. Carilah suku

ke-2n dari deret tersebut.

14. Dalam suatu deret aritmatika suku pertama = 3 , suku

ke-n = 87, jumlah suku ke-6 dan ke-7 adalah 39. Jika

diantara dua suku disisipkan 2 buah suku baru, maka

terbentuk deret aritmatika baru. Carilah selisih deret

aritmatika baru dengan deret aritmatika semula.

Barisan geometri

1. Carilah suku pertama (a), rasio (r), dan suku kedelapan

(u8) pada tiap barisan geometri berikut ini.

a. 1, 3, 9, 27,…… c. 8, 4, 2, 1, ……

b. 2, -6, 18, -54,…... d. –24, 12, -6, 3,….

2. Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 2,

sedangkan suku kelimanya sama dengan 162.

Carilah rasio dan rumus suku ke-n ( ada 2

kemungkinan jawaban )

3. Suku ketiga dan suku kelima suatu barisan geometri

berturut-turut adalah 16 dan 1. Jika rasio barisan ini

positif, carilah :

a. rasio dan suku pertamanya

b. rumus suku ke-n dan suku ke-9

c. suku keberapakah yang nilainya 1/256

4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri.

Jumlah ketiga bilangan itu sama dengan 1728. Carilah

bilangan bilangan itu.

5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika

suku kedua dikurangi dengan 1, maka terbentuk

barisan geometri dengan rasio 2. Carilah bilangan-

bilangan itu.

Suku Tengah

6. Ditentukan barisan geometri ¼, ½, 1, …..,256.

Banyaknya suku pada barisan itu adalah ganjil. Carilah

:

a. suku tengahnya

b. suku keberapakah suku tengah itu ?

c. berapakah banyaknya suku barisan itu ?

Sisipan

7. Diantara bilangan-bilangan ¼ dan 16 disisipkan 5 buah

bilangan, sehingga membentuk barisan geometri.

Carilah rasio barisan geometri yang terbentuk dan

bilangan-bilangan yang disisipkan.

8. Diketahui tiga buah suku barisan geometri 2, 32, 512.

Diantara tiap dua suku disisipkan 3 buah suku,

sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan

rasio, banyak suku, dan suku ke-8 barisan baru itu.

Deret Geometri

9. Carilah jumlah 6 suku pertama pada tiap deret

geometri berikut ini.

a. 16 + 8 + 4 + … c. 27 – 9 + 3 – 1 + ….

b. 1 + 4 + 16 + … d. – 1 + 2 – 4 + …



10. Jumlah deret geometri 2 + 22 + 2

3 + …… + 2

n sama

dengan 254. Carilah nilai n.

11. Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri

adalah Sn = 3n – 1.

a. Carilah rumus suku ke-n

b. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri itu.

12. Suatu deret geometri terdiri atas 8 suku. Jumlah 3

suku yang pertama 210 dan jumlah 3 suku yang

terakhir 6720. Carilah deret geometri tersebut.

13. Dalam deret geometri, suku pertama =1dan rasionya =

2. Carilah nilai n yang bukat dan paling kecil , jika

Un > 109.

14. Diketahui deret geometri terdiri dari 6 buah suku,

dengan suku pertama 2 ½ dan suku kelima 600

lebihnya dari suku ketiga. Di antara tiap dua suku

berurutan disisipkan sebuah suku, sehingga didapat

deret geometri baru. Berapakah jumlah deret

geometri baru itu yang memiliki rasio positif.

15. Dalam suatu deret geometri ditentukan S2 = 9 dan S4

= 45.

a. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri

tersebut.

b. Carilah Jumlah 8 suku pertama.

Deret Geometri Tak Berhingga

16. Jumlah semua suku suatu deret geometri tak berhingga

adalah 6, sedang jumlah suku-suku genapnya adalah

2. Tentukan suku pertama deret itu.

17. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam dan

melintasi 3 dm pada detik pertama, dan pada detik

berikutnya bergerak 2/3 dari lintasan detik

sebelumnya. Hitung panjang lintasan yang ditempuh

benda sampai berhenti.

18. Diberikan deret geometri :

2log (x – 6) +

2log

2 (x – 6 ) +

2log

3 (x – 6) + …..

Tunjukkan bahwa deret itu konvergen pada interval

6 ½ < x < 8.

19. Suku ke-n suatu deret geometri ditentukan oleh Un =

234

2xxn

. Carilah batas-batas nilai x agar

deret tersebut konvergen.

20. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m.

Setiap kali memantul bola tersebut akan mencapai

ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya.

Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh bola itu

sampai berhenti.



7 – Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Eksponen

Pangkat Bulat Positif, Nol dan Bulat Negatif

aaaaaaan ... perkalian terdiri atas n buah faktor n

n

aa

1

atau n

n

aa

1, dan 10 a

Sifat – Sifat Pangkat Rasional

(i). mnmn aaa (iii). nnn

baba (v). nmmn aa (ii). mnmn aaa :

(iv). n

nn

b

a

b

a

(vi).

qn

pnn

q

p

b

a

b

a

Pangkat Pecahan

i). aa 21

ii). nn aa

1

iii). n mn

m

aa

catatan: sifat – sifat pangkat rasional sama dengan sifat – sifat pangkat Rasional.

Persamaan Eksponen

Bentuk – bentuk Persamaan Eksponen

A. Bentuk : pxf

aa )(

Jika pxf aa )(

( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = p

B. Bentuk : )()( xgxf

aa

Jika )()( xgxf aa ( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = g(x)

C. Bentuk : )()( xgxf

ba (a > 0 dan 1a , b > 0 dan 1b , dan ba )

Jika )()( xgxf ba maka f (x ) = 0

D. Bentuk : )()()()(

xgxfxhxh

Jika )()()()(

xgxfxhxh , maka kemungkinannya adalah

[1.] f (x) = g (x) [2.] h (x) = 1

[3.] h (x) = 0, asalkan f (x) = g(x) keduanya positif

[4.] h(x) = - 1, asalkan f (x) dan g(x) keduanya ganjil atau f (x) dan g(x)

keduanya genap

E. Bentuk : A 2)( xfa + B )( xf

a + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen diatas di

selesaikan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam

persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = }{ )(xfa



Pertidaksamaan Eksponen

Sifat Fungsi Monoton naik (a > 1)

[o]. Jika )()( xgxf aa maka

)()( xgxf aa


)()( xgxf aa

Sifat Fungsi Monoton naik (a < 1)


)()( xgxf aa


)()( xgxf aa

Fungsi Eksponen

Fungsi Eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi

yang mempunyai bentuk umum:

xaxf : atau xaxfy )(

a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a

Peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas.

Grafik Fungsi Eksponen

Grafik Fungsi Eksponen dikelompokkan menjadi dua macam.

[o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis a > 1

[o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis 0 < a < 1

Sifat grafik fungsi )(xfaxfy dengan:

a > 1 a< 0 <1

(i). Fungsi monoton naik (i). Fungsi monoton turun

(ii). Memotong sumbu Y dititk (0, 1) (ii). sama

(iii). Sumbu X sebagai asimtot datar (iii). sama

(iv). Merupakan fungsi bijektif (iv). sama

(v). Daerah hasil selalu bernilai positif (v) . sama

untuk semua x R

0

1 x

y

1, aay x

0

1

y

10, aay x

x



Latihan

1. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman

eksponen berikut.

a. 13 4 x c. 3

4118 x

b. 322 13 x d. 2433 12

271 x

.


eksponen berikut.

a. 14

312

2

9

xxx

b. 1641232

10010

xxxx


eksponen berikut.

a. 6363 32 xx

b. 8686 22

53 xxxx


eksponen berikut.

a. 52122 1313 xx xxxx )()(

b. 1124 )52()52(2 xx xx

5. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

eksponen:

1)8( 1522

xxx 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

persamaan eksponen berikut ini.

a. 03221222 xx.

b. 010109102 xx.

c. 01565 12 xx.

d. 03633 522 xx

7. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan

eksponen berikut.

a. 84 x

b. 73593 xx

c. 366 342

xx

d. xxx 4

323

255

)( 8. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan

berikut.

a. 42

411

21

xx

b. 3

12

3

1

2712

91

xx


berikut.

a. 042522 xx.

b. 0273269 xx.

c. 022652 52 xx.

d. 035745 22 xx.


eksponen dibawah ini:

a. 3x6 x24 3 x b.bb.b

b. xx

x

x33

28.2.64

8

2

c. x23

1

1x

1

2x

1

81

1

3

1.27

d. 120

82

5

4 23 x

x


eksponen dibawah ini

xxxxxx

72122 1212



a. 033 x3x2x3x 22

b. x3xx27824 2

1

13. Tentukan himpunan peneyelesaian persamaan

dibawah ini

a. 2

1

3

13

42

6

yx

yx

5

11 155 xyyx

b. 0813.103 19292 yxyx

48 yx

14. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

eksponen berikut.

a. 033.43 322 xx

b. 075

25 1

x

x

Latihan 2

1. Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan:

a. 422

3 32 1255

xx

b.

xx

8

24.

8

1 32



c. xx

x23

1

1

1

2

1

81

1

3

1.27

2. Carilah semua nilai x dan y yang memnuhi sistem

persamaan :

42 12 yx

yxyx 273 332


eksponen berikut ini.

a. 32322 352352

xx

xxxx

b. 1124 )52()52(2 xx xx


eksponen berikut.

a. 055.43125 221 xx

b. 0273

12

3

1

2

xx

c. 0813.103 19292 yxyx 48 yx

d.

511

21

3

13

155

42

6

xyyx

yx

yx


eksponen berikut:

a. 48042 12 xx

b. 34525 11 xx

c. 0342.342.34 22 xxxx

6. Dari rumus 120

3

23 dv

H , diberikan H = 1200 dan d =

1728. Tentukan nilai v

7. Tentukan nilai dari

01

01

23

54

3

2

3

2

bbb

aaa

, untuk a = 4 dan

b = 8

1

8. Tentukan bentuk sederhana dari :

a. 2

1

4

13

1

3 2234:

ba

a

ba

b

ab

ab

b.

mnnmmnn

m

n

mm

m

n

aaaa

a

a

a

a

)()()(2

c.

3

22222

:

nn

nn

ww

ww

9. Tentukanlah nilai a, b, c, d dari :

a. dcba 7.5.3.26259628

49)30(

225

642

b. cba 5.3.2

124

3

16

1575

35

44

10. Tentukan nilai

pr

q yang memenuhi

rqp xx .3.27292565 33



8 – Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Logaritma

Definisi: Logaritma bilangan

Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1 atau g > 1).

xag log jika dan hanya jika ag x

* g disebut bilangan pokok atau basis logaritma

* a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya

* x disebut hasil logaritma

Sifat – sifat Dasar Logaritma

(i). ngng log (ii). 1log gg (iii). 01log g

Sifat – sifat Logaritma

(a). baba ggg loglog)log( (e). (i). bba gag logloglog

(b). bab

a ggg logloglog

(ii). a

n

ma gmgn

loglog

(c). ana gng loglog (iii). aa gngn

loglog

(d). (i).

g

aa

p

pg

log

loglog (f). ag ag

log

(ii).

ga

a

g

log

1log

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan

bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Bentuk – bentuk persamaan Logaritma.

A. Bentuk : pxfaa

loglog

Jika pxf aa loglog maka f(x) = p asalkan f(x) > 0

B. Bentuk : )(loglog xfxfba

Jika )(loglog xfxf ba (dengan ba ), maka f (x) = 1

C. Bentuk : )(loglog xgxfaa

Jika )(loglog xgxf aa maka f(x) dan g(x) keduanya positif

D. Bentuk : )(loglog)()(

xgxfxhxh

Jika )(loglog )()( xgxf xhxh maka f(x) = g(x) asalkan

f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) 1



E. Bentuk: A 2xa

log + B xa

log + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma diatas di

selesaikan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu kedalam

persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = xa log

Pertidaksamaan Logaritma

Sifat Fungsi logaritma Monoton naik ( a > 1)

[o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf


Sifat Fungsi logaritma Monoton turun ( 0 < a < 1)



Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum:

xxfy alog

* a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a

* Peubah x dinamakan numerus ( yang dicari nilai logaritmanya)

Grafik Fungsi logaritma

Grafik Fungsi logaritma dikelompokkan menjadi dua macam.

[o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis a > 1

[o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1

Sifat grafik fungsi xxfya

log dengan:

a > 1 a< 0 <1

(i). Fungsi monoton naik (i). Fungsi monoton turun

(ii). Memotong sumbu Y dititk (1, 0) (ii). sama

(iii). Sumbu Y sebagai asimtot tegak (iii). sama

(iv). Merupakan fungsi bijektif (iv). sama

(v). Daerah hasil semua x R (v) . sama

1 0

y

f(x) = 1,log axa x

1 0

y

f(x)= 10,log xxa

x



Latihan

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan

logaritma berikut ini.

a. 3)6log()4log( 22 xx

b. 81log)2log()5log( 922 xx

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persaman

logaritma berikut.

a. xx 4loglog}2)43log{log(

b. )10

log(log}14log{log2

757 xx

c. xx log1)}812log{log( 212

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persaman

logaritma berikut.

a. 3log)1log( x

b. )6log(3loglog xx

c. 1)22loglog(log 222 x

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

persaman logaritma berikut.

a. 2log1)9log()10log( xx

b. 5log)12loglog(loglog xx

c. 1)63log( 236 xxxx

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

persaman logaritma berikut.

a. 1log

1

log

1

log

1

10612

xxx xxx

b. 5,2log

2log5log8log)1log(

2213 13

1 xxx

6. Tentukan himpunan penyelesaian tiap dari setiap

persamaan logaritma berikut ini:

a. 0125logloglog 54525 xx

b. 5log63log30log2 25log5log xx

dengan bilangan pokok logaritma 5.

c. 8

4log2 x

x x

d. 6log log12 2

xx


berikut.

a. 81loglog4 2

1

2

1

x

b. 2)44log( 22

1

xx

c. 4)110(log 2

1612

1

xx


berikut.

a. 01log2)log( 2

2122 xx

b. 03log.2)log( 525 xx


berikut.

a. 12log12 x

b. xx xx log)13log(

c. )43log(log 2121 xx xx

10. Jumlah penduduk di suatu kota pada tahun 2000

sebanyak 1,4 juta orang. Persentase pertambahan

penduduk di kota itu sebesar 5% pertahun dan

persentase pertambahan ini bernilai tetap. Pada tahun

keberapa ( setelah tahun 2000) jumlah penduduk kota

itu menjadi 2,1 juta orang?

11. Ali menyimpan uang di Bank sebesar Rp5.000.000,00

dengan aturan tingkat bunga majemuk p% per tahun.

Tingkat bunga ini tetap dan perhitungan bunga

dilakukan setiap tahun. Pada tahun kelima, jumlah

uang disimpan Ali menjadi Rp8.052.550,00. Berapa

besar tingkat bunga pertahun yang diberikan oleh

pihak bank?

12. Besar arus transien pada sebuah rangkaian RC

ditentukan oleh rumus:

10

eII o

dengan = RC disebut tetapan waktu atau waktu RC

(time constant). Besar arus semula adalah oI = 100

ampere dan ketika mengalir di dalam rangkaian RC

selama 10 detik besar arus menjadi I = 1 ampere.

Hitunglah nilai tetapan waktu pada rangkaian RC

itu.

13. Misalkan semula terdapat masa isotop radioaktif C14

sebanyak oM gram dan isotop radioaktif C14

mempunyai waktu paruh 5.600 tahun.

a. Nyatakan masa isotop radioaktif C14 yang

tersisa sebagai fungsi dari n waktu paruh.

b. Nyatakan masa isotop radioaktif C14 yang

tersisa sebagai fungsi waktu t

c. Dalam waktu berapa tahun masa yang tersisa

sama dengan 75% dari masa semula



a. )72log(1)1log(5log.2 xx

b. 25log)20.255.6log( xxx

c. )1log()185log( 216 xx


eksponen dibawah ini

a. 110log21log 15 x

x



b. 2)3log(

1)12log(

)1(

)3(

xx

x

x



a. 13log279log 1212 xx

b. 5log63log30log225log5log xx ,

dengan bilangan pokok 5

c. xxx xx log

12

11010 loglog

18. Tentukan himpunan peneyelesaian persamaan

dibawah ini

a. 84:2 7 yx

2log)1log(5loglog 3333 yx


logaritma berikut.

a. 1)45log( 21,0 xx

b. 0625log)12log( 125 xx

c. 1)7x2log(x

matematika - insan cerdas 12.pdf · 2015-08-13 · modul matematika sma kelas 12 les privat insan...

Documents